福建船政職院航海數(shù)學(xué)教案

授課教案第頁(yè)課程：航海數(shù)學(xué)學(xué)年第_一_學(xué)期第周月日教學(xué)內(nèi)容備注PAGE74PAGE第一章函數(shù)、極限與連續(xù)1.1函數(shù)概念一、新課引入函數(shù)是航海數(shù)學(xué)研究的主要對(duì)象，極限概念是微積分學(xué)的理論基礎(chǔ)，本章將介紹函數(shù)、極限和函數(shù)連續(xù)性等基本概念，以及它們的一些性質(zhì)，這些內(nèi)容是學(xué)習(xí)本課程必須掌握好的基礎(chǔ)知識(shí).二、講授新課1．基本初等函數(shù)我們把冪函數(shù)（為實(shí)數(shù)），指數(shù)函數(shù)且，對(duì)數(shù)函數(shù)且，三角函數(shù)和反三角函數(shù)統(tǒng)稱為基本初等函數(shù).其中三角函數(shù)為六個(gè)函數(shù)：；；；；；.反三角函數(shù)為四個(gè)函數(shù)：；；；.（1）冪函數(shù)它的定義域和值域依的取值不同而函數(shù)在內(nèi)總有定不同，但是無論取何值，冪函數(shù)在內(nèi)總有定義.當(dāng)或時(shí)，定義域?yàn)?常見的冪函數(shù)的圖形如圖1-1所示.圖1-2圖1-1圖1-2圖1-1（2）指數(shù)函數(shù)，它的定義域?yàn)?，值域?yàn)?指數(shù)函數(shù)的圖形如圖1-2所示．（3）對(duì)數(shù)函數(shù)圖1-3，圖1-3定義域?yàn)椋涤驗(yàn)?對(duì)數(shù)函數(shù)是指數(shù)函數(shù)的反函數(shù).其圖形見圖1-3.在工程中，常以無理數(shù)e＝2.718281828…，作且記為指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)的底，記，，而后者稱為自然對(duì)數(shù)函數(shù).（4）三角函數(shù)三角函數(shù)有：正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、正切函數(shù)、余切函數(shù)、正割函數(shù)和余割函數(shù).其中正弦、余弦、正切和余切函數(shù)的圖形見圖1-4所示.圖1-4圖1-4圖1-5（5）反三角函數(shù)圖1-5反三角函數(shù)主要包括反正弦函數(shù)、反余弦函數(shù)、反正切函數(shù)和反余切函數(shù)等．它們的圖形如圖1-5所示.2．復(fù)合函數(shù)如果是的函數(shù)，是的函數(shù)，表示使得函數(shù)和都有定義的值的集合，當(dāng)變量任取中的一個(gè)數(shù)時(shí)都有唯一確定的與之對(duì)應(yīng)，我們則稱是的復(fù)合函數(shù)，記作，其中稱為自變量，稱為中間變量．若復(fù)合函數(shù)是由多個(gè)函數(shù)復(fù)合而成，則中間變量可用變量，，，，等表示．注意：函數(shù)的值域應(yīng)在函數(shù)的定義域內(nèi)，否則就沒有意義.例如和等是復(fù)合函數(shù)；而則沒有意義.例1指出函數(shù)的復(fù)合過程．解復(fù)合過程為，u=sin(v)，v=2x+1．例2指出函數(shù)的復(fù)合過程．解復(fù)合過程為，，，．3．初等函數(shù)由基本初等函數(shù)和常數(shù)經(jīng)過有限次的四則運(yùn)算或經(jīng)過有限次的復(fù)合步驟所構(gòu)成的，并且可用一個(gè)解析式子表示的函數(shù)叫做初等函數(shù)．例如，，，，，等都是初等函數(shù).不難發(fā)現(xiàn)，我們過去所見到的函數(shù)一般都是初等函數(shù).4．分段函數(shù)有些函數(shù)雖然也可以用解析式表示，但不能用一個(gè)解析式表示，在定義域的不同范圍具有不同的解析式，這樣的函數(shù)稱為分段函數(shù).例如，，等都是分段函數(shù).1.2函數(shù)極限1.當(dāng)時(shí)的極限當(dāng)時(shí),函數(shù)的極限.考察函數(shù)的圖形，容易發(fā)現(xiàn)不論都有.這樣我們稱該函數(shù)當(dāng)時(shí)的極限為0（或收斂于0），記作=0或=0.一般的，當(dāng)時(shí)，→A（常數(shù)），則稱當(dāng)時(shí)的極限為A，記為.否則，則稱的極限不存在.當(dāng)時(shí)的極限記為；當(dāng)時(shí)的極限記為.極限存在的充分必要條件是和存在且相等.例1，，但，所以不存在.例2，.2.當(dāng)時(shí)的極限例4考察當(dāng)時(shí)，函數(shù)列表觀察從左側(cè)→←從右側(cè)0.490.4990.49990.50.50010.5010.511.981.9981.999822.00022.0022.02從表中可以看出當(dāng)（無論從左側(cè)或從右側(cè)趨于0.5）時(shí)，函數(shù)的值總是趨于2.這樣我們則稱當(dāng)時(shí)，函數(shù)的極限為2，記為.一般的，當(dāng)時(shí)，A（常數(shù)），則稱當(dāng)時(shí)的極限為A，記為.若是從左側(cè)趨于（記為）時(shí)的極限為A，則稱當(dāng)時(shí)的左極限為A，記為；若是從右側(cè)趨于（記為）時(shí)的極限為A，則稱當(dāng)時(shí)的右極限為A，記為.極限存在的充分必要條件是和存在且相等.要清楚地認(rèn)識(shí)例3觀察說明.到何時(shí)用左右極注意到函數(shù)在點(diǎn)處沒意義，而當(dāng)時(shí)，函數(shù)的值的變化趨勢(shì)卻是2.限，何時(shí)不要用.這說明當(dāng)時(shí)，函數(shù)的極限與函數(shù)在處有沒有定義無關(guān)；反之，有定義也未必有極限.又如在有定義，但由于，，即左右極限不相等，所以當(dāng)時(shí)的極限不存在.判斷分段函數(shù)在其定義域交界點(diǎn)處的極限是否存在時(shí)，需要考察其左右極限的情況.例4函數(shù)，判別函數(shù)當(dāng)，，時(shí)極限的存在性，若存在則求之.解（1）由于，，所以不存在；（2）由于，，所以；（3）.課堂小結(jié)1.應(yīng)該熟記六種基本初等函數(shù)的性態(tài)，同時(shí)學(xué)習(xí)了復(fù)合函數(shù)與初等函數(shù)的概念，在微積分運(yùn)算中，常把一個(gè)初等函數(shù)分解為基本初等函數(shù)來研究；2.了解極限的定義，會(huì)求函數(shù)在一點(diǎn)處的極限、左右極限及極限存在的充要條件.作業(yè)：P21（2）（3）；P52；3.1.3極限運(yùn)算法則一、復(fù)習(xí)提問1.復(fù)合函數(shù)復(fù)合過程；2.兩種情形的函數(shù)極限的概念；3.函數(shù)極限的兩條性質(zhì)；4.左右極限的概念，左右極限存在與極限存在的關(guān)系.二、講授新課前面我們學(xué)習(xí)了極限的定義，極限的定義能夠證明或驗(yàn)證極限，但不是求極限的方法.為了求出比較復(fù)雜的函數(shù)的極限，需要用到極限的運(yùn)算法則.1.極限的運(yùn)算法則若與，則有（1）.注：此公式僅適用于有限項(xiàng)，否則不成立.如.（2）.特殊地有（c為常數(shù)）.（3）=（）.以上運(yùn)算法則對(duì)也成立.注意法則成立的前提是，存在，若前提條件不滿足，則法則失效.如.2．舉例例1求；例2求.我們把分子和分母都趨于0的極限形式地稱為型.求型極限的一般方法是分子分母同時(shí)約去使分母為0的式子.例3求；例4求，例5求.我們把分子和分母都趨于的極限形式地稱為型.求型極限的一般方法是將分式約簡(jiǎn)或分子分母同除以的最高次冪或除以某個(gè)以為極限的函數(shù)式等.例6求.解原式.此例基于結(jié)論：若，則.例7求）；例8求；例9求.3.極限的運(yùn)算方法小結(jié)除了和型以外還有型等形式的極限，一般可以通過通分等方法轉(zhuǎn)化為或型的極限來求.常用的方法有：因式分解法；提取公因式法；分子或分母有理化法.把、、來確定極限值.作業(yè)：P81（4）（7）；2（2）；（4）（10）（11）.1.4兩個(gè)重要極限一、復(fù)習(xí)提問1.極限四則運(yùn)算法則；2.極限運(yùn)算的方法.二、講授新課本節(jié)討論兩個(gè)重要極限：和.1、第一個(gè)重要極限．下表列出了當(dāng)x取接近0的數(shù)時(shí)函數(shù)的一些函數(shù)值.x10.50.10.010.841470.958850.998330.99998從表可以看出，當(dāng)時(shí)，函數(shù).即，也可以寫成.例1求．解原式=3.（令）例2求．解原．例3求．解原式．例4求.解原式.例5求.解原式.2、第二個(gè)重要極限或．表列出了當(dāng)x取接近0的數(shù)時(shí)函數(shù)的一些函數(shù)值.表1.4.2x2101001000100002.2502.5942.7052.7172.718從表1.4.2可以看出，當(dāng)時(shí)，函數(shù)；即或，其中.和第一個(gè)重要極限相類似，公式可以寫成；公式可以寫成.例6求．解原式．例7求．解原式.例8求．解原式.例9求．解原式.3.課堂小結(jié)本節(jié)講述了兩個(gè)極限的收斂準(zhǔn)則，兩個(gè)重要極限及利用兩個(gè)重要極限求限的方法.1.在第一個(gè)重要極限的特點(diǎn)：（1）；（2）形式必須一致，即中的三個(gè)應(yīng)該是一樣的.（要注意sin符號(hào)后面的內(nèi)容）2.在第二個(gè)重要極限的特點(diǎn)：（1）是型；（2）形式必須一致，即中的三個(gè)應(yīng)該是一樣的.3.在利用兩個(gè)重要極限求極限時(shí)特別要注意變量的變化過程，從而根據(jù)它配成重要極限的形式.作業(yè)：P111（3）（5）（7）；2（2）（4）（8）.1.5無窮大與無窮小一、復(fù)習(xí)提問1.兩個(gè)重要極限；2.如何利用兩個(gè)重要極限解題.二、講授新課1.無窮小與無窮大的概念例如=0，=0，=0，等等，都屬于一種類型的極限，即當(dāng)（或）時(shí)，其極限都是0.定義1：若，則稱為當(dāng)時(shí)的無窮小量（簡(jiǎn)稱無窮?。?，記為當(dāng)時(shí)，=.若，則稱為當(dāng)時(shí)的無窮大量（簡(jiǎn)稱無窮大）.注：（1）說某個(gè)變量是無窮大或無窮小，一定要指出的趨向.（2）無窮大“”不是一個(gè)數(shù)而是一個(gè)符號(hào)，表示絕對(duì)值無限大的一個(gè)變量；無窮小是表示以0為極限的變量，常數(shù)中只有0才是無窮小.2.無窮大和無窮小有下面性質(zhì)：1）在自變量的同一變化過程中，若f(x)是無窮大，則是無窮??；反之，若()是無窮小，則是無窮大.例1求.解因?yàn)椋?2）有限個(gè)無窮小的和仍是無窮小.注：若是無窮多個(gè)無窮小則不然，如.3）有界函數(shù)與無窮小之積仍是無窮小.（常數(shù)與無窮小之積仍是無窮?。├?求極限：(1)，(2).解（1）由于，而，所以；（2）由于，而，所以.4）有限個(gè)無窮小的積仍是無窮小.3.無窮小階的比較觀察，當(dāng)時(shí)，比較，，三個(gè)函數(shù)值的變化情況.10.50.10.010.001…210.20.020.002…10.250.010.00010.000001…20.750.110.01010.001001…從表中可看出當(dāng)時(shí)，與趨于0的“速度”可認(rèn)為是“幾乎相當(dāng)”，而比與趨于0的“速度”就“快”得多.如何用數(shù)學(xué)的形式來刻畫這種趨于0的“速度”的“快慢”呢？注意到：0（分子比分母趨于0的“速度”快）0（分子比分母趨于0的“速度”快）（分子與分母趨于0的“速度”“幾乎相當(dāng)”）又（此時(shí)可以認(rèn)為分子與分母趨于0的“速度”“相當(dāng)”）.一般的,設(shè)，是同一極限過程中的兩個(gè)無窮小，1）若，則稱是比高階的無窮?。幢融呌?的“速度”快），也可以稱是比低階的無窮??；2）若（c為非零常數(shù)），則稱與是同階的無窮?。磁c趨于0的“速度”“幾乎相當(dāng)”）；特殊地，若，則稱與是等價(jià)的無窮?。磁c趨于0的“速度”“相當(dāng)”），記為～.例3比較時(shí)，無窮小與的階.解，所以無窮小與是等價(jià).在求無窮小商的極限時(shí)，可以用等價(jià)的無窮小代替以簡(jiǎn)化計(jì)算.可以證明，當(dāng)時(shí)，有下列各組等價(jià)無窮小：～，～，～，～，～，～，～.例4求解當(dāng)時(shí)，.所以==.例5求.解==1.例6求.解==.注意：函數(shù)應(yīng)為乘積形式時(shí)才可以用無窮小替換，若是和差形式是不能用的.如例6，一開始就由～，～，對(duì)原式作無窮小替換，則導(dǎo)致的錯(cuò)誤.三、課堂練習(xí)求下列函數(shù)的極限：（1）；（2）；(3)；(4)(5)(6)四、課堂小結(jié)本節(jié)講述了無窮小與無窮大的定義，介紹了無窮小量的性質(zhì)及無窮小量與無窮大量的關(guān)系，特別要注意的是無窮小量的性質(zhì)1即無窮小量與有界函數(shù)的乘積為無窮小量，這也是求極限的方法之一。本節(jié)還介紹了無窮小的階，其中等價(jià)無窮小尤為重要；利用等價(jià)無窮小替換求極限是我們?cè)谇髽O限中常用的方法.作業(yè)P132（2）（4）（6）（8）.1.6函數(shù)的連續(xù)性一、復(fù)習(xí)提問無窮小的概念與性質(zhì)；無窮大的概念與性質(zhì)；無窮小的比較.二、講授新課客觀世界中廣泛存在著一種連續(xù)變化的現(xiàn)象，例如氣溫的連續(xù)變化，液體的連續(xù)流動(dòng)，路程的連續(xù)增加等，這就是我們對(duì)連續(xù)變化的現(xiàn)象有了感性認(rèn)識(shí)，這節(jié)課我們就研究連續(xù)函數(shù)的有關(guān)概念.為了刻畫說明函數(shù)的連續(xù)性，我們先引入改變量（亦稱增量）的概念.1．改變量①以下的△稱為自變量從變到的改變量，記為△=.由點(diǎn)變到：→（起點(diǎn)）→（終點(diǎn)）△＞0；由點(diǎn)變到：←（終點(diǎn)）←（起點(diǎn)）△＜0.②以下的△稱為函數(shù)從變到的改變量，即△=.（終值）（初值）由點(diǎn)變到：△＞0o→0由點(diǎn)變到：←△＜0當(dāng)△→0（即→）時(shí)，若△→0(即→），通俗地說，即當(dāng)趨于時(shí)，的值也“同步平穩(wěn)”地到達(dá)，那么從圖象上觀察函數(shù)在點(diǎn)會(huì)有什么樣的性態(tài)呢？不難發(fā)現(xiàn)這正好刻畫了在點(diǎn)是連續(xù)的這個(gè)事實(shí).2．函數(shù)在點(diǎn)處連續(xù)（1）若在點(diǎn)的近旁有定義，且，則稱在點(diǎn)處連續(xù).可以看出，函數(shù)在點(diǎn)連續(xù)可分三個(gè)層面上的條件：（1）在點(diǎn)的近旁有定義；（2）存在；（3）=.例1證明函數(shù)=在=0點(diǎn)處是連續(xù)的.證顯然在=0點(diǎn)處有定義，且，由于，；故有.所以在=0點(diǎn)處是連續(xù)的.例2試確定函數(shù)=在=0點(diǎn)處的連續(xù)性.解顯然在=0點(diǎn)處有定義，且，.所以在=0點(diǎn)處是連續(xù)的.以上三個(gè)條件缺一條則函數(shù)f(x)在點(diǎn)x=處就不連續(xù).我們稱不連續(xù)的點(diǎn)為函數(shù)f(x)的間斷點(diǎn).（2）間斷點(diǎn)大致可分兩類,一類是極限存在，可以通過補(bǔ)充或改變函數(shù)在某點(diǎn)的定義使之連續(xù)，這類間斷點(diǎn)稱為可去間斷點(diǎn)；另一類是極限不存在.稱這類間斷點(diǎn)為不可去間斷點(diǎn).例如1：當(dāng)x=1是函數(shù)的間斷點(diǎn)，但=2存在.間斷的原因只是函數(shù)在沒有定義，我們只要補(bǔ)充函數(shù)在的定義，，則函數(shù)在就連續(xù)了.如圖1.圖1圖2例如2：當(dāng)是函數(shù)的間斷點(diǎn)，但存在.間斷的原因只是函數(shù)不滿足連續(xù)的條件（3），我們只要補(bǔ)充函數(shù)在的定義，則函數(shù)在就連續(xù)了，如圖2.從上面的例可以看出，當(dāng)極限存在時(shí)的間斷點(diǎn)的性質(zhì)僅是一點(diǎn)的問題，我們可

圖3以通過補(bǔ)充或改變函數(shù)在某點(diǎn)的定義使之連續(xù)，但當(dāng)極限不存在時(shí)間斷點(diǎn)的性質(zhì)則不同.

圖3例如3：函數(shù)在有定義，但由于不存在，故在x=1不連續(xù)（圖3）.此例中的間斷的原因是不存在，從而導(dǎo)致“斷裂”的產(chǎn)生如圖3.3.初等函數(shù)的連續(xù)性（1）函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)若在內(nèi)點(diǎn)點(diǎn)連續(xù)，稱在內(nèi)連續(xù).若在內(nèi)連續(xù)，且有和，則稱在上連續(xù).例1求函數(shù)=的間斷點(diǎn)和連續(xù)區(qū)間.解令，得.所以，函數(shù)的連續(xù)區(qū)間是.易知在無定義點(diǎn)，間斷，除此以外還有沒有其它的間斷點(diǎn)？一般地，結(jié)合極限的運(yùn)算法則可得這樣的結(jié)論：初等函數(shù)在其定義域內(nèi)均是連續(xù)的.即初等函數(shù)的連續(xù)區(qū)間等價(jià)于定義區(qū)間.例2已知函數(shù)=，試求的連續(xù)區(qū)間.解由于，，所以不存在，函數(shù)在點(diǎn)間斷，而除點(diǎn)以外在每段中都有定義，從而都是連續(xù)的.因此，函數(shù)的連續(xù)區(qū)間是.（2）利用函數(shù)的連續(xù)性求極限對(duì)于連續(xù)函數(shù)，求極限亦即求函數(shù)f(x)在點(diǎn)x=的函數(shù)值問題..即求連續(xù)函數(shù)的極限，可轉(zhuǎn)化為計(jì)算f(x)的函數(shù)值，這就大大降低了求函數(shù)的極限的難度.如.（3）復(fù)合函數(shù)的極限運(yùn)算法則設(shè)復(fù)合函數(shù)滿足，且函數(shù)在處連續(xù)，則.即在y=f(u)和都連續(xù)的情況下，求復(fù)合函數(shù)的極限時(shí)，極限符號(hào)與函數(shù)符號(hào)f可以交換次序.例5求.解===.4.閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的主要性質(zhì)（1）最值性：若在閉區(qū)間上連續(xù)，則必存在最大值M和最小值m.（2）介值性：若在閉區(qū)間上連續(xù)，則對(duì)于介于M與m之間的任意的值C，至少存在一個(gè)點(diǎn)，使=C.如圖1.6.4所示.（3）零點(diǎn)性：如果在閉區(qū)間上，有，則=0在內(nèi)至少有一個(gè)實(shí)根.如圖5所示.圖4圖5例6證明方程在內(nèi)至少有一個(gè)實(shí)根.證設(shè)=，顯然在上連續(xù)，且，，即.由零點(diǎn)性質(zhì)，在內(nèi)至少有一個(gè)實(shí)根.三、課堂練習(xí)證明方程在區(qū)間（1，2）內(nèi)有實(shí)根.四、課堂小結(jié)1．改變量（增量）有正負(fù).2．函數(shù)的點(diǎn)連續(xù)：.3．初等函數(shù)的連續(xù)性：（1）求初等函數(shù)的連續(xù)區(qū)間就是求這個(gè)的定義域；（2）求初等函數(shù)的間斷點(diǎn)，就是求使函數(shù)無意義的點(diǎn)；（3）求初等函數(shù)在定義域內(nèi)點(diǎn)的極限值，就是求函數(shù)在該點(diǎn)的函數(shù)值.4．閉區(qū)間連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)：（1）最值性；（2）介值性；（3）零點(diǎn)性（根的存在性）.作業(yè)P173；4（3）（5）；5；6.

第二章導(dǎo)數(shù)與微分2.1導(dǎo)數(shù)的概念教學(xué)內(nèi)容：導(dǎo)數(shù)反映了函數(shù)相對(duì)于自變量變化而變化的快慢程度，即函數(shù)的變化率，它使得人們能夠用數(shù)學(xué)工具描述事物變化的快慢及解決一系列與之相關(guān)的問題.一、復(fù)習(xí)引入：1、函數(shù)的連續(xù)性；2、物理學(xué)上速度路程時(shí)間三者之間的關(guān)系：，當(dāng)時(shí)，，平均速度.勻速：平均速度等于瞬時(shí)速度；變速：時(shí)間間隔短表示在的瞬時(shí)速度，但還不夠精確.為了表示瞬時(shí)速度，我們令，即，.3、曲線上有個(gè)定點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)，過這兩個(gè)點(diǎn)的直線的斜率為：(畫圖來進(jìn)行說明)，過定點(diǎn)的切線斜率為：.二、新課講授：變速直線運(yùn)動(dòng)的瞬時(shí)速度是物理問題，曲線切線的斜率是幾何問題，但是它們都可以歸結(jié)為如下形式的極限：，求增量比的極限，我們把它定義為函數(shù)的導(dǎo)數(shù).1、導(dǎo)數(shù)的概念設(shè)函數(shù)在點(diǎn)的某個(gè)鄰域內(nèi)有定義，若極限存在，則此極限解釋一下鄰域的稱為函數(shù)在點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)（也稱在點(diǎn)處可導(dǎo)，否則在點(diǎn)處不可導(dǎo)）.概念.記作.即.例1已知存在，求.解.推廣：.例2已知存在，求.解.推廣：.2、點(diǎn)的左導(dǎo)數(shù)與右導(dǎo)數(shù)若存在，則和均存在且相等.我們分別把和稱為函數(shù)在點(diǎn)處的左導(dǎo)數(shù)、右導(dǎo)數(shù).顯然，函數(shù)在點(diǎn)處的左導(dǎo)數(shù)、右導(dǎo)數(shù)存在且相等是在點(diǎn)處可導(dǎo)的充分必要條件.例3試判定函數(shù)在點(diǎn)處是否可導(dǎo).解，.左導(dǎo)數(shù)不等于右導(dǎo)數(shù)，所以函數(shù)在點(diǎn)處不可導(dǎo).例4試判定函數(shù)在點(diǎn)處是否可導(dǎo).解.所以函數(shù)在點(diǎn)處可導(dǎo).3、導(dǎo)函數(shù)若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)點(diǎn)點(diǎn)可導(dǎo)，則對(duì)于內(nèi)的每一個(gè)點(diǎn)必存在一個(gè)導(dǎo)數(shù)與之對(duì)應(yīng)，這樣就確定了一個(gè)新的函數(shù)，成為函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，簡(jiǎn)稱為導(dǎo)數(shù).記作或.注意：函數(shù)在點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)就是導(dǎo)函數(shù)在的值，即.（先求導(dǎo)，再代點(diǎn)）4、導(dǎo)數(shù)的幾何意義的幾何意義是曲線在點(diǎn)處的切線斜率.曲線在點(diǎn)處的切線方程為：；法線方程為：.注意：處處可導(dǎo)，處處有切線；但處處有切線，不一定處處可導(dǎo)。（垂直于軸的直線斜率不存在）.例4求下列曲線在指定點(diǎn)處的切線方程和法線方程.⑴在點(diǎn)處；⑵在點(diǎn)處.解⑴，，切線方程為：，即；法線方程為：，即.⑵，，切線方程為：，即；法線方程為：.5、導(dǎo)數(shù)與連續(xù)的關(guān)系可導(dǎo)一定連續(xù)，但連續(xù)不一定可導(dǎo).（可導(dǎo)是連續(xù)的充分非必要條件，連續(xù)是可導(dǎo)的必要非充分條件）另外：可導(dǎo)一定連續(xù)和不連續(xù)一定不可導(dǎo)是等價(jià)的.用簡(jiǎn)圖來進(jìn)行說明.另外我們來進(jìn)行證明：函數(shù)在點(diǎn)處可導(dǎo)，即存在，可以令為常數(shù).那么，所以函數(shù)在點(diǎn)處連續(xù).函數(shù)在點(diǎn)處連續(xù)，即，那么是類型的極限，是未定型，極限可以存在也可以不存在，所以不一定.例5⑴討論函數(shù)在點(diǎn)處的連續(xù)性和可導(dǎo)性.解，，即，所以函數(shù)在點(diǎn)處連續(xù).由于，，左導(dǎo)數(shù)不等于右導(dǎo)數(shù)，所以函數(shù)在點(diǎn)處不可導(dǎo).⑵討論函數(shù)在點(diǎn)處的連續(xù)性和可導(dǎo)性.解，而，所以函數(shù)在點(diǎn)處不連續(xù)，由不連續(xù)一定不可導(dǎo)，得到函數(shù)在點(diǎn)處一定不可導(dǎo).作業(yè)：1；2；3.2.2直接求導(dǎo)法一、我們先用導(dǎo)數(shù)的定義來求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)例1求函數(shù)的導(dǎo)數(shù).解求增量：；算比值：；取極限：.換底公式的應(yīng)用.即：.特別地：當(dāng)時(shí)，有.用類似地求法，我們可以得到一些常用的求導(dǎo)基本公式：⑴（為常數(shù)）；⑵；⑶；；⑷；；⑸；；另外，，這兩個(gè)式子，在解題的過程中也經(jīng)常用到，也可以當(dāng)作都是用冪函數(shù)來公式來記.求解.二、導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則若函數(shù)在點(diǎn)可導(dǎo)，則⑴；可推廣到有限多個(gè)函數(shù)的代數(shù)和⑵；可推廣到有限多個(gè)函數(shù)的乘積；⑶（為常數(shù)）；⑷.例2求函數(shù)的導(dǎo)數(shù).解.同理可得：.例3求函數(shù)的導(dǎo)數(shù).解.同理可得：.所以求導(dǎo)基本公式中加上三角函數(shù)的這四個(gè)公式.我們把利用求導(dǎo)基本公式和四則運(yùn)算法則（有時(shí)需做適當(dāng)?shù)淖冃危┣蟮脤?dǎo)數(shù)的方法叫做直接求導(dǎo)法.例4求函數(shù)的導(dǎo)數(shù).解，.例5求函數(shù)的導(dǎo)數(shù).解.例6求函數(shù)的導(dǎo)數(shù).解，.注意：和一般的運(yùn)算一樣，當(dāng)積商可化為和差時(shí)，我們總是先化積商為和差再求導(dǎo)；或是利用三角恒等變換進(jìn)行化簡(jiǎn)再求導(dǎo)，這樣顯然簡(jiǎn)化了運(yùn)算.如求都是通過先化積商為和差后再求導(dǎo)更容易.例7求函數(shù)的導(dǎo)數(shù).解，.作業(yè)：4；5；7；8；9；10.2.3復(fù)合函數(shù)和反函數(shù)的求導(dǎo)法一、復(fù)習(xí)提問1、導(dǎo)數(shù)的基本公式；2、導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則.二、復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法1、比如求函數(shù)的導(dǎo)數(shù).錯(cuò)誤解答：；正確解答：.對(duì)比一下，答案錯(cuò)誤的原因是把當(dāng)成了自變量.我們先把復(fù)合函數(shù)進(jìn)行分解為..求復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)可分兩步第一步（關(guān)鍵步驟）：先將復(fù)合函數(shù)分為若干個(gè)簡(jiǎn)單函數(shù)，辨明各函數(shù)的中間變量和自變量；第二步：逐一分步求導(dǎo).推廣到多次復(fù)合的情形：例如，都可導(dǎo)，則或或.例1設(shè)函數(shù)，求.解因?yàn)槭怯蓮?fù)合而成的，所以.例2設(shè)函數(shù)，求.解因?yàn)槭怯蓮?fù)合而成的，所以.例3設(shè)函數(shù)，求.解.注意：當(dāng)然熟練以后可以不必寫出中間變量，寫在心上，由內(nèi)到外，層層求導(dǎo).三、反函數(shù)求導(dǎo)法反函數(shù)求導(dǎo)法應(yīng)用如果函數(shù)在某一個(gè)區(qū)間內(nèi)單調(diào)、可導(dǎo)，且，則它的反函數(shù)于反三角函數(shù)導(dǎo)數(shù)在對(duì)應(yīng)區(qū)間內(nèi)也可導(dǎo)，且或記為，公式的推導(dǎo).例4求函數(shù)的導(dǎo)數(shù).解是的反函數(shù)，在區(qū)間內(nèi)單調(diào)、可導(dǎo)，且，因此有.即.同理可以推導(dǎo)另外三個(gè)反三角函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式：，；.作業(yè)：：2；5；6；7；9；11；12.2.4隱函數(shù)和由參數(shù)方程所確定的函數(shù)求導(dǎo)法一、復(fù)習(xí)提問1、函數(shù)的基本求導(dǎo)公式（18個(gè)常用的）和四則運(yùn)算法則.2、復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法.二、概念前面我們所見到的函數(shù)中，自變量和函數(shù)的地位總是一目了然的，我們稱這種函數(shù)為顯函數(shù)，其實(shí)還有另一種形式的函數(shù)，變量之間的函數(shù)關(guān)系是隱含在方程中，我們把這種函數(shù)稱為隱函數(shù)，此時(shí)自變量和函數(shù)的地位不是確定的.例1求由方程所確定的隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù).解兩邊對(duì)求導(dǎo)，，即，解得.隱函數(shù)的求導(dǎo)步驟如下：⑴方程兩邊同時(shí)對(duì)求導(dǎo)，把中的看成是的函數(shù)，利用復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則計(jì)算；⑵解出，其表達(dá)式中可以含，但一般盡可能把結(jié)果化為顯函數(shù)形式.例2求由方程所確定的隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù).解在方程兩邊同時(shí)對(duì)求導(dǎo)，注意是的函數(shù)，即，得：，所以.注意：隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)中可以同時(shí)含有自變量和函數(shù).例3已知，求.解方程兩邊同時(shí)對(duì)求導(dǎo)，，即.當(dāng)時(shí)，，所以.注意：已知條件中雖然只給出，但通過隱函數(shù)可立即求得.因此，遇到這種求隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)值時(shí)，要先求得另一變量的值，避免得出錯(cuò)誤答案.2.5、對(duì)數(shù)求導(dǎo)法對(duì)數(shù)求導(dǎo)法是對(duì)函數(shù)等式的兩邊同時(shí)取對(duì)數(shù)，再用隱函數(shù)的求導(dǎo)法求解.適合用對(duì)數(shù)求注意對(duì)數(shù)求導(dǎo)法導(dǎo)法的函數(shù)有：的適合函數(shù).⑴由多個(gè)因式相乘、除、乘方或開方的函數(shù)；⑵形如的冪指函數(shù).例4已知，求.分析：這個(gè)函數(shù)看上去很復(fù)雜，如果直接用導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則來計(jì)算的話，運(yùn)算量過大，容易出錯(cuò)，所以嘗試先把函數(shù)化簡(jiǎn)再求導(dǎo).解等式兩邊取自然對(duì)數(shù)，得：,上式兩邊對(duì)求導(dǎo)，得：.即.例5求函數(shù)的導(dǎo)數(shù).解等式兩邊取自然對(duì)數(shù)，得：，上式兩邊對(duì)求導(dǎo)，得：，.即.注意：1、取自然對(duì)數(shù)是為了求導(dǎo)方便，因?yàn)樵谒袑?duì)數(shù)中只有自然對(duì)數(shù)的導(dǎo)數(shù)最為簡(jiǎn)單；2、可能用到中學(xué)所學(xué)的對(duì)數(shù)中的公式：，，；3、要用到隱函數(shù)求導(dǎo)法，最后一定要寫出最后的結(jié)論.作業(yè)：2；3；5；4；5.2.6高階導(dǎo)數(shù)求法一、復(fù)習(xí)引入本章開始時(shí)曾講過物體做變速直線運(yùn)動(dòng)的瞬時(shí)速度問題，物體的運(yùn)動(dòng)方程，則物體在時(shí)刻的瞬時(shí)速度為對(duì)的導(dǎo)數(shù)，即；速度也是的函數(shù)且對(duì)的導(dǎo)數(shù)稱為物體在時(shí)刻的瞬時(shí)加速度，即，稱為對(duì)的二階導(dǎo)數(shù).如自由落體運(yùn)動(dòng)，，一致.二、概念一般的，對(duì)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)再求一次導(dǎo)數(shù)（若存在），所得的導(dǎo)數(shù)稱為函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)；對(duì)函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)再求一次導(dǎo)數(shù)（若存在），所得的導(dǎo)數(shù)稱為函數(shù)的三階導(dǎo)數(shù)；依此類推，對(duì)函數(shù)的階導(dǎo)數(shù)再求一次導(dǎo)數(shù)（若存在），所得的導(dǎo)數(shù)稱為的階導(dǎo)數(shù).二階及二階以上的導(dǎo)數(shù)統(tǒng)稱為高階導(dǎo)數(shù).二階導(dǎo)數(shù)記為，，或；三階導(dǎo)數(shù)記為，，或；四階導(dǎo)數(shù)記為，，或；階導(dǎo)數(shù)記為，，或；一般地，求階導(dǎo)數(shù)應(yīng)先求階導(dǎo)數(shù).注意：四階及其以上的導(dǎo)數(shù)與低階導(dǎo)數(shù)記法上的區(qū)別.函數(shù)的階導(dǎo)數(shù)在點(diǎn)的值記作或.三、例題例1設(shè)，求導(dǎo)數(shù)，并求.解，，，.例2設(shè)，求階導(dǎo)數(shù).解，，…，.例3求的各階導(dǎo)數(shù).解，，，，.例4設(shè)，求階導(dǎo)數(shù).解，，，，以此類推：.同理可以得到：.例5設(shè)，求階導(dǎo)數(shù).解，，，，歸納以上所求可得：.注意：求階導(dǎo)數(shù)，可先求出前幾階導(dǎo)數(shù)，找出規(guī)律，再寫出結(jié)果.作業(yè)：3；4；5；6.2.7微分及其求法一、引入函數(shù)在點(diǎn)處變化的快慢程度，今天我們討論函數(shù)在某一點(diǎn)當(dāng)自變量取一個(gè)微小的變量時(shí)，函數(shù)取的相應(yīng)改變量的大小，這就引入了微分的概念.二、概念1、函數(shù)如果對(duì)于自變量在點(diǎn)的改變量，有，其中是與無關(guān)的實(shí)數(shù)，則稱在點(diǎn)可微，稱為在點(diǎn)處的微分.記作或.即.由定義可知，與的差是一個(gè)比高階的無窮小量.下面我們來看看如何求，兩邊同時(shí)除以，得，兩邊同取極限，得.由此可見，.可微可導(dǎo)，反之也成立.即：可微與可導(dǎo)是一致的.如果將自變量當(dāng)作自己的函數(shù)，即，則.即自變量的微分就是它的改變量.于是，函數(shù)的微分可以寫成.2、從幾何圖形上看，切線的斜率，，則也就表示“線段的長(zhǎng)度”.3、注意：雖然導(dǎo)數(shù)和微分的概念和表示不同，但它們?cè)诒举|(zhì)上是相通的.從定義上看，求得導(dǎo)數(shù)也就可以寫出微分，所以對(duì)一元函數(shù)來說，可導(dǎo)和可微是一致的.而且微分的運(yùn)算法則和公式也完全可以由導(dǎo)數(shù)平行得出，只是寫法上不同而已.三、計(jì)算1、微分的四則運(yùn)算法則設(shè)函數(shù)可微，則；；（為常數(shù)）；.2、微分的基本公式：⑴（為常數(shù)）；⑵；⑶；⑷；⑸；⑹；⑺；⑻；⑼；⑽；⑾；⑿；⒀；⒁；⒂；⒃.四、例題例1，求.解.例2，求.解.例3，求.解.五、微分形式不變性導(dǎo)數(shù)是函數(shù)對(duì)自變量求導(dǎo)，而微分并沒有明確函數(shù)是對(duì)哪個(gè)變量求微分，這就是所謂的微分形式不變性.例4設(shè)，求.解法1用公式，得；解法2用一階微分形式不變性，得.例5設(shè)，求.解1用公式，得；解2用一階微分形式不變性，得.六、隱函數(shù)的微分與隱函數(shù)導(dǎo)數(shù)類似，只是寫法不同而已.例6求由方程所確定的隱函數(shù)的微分與導(dǎo)數(shù).解法1在方程兩邊同時(shí)對(duì)求導(dǎo)得，，從而，所以.解法2在方程的兩端分別求微分，有，從而，所以.七、微分在近似計(jì)算中的應(yīng)用設(shè)函數(shù)在點(diǎn)處可微（可導(dǎo)），，，，，可忽略的高階無窮小量，因此，將作為的近似值，即.因?yàn)椋?即.例7計(jì)算的近似值.解設(shè)函數(shù)，，，，由公式得：.例8計(jì)算的近似值.解設(shè)函數(shù)，，，，由公式得：.例9證明當(dāng)很小時(shí)，.證明設(shè)函數(shù)，，，，由公式得.作業(yè)：1（2）（6）；2（3）（4）；3（1）（4）.2.8函數(shù)單調(diào)性的判定及極值、最值的求法一、講評(píng)作業(yè)，分析舊課二、新課教學(xué)1.單調(diào)性及其判定對(duì)任意的，若｛即＞0｝則稱在內(nèi)單調(diào)增加.(圖示)對(duì)任意的，若｛即＜0＝則稱在上單調(diào)減少.(圖示)定理:若在上滿足拉格郎日中值定理的條件且有>0(或<0)，則在上單調(diào)增加(或單調(diào)減少).例1判斷內(nèi)的單調(diào)性.解，所以內(nèi)單調(diào)增加.2.函數(shù)極值及其求法(1)極值的概念:定義1、若在區(qū)間（）內(nèi)有定義且對(duì)任意的點(diǎn)∈都有｛｝，則稱為的極大值｛極小值｝，為的極大值（極小值）點(diǎn).對(duì)于可導(dǎo)函數(shù)從圖中可清楚地看出：在極小點(diǎn)處：左側(cè)必有<0，右側(cè)必有>0且必經(jīng)=0的點(diǎn)；極大值點(diǎn)處：左側(cè)必有>0，右側(cè)必有<0且必經(jīng)=0的點(diǎn).定義2、設(shè)函數(shù)在區(qū)間上可導(dǎo)，使=0的點(diǎn)稱為函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的駐點(diǎn)（或穩(wěn)定點(diǎn)）.注意：（1）極值只是局部最值的概念；（2）極大值不一定比極小值大；（3）函數(shù)在極值點(diǎn)左右近旁有定義，因此極值點(diǎn)不可能出現(xiàn)在區(qū)間的端點(diǎn)上.(2)極值的求法從上面的討論說明：對(duì)于可導(dǎo)函數(shù)，極值點(diǎn)必是駐點(diǎn)，而駐點(diǎn)未必是極值點(diǎn).例如是函數(shù)的駐點(diǎn)，但不是極值點(diǎn).求函數(shù)的極值點(diǎn)可分三步：（1）確定函數(shù)的定義域；（2）求其駐點(diǎn)和連續(xù)且不可導(dǎo)的點(diǎn)；（3）根據(jù)這些點(diǎn)的順序把定義域分為若干區(qū)間，列表判定在這些區(qū)間上的符號(hào)，再進(jìn)一步確定是否極大或極小點(diǎn).例2求的極值點(diǎn)和單調(diào)性區(qū)間.例3求的極值.解，，令，得駐點(diǎn)，且＝0是使不存在的點(diǎn).從課本列表中可知，在區(qū)間（-∞，0）和（，∞）內(nèi)，函數(shù)單調(diào)增加；在區(qū)間（0，）內(nèi)，函數(shù)單調(diào)減少，＝0是極大值點(diǎn)，極大值為0，是極小值點(diǎn)，極小值為.注意：不可導(dǎo)點(diǎn)也可能為極值點(diǎn).在駐點(diǎn)或連續(xù)且不可導(dǎo)的點(diǎn)的兩側(cè)，若導(dǎo)數(shù)符號(hào)不變號(hào)，則該點(diǎn)不是極值點(diǎn).3.函數(shù)最值的求法定義3：若在區(qū)間上有一點(diǎn)，對(duì)任意，都有（）則稱點(diǎn)為在區(qū)間上的最大值點(diǎn)最大值為（最小值點(diǎn)最小值為）.注意：最值點(diǎn)只可能出現(xiàn)在駐點(diǎn)、不可導(dǎo)點(diǎn)和端點(diǎn)。所以，我們只要求出這三種點(diǎn)比較之，函數(shù)值最大的則稱為最大值，函數(shù)值最小的則稱為最小值.三、鞏固練習(xí)習(xí)題4.2,（10分鐘）.作業(yè)：1（2）；2（2）（4）(11)；3（3）.

第三章積分3.1原函數(shù)與不定積分一、引入：我們?cè)谖⒎謱W(xué)中已經(jīng)知道：若已知運(yùn)動(dòng)方程，則物體在時(shí)刻的速度為；現(xiàn)在反過來，若已知，怎樣找出它的運(yùn)動(dòng)方程?顯然這類問題正是微分學(xué)的逆問題，即不定積分問題，正如數(shù)的乘法與除法一樣，不定積分是微分的逆運(yùn)算.二、原函數(shù)與不定積分的概念1.原函數(shù)：定義1已知在區(qū)間上有定義，若存在可導(dǎo)函數(shù)使得對(duì)任意，都有或，則稱為在區(qū)間上的一個(gè)原函數(shù).如：，故是的一個(gè)在內(nèi)的原函數(shù)；現(xiàn)在問題有三：①原函數(shù)存在性，一個(gè)函數(shù)具備什么條件才保證有原函數(shù)？結(jié)論：連續(xù)函數(shù)必有原函數(shù).②一個(gè)函數(shù)如果有原函數(shù)，則原函數(shù)是否唯一，若不唯一，數(shù)目是多少？如：因?yàn)?；；，∴都是的原函?shù).定理1若是在區(qū)間上的原函數(shù)，則一切形如的函數(shù)也是的原函數(shù).③原函數(shù)間有何關(guān)系？定理2若、為在區(qū)間上的兩個(gè)原函數(shù)，則.2.不定積分定義2若是在區(qū)間上的一個(gè)原函數(shù)，則稱的全體原函數(shù)為在區(qū)間上的不定積分.記為：.注①由定義知，的不定積分，即為的一個(gè)原函數(shù)加常數(shù)；②不能掉，它是不定積分的標(biāo)志.三、直接積分法由不定積分的定義，可知，，先積后導(dǎo)等于自己；，.先導(dǎo)后積等于自己+C.結(jié)論：微分運(yùn)算與求不定積分的運(yùn)算是互逆的.即先積后微還原，先微后積+C.1、基本積分公式（一定要牢記，這是我們求不定積分的基礎(chǔ)）1、；2、；3、；4、；5、；6、；7、；8、；9、；10、；11、；12、；3、.2、不定積分的運(yùn)算性質(zhì)1.；2.(為常數(shù)).結(jié)合起來有.利用這些性質(zhì)與15個(gè)基本公式便可計(jì)算出一部分不定積分，所用的方法為直接積分法.例1求積分解原式例2求積分解原式.例3求積分解原式.對(duì)被積函數(shù)拆項(xiàng)，是求不定積分常用的一種方法.練習(xí)1求積分解原式.2．求積分解原式例4求．解原式.例5. 解原式.例6求.解原式.對(duì)被積函數(shù)（包括代數(shù)和三角函數(shù)）作適當(dāng)?shù)暮愕茸儞Q也是求不定積分常用的方法.練習(xí)1求積分解原式2求．解原式．3. 解原式.4設(shè)，則（）.解.5若，求.解令，則，還原后得.作業(yè)：7（2）（4）(6)(8)(11)；9.3.2第一類型換元法教學(xué)內(nèi)容：前言：利用直接積分法可以求一些簡(jiǎn)單函數(shù)的不定積分，但當(dāng)被積函數(shù)較為復(fù)雜時(shí)，直接積分法往往難以奏效．如求積分，它不能直接用公式進(jìn)行積分，這是因?yàn)楸环e函數(shù)是一個(gè)復(fù)合函數(shù)．我們知道，復(fù)合函數(shù)的微分法解決了許多復(fù)雜函數(shù)的求導(dǎo)（求微分）問題，同樣，將復(fù)合函數(shù)的微分法用于求積分，即得復(fù)合函數(shù)的積分法—─換元積分法．換元積分法分為兩類：1、第一換元積分法，又叫湊微分法，也稱間接換元法；2、第二換元積分法，也稱直接接換元法.本講介紹第一換元積分法.例１分析.，注意：“”是一個(gè)復(fù)合函數(shù).比較觀察：這里把“”看作“”.；；；按照公式“”.可見：.定理如果，則.第一換元積分法（也稱“湊微分法”）說明使用此公式的關(guān)鍵在于將化為.例2比較：.解.湊微換元求積回代例3.解原式.求,方法類似.例4.解原式.熟練后“換元”可以省略，直接“求積”.例5.解原式.可見，“微分”是自里向外微，“湊微分”是從外向里湊.說明當(dāng)被積函數(shù)是三角函數(shù)相乘時(shí)，拆開奇次項(xiàng)去湊微分.例6.錯(cuò)解：“”，注意這里被積函數(shù)“”是復(fù)合函數(shù).解原式.練習(xí)1求解原式2求解，3求解原式4求解原式例7求．解原式.．例8求．解原式．例9求．解原式．例10求．解原式．練習(xí)1求為常數(shù)，）．解原式．2求．解原式．3求．解原式．4求．解原式．由以上例題可以看出，在運(yùn)用換元積分法時(shí)，有時(shí)需要對(duì)被積函數(shù)做適當(dāng)?shù)拇鷶?shù)運(yùn)算或三角運(yùn)算，然后再湊微分，技巧性很強(qiáng)，無一般規(guī)律可循．因此，只有在練習(xí)過程中，隨時(shí)總結(jié)、歸納，積累經(jīng)驗(yàn)，才能運(yùn)用靈活．小結(jié)：應(yīng)用第一換元法求積分.作業(yè)：P53（4）（6）(7)（11）（12）（15）（18）.3.3第二類型換元法教學(xué)內(nèi)容：前面介紹了直接積分法、第一換元法，對(duì)不同的題型用不同的求積分方法，注意方法應(yīng)得當(dāng).第一換元法是先湊微分，再用新變量替換．但是有些積分是不容易湊微分的，需要新的積分法，即第二換元法．一、根換（即將整個(gè)根號(hào)設(shè)為）例1（對(duì)于用一換可一下子求出）解令，則，（但是本題若也用一換：“”）原式（此時(shí)得“微出去”明顯檢驗(yàn)出：）.（“回代：”）可見，湊微分是將微分號(hào)外面的式子湊到里面，即“湊進(jìn)來”，而“二換”是將微分號(hào)里面的式子“微出去”，其方向相反.若：，我們從例一得到經(jīng)驗(yàn)！本題障礙在于含有，索性將設(shè)為.例2.積分的障礙也是“”，但根號(hào)里含有2次.如果“”設(shè)成，求出有含有新的“”.這樣，去掉一個(gè)根號(hào)，又來了一個(gè)根號(hào)，達(dá)不到降低難度、化簡(jiǎn)為易的目的.實(shí)際上，該題應(yīng)該先湊微分.解，然后令，轉(zhuǎn)化為例1.練習(xí)1解令變量，即作變量代換從而微分，原式.2求不定積分.解令，則，，原式.二、弦換(含有)例3.分析：讓我們聯(lián)想到，如果令就可以消去根號(hào).解令，（此時(shí)在實(shí)數(shù)集上有：，即.）原式(遇到正負(fù)號(hào)問題：索性定一個(gè)主值區(qū)間：則，)(為正，這就避免了符號(hào)的糾纏).(回代)可見：“弦換”目標(biāo)也是去根號(hào)，但去根號(hào)的方法、手段是弦的變換.如果此時(shí)令“”，則主值區(qū)間“”，但是求出來結(jié)果“”，與“”實(shí)質(zhì)上一樣，不必多慮.練習(xí)1.(“與上題很像，咋處理？數(shù)學(xué)是一門藝術(shù)，需要?jiǎng)?chuàng)作，一件東西經(jīng)過創(chuàng)作換成另一種形式”)解令，則，這里“”.原式.2.解令，原式.總之，“弦換”就是公式：“”的運(yùn)用.三．切換(含有)三角函數(shù)公式：“，”，應(yīng)用“切割公式”就有了“切換”.例6.解令，原式.還原變量：最后要用不能用.運(yùn)用“直角三角形法”將含有的式子轉(zhuǎn)化為：1(對(duì)比鄰)1觀察右圖，可見(對(duì)比斜)原式.練習(xí)(方法同上述).以上三種是三類題，雖然都是去根號(hào)，但方法途徑不同，請(qǐng)大家冷靜下來回味一下.四．割換(含有)例8.解令，原式.還原變量：最后要用不能用.運(yùn)用“直角三角形法”將含有的式子轉(zhuǎn)化為：,即(鄰比斜)觀察右圖，可見(對(duì)比鄰)原式.例9.(顯然不等于“”)解令，.原式.雖與前面形式上不同，但方法一樣.方法越多，越得理性化，拿到題先評(píng)估.例10(該題可以用二換，但是用直接積分法更簡(jiǎn)單)解原式.例11.()解原式.小結(jié)：應(yīng)用第二換元法求根換型和三角代換型的積分.作業(yè)：P55（3）（4）（5）（6）.3.4分部積分法教學(xué)內(nèi)容一、分部積分公式上一節(jié)我們將復(fù)合函數(shù)的微分法用于求積分，得到換元積分法，大大拓展了求積分的領(lǐng)域．下面我們利用兩個(gè)函數(shù)乘積的微分法則，推出另一種求積分的基本方法——分部積分法．由函數(shù)乘積的微分公式，移項(xiàng)得，對(duì)上式兩端同時(shí)積分，得或公式(1)或公式(2)通稱為分部積分公式.二、例題講解例1求.解，原式1.使用分部積分公一般說來，選取和的原則是:式由求v時(shí)，v1．易于求出；2．要比容易求出．不必添加常數(shù)C.練習(xí)求1、；2、.2.使用分部積分例2求.公式的目的是在解=.于化難為易，解題練習(xí)：求1、；2、.的關(guān)鍵在于恰當(dāng)?shù)囊?guī)律：形如，，的不定積分，令余下的為.選擇和u.例3求解令，則原式例4求解原式練習(xí)：.規(guī)律：形如的不定積分，令，余下的為.例5求解原式.所以，原式.同理有，規(guī)律：形如，的不定積分，可以任意選擇和，但應(yīng)注意，因?yàn)橐褂脙纱畏植糠e分公式，兩次的和選擇應(yīng)保持一致.歸納上面例子，可以得到分部積分法的規(guī)律：“三指動(dòng)，反對(duì)不動(dòng)”，其中“三”表示三角函數(shù)，；“指”表示指數(shù)函數(shù)；“反”表示反三角函數(shù)，；“對(duì)”表示對(duì)數(shù)函數(shù).還需注意的是：積分方法要靈活運(yùn)用，切忌死套公式.有時(shí)需要換元法與分部積分法兼用才能得到最終結(jié)果.下面的例題就體現(xiàn)了這種綜合的解題方法.例6求.解設(shè)，則，.原式.例7求(本題將換元積分法和分部積分法結(jié)合使用)解設(shè)，則，.原式練習(xí)1、.原式.2、.原式.3、.解令，則，.原式.作業(yè)：P57（2）（3）（5）（6）（7）（9）.3.5積分表的使用（略）3.6定積分的概念、性質(zhì)和公式教學(xué)內(nèi)容定積分是積分學(xué)中的另一個(gè)重要概念．我們先從幾何學(xué)與力學(xué)問題出發(fā)引進(jìn)定積分的概念，然后討論它的性質(zhì)和計(jì)算方法，最后介紹定積分在幾何、物理、經(jīng)濟(jì)方面的一些應(yīng)用．一、定積分問題舉例（曲邊梯形的面積）設(shè)是區(qū)間上的非負(fù)連續(xù)函數(shù)，由直線，，及曲線所圍成的圖形（如圖3.6.1），稱為曲邊梯形，曲線稱為曲邊．現(xiàn)在求其面積．由于曲邊梯形的高在區(qū)間上是變動(dòng)的，無法直接用已有的梯形面積公式去計(jì)算．但曲邊梯形的高在區(qū)間上是連續(xù)變化的，當(dāng)區(qū)間很小時(shí)，高的變化也很小，近似不變．因此，如果把區(qū)間分成許多小區(qū)間，在每個(gè)小區(qū)間上用某一點(diǎn)處的高度近似代替該區(qū)間上的小曲邊梯形的變高．那么，每個(gè)小曲邊梯形就可近似看成這樣得到的小矩形，從而所有小矩形面積之和就可作為曲邊梯形面積的近似值．如果將區(qū)間無限細(xì)分下去．即讓每個(gè)小區(qū)間的長(zhǎng)圖3.6.1度都趨于零，這時(shí)所有小矩形面積之和的極限就可定義為曲邊梯形的面積．其具體做法如下：（1）分割：首先在區(qū)間內(nèi)插入個(gè)分點(diǎn)把區(qū)間分成個(gè)小區(qū)間，各小區(qū)間的長(zhǎng)度依次記為．過各個(gè)分點(diǎn)作垂直于軸的直線，將整個(gè)曲邊梯形分成個(gè)小曲邊梯形（如圖5—1），小曲邊梯形的面積記為．（2）取點(diǎn)：在每個(gè)小區(qū)間上任意取一點(diǎn)，作以為高，底邊為的小矩形，其面積為，它可作為同底的小曲邊梯形的近似值，即．（3）作和：把個(gè)小矩形的面積加起來，就得到整個(gè)曲邊梯形面積的近似值：．（4）求極限:記，則當(dāng)時(shí)，每個(gè)小區(qū)間的長(zhǎng)度也趨于零．此時(shí)和式的極限便是所求曲邊梯形面積的精確值，即．當(dāng)表示變力，和式極限表示作功；當(dāng)表示面積，和式極限表示體積；當(dāng)表示速度，和式極限表示路程.二、定積分的定義我們看到，雖然曲邊梯形面積和變速直線運(yùn)動(dòng)路程的實(shí)際意義不同，但解決問題的方法卻完全相同．概括起來就是：分割、近似求和、取極限．拋開它們各自所代表的實(shí)際意義，抓住共同本質(zhì)與特點(diǎn)加以概括，就可得到下述定積分的定義．定義1設(shè)函數(shù)在區(qū)間上有界，在上插入若干個(gè)分點(diǎn)，將區(qū)間分成個(gè)小區(qū)間，各小區(qū)間的長(zhǎng)度依次記為，在每個(gè)小區(qū)間上任取一點(diǎn)，作乘積．并作出和式．記，如果不論對(duì)區(qū)間怎樣分法，也不論在小區(qū)間上點(diǎn)怎樣取法，只要當(dāng)時(shí)，和式總趨于確定的值，則稱在上可積，稱此極限值為函數(shù)在上的定積分，記作，即．其中叫做被積函數(shù)，叫做被積表達(dá)式，叫做積分變量，叫做積分下限，叫做積分上限，叫做積分區(qū)間．注1定積分是一個(gè)依賴于被積函數(shù)及積分區(qū)間的常量，與積分變量采用什么字母無關(guān)．即．注2定義中要求，為方便起見，允許，并規(guī)定：（1）及．（2）定義中區(qū)間的分法和的取法是任意的.（3）當(dāng)函數(shù)在區(qū)間上的定積分存在時(shí)，稱在區(qū)間上可積.三、定積分的幾何意義（1）若在上，則由曲邊梯形的面積問題知，定積分等于以為曲邊的上的曲邊梯形的面積，即．（2）若在上，因，從而，．此時(shí)的等于由直線，，及曲線所圍成的曲邊梯形的面積的相反數(shù)（圖3.6.2），即．（3）若在上有正有負(fù)，則等于上位于軸上方的圖形面積減去軸下方的圖形面積．如圖3.6.3，有．圖3.6.2圖3.6.3四、定積分的性質(zhì)1．表示曲邊梯形的寬等于0，即表示矩形.(圖3.6.4)圖3.6.42．（加法運(yùn)算）.3．（數(shù)乘運(yùn)算）.4．（積分區(qū)間的分割性質(zhì)）.(圖3.6.5)abcabc(圖3.6.5)5．（積分的比較性質(zhì)）.例1比較定積分和的大小.解在區(qū)間上，，由性質(zhì)（5）知，.6．（積分中值定理）如果函數(shù)在上連續(xù)，(圖3.6.6)圖3.6.6那么至少存在一點(diǎn)，使得.五、牛頓－萊布尼茨公式（公式）１． 2．表示無數(shù)多個(gè)原函數(shù)；表示一個(gè)極限值，表示一個(gè)數(shù).這兩個(gè)概念完全不同.設(shè)一個(gè)變上限函數(shù)：，，，，.又，，，.“公式”將不定積分和定積分直接聯(lián)系起來.可見，求定積分即：先運(yùn)用不定積分求得一個(gè)原函數(shù)，再運(yùn)用“公式”計(jì)算出定積分.例2 ； .這也是曲邊梯形，是特殊的曲邊梯形.例3求.解.練習(xí)1 ..2，求.解.例4求.解原式.例5求.解原式.例6求.解原式.例7求定積分.解.例8已知，求定積分.解.小結(jié)：1、定積分的定義；2、定積分的幾何意義；3、定積分的性質(zhì)；4、原函數(shù)與不定積分的概念；5、牛頓－萊布尼茨公式（公式）.作業(yè)：P643；4；5（4）（5）（6）.3.7定積分的積分法教學(xué)內(nèi)容：一、第一換元法例1求.原式.例2求.原式.換元必?fù)Q限：12換元必?fù)Q限：12：0不回代；不“”解原式換元必?fù)Q限：01換元必?fù)Q限：01：-112.解原式.3..解原式.可見，有時(shí)定積分的計(jì)算比不定積分更簡(jiǎn)單：多了一個(gè)積分限，少了一個(gè)回代.二、定理1設(shè)在對(duì)稱區(qū)間上連續(xù)，有：（1）；（2）當(dāng)為偶函數(shù)時(shí)，則；（3）當(dāng)為奇函數(shù)時(shí)，則.證（1）根據(jù)定積分對(duì)區(qū)間的可加性：根據(jù)換元積分法：0：0：0.（2）因?yàn)闉榕己瘮?shù)，即，得.（3）因?yàn)槭瞧婧瘮?shù)，即，得.定理1可作為公式使用，它可簡(jiǎn)化奇偶函數(shù)在對(duì)稱區(qū)間上的定積分計(jì)算.例4求解原式，其中在區(qū)間上是奇函數(shù)，所以，原式，定理2周期函數(shù)（為周期），則.三、第二換元法例5求.解令，則，換限：，原式.例6求.解令，則，換限：，原式.練習(xí)1..解原式.2..解原式.可見，定積分的運(yùn)算關(guān)鍵要搞清楚上下限問題.三、定積分的分部積分法設(shè)函數(shù)，在區(qū)間上具有連續(xù)的導(dǎo)數(shù)、，則.分部求等式兩端在上的定積分，，.例7求解令，則原式.例2.解令，，則原式.練習(xí)：求小結(jié)：利用第一換元法、第二換元法求定積分，要注意換限.求兩個(gè)函數(shù)乘積的不定積分，一般采用分部積分.必須合理選擇，正確使用分部積分公式.作業(yè)：P66（6）（7）(8)（9）（11）(12)(14).3.8無窮積分（略）3.9定積分在幾何方面的應(yīng)用教學(xué)要求：掌握“割補(bǔ)法”求不規(guī)則圖形面積.教學(xué)內(nèi)容：我們知道，定積分的幾何意義是曲邊梯形的面積，因此定積分可用于求曲邊梯形的面積.曲線在軸上方，，；曲線在軸下方，，.若要表示軸下方這塊面積，（這里所述的面積為正）只要前面加一個(gè)負(fù)號(hào)：.這也是曲邊梯形，是特殊的曲邊梯形，它的面積照樣可以用定積分求出來.這里有三個(gè)曲邊梯形，軸上方的直接用定積分求出來，軸下方的需要加個(gè)負(fù)號(hào)..求面積要注意曲線在軸上方還是在軸下方，即函數(shù)是大于0還是小于0.例1求，所圍成圖形的面積.解1割補(bǔ)法：將之分割為兩個(gè)圖形：大曲邊梯形和小曲邊梯形..將不規(guī)則的圖形經(jīng)過“割補(bǔ)”，化為規(guī)則圖形.（先畫圖分析）解2若以為積分變量表示面積：.例2求與所圍成的圖形面積.解1根據(jù)對(duì)稱性：.解2.例3求，，，所圍成圖形的面積.解本題以作為積分變量較簡(jiǎn)便.例4計(jì)算橢圓面積.解.作業(yè)：P711；3；4；5.

第四章球面幾何和球面三角4.1球面幾何教學(xué)要求：掌握球面上的基本概念、地球上的基本點(diǎn)、線、圈.教學(xué)內(nèi)容:一、球、球面空間中與定點(diǎn)O等距離r的所有點(diǎn)的軌跡，稱為以O(shè)為球心，r為半徑的球面，包圍在球面中的實(shí)體稱為球.連接球面上兩點(diǎn)且通過球心的線段稱為球直徑.半徑相等的球稱為等球.二、大圓顯然，任一平面與球面相截的截痕是圓.一個(gè)過球心的截面，在球面上所截得的圓稱為大圓.在平面幾何上相當(dāng)于一條直線.大圓上一段圓周稱為大圓弧.反之，一個(gè)不過球心的截面，在球面上所截得的圓稱為小圓，小圓上一段圓周稱為小圓弧.任何兩個(gè)大圓都交于對(duì)頂?shù)膬牲c(diǎn)，所以大圓分球和球面為相等的兩個(gè)部分；且過對(duì)頂?shù)膬牲c(diǎn)能作無數(shù)多個(gè)大圓，而不能作小圓；但如果不過對(duì)頂?shù)膬牲c(diǎn)只能作一個(gè)大圓，卻能作無數(shù)個(gè)小圓；兩個(gè)大圓平面的交線是球的直徑也是這兩個(gè)大圓的直徑，并且把兩個(gè)大圓互相平分.（圖4.1.2）圖4.1.1圖4.1.2三、球面距離球面上一個(gè)大圓的長(zhǎng)是，球面上兩點(diǎn)A、B間小于的大圓弧（也稱劣?。╅L(zhǎng)稱為球面距離，它是點(diǎn)A、B間的最短球面距離，在航海上稱為大圓航線.地球半徑大約為6370km.海上距離的單位是海里，即把地球子午線上的弧長(zhǎng)稱為1nmile.其換算公式是1nmile=1852m.四、軸、極、極距、極線垂直于任一圓的球直徑稱為該圓的軸，軸與球面的兩個(gè)交點(diǎn)稱為極.從大圓弧或小圓弧上球面中心不是圓心；球面半徑不是球半徑.的一點(diǎn)到極的球面距離稱為極距.因?yàn)橥瑘A上任意一點(diǎn)的極距都相等，所以也可以稱極為該圓的球面中心，稱極距為該圓的球面半徑.顯然，球上每一個(gè)圓都有兩個(gè)極，通過這兩個(gè)極有且僅有一個(gè)大圓但卻有無數(shù)多個(gè)小圓.球面中心不是圓心；球面半徑不是球半徑.極距等于的大圓弧稱為極線或稱為赤道.因?yàn)槿我淮髨A與其極的極距為，所以大圓弧是它的極的極線；反之，極線必定是大圓弧.如果球面上某一點(diǎn)到其它兩點(diǎn)（不是直徑的兩個(gè)端點(diǎn)）的球面距離均為，則前一點(diǎn)必是通過后兩點(diǎn)的大圓的極.對(duì)一個(gè)圓而言，軸、極必定是成對(duì)而出現(xiàn)的；而極和極線也是成對(duì)出現(xiàn)的.兩個(gè)大圓的極之間的大圓弧所對(duì)的球心角等于此兩大圓平面的二面角.五、球面角及其度量球面角的大小由這兩個(gè)大圓弧平面所構(gòu)成的二面角來確定.球面角的度量方法：1、作兩邊的切線取其夾角（平面角）；2、頂點(diǎn)的極線被球面角兩邊所截的弧長(zhǎng)；3、該弧長(zhǎng)所對(duì)的球心角.注：極線上的弧長(zhǎng)與其所對(duì)的球心角同度；球面角的取值范圍是.六、小圓弧長(zhǎng)與大圓弧長(zhǎng)之比圓心角相等的小圓弧長(zhǎng)與大圓弧長(zhǎng)之比等于小圓極距的正弦或小圓緯度的余弦.即APbAPbB圖4.1.3七、地球上的基本知識(shí)地球的第一近似體為圓球體，其半徑約為6367km，地球的自轉(zhuǎn)軸稱為地軸，地球繞地軸自西向東轉(zhuǎn).我們可由右手法則確定南北極.南北極的極線稱為赤道.赤道將地球分為南北兩個(gè)相等的半球.地球南北極與某地A所連成的大圓稱為A地的子午圈，通過英國(guó)格林尼治天文臺(tái)的子午圈稱為格林子午圈；連接地球南北極和某地A之間的半個(gè)大圓稱為A地的午圈（子午線或經(jīng)線）.在赤道上由格林午圈至A地的午圈之間的弧長(zhǎng)稱為A地的經(jīng)度.經(jīng)度相同的點(diǎn)的軌跡是午圈.位于東半球的稱為東經(jīng)；反之稱為西經(jīng).東西經(jīng)的取值范圍均是.在A地的午圈上由赤道到該地的弧長(zhǎng)稱為A地的緯度.緯度相同的點(diǎn)的軌跡是平行于赤道的小圓，該小圓稱為緯度圈或等緯圈.緯度越高，等緯圈的長(zhǎng)度越短.若A地位于南半球，稱之為南緯，反之稱為北緯.南北緯的取值范圍均是.在航海上，A地的坐標(biāo)通常用表示，其中是緯度，是經(jīng)度.例1設(shè)某船由，向東航行至，求AB的距離.解由5．1．6知，在赤道上，nmile，所以nmile.即當(dāng)緯度為時(shí)，等緯圈的長(zhǎng)度僅為赤道長(zhǎng)度的一半.例2設(shè)兩船同在北緯，相距600nmile，若它們以同速向北航行1800nmile，求兩船相距多少海里？解由5．1．6知，兩船在赤道上的距離為nmile，向北航行1800nmile，即，到達(dá)北緯，所以兩船相距nmile.注：1、子午圈，午圈，子午線，經(jīng)線指南北向；緯度圈，等緯圈指東西向.2、午圈上所有點(diǎn)的經(jīng)度相同；緯度圈上所有點(diǎn)的緯度相同.課堂練習(xí)P78練習(xí)題5.1：1小結(jié)：球面上兩點(diǎn)A、B間小于的大圓?。ㄒ卜Q劣弧）長(zhǎng)稱為球面距離.球面角度量方法有三種。圓心角相等的小圓弧長(zhǎng)與大圓弧長(zhǎng)之比等于小圓極距的正弦或小圓緯度的余弦.作業(yè)P792；3；4；5.4.2球面三角形教學(xué)要求：理解球面三角形的定義和性質(zhì).教學(xué)內(nèi)容：一、球面三角形的定義在球面上由三個(gè)大圓弧相交于三點(diǎn)所圍成的球面部分稱為球面三角形.理論上，球面三角形六要素：a,b,c,A,B,C均大于而小于，但實(shí)際應(yīng)用上，我們僅討論六要素：a,b,c,A,B,C均大于而小于，即歐拉球面三角形.二、球面三角形的分類1、球面等腰三角形和球面等邊三角形；2、球面直角三角形和球面直邊三角形；3、球面初等三角形；4、球面任意三角形.三、球面三角形的關(guān)系1、全等球面三角形；2、對(duì)稱球面三角形；3、相似球面三角形；4、極線球面三角形.1）定義：球面三角形的三個(gè)頂點(diǎn)的極線所構(gòu)成的球面三角形；2）性質(zhì)：a、原三角形與極線球面三角形的關(guān)系是相互的；b、原三角形的角（邊）與極線球面三角形的邊（角）互補(bǔ).四、球面三角形的性質(zhì)1、球面三角形與三面角的關(guān)系球面三角形三面角球心頂點(diǎn)球半徑棱邊平面角角二面角2、球面三角形邊的性質(zhì)（1）邊必須是大圓?。唬?）；（3）兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊；（4）.3、球面三角形角的性質(zhì)（1）；（2）；（3）兩角之和減去第三角小于；（4）兩角之和（差）大于（小于）第三角的外角.4、邊和角的關(guān)系（1）等邊對(duì)等角，等角對(duì)等邊；（2）大（?。┻厡?duì)等角，大（?。┙菍?duì)等邊.注意：1、當(dāng)給定了球面三角形的三個(gè)邊時(shí)：（1）；（2）；（3）兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊.2、當(dāng)給定了球面三角形的三個(gè)角時(shí)：（1）；（2）；（3）兩角之和減去第三角小于.3、若給定球面三角形的兩個(gè)角（邊）及其夾邊（角），則僅需滿足每一個(gè)角和每一個(gè)邊大于，小于的條件，球面三角形都成立.例判斷下面的球面三角形是否存在1．，，，不存在.2．，，，不存在.3．，，，存在.4．，，，存在.作業(yè)：P844(1)(3)(5)(7)(9)；5；6.4.3球面任意三角形的基本公式教學(xué)要求：理解、熟記并能運(yùn)用球面三角形正弦余弦、五聯(lián)、四聯(lián)公式.教學(xué)內(nèi)容：一、余弦公式1、邊的余弦公式：球面三角形一個(gè)邊的余弦等于其它兩邊余弦的乘積加上這兩邊正弦及其夾角余弦的乘積..用途：一般地，已知三邊求一角或者已知兩邊及其夾角求第三邊.2、角的余弦公式：球面三角形一個(gè)角的余弦等于其它兩角余弦的乘積冠以負(fù)號(hào)加上這兩角正弦及其夾邊余弦的乘積..用途：一般地，已知三角求一邊或者已知兩角及其夾邊求第三角.二、正弦公式：球面三角形各邊的正弦和它對(duì)應(yīng)角的正弦成正比..用途：已知一邊及其對(duì)角，又已知一角（邊）求它的對(duì)邊（角）.三、邊角正余弦公式（五聯(lián)公式）：球面三角形相鄰邊角正余弦的乘積等于鄰邊第三邊正余弦的乘積減去鄰邊第三邊余正弦及其夾角余弦的乘積.用途：較少用于解球面三角形.四、余切公式（四聯(lián)公式）：.用途：一般地，用于求四個(gè)聯(lián)起來要素中的外邊或者外角.例1在球面三角形ABC中，已知，求證：與、與相等或互補(bǔ).解因?yàn)?，所以，，；即與、與相等或互補(bǔ).例2球面三角形各邊都等于，求證每角的余弦為.解由，；同理可證.作業(yè)：P872；3；5.4．4球面直角三角形和球面直邊三角形教學(xué)要求：熟練把握大字法則規(guī)律性，熟練運(yùn)用大字法則解球面直角三角形和球面直邊三角形.教學(xué)內(nèi)容：一、球面直角三角形1、定義至少有一個(gè)角為直角的球面三角形稱為球面直角三角形.若三個(gè)角都是，則三邊也都是；若兩個(gè)角是，則直角的兩對(duì)邊都是，而第三個(gè)角與其邊在數(shù)值上必相等。因此上述兩種情況下球面三角形的邊角關(guān)系已經(jīng)很清楚，不必再進(jìn)行討論。下面僅討論一個(gè)角為直角的球面三角形的邊角函數(shù)關(guān)系.2、球面直角三角形公式推導(dǎo)由邊的余弦公式、角的余弦公式、正弦公式、余切公式可推得…（10個(gè)公式）.設(shè)，則有；；；；.3、球面直角三角形公式的記憶法則（納比爾法則）納比爾法則：在五個(gè)循環(huán)要素中，任一要素的正弦，等于其相鄰兩要素正切的乘積，或等于其相隔兩要素余弦的乘積.納比爾法則又稱為“大字法則”.在五個(gè)循環(huán)要素中，我們可以通過任意已知的兩個(gè)要素，直接求出其余三個(gè)要素，一步到位.二、球面直邊三角形1、定義至少有一個(gè)邊為直邊的球面三角形稱為球面直邊三角形.若三條邊都是，則三角也都是；若兩條邊是，則直邊的兩對(duì)角都是，而第三條邊與其角在數(shù)值上必相等。因此上述兩種情況下球面三角形的邊角關(guān)系已經(jīng)很清楚，不必再進(jìn)行討論.下面僅討論一條邊為直邊的球面三角形的邊角函數(shù)關(guān)系.2、球面直邊三角形公式類似于球面直角三角形公式的推導(dǎo)，由邊的余弦公式、角的余弦公式、正弦公式、余切公式可推得…（10個(gè)公式）.設(shè)，則有；；；；.3、球面直邊三角形公式的記憶法則納比爾法則：在五個(gè)循環(huán)要素中，任一要素的正弦，等于其相鄰兩要素正切的乘積，或等于其相隔兩要素余弦的乘積。但是，在等式右邊的兩項(xiàng)正切或余弦的乘積中，如遇有兩個(gè)要素都是邊或都是角時(shí)，則在乘積之前冠以負(fù)號(hào).在五個(gè)循環(huán)要素中，我們可以通過任意已知的兩個(gè)要素，直接求出其余三個(gè)要素，一步到位.但是應(yīng)特別注意符號(hào)問題.例在球面三角形中，設(shè)，則或.作業(yè)：P901；2；3；4.4．5球面初等三角形教學(xué)要求：了解球面小三角形和球面窄三角形的概念，會(huì)求解球面小三角形和球面窄三角形的實(shí)際問題.教學(xué)內(nèi)容：一、球面小三角形1、定義三邊比起地球半徑都甚小的球面三角形稱為球面小三角形.雖然三邊甚小，但三角不會(huì)很小，其內(nèi)角和接近且大于.2、球面角盈E：內(nèi)角和多出的部分.（1）若三角已知：；（2）若三邊已知：.其中：：球面三角形面積；：球半徑（地球半徑：6370km）；：三邊長(zhǎng)度；，其中：為半周長(zhǎng)，代入得：.為何要計(jì)算球面角盈？由以上公式可計(jì)算出：當(dāng)?shù)孛嫔系那蛎嫘∪切胃鬟呴L(zhǎng)均為10nmile、40nmile、70nmile、100nmile時(shí)，球面角盈分別約為、、、.這說明，在地面上當(dāng)距離為數(shù)十海里時(shí)，球面角盈很小，因此，當(dāng)精讀要求不是很高時(shí)，可將球面小三角形看成平面三角形求解。航海上，在視野范圍內(nèi)觀測(cè)陸標(biāo)定位時(shí)，完全可將球面三角形視為平面三角形來對(duì)待.計(jì)算公式為：；；..二、球面窄三角形1、定義只有一個(gè)角及其對(duì)邊與球半徑相比甚小的球面三角形稱為球面窄三角形.2、近似公式已知小邊和它的鄰角及角的鄰邊，求另一邊和小角.（1）求兩邊之差的第一近似公式：；（由五聯(lián)公式推得）（2）求角A的第一近似公式：；（由正弦公式推得）（3）求的第二近似公式：；（4）求角A的第二近似公式：.顯然，第二近似公式雖比第一近似公式更精確，但計(jì)算量更大.例1測(cè)得地面上三角形的三邊分別為18km、52km、65km，試求該球面三角形的球面角盈.解，，；；.例2球面三角形ABC是一球面窄三角形，設(shè)c比a、b小得很多，已知邊，角，，試求該三角形的C角和a邊.解；所以；.作業(yè)：P931；2；3.4.6球面三角形的解法教學(xué)要求：了解解球面三角形的一般問題即六種情況，會(huì)用計(jì)算器解算球面三角形.教學(xué)內(nèi)容：解球面三角形的一般問題解球面三角形的必要條件：六要素中必須知道三個(gè)要素的值.解球面三角形共包括六種情況：1、已知兩邊及其夾角，求其余兩角及另一邊；求法：第三邊可直接通過邊的余弦公式求出，其余兩個(gè)角通過余切公式得到.2、已知兩角及其夾邊，求其余兩邊及另一角；求法：第三角可直接通過角的余弦公式求出，其余兩條邊通過余切公式得到.3、已知兩邊及其一對(duì)角，求其余兩角及其一對(duì)邊；求法：直接運(yùn)用正弦公式可求出一角，而剩下一角及其對(duì)邊不得不通過余切公式和邊的余弦公式來求.4、已知兩角及其一對(duì)邊，求其余兩邊及其另一角；求法：直接運(yùn)用正弦公式可求出一邊，而剩下一角及其對(duì)邊不得不通過角的余弦公式和余切公式來求.5、已知三邊，求三個(gè)角；求法：邊的余弦公式.6、已知三角，求三條邊。求法：角的余弦公式.總之，為了減小誤差、提高精度，盡量用原已知要素來求未知要素.作業(yè)：P973；4；5.4．6大圓航程和大圓起始航向的求法教學(xué)要求：會(huì)計(jì)算經(jīng)差、掌握大圓航向和大圓起始航向求法.教學(xué)內(nèi)容：某船擬由行駛到，駛大圓航線，求大圓航程和大圓起始航向.這是一個(gè)基本的航海運(yùn)算問題.所謂大圓起始航向，是指連接地球北極與出發(fā)點(diǎn)之間的大圓弧，與大圓航線間按順時(shí)針方向的球面角，取值范圍在到之間.一、經(jīng)差的具體計(jì)算經(jīng)差：終到地經(jīng)度與出發(fā)地經(jīng)度之差，取值在之間.航海上規(guī)定經(jīng)度以東經(jīng)為正、西經(jīng)為負(fù)，經(jīng)差也是東經(jīng)為正、西經(jīng)為負(fù).規(guī)定：.例1求下列經(jīng)差：AB（1），.AB解.（2），.解.（3），.解.二、求大圓航程和大圓起始航向的公式，；.由邊的余弦公式：.由余切公式：，即，所以.又由正弦公式得：，即.一般地，通過判斷的符號(hào)來確定的范圍.航海上要求距離精確到；角度精確到.例2某船擬由，到，，駛大圓航線，求大圓航程與大圓起始航向.解，，nmile；，.作業(yè)：P981（2）（4）（6）（8）；5.

第五章觀測(cè)誤差理論基礎(chǔ)5.1觀測(cè)誤差的概念教學(xué)要求：了解誤差的定義及產(chǎn)生原因，理解隨機(jī)誤差的概念.教學(xué)內(nèi)容：船舶駕駛員在航行或者錨泊值班時(shí)的主要任務(wù)之一，就是運(yùn)用各種可能手段及時(shí)地測(cè)定船舶所在海區(qū)地位置（簡(jiǎn)稱船位）.并對(duì)其可靠性進(jìn)行科學(xué)地分析，作出正確地判斷，以避免暗礁、沉船或淺灘等水下障礙，從而確保船舶在計(jì)劃航線上安全、迅速地航行.一、誤差及其產(chǎn)生的原因1、觀測(cè)誤差的概念觀測(cè)誤差是客觀存在的。實(shí)踐證明，對(duì)于任何觀測(cè)，不論其條件如何理想，觀測(cè)得如何仔細(xì)，觀測(cè)結(jié)果都不可能準(zhǔn)確無誤。事實(shí)上，我們永遠(yuǎn)測(cè)不到真值.觀測(cè)值與所求量真值的差異稱為誤差，即，其中為觀測(cè)值，為真實(shí)值，又稱真誤差。而定義改正量：，用以修正誤差.2、誤差產(chǎn)生的原因客觀：（1）測(cè)量工具不盡完善，如觀測(cè)儀器不精密或有誤差，作圖比例尺寸大等；（2）測(cè)量方法不盡準(zhǔn)確，如測(cè)量距離不是直線，測(cè)量水平夾角時(shí)兩物標(biāo)不在同一水平面上等（3）觀測(cè)環(huán)境的影響，如光線、氣溫、氣壓或溫度的變化等.主觀：（4）感官上的缺陷，如照準(zhǔn)和讀數(shù)的習(xí)慣性偏差，動(dòng)態(tài)測(cè)量記錄信號(hào)是人們的滯后傾向等；（5）讀取讀數(shù)或計(jì)算中的湊整誤差；（6）人為過失.為了得到可靠的結(jié)果，往往要作多次觀測(cè)，于是就有了多余觀測(cè)，進(jìn)而求出可靠的結(jié)果，以削弱誤差對(duì)觀測(cè)結(jié)果的影響，就是平差問題。二、觀測(cè)誤差的分類1、系統(tǒng)誤差系統(tǒng)誤差是指在一定條件下，大小和符號(hào)保持固定不變或按一定法則變化的誤差.系統(tǒng)誤差可以通過適當(dāng)?shù)姆椒ㄟM(jìn)行修正，但實(shí)際工作中，完全消除系統(tǒng)誤差是不可能的，剩余小的系統(tǒng)誤差可以把它當(dāng)作偶然誤差來處理.2、隨機(jī)誤差（偶然誤差）在大體相同的條件下進(jìn)行多次