第四屆數(shù)理化學(xué)科競(jìng)賽九年級(jí)數(shù)學(xué)試題解答

第四屆數(shù)理化展示活動(dòng)九年級(jí)數(shù)學(xué)試題及解答一、選擇題1．親愛的同學(xué)，歡迎參加全國中學(xué)生數(shù)理化學(xué)科能力展示活動(dòng)，今天是星期日，請(qǐng)問92012天后是（B）A．星期一B．星期二 C．星期三 D．星期四解：（一）91,92,93,94,95,96除以7的余數(shù)分別為2、4、1；2、4、1.每三次一循環(huán)2012除以3余1，所以92012除以7余2.（二）92012=（7+2）2012=72012+….+22012只考慮最后一項(xiàng)即可。2．根據(jù)國際貨幣基金組織數(shù)據(jù)，20XX年中國經(jīng)濟(jì)總量約占全球經(jīng)濟(jì)總量的9%。而據(jù)世界銀行最新預(yù)測(cè)，20XX年全球經(jīng)濟(jì)總量將增長3%，中國經(jīng)濟(jì)增長對(duì)全球經(jīng)濟(jì)增長的貢獻(xiàn)度（即中國經(jīng)濟(jì)增長量占全球經(jīng)濟(jì)增長量的比例）將達(dá)到30%。據(jù)此推算，20XX年中國經(jīng)濟(jì)總量比20XX年增加了（C）A．8%B．9% C．10% D．11%解：設(shè)20XX年全球經(jīng)濟(jì)總量為W，20XX年中國經(jīng)濟(jì)總量為9%W。20XX年中國經(jīng)濟(jì)總量比20XX年增長率為x,20XX年中國經(jīng)濟(jì)增長量為9%Wx,20XX年全球經(jīng)濟(jì)增長量為3%W則：9%Wx=3%W×30%，x=10%3．20XX年9月1日開始實(shí)施的《個(gè)人所得稅法》規(guī)定：全月總收入不超過3500元的免征個(gè)人工資、薪金所得稅，超過3500元的部分需征稅。稅率如下表級(jí)數(shù)全月應(yīng)納稅金額x-3500元稅率1不超過1500元的部分3%2超過1500元至4500元的部分10%3超過4500元至9000元的部分20%…….…….……如某人工資薪金所得為7000元，則應(yīng)交稅（C）.A．45B．145C．245D．700解：７０００－３５００＝３５００１５００×3%+2000×10%=2454．假設(shè)動(dòng)物世界中狐貍只講假話，綿羊只講真話，4只動(dòng)物A、B、C、D中有狐貍，也有綿羊。A說“Ｄ和我不是同一種動(dòng)物．”Ｂ說：“Ｃ是綿羊．”，Ｃ說“Ｂ是綿羊．”，Ｄ說：“我們４位中，至少有２只綿羊．”據(jù)此可以推斷４只動(dòng)物有（C）只狐貍。A．１B．２C．３D．４解：(1)不論A是綿羊（真話），還是狐貍（假話），那么D一定是狐貍。（2）從而Ｄ說：“我們４位中，至少有２只綿羊．”是假話，所以至多有一只綿羊。因?yàn)?只動(dòng)物A、B、C、D中有狐貍，也有綿羊，所以B、C是狐貍，A是綿羊。5．如圖，給定線段AB、直線l;在直線上取一點(diǎn)C，使得△ABC為等腰三角形，那么滿足條件的點(diǎn)C最多有（D）個(gè)A．2 B．3 C．4 D．5 B A L解：分別以A、B為圓心，以AB為半徑畫弧，與L有4個(gè)交點(diǎn)；作AB的中垂線與L有1個(gè)交點(diǎn)。6．Todefinetheoperation:x※y=If|m－1|※m=|m—1|,thenthevaluerangofthemis（B）A．m≤ B．m≥ C．m≤2 D．m≥2解：因?yàn)閨m－1|※m=|m—1|；所以|m－1|≤m,所以m≥0;當(dāng)m≥1時(shí)，m-1≤m恒成立；當(dāng)0≤m＜1時(shí)，由1-m≤m得m≥故m≥二、填空題7、已知為整數(shù)，且EQ\r(,x)+EQ\r(,y)=EQ\r(,2012)，則滿足此等式的不同整數(shù)對(duì)有（3）對(duì)解：2012=4×503，EQ\r(,2012)=2EQ\r(,503)，又x、y為整數(shù)，所以EQ\r(,x)=0，EQ\r(,y)=EQ\r(,2012)；EQ\r(,x)=EQ\r(,2012)，EQ\r(,y)=0；EQ\r(,x)=EQ\r(,y)=EQ\r(,503).X=0,y=2012;x=2012,y=0;x=y=503.8、把一枚6個(gè)編號(hào)分別為1，2，3，4，5，6的質(zhì)地均勻的正方體骰子先后投擲3次，得到的點(diǎn)數(shù)分別為a，b，c，則二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖像與x軸有2個(gè)不同交點(diǎn)的概率是EQ\F(19,108)解：要使b2-4ac>0，因?yàn)閍c≧1,4ac≧4，所以b2>4,b>2,所以3≤b≤6.先求對(duì)應(yīng)不同的ac值，a、c的可能性。ac=1,(a=c=1)---------1ac=2,(a=1,c=2;a=2,c=1),------------2ac=3(a=1,c=3;a=3,c=1),--------------2ac=4,(a=1,c=4;a=4,c=1;a=c=2)-----3ac=5,(a=1,c=5;a=5,c=1)-------------2ac=6,(a=1,c=6;a=6,c=1;a=2,c=3;a=3,c=2)---4ac=7,(不存在),---------------------------------0ac=8,(a=2,c=4;a=4,c=2)----------------------2,。當(dāng)b=3，ac=1，2--------共3種當(dāng)b=4，ac=1，2，3--------共5種當(dāng)b=5，ac=1，2，3，4，5，6--------共14種當(dāng)b=6，ac=1，2，3，4，5，6，7，8------共16種共計(jì)38種可能，38÷（6×6×6）=EQ\F(19,108)則二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖像與x軸有2個(gè)不同交點(diǎn)的概率是EQ\F(19,108)。9、觀察下列等式：⑴cos2α=2cos2α-1⑵cos4α=8cos4α-8cos2α+1⑶cos6α=32cos6α-48cos4α+18cos2α-1⑷cos8α=128cos8α-256cos6α+160cos4α-32cos2α+1⑸cos10α=mcos10α-1280cos8α+1120cos6α+ncos4α+pcos2α-1可以推測(cè)，m-n+p=解：2,8,32,128,….通項(xiàng)公式為22t-1,所以m=29=5122,-8,18,-32,….通項(xiàng)公式為(-1)t+12t2,所以p=50在⑸cos10α=mcos10α-1280cos8α+1120cos6α+ncos4α+pcos2α-1中令α=0，則cos10α=cosα=1，代人得：1=512-1280+1120+n+50-1，所以n=-400所以m-n+p=962.10、太陽光線與地面成60°的角，照射在地面上得一只皮球上，皮球直徑為30，皮球在地面上得投影為（20EQ\r(,3)）11、為了緩解北京地鐵八通線上進(jìn)城方向的早高峰擁擠狀況，市交通指示在京通快速上施畫公交車道，提高公交的運(yùn)行速度，改變這一區(qū)域部分人群的出行方式，使得選擇私家車或地鐵出行的部分人群選擇公交.下表為統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù).畫線前，這一路段車流平均時(shí)速為30公里.假定畫線后社會(huì)車輛總量不變，且車流速度與在每一車道單位時(shí)間通過的車輛數(shù)成反比例關(guān)系，那么畫線后在這一路段社會(huì)車輛的平均時(shí)速為（22公里/時(shí)）.車輛通行數(shù)量車道情況每5分鐘經(jīng)過社會(huì)車輛數(shù)每5分鐘經(jīng)過公交車輛數(shù)現(xiàn)狀3條車道50050畫線后1條公交車道0502條社會(huì)車道5000解：每條車道每5分鐘的通行容量：（550×30）÷3=5500（輛.公里/時(shí)）畫線后，在這一路段社會(huì)車輛的平均時(shí)速為（5500×2）÷500=2212、三顆行星圍繞同一顆恒星同方向公轉(zhuǎn)，它們的軌跡都在同一平面上，是以恒星為圓心的圓周，其公轉(zhuǎn)周期分別為60、84、140年?，F(xiàn)在這些恒星在同一直線上，它們下一次共線在105年后。解：三顆行星每年掃過的角度分別為：360/60、360/84、360/140，因?yàn)椋?80÷（EQ\F(360,60)-EQ\F(360,84)）=105;180÷(EQ\F(360,60)-EQ\F(360,140))=EQ\F(105,2)；180÷（EQ\F(360,84)-EQ\F(360,140)）=105.所以下一次共線在105年后.E三、解答題（每題12分，共36分）FAGHDBC13、如圖，五邊形ABCDE由正方形ABCD和等腰直角△ADE組成.F是ED上一點(diǎn)，BF平分五邊形ABCDE的面積并與AD相交于G.試求GD：AD的值。解：設(shè)正方形ABCD的邊長為1，GD=x,過F作ＦＨ垂直于ＡＤ于Ｈ，設(shè)ＦＨ＝t,則DH=FH=t,GH=x-t,AG=1-x,AE=ED=EQ\F(\r(,2),2).因?yàn)锳B∥FH，所以FH:AB=GH:AG,得：t=EQ\F(x,2-x)ABFE的面積為：EQ\F(1,2)AG×AB+S△AED–S△GDF=EQ\F(1,2)(1-x）+EQ\F(1,4)-EQ\F(1,2)×EQ\F(x,2-x)xBCDF的面積為：EQ\F(1,2)（GD+BC）×1+S△GDF=EQ\F(1,2)(1+x)+EQ\F(1,2)×EQ\F(x,2-x)x二式相等，解之得：x=EQ\F(2,9)，所以GD：AD=2:9.14.高斯記號(hào)表示不超過實(shí)數(shù)的最大整數(shù)，求方程+=7x+EQ\F(3,2)的最小正數(shù)解。解：原式可化為：+1++8=7x+EQ\F(3,2)++EQ\F(15,2)=7x令，2+3+++EQ\F(15,2)=7+7a即：++EQ\F(15,2)=2+7a分段討論：當(dāng)0≤a＜EQ\F(1,3)時(shí)，==0,EQ\F(15,2)=2+7a因?yàn)闉檎麛?shù)，0≤7a＜EQ\F(7,3)，所以=3,7a=EQ\F(3,2),a=EQ\F(3,14),x=3EQ\F(3,14).（2）當(dāng)EQ\F(1,3)≤a＜EQ\F(1,2)時(shí)，=0，=1,1+EQ\F(15,2)=2+7a因?yàn)闉檎麛?shù)，EQ\F(7,3)≤7a＜EQ\F(7,3)，所以=3,7a=EQ\F(5,2),a=EQ\F(5,14),x=3EQ\F(5,14).（3）當(dāng)EQ\F(1,2)≤a＜EQ\F(2,3)時(shí)，=1，=1,2+EQ\F(15,2)=2+7a因?yàn)闉檎麛?shù)，EQ\F(7,2)≤7a＜EQ\F(14,3)，所以=3,7a=EQ\F(7,2),a=EQ\F(1,2),x=3EQ\F(1,2).（4）當(dāng)EQ\F(2,3)≤a＜1時(shí)，=1，=2,3+EQ\F(15,2)=2+7a因?yàn)闉檎麛?shù)，EQ\F(14,3)≤7a＜7，所以=2,7a=EQ\F(13,2),a=EQ\F(13,14),x=2EQ\F(13,14).x=2EQ\F(13,14)是最小正數(shù)解。附：高斯函數(shù)知識(shí)概要定義：設(shè)，用表示不超過的最大整數(shù)。則稱為高斯函數(shù)，也叫取整函數(shù)。顯然，的定義域是R，值域是Z。任一實(shí)數(shù)都能寫成整數(shù)部分與非負(fù)純小數(shù)之和，即，因此，，這里，為的整數(shù)部分，而為的小數(shù)部分。2，性質(zhì)1，函數(shù)是一個(gè)分段表達(dá)的不減的無界函數(shù)，即當(dāng)時(shí)，有；2，，其中；3，；4，若，則其中；5，對(duì)于一切實(shí)數(shù)有；6，若，則.15.如圖，將單位正方形的每邊分成n等分，再連接每個(gè)頂點(diǎn)與其相對(duì)頂點(diǎn)附近的等分點(diǎn)，構(gòu)造圖中陰影部分所示的小正方形，并使其面積為EQ\F(1,A)，且A為合數(shù).求n的最小值。DC1CD1