2020-2021學(xué)年高中數(shù)學(xué)第1講坐標(biāo)系第2課時(shí)平面直角坐標(biāo)系中的伸縮變換課后提能訓(xùn)練含解析新人教

PAGE第一講第2課時(shí)A．基礎(chǔ)鞏固1．(2017年天水校級(jí)月考)在同一平面直角坐標(biāo)系中，經(jīng)過(guò)伸縮變換eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x′＝5x，,y′＝3y))后，曲線C變?yōu)榍€x′2＋4y′2＝1，則曲線C的方程為()A．25x2＋36y2＝1 B．9x2＋100y2＝1C．10x＋24y＝1 D．eq\f(2,25)x2＋eq\f(8,9)y2＝1【答案】A【解析】把eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x′＝5x，,y′＝3y))代入曲線x′2＋4y′2＝1，可得(5x)2＋4(3y)2＝1，化簡(jiǎn)得25x2＋36y2＝1.故選A．2．在平面直角坐標(biāo)系中，直線2x－y＝3經(jīng)過(guò)伸縮變換φ作用后得到直線x′－2y′＝6，則φ是()A．φ：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x′＝4x,y′＝y(tǒng))) B．φ：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x′＝\f(1,4)x,y′＝y(tǒng)))C．φ：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x′＝2x,y′＝\f(1,2)y)) D．φ：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x′＝\f(1,2)x,y′＝2y))【答案】A【解析】設(shè)坐標(biāo)變換公式為φ：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x′＝kx，,y′＝hy，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(1,k)x′，,y＝\f(1,h)y′，))將其代入直線方程2x－y＝3，得eq\f(2,k)x′－eq\f(1,h)y′＝3，將其與x′－2y′＝6，即eq\f(1,2)x′－y′＝3比較，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(2,k)＝\f(1,2)，,\f(1,h)＝1))?eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(k＝4，,h＝1，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x′＝4x，,y′＝y(tǒng).))3．(2017年宜昌期末)將曲線y＝sin2x按照伸縮變換eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x′＝2x，,y′＝3y))后得到的曲線方程為()A．y′＝3sin2x B．y′＝3sinx′C．y′＝3sineq\f(1,2)x′ D．y′＝eq\f(1,3)sin2x′【答案】B【解析】根據(jù)題意，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x′＝2x，,y′＝3y，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(x′,2)，,y＝\f(y′,3)，))又由y＝sin2x，則有eq\f(y′,3)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2×\f(x′,2)))，即y′＝3sinx′.故選B．4.已知f1(x)＝cosx，f2(x)＝cosωx(ω＞0)，f2(x)的圖象可以看作是f1(x)的圖象在其所在的坐標(biāo)系中的橫坐標(biāo)壓縮到原來(lái)的eq\f(1,3)(縱坐標(biāo)不變)而得到的，則ω為()A．eq\f(1,2) B．2C．3 D．eq\f(1,3)【答案】C【解析】可直接根據(jù)三角函數(shù)圖象的變換規(guī)律得到：f1(x)＝cosxeq\o(→,\s\up7(縱坐標(biāo)不變),\s\do10(橫坐標(biāo)縮短為原來(lái)的\f(1,3)))f2(x)＝cos3x，得ω＝3.也可將坐標(biāo)變換公式eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x′＝\f(1,3)x，,y′＝y(tǒng)，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝3x′，,y＝y(tǒng)′))代入f1(x)＝cosx得f2(x)＝cos3x，得ω＝3.5．直線2x＋3y－1＝0經(jīng)過(guò)變換可以化為6x＋6y－1＝0，則坐標(biāo)變換公式是________________．【答案】eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x′＝\f(1,3)x,y′＝\f(1,2)y))【解析】設(shè)坐標(biāo)變換公式為eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x′＝kx，,y′＝hy，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(1,k)x′，,y＝\f(1,h)y′，))將其代入直線方程2x＋3y－1＝0，得eq\f(2,k)x′＋eq\f(3,h)y′－1＝0，將其與6x＋6y－1＝0比較，得k＝eq\f(1,3)，h＝eq\f(1,2).6．(2017年朔州校級(jí)期中)在伸縮變換φ：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x′＝2x，,y′＝\f(1,2)y))作用下，點(diǎn)P(1，－2)變換為P′的坐標(biāo)為_(kāi)_________．【答案】(2，－1)【解析】根據(jù)題意，點(diǎn)P(1，－2)，即x＝1，y＝－2，x′＝2x＝2，y′＝eq\f(1,2)y＝－1，故P′的坐標(biāo)為(2，－1)．7．已知平面直角坐標(biāo)系中三點(diǎn)A(2,0)，B(0,3)，C(0,0),經(jīng)過(guò)伸縮變換eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x′＝2x，,y′＝2y))后分別變?yōu)锳′，B′，C′，求△A′B′C′的面積．【解析】將A，B，C三點(diǎn)坐標(biāo)代入eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x′＝2x，,y′＝2y))得A′(4,0)，B′(0,6)，C′(0,0)，則S△A′B′C′＝eq\f(1,2)×4×6＝12.B．能力提升8．將圓x2＋y2＝4按向量a＝(－1,2)平移后再按坐標(biāo)變換公式eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x′＝\f(1,2)x，,y′＝\f(1,3)y))進(jìn)行伸縮變換，求伸縮變換后所得的方程．【解析】圓x2＋y2＝4按向量a＝(－1,2)平移后所得的方程為(x＋1)2＋(y－2)2＝4.設(shè)圓(x＋1)2＋(y－2)2＝4上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)為(x，y)，伸縮變換后對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為(x′，y′)，∵坐標(biāo)變換公式為eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x′＝\f(1,2)x，,y′＝\f(1,3)y，))①∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2x′，,y＝3y′.))②將②代入方程(x＋1)2＋(y－2)2＝4，得(2x′＋1)2＋(3y′－2)2＝4，化簡(jiǎn)，得eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x′＋\f(1,2)))2＋eq\f(\b\lc\(\rc\