2022-2023學(xué)年上海市閔行區(qū)閔行中學(xué)高一數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末考試模擬試題含解析

2022-2023學(xué)年高一下數(shù)學(xué)期末模擬試卷注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)在答題卡上。2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑，如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號(hào)?；卮鸱沁x擇題時(shí)，將答案寫(xiě)在答題卡上，寫(xiě)在本試卷上無(wú)效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1．若圓上至少有三個(gè)不同的點(diǎn)到直線(xiàn)的距離為，則直線(xiàn)的斜率的取值范圍是（）A． B．C． D．2．如圖是一個(gè)射擊靶的示意圖，其中每個(gè)圓環(huán)的寬度與中心圓的半徑相等.某人朝靶上任意射擊一次沒(méi)有脫靶，則其命中深色部分的概率為（）A． B． C． D．3．某型號(hào)汽車(chē)使用年限與年維修費(fèi)（單位：萬(wàn)元）的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如下表，由最小二乘法求得回歸方程．現(xiàn)發(fā)現(xiàn)表中有一個(gè)數(shù)據(jù)看不清，推測(cè)該數(shù)據(jù)的值為（）使用年限維修費(fèi)A． B．C． D．4．有四個(gè)游戲盤(pán)，將它們水平放穩(wěn)后，在上面扔一顆玻璃小球，若小球落在陰影部分則可中獎(jiǎng)，小明要想增加中獎(jiǎng)機(jī)會(huì)，應(yīng)選擇的游戲盤(pán)是A． B． C． D．5．已知，則的值等于()A． B． C． D．6．如圖，在中，面，，是的中點(diǎn)，則圖中直角三角形的個(gè)數(shù)是（）A．5 B．6 C．7 D．87．一條直線(xiàn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)，并且它的傾斜角等于直線(xiàn)傾斜角的2倍，則這條直線(xiàn)的方程是()A． B．C． D．8．已知，其中，若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值可能是（）A． B． C． D．9．在中，若，，，則等于（）A．3 B．4 C．5 D．610．已知，，且，則實(shí)數(shù)等于（）A．-1 B．-9 C．3 D．9二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．設(shè)，向量，，若，則__________．12．已知函數(shù)，若，則__________．13．函數(shù)f（x）＝2cos（x）﹣1的對(duì)稱(chēng)軸為_(kāi)____，最小值為_(kāi)____．14．如圖，在B處觀(guān)測(cè)到一貨船在北偏西方向上距離B點(diǎn)1千米的A處，碼頭C位于B的正東千米處，該貨船先由A朝著C碼頭C勻速行駛了5分鐘到達(dá)C，又沿著與AC垂直的方向以同樣的速度勻速行駛5分鐘后到達(dá)點(diǎn)D，此時(shí)該貨船到點(diǎn)B的距離是________千米.15．設(shè)等比數(shù)列的首項(xiàng)為，公比為，所有項(xiàng)和為1，則首項(xiàng)的取值范圍是____________.16．已知，，則________．三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．已知三角形ABC的頂點(diǎn)為，，，M為AB的中點(diǎn)．（1）求CM所在直線(xiàn)的方程；（2）求的面積．18．在平面直角坐標(biāo)系中，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，向量若C是AB所在直線(xiàn)上一點(diǎn)，且，求C的坐標(biāo)．若，當(dāng)，求的值．19．在平面直角坐標(biāo)系中，直線(xiàn)，.(1)直線(xiàn)是否過(guò)定點(diǎn)？若過(guò)定點(diǎn)，求出該定點(diǎn)坐標(biāo)，若不過(guò)定點(diǎn)，請(qǐng)說(shuō)明理由;(2)已知點(diǎn)，若直線(xiàn)上存在點(diǎn)滿(mǎn)足條件，求實(shí)數(shù)的取值范圍.20．已知是等差數(shù)列，滿(mǎn)足，，且數(shù)列的前n項(xiàng)和.（1）求數(shù)列和的通項(xiàng)公式；（2）令，數(shù)列的前n項(xiàng)和為，求證:.21．如圖，在三棱柱中，平面平面，，，為棱的中點(diǎn).(1)證明:；(2)求點(diǎn)到平面的距離.

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1、C【解析】

作出圖形，設(shè)圓心到直線(xiàn)的距離為，利用數(shù)形結(jié)合思想可知，并設(shè)直線(xiàn)的方程為，利用點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式可得出關(guān)于的不等式，解出即可.【詳解】如下圖所示：設(shè)直線(xiàn)的斜率為，則直線(xiàn)的方程可表示為，即，圓心為，半徑為，由于圓上至少有三個(gè)不同的點(diǎn)到直線(xiàn)的距離為，所以，即，即，整理得，解得，因此，直線(xiàn)的斜率的取值范圍是.故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查直線(xiàn)與圓的綜合問(wèn)題，解題的關(guān)鍵就是確定圓心到直線(xiàn)距離所滿(mǎn)足的不等式，并結(jié)合點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式來(lái)求解，考查數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，屬于中等題.2、D【解析】

分別求出大圓面積和深色部分面積即可得解.【詳解】設(shè)中心圓的半徑為，所以中心圓的面積為，8環(huán)面積為，射擊靶的面積為，所以命中深色部分的概率為.故選：D【點(diǎn)睛】此題考查幾何概型，屬于面積型，關(guān)鍵在于準(zhǔn)確求解面積，根據(jù)圓環(huán)特征分別求出面積即可得解.3、C【解析】

設(shè)所求數(shù)據(jù)為，計(jì)算出和，然后將點(diǎn)代入回歸直線(xiàn)方程可求出的值.【詳解】設(shè)所求數(shù)據(jù)為，則，，由于回歸直線(xiàn)過(guò)樣本的中心點(diǎn)，則有，解得，故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查利用回歸直線(xiàn)計(jì)算原始數(shù)據(jù)，解題時(shí)要充分利用“回歸直線(xiàn)過(guò)樣本中心點(diǎn)”這一結(jié)論的應(yīng)用，考查運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.4、A【解析】由幾何概型公式：A中的概率為，B中的概率為，C中的概率為，D中的概率為．本題選擇A選項(xiàng).點(diǎn)睛：解答幾何概型問(wèn)題的關(guān)鍵在于弄清題中的考察對(duì)象和對(duì)象的活動(dòng)范圍．當(dāng)考察對(duì)象為點(diǎn)，點(diǎn)的活動(dòng)范圍在線(xiàn)段上時(shí)，用線(xiàn)段長(zhǎng)度比計(jì)算；當(dāng)考察對(duì)象為線(xiàn)時(shí)，一般用角度比計(jì)算，即當(dāng)半徑一定時(shí)，由于弧長(zhǎng)之比等于其所對(duì)應(yīng)的圓心角的度數(shù)之比，所以角度之比實(shí)際上是所對(duì)的弧長(zhǎng)(曲線(xiàn)長(zhǎng))之比．5、D【解析】，所以，則，故選擇D.6、C【解析】試題分析：因?yàn)槊?，所以，則三角形為直角三角形，因?yàn)?，所以，所以三角形是直角三角形，易證，所以面，即，則三角形為直角三角形，即共有7個(gè)直角三角形；故選C．考點(diǎn)：空間中垂直關(guān)系的轉(zhuǎn)化．7、B【解析】

先求出直線(xiàn)的傾斜角，進(jìn)而得出所求直線(xiàn)的傾斜角和斜率，再根據(jù)點(diǎn)斜式寫(xiě)直線(xiàn)的方程.【詳解】已知直線(xiàn)的斜率為，則傾斜角為，故所求直線(xiàn)的傾斜角為，斜率為，由直線(xiàn)的點(diǎn)斜式得，即。故選B.【點(diǎn)睛】本題考查直線(xiàn)的性質(zhì)與方程，屬于基礎(chǔ)題.8、D【解析】

求出函數(shù)，令，，根據(jù)不等式求解，即可得到可能的取值.【詳解】由題：，其中，令，，若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有零點(diǎn)，則有解，解得：當(dāng)當(dāng)當(dāng)結(jié)合四個(gè)選項(xiàng)可以分析，實(shí)數(shù)的取值可能是.故選：D【點(diǎn)睛】此題考查根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)求參數(shù)的取值范圍，需要熟練掌握三角函數(shù)的圖像性質(zhì)，求出函數(shù)零點(diǎn)再討論其所在區(qū)間列不等式求解.9、D【解析】

直接運(yùn)用正弦定理求解即可.【詳解】由正弦定理可知中：，故本題選D.【點(diǎn)睛】本題考查了正弦定理的應(yīng)用，考查了數(shù)學(xué)運(yùn)算能力.10、C【解析】

由可知,再利用坐標(biāo)公式求解.【詳解】因?yàn)?,且,所以,即,解得,故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查向量的坐標(biāo)運(yùn)算,解題關(guān)鍵是明確.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解析】從題設(shè)可得，即，應(yīng)填答案．12、【解析】

由三角函數(shù)的輔助角公式化簡(jiǎn)，關(guān)鍵需得出輔助角的正切值，再由函數(shù)的最大值求解.【詳解】由三角函數(shù)的輔助公式得（其中），因?yàn)樗?，所以，所以，，所以，故填：【點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)的輔助角公式，屬于基礎(chǔ)題.13、﹣3【解析】

利用余弦函數(shù)的圖象的對(duì)稱(chēng)性，余弦函數(shù)的最值，求得結(jié)論．【詳解】解：對(duì)于函數(shù)，令，求得，根據(jù)余弦函數(shù)的值域可得函數(shù)的最小值為，故答案為：；．【點(diǎn)睛】本題主要考查余弦函數(shù)的圖象的對(duì)稱(chēng)性，余弦函數(shù)的最值，屬于基礎(chǔ)題．14、3【解析】

先在中，由余弦定理算出和，然后在中由余弦定理即可求出.【詳解】由題意可得，在中，所以由余弦定理得：即，所以因?yàn)樗运运栽谥杏校杭垂蚀鸢笧椋?【點(diǎn)睛】本題考查三角形的解法，余弦定理的應(yīng)用，是基本知識(shí)的考查．15、【解析】

由題意可得得且，可得首項(xiàng)的取值范圍.【詳解】解：由題意得：，，故答案為：.【點(diǎn)睛】本題主要考查等比數(shù)列前n項(xiàng)的和、數(shù)列極限的運(yùn)算，屬于中檔題.16、【解析】

由二倍角求得α，則tanα可求．【詳解】由sin2α=sinα，得2sinαcosα=sinα，∵,∴sinα≠0,則,即.∴.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)的恒等變換及化簡(jiǎn)求值，考查公式的靈活應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）（2）【解析】

（1）先求出點(diǎn)M的坐標(biāo)，再寫(xiě)出直線(xiàn)的兩點(diǎn)式方程化簡(jiǎn)即得解；（2）求出和點(diǎn)A到直線(xiàn)CM的距離即得解.【詳解】（1）AB中點(diǎn)M的坐標(biāo)是，所以中線(xiàn)CM所在直線(xiàn)的方程是，即．（2），因?yàn)橹本€(xiàn)CM的方程是，所以點(diǎn)A到直線(xiàn)CM的距離是，又，所以．【點(diǎn)睛】本題主要考查直線(xiàn)方程的求法，考查兩點(diǎn)間的距離的計(jì)算和點(diǎn)到直線(xiàn)的距離的計(jì)算，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平.18、（1）；（2）或1【解析】

由向量共線(xiàn)的坐標(biāo)運(yùn)算得：設(shè)，可得，又因?yàn)?，，?由題意結(jié)合向量加減法與數(shù)量積的運(yùn)算化簡(jiǎn)得，所以，運(yùn)算可得解.【詳解】，因?yàn)镃是AB所在直線(xiàn)上一點(diǎn)，設(shè)，可得，又因?yàn)?，所以，解得，所以，故答案為且，顯然，所以，，又所以，即，所以，所以即，解得：或，故答案為或1．【點(diǎn)睛】本題考查了向量共線(xiàn)的坐標(biāo)運(yùn)算及平面向量數(shù)量積的運(yùn)算，屬于中檔題．19、（1）過(guò)定點(diǎn)，定點(diǎn)坐標(biāo)為；（2）或.【解析】

(1)假設(shè)直線(xiàn)過(guò)定點(diǎn)，則關(guān)于恒成立，利用即可結(jié)果；(2)直線(xiàn)上存在點(diǎn),求得,故點(diǎn)在以為圓心，2為半徑的圓上，根據(jù)題意，該圓和直線(xiàn)有交點(diǎn)，即圓心到直線(xiàn)的距離小于或等于半徑，由此求得實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】（1）假設(shè)直線(xiàn)過(guò)定點(diǎn)，則，即關(guān)于恒成立，∴，∴，所以直線(xiàn)過(guò)定點(diǎn)，定點(diǎn)坐標(biāo)為（2）已知點(diǎn),，設(shè)點(diǎn)，則，，∵,∴,∴所以點(diǎn)的軌跡方程為圓，又點(diǎn)在直線(xiàn)：上，所以直線(xiàn)：與圓有公共點(diǎn)，設(shè)圓心到直線(xiàn)的距離為，則，解得實(shí)數(shù)的范圍為或.【點(diǎn)睛】本題主要考查直線(xiàn)過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題以及直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系，屬于中檔題.解答直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系的題型，常見(jiàn)思路有兩個(gè)：一是考慮圓心到直線(xiàn)的距離與半徑之間的大小關(guān)系；二是直線(xiàn)方程與圓的方程聯(lián)立，考慮運(yùn)用韋達(dá)定理以及判別式來(lái)解答.20、（1），（2）證明見(jiàn)解析【解析】

（1）計(jì)算，得到，再計(jì)算的通項(xiàng)公式得到答案.（2），利用裂項(xiàng)求和得到得到證明.【詳解】（1），，.，.是等差數(shù)列，所以，所以.當(dāng)時(shí)，，又，所以，當(dāng)時(shí)，，符合，所以的通項(xiàng)公式是.（2）.所以，即.【點(diǎn)睛】本題考查了數(shù)列的通項(xiàng)公式，裂項(xiàng)求和，意在考查學(xué)生對(duì)于數(shù)列公式方法的靈活運(yùn)用.21、(1)見(jiàn)解析；(2)【解析】

（1）作為棱的中點(diǎn)，連結(jié)，，通過(guò)證明平面可得.（2）