高考排列組合知識(shí)點(diǎn)歸納

第四講擺列組合一、分類計(jì)數(shù)原理與分步計(jì)數(shù)原理：1、分類加法計(jì)數(shù)原理：達(dá)成一件事有兩類不一樣方案，在第1類方案中有m種不一樣的方法；在第2類方案中有n種不一樣的方法，那么完結(jié)這件事共有m+n種不一樣的方法。2、分步乘法計(jì)數(shù)原理：達(dá)成一件事需要兩個(gè)步驟，在第1步有m種不一樣的方法；在第2步有n種不一樣的方法，那么完結(jié)這件事共有mn種不一樣的方法。二、擺列數(shù)：1、組合：n中取m個(gè)，記作Cnm（1）Cnmn(n1)(n2)(nm1)m!（2）階乘：m!m(m1)(m2)21（3）CnmCnnm（4）Cn0Cnn12、擺列：（1）全擺列：將n個(gè)數(shù)全擺列，記Ann（2）Annn(n1)(n2)21（3）n中取m個(gè)，并將m個(gè)數(shù)全擺列：AnmCnmAmm三、二項(xiàng)式定理：(ab)nCn0anb0Cn1an1b1Cn2an2b2Cnna0bn1、二次項(xiàng)系數(shù)之和：Cn0Cn1Cn2Cnn2、睜開式的第r項(xiàng)：Tr1Cnr例題1：(x1)4的睜開式中的常數(shù)項(xiàng)是（）xA、6B、4C、-4D、-6例題2：在二項(xiàng)式(1x2y)5的睜開式中，含x2y3的項(xiàng)的系數(shù)是（）2A、-20B、-3C、6D、20★隨堂訓(xùn)練：1、在二項(xiàng)式(x21)5的睜開式中，含x4的項(xiàng)的系數(shù)是（）xA、-10B、10C、-5D、52、(12x2)5的睜開式中的常數(shù)項(xiàng)是（）xA、5B、-5C、10D、-103、在二項(xiàng)式

(x

3y)6的睜開式中，含

x2y4的項(xiàng)的系數(shù)是（

）A、45B、90C、135D、2704、已知對(duì)于x的二項(xiàng)式(xa)n的睜開式的二項(xiàng)式系數(shù)之和為32，常數(shù)項(xiàng)為80，3x則a的值為（）A、1B、1、、2C2D5、(12x)(13x)4的睜開式中，x2的系數(shù)等于。6、(ax21)5的睜開式中各項(xiàng)系數(shù)的和為243，則該睜開式中常數(shù)項(xiàng)為。x7、(x212)n睜開式中常數(shù)項(xiàng)是70，則n。x28、若(ax1)(2x1)5睜開式中常數(shù)項(xiàng)為-40，則a。xx四、擺列組合題型匯總（一）解決擺列組合綜合性問題的一般過程以下:1）仔細(xì)審題弄清要做什么事2）如何才能達(dá)成所要做的事,即采納分步仍是分類,或分步與分類同時(shí)進(jìn)行,確立分多少步及多少類。3）確立每一步或每一類是擺列問題(有序)仍是組合(無序)問題,元素總數(shù)是多少及拿出多少個(gè)元素.4）解決擺列組合綜合性問題，常常類與步交錯(cuò)，所以一定掌握一些常用的解題策略（二）題型操練：1、特別元素和特別地點(diǎn)優(yōu)先策略例1.由0,1,2,3,4,5能夠構(gòu)成多少個(gè)沒有重復(fù)數(shù)字五位奇數(shù).解:因?yàn)槟┪缓褪孜挥刑貏e要求,應(yīng)當(dāng)優(yōu)先安排,免得不合要求的元素占了這兩個(gè)地點(diǎn).先排末位共有C13而后排首位共有C41最后排其余地點(diǎn)共有A43C41A43C31由分步計(jì)數(shù)原理得C41C31A43288地點(diǎn)剖析法和元素剖析法是解決擺列組合問題最常用也是最基本的方法,若以元素剖析為主,需先安排特別元素,再辦理其余元素.若以地點(diǎn)剖析為主,需先知足特別地點(diǎn)的要求,再辦理其余地點(diǎn)。如有多個(gè)拘束條件，常常是考慮一個(gè)拘束條件的同時(shí)還要兼?zhèn)淦溆鄺l件習(xí)題:7種不一樣的花種在排成一列的花盆里,若兩種葵花不種在中間，也不種在兩頭的花盆里，問有多少不一樣的種法？2、相鄰元素捆綁策略例2.7人站成一排,此中甲乙相鄰且丙丁相鄰,共有多少種不一樣的排法.解：可先將甲乙兩元素捆綁成整體并當(dāng)作一個(gè)復(fù)合元素，同時(shí)丙丁也當(dāng)作一個(gè)復(fù)合元素，再與其余元素進(jìn)行擺列，同時(shí)對(duì)相鄰元素內(nèi)部進(jìn)行自排。由分步計(jì)數(shù)原理可得共有A55A22A22480種甲乙丙丁要求某幾個(gè)元素一定排在一同的問題,能夠用捆綁法來解決問題.馬上需要相鄰的元素歸并為一個(gè)元素,再與其余元素一同作擺列,同時(shí)要注意歸并元素內(nèi)部也一定擺列.練習(xí)題:某人射擊8槍，命中4槍，4槍命中恰巧有3槍連在一同的情況的不一樣種數(shù)為203、不相鄰問題插空策略例3.一個(gè)晚會(huì)的節(jié)目有4個(gè)舞蹈,2個(gè)相聲,3個(gè)獨(dú)唱,舞蹈節(jié)目不可以連續(xù)出場(chǎng),則節(jié)目的出場(chǎng)次序有多少種？解:分兩步進(jìn)行第一步排2個(gè)相聲和3個(gè)獨(dú)唱共有A55種，第二步將4舞蹈插入第一步排好的6個(gè)元素中間包括首尾兩個(gè)空位共有種A64不一樣的方法,由分步計(jì)數(shù)原理,節(jié)目的不一樣次序共有A55A64種元素相離問題可先把沒有地點(diǎn)要求的元素進(jìn)行排隊(duì)再把不相鄰元素插入中間練習(xí)題：某班新年聯(lián)歡會(huì)原定的5個(gè)節(jié)目已排成節(jié)目單，開演前又增添了兩個(gè)新節(jié)目

.假如將這兩個(gè)新節(jié)目插入原節(jié)目單中，且兩個(gè)新節(jié)目不相鄰，那么不一樣插法的種數(shù)為

304、定序問題倍縮空位插入策略例4.7人排隊(duì),此中甲乙丙3人次序必定共有多少不一樣的排法解:(倍縮法)對(duì)于某幾個(gè)元素次序必定的擺列問題,可先把這幾個(gè)元素與其余元素一同進(jìn)行擺列,而后用總擺列數(shù)除以這幾個(gè)元素之間的全擺列數(shù),則共有不一樣排法種數(shù)是：A77/A33(空位法)假想有7把椅子讓除甲乙丙之外的四人就坐共有A74種方法，其余的三個(gè)地點(diǎn)甲乙丙共有1種坐法，則共有A74種方法。思慮:能夠先讓甲乙丙就坐嗎?定序問題能夠用倍縮法，還可轉(zhuǎn)變?yōu)檎嘉痪毩?xí)題:10人身高各不相等

,排成前后排，每排

5人,要求從左至右身高漸漸增添，共有多少排法？5、重排問題求冪策略例5.把6名實(shí)習(xí)生疏派到7個(gè)車間實(shí)習(xí),共有多少種不一樣的分法解:達(dá)成此事共分六步

:把第一名實(shí)習(xí)生疏派到車間有

7種分法

.把第二名實(shí)習(xí)生疏派到車間也有

7種分依此類推

,由分步計(jì)數(shù)原理共有

76種不一樣的排法同意重復(fù)的擺列問題的特色是以元素為研究對(duì)象，元素不受地點(diǎn)的拘束，能夠逐個(gè)安排各個(gè)元素的地點(diǎn)，一般地n不一樣的元素沒有限制地安排在m個(gè)地點(diǎn)上的擺列數(shù)為mn種練習(xí)題：1．某班新年聯(lián)歡會(huì)原定的5個(gè)節(jié)目已排成節(jié)目單，開演前又增添了兩個(gè)新節(jié)目?jī)蓚€(gè)節(jié)目插入原節(jié)目單中，那么不一樣插法的種數(shù)為42

.假如將這某8層大樓一樓電梯上來8名乘客人,他們到各自的一層下電梯,下電梯的方法786、環(huán)排問題線排策略例6.8人圍桌而坐,共有多少種坐法?解：圍桌而坐與坐成一排的不一樣點(diǎn)在于，坐成圓形沒有首尾之分，所以固定一人A44并從此地點(diǎn)把圓形展成直線其余7人共有（8-1）！種排法即7！CDBEAABCDEFGHAFHG一般地,n個(gè)不一樣元素作圓形擺列,共有(n-1)!種排法.假如從n個(gè)不一樣元素中拿出m個(gè)元素1m作圓形擺列共有An練習(xí)題：6顆顏色不一樣的鉆石，可穿成幾種鉆石圈1207、多排問題直排策略例7.8人排成前后兩排,每排4人,此中甲乙在前排,丙在后排,共有多少排法解:8人排前后兩排,相當(dāng)于8人坐8把椅子,能夠把椅子排成一排.個(gè)特別元素有A42種,再排后4個(gè)地點(diǎn)上的特別元素丙有A14種,其余的5人在5個(gè)地點(diǎn)上隨意擺列有A55種,則共有A42A14A55種前排后排一般地,元素分紅多排的擺列問題,可歸納為一排考慮,再分段練習(xí)題：有兩排座位，前排11個(gè)座位，后排12個(gè)座位，現(xiàn)安排2人就座規(guī)定前排中間的3個(gè)座位不可以坐，而且這2人不左右相鄰，那么不一樣排法的種數(shù)是3468、元素同樣問題隔板策略例10.有10個(gè)運(yùn)動(dòng)員名額，分給7個(gè)班，每班起碼一個(gè),有多少種分派方案？解：因?yàn)?0個(gè)名額沒有差異，把它們排成一排。相鄰名額之間形成９個(gè)縫隙。在９個(gè)空檔中選６個(gè)地點(diǎn)插個(gè)隔板，可把名額分紅７份，對(duì)應(yīng)地分給７個(gè)班級(jí)，每一種插板方法對(duì)應(yīng)一種分法共有C96種分法。一二三四五六七班班班班班班班將n個(gè)同樣的元素分紅m份（n，m為正整數(shù)）,每份起碼一個(gè)元素,能夠用m-1塊隔板，插入n個(gè)元素排成一排的n-1個(gè)縫隙中，全部分法數(shù)為Cnm11練習(xí)題：1．10個(gè)同樣的球裝5個(gè)盒中,每盒起碼一有多少裝法？C942.xyzw100求這個(gè)方程組的自然數(shù)解的組數(shù)C10339、正難則反整體裁減策略例11.從0,1,2,3,4,5,6,7,8,9這十個(gè)數(shù)字中拿出三個(gè)數(shù)，使其和為不小于10的偶數(shù),不同的取法有多少種？解：這問題中假如直接求不小于10的偶數(shù)很困難,可用整體裁減法。這十個(gè)數(shù)字中有5個(gè)偶數(shù)5個(gè)奇數(shù),所取的三個(gè)數(shù)含有3個(gè)偶數(shù)的取法有C53,只含有1個(gè)偶數(shù)的取法有C51C52,和為偶數(shù)的取法共有C51C52C53。再裁減和小于10的偶數(shù)共9種，切合條件的取法共有C15C52C539有些擺列組合問題,正面直接考慮比較復(fù)雜,而它的反面常常比較簡(jiǎn)捷,能夠先求出它的反面,再?gòu)恼w中裁減.練習(xí)題：我們班里有43位同學(xué),從中任抽5人,正、副班長(zhǎng)、團(tuán)支部書記起碼有一人在內(nèi)的抽法有多少種

?10、均勻分組問題除法策略例

12.6

本不一樣的書均勻分紅

3堆,每堆

2本共有多少分法？解:

分三步取書得

C62C42C22種方法,但這里出現(xiàn)重復(fù)計(jì)數(shù)的現(xiàn)象

,不如記

6本書為ABCDEF，若第一步取

AB,第二步取

CD,第三步取

EF該分法記為

(AB,CD,EF),

則C62C42C22中還有(AB,EF,CD),(CD,AB,EF),(CD