專練11（解答題-導(dǎo)數(shù)）（20題）（解析版）

專練11（解答題-導(dǎo)數(shù)）（20題）-2022年高考數(shù)學(xué)考點(diǎn)必殺300題（浙江卷）1．（2022·浙江·高三專題練習(xí)）已知函數(shù).(1)求曲線在處的切線方程；(2)判斷函數(shù)的極值點(diǎn)和零點(diǎn)個(gè)數(shù)；(3)若恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】(1);(2)1,1;(3).【解析】【分析】（1）根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線斜率，由點(diǎn)斜式可得切線方程；（2）利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間判斷增減性即可求出函數(shù)的極值，再結(jié)合增減性及特殊值可求函數(shù)零點(diǎn)；（3）原不等式轉(zhuǎn)化為恒成立，利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最大值即可求解.(1)函數(shù)定義域?yàn)?，因?yàn)?，所以曲線在處的切線方程為，即.(2)由（1）知，當(dāng)時(shí)單調(diào)遞增,當(dāng)時(shí)單調(diào)遞減，所以函數(shù)在時(shí)取得極大值，函數(shù)沒(méi)有極小值，所以函數(shù)的極值點(diǎn)只有1個(gè)，因?yàn)?當(dāng)時(shí),當(dāng)時(shí)，所以只有一個(gè)零點(diǎn).(3)要使恒成立，即恒成立，令，則.當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，所以在時(shí)取得極大值也是最大值，，要使恒成立，則,即實(shí)數(shù)k的取值范圍是.2．（2022·浙江嘉興·高三期末）已知函數(shù).(1)若在定義域上單調(diào)遞增，求ab的最小值；(2)當(dāng)，，有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，，證明：.【答案】(1)(2)證明見(jiàn)解析【解析】【分析】（1）求導(dǎo)得二次不等式，根據(jù)二次不等式的恒成立列式計(jì)算；（2）將有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，轉(zhuǎn)化為，是方程的兩個(gè)根，利用韋達(dá)定理得，進(jìn)而通過(guò)換元，將轉(zhuǎn)化為關(guān)于的函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究其最值即可.(1)恒成立，即恒成立，，所以，，即ab的最小值為.(2)有兩個(gè)不同的根，，則，是方程的兩個(gè)根，所以，，所以，，.，令，，在單調(diào)遞增，所以，令，在上單調(diào)遞增，所以，所以，即.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：1.對(duì)于證明題，我們可以構(gòu)造函數(shù)，轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值來(lái)研究；2.含雙變量的問(wèn)題，要通過(guò)計(jì)算轉(zhuǎn)化為一個(gè)變量的問(wèn)題來(lái)解答.3．（2022·浙江紹興·高三期末）已知函數(shù)，為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，．(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；(2)當(dāng)時(shí)，證明：．【答案】(1)函數(shù)的單調(diào)性見(jiàn)解析；(2)證明見(jiàn)解析.【解析】【分析】(1)求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，再按a值的正負(fù)討論符號(hào)作答.(2)根據(jù)給定條件將不等式等價(jià)轉(zhuǎn)化，分別證明不等式和都成立作答.(1)函數(shù)的定義域?yàn)?，求?dǎo)得：，當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.(2)當(dāng)時(shí)，，，令，則，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，于是得在上遞增，在上遞減，則有，即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“=”，令，求導(dǎo)得：，顯然函數(shù)在上單調(diào)遞增，而，則當(dāng)時(shí)，，即，當(dāng)時(shí)，，即，于是有在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，則，即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“=”，因不等式與等號(hào)成立的條件不一致，則，所以成立.【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：函數(shù)不等式證明問(wèn)題，將所證不等式等價(jià)轉(zhuǎn)化，構(gòu)造新函數(shù)，再借助函數(shù)的單調(diào)性、極(最)值問(wèn)題推理得解.4．（2022·浙江·模擬預(yù)測(cè)）設(shè)函數(shù)，．關(guān)于的函數(shù)表示在的最小值．(1)求的值；(2)求的最大值．【答案】(1)；(2).【解析】【分析】（1）當(dāng)時(shí)，可得出，利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性，可求得的值；（2）注意到，只需驗(yàn)證，當(dāng)且僅當(dāng)，等號(hào)成立，利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性，求出函數(shù)在上的最小值，即可得解.(1)解：當(dāng)時(shí)，，．所以在單調(diào)遞增，，所以．(2)解：注意到無(wú)論取何值，，從而．下面驗(yàn)證，當(dāng)時(shí)，上述不等式的等號(hào)能成立．當(dāng)時(shí)，，．設(shè)，則.當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增，故在區(qū)間單調(diào)遞減，在區(qū)間單調(diào)遞增．而，，，故有兩個(gè)零點(diǎn)，分別為和．當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增，因此在區(qū)間上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．所以．面，所以．綜上所述，當(dāng)時(shí)，取得最大值．【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求函數(shù)在區(qū)間上的最值的方法：（1）若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)，則與一個(gè)為最大值，另一個(gè)為最小值；（2）若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有極值，則要求先求出函數(shù)在區(qū)間上的極值，再與、比大小，最大的為最大值，最小的為最小值；（3）若函數(shù)在區(qū)間上只有唯一的極大點(diǎn)，則這個(gè)極值點(diǎn)就是最大（最小）值點(diǎn)，此結(jié)論在導(dǎo)數(shù)的實(shí)際應(yīng)用中經(jīng)常用到.5．（2022·浙江·寧波諾丁漢附中高三階段練習(xí)）已知直線與拋物線交于兩點(diǎn)，點(diǎn)C為拋物線上一點(diǎn)，且的重心為拋物線焦點(diǎn)F.(1)求m與t的關(guān)系式；(2)求面積的取值范圍.【答案】(1)且(2)【解析】【分析】（1）設(shè)，聯(lián)立方程，利用韋達(dá)定理可得，再根據(jù)的重心為拋物線的焦點(diǎn)，可得，求得代入拋物線方程，即可得解；（2）結(jié)合（1）利用弦長(zhǎng)公式求得，再利用點(diǎn)到直線的距離公式求得點(diǎn)C到的距離，再利用導(dǎo)數(shù)求得范圍即可.(1)解：設(shè)，由得，，，所以，因?yàn)榈闹匦臑閽佄锞€的焦點(diǎn)，所以，解得，又因點(diǎn)C為拋物線上一點(diǎn)，所以，即，所以求m與t的關(guān)系式為且；(2)解：由（1）得，結(jié)合判別式得，因?yàn)椴唤?jīng)過(guò)點(diǎn)F（否則三點(diǎn)共線，不能構(gòu)成三角形），所以，所以實(shí)數(shù)的取值范圍為，，點(diǎn)C到的距離，所以，設(shè)，則，當(dāng)或時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在和上單調(diào)遞增，上單調(diào)遞減，，所以，所以面積的取值范圍為.6．（2022·浙江省義烏中學(xué)高三期末）已知函數(shù).(1)判斷的根的個(gè)數(shù)；(2)若函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，證明：.【答案】(1)答案見(jiàn)解析；(2)證明見(jiàn)解析.【解析】【分析】（1）令，利用導(dǎo)數(shù)研究其性質(zhì)，并畫出函數(shù)圖象，應(yīng)用數(shù)形結(jié)合討論與的交點(diǎn)個(gè)數(shù)即可.（2）令，結(jié)合在上單調(diào)性求參數(shù)a的范圍，討論參數(shù)a，利用單調(diào)性確定范圍，應(yīng)用放縮法證明不等式.(1)由得：，設(shè)設(shè)，，則，，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，又當(dāng)趨向，趨向于；，，當(dāng)趨向，趨向于.010趨向于0遞增1遞減0遞增趨向于由上述，作出的草圖：的根的個(gè)數(shù)即為與的交點(diǎn)個(gè)數(shù)所以，當(dāng)時(shí)，無(wú)根；當(dāng)時(shí)，有1個(gè)根；當(dāng)時(shí)，有3個(gè)根；當(dāng)時(shí)，有2個(gè)根；當(dāng)時(shí)，有1個(gè)根.(2)由和設(shè)，則由向右平移個(gè)單位可得，由（1）知：時(shí)遞增，時(shí)遞減，時(shí)遞增，且，，.，，則成立，又，易得，或.1、當(dāng)時(shí)，則，而，又，，則.2、當(dāng)時(shí)，，時(shí)，，則.時(shí)，，則..綜上可知：.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：第二問(wèn)，根據(jù)的區(qū)間單調(diào)性求參數(shù)a的范圍，應(yīng)用分類討論、放縮法證明不等式.7．（2022·浙江省浦江中學(xué)高三期末）已知，函數(shù)，．(1)若，求函數(shù)的極值；(2)當(dāng)時(shí)，求證：．【答案】(1)極大值為，極小值為(2)證明見(jiàn)解析【解析】【分析】(1)利用導(dǎo)數(shù)的幾何性質(zhì)，確定函數(shù)的單調(diào)性，然后就可以計(jì)算極值；(2)作差比較，由于，令，構(gòu)造一個(gè)新函數(shù)，再利用導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性，通過(guò)多次構(gòu)造后，得到.(1)因?yàn)?，所以，?dāng)時(shí)，，令得或，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．故函數(shù)的增區(qū)間為，，減區(qū)間為，所以函數(shù)的極大值為，極小值為；(2)令，只需證明當(dāng)時(shí)，即可．求導(dǎo)得．下面對(duì)n分類討論：①當(dāng)時(shí)，有，，在遞減，在遞增，在遞減．又因?yàn)?，所以得證．②當(dāng)時(shí)，令，求導(dǎo)得，所以在遞增，在遞減．于是有．我們令，則，所以，即恒成立．于是可以得到，進(jìn)而有，代入可得到，即當(dāng)時(shí)恒成立．于是，，在上，，故在上單調(diào)遞減；在上，，故在上單調(diào)遞增，所以．綜合①②可知，原命題得證！8．（2022·浙江·舟山中學(xué)高三階段練習(xí)）已知函數(shù).(1)若恒成立，求的最小值；(2)求證：；(3)已知恒成立，求的取值范圍．【答案】(1)；(2)證明見(jiàn)解析；(3)．【解析】【分析】（1）求恒成立，即等價(jià)于，求出的最大值，大于等于的最大值，即可求出的最小值；（2）當(dāng)時(shí)，得，即，，代入化簡(jiǎn)即可證明.（3）由題意知恒成立，即分離參數(shù)后得，再結(jié)合第二問(wèn)的結(jié)論，即可求出的取值范圍.(1)等價(jià)于，令，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，.則在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，，則，的最小值為.(2)證明：當(dāng)時(shí)，由（1）得，即.令，則，即.(3)恒成立，即恒成立,，由（2）知恒成立，，故的取值范圍為.9．（2022·浙江·寧波諾丁漢附中高三階段練習(xí)）己知函數(shù).(1)設(shè)，證明：；(2)己知，其中為偶函數(shù)，為奇函數(shù).若有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，證明：.【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)證明見(jiàn)解析【解析】【分析】（1）欲證，只需證，令，利用導(dǎo)數(shù)得出，即可證明；（2）由奇偶性得出，由（1）得不等式成立，從而得出，，構(gòu)造函數(shù)，由證明即可.(1)欲證，只需證，即證，設(shè)，即證，①設(shè)，則，所以單調(diào)遞增，所以，所以①式成立，所以，.(2)根據(jù)已知，得到聯(lián)立解得.由（1）得不等式成立，因?yàn)闉榕己瘮?shù)，所以對(duì)任意成立.，即，所以，由知.所以.構(gòu)造，則存在零點(diǎn)，且.同理可證.所以.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：解決問(wèn)題二時(shí)，關(guān)鍵在于利用恒成立，從而得出，，構(gòu)造函數(shù)，由得出.10．（2022·浙江省普陀中學(xué)高三階段練習(xí)）已知函數(shù)（其中為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）．(1)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的極值；(2)若函數(shù)在有唯一零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；(3)若不等式對(duì)任意的恒成立，求整數(shù)的最大值．【答案】(1)極小值為，無(wú)極大值；(2)；(3).【解析】【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)可確定單調(diào)性，由極值定義可求得結(jié)果；（2）利用導(dǎo)數(shù)可確定的單調(diào)性；當(dāng)時(shí)，可知，解不等式可知無(wú)滿足題意的值；當(dāng)時(shí)，根據(jù)，分別在，和三種情況下，根據(jù)在有唯一零點(diǎn)可構(gòu)造不等式求得結(jié)果；（3）將恒成立不等式化為，令得，令可確定，使得，由此可得，進(jìn)而得到的范圍，從而得到.(1)當(dāng)時(shí)，，則，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，的極小值為，無(wú)極大值.(2)，，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；①當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，若在上有唯一零點(diǎn)，則，即，解得：（舍）；②當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；當(dāng)，即時(shí)，，則在上無(wú)零點(diǎn)，不合題意；當(dāng)，即時(shí)，在上有唯一零點(diǎn)，滿足題意；當(dāng)，即時(shí)，由得：，在上有唯一零點(diǎn)，此時(shí)需，即；綜上所述：當(dāng)或時(shí)，在上有唯一零點(diǎn)，即實(shí)數(shù)的取值范圍為.(3)若對(duì)恒成立，即對(duì)恒成立，則，令，則，令，則，在上單調(diào)遞增，，，，使得，即，則當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，，，，，，整數(shù)的最大值為.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求解本題恒成立問(wèn)題的常用方法是能夠通過(guò)分離變量的方法將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為變量與函數(shù)最值之間的大小關(guān)系比較問(wèn)題，即若恒成立，則；若恒成立，則.11．（2022·浙江寧波·高三期末）設(shè)函數(shù).(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(2)若關(guān)于x的方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根?，當(dāng)時(shí)，證明：.（注：…是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）【答案】(1)單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為(2)證明見(jiàn)解析【解析】【分析】（1）先求定義域，再求導(dǎo)函數(shù)，利用導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)求解的單調(diào)區(qū)間；（2）結(jié)合第一問(wèn)，利用放縮法和分析法及函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行證明.(1)函數(shù)的定義域?yàn)椋驗(yàn)榱?，所以；，所以所以的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為；(2)由（1）知，，當(dāng)時(shí)，，于是，所以，要證：只要證：，又在上單調(diào)遞增，即證：即證：由題意知，而，所以原命題得證.【點(diǎn)睛】導(dǎo)函數(shù)處理多元不等式證明問(wèn)題，要選擇合適的方法，就本題需要先研究?jī)蓚€(gè)變量的大小關(guān)系，然后利用放縮法，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行證明.12．（2022·浙江·諸暨市教育研究中心高三期末）已知函數(shù).(1)當(dāng)時(shí)，求在處的切線方程；(2)若有兩個(gè)極值點(diǎn)、，且.（?。┣髮?shí)數(shù)的取值范圍；（ⅱ）求證：.【答案】(1)；(2)（ⅰ）；（ⅱ）證明見(jiàn)解析.【解析】【分析】（1）求出、的值，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得出所求切線的方程；（2）（i）求得，利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性，根據(jù)已知條件可得出關(guān)于實(shí)數(shù)的不等式組，由此可解得實(shí)數(shù)的取值范圍；（ii）分析可知，，將所證不等式轉(zhuǎn)化為證明，分、兩種情況討論，在時(shí)，利用不等式的基本性質(zhì)可證得結(jié)論成立，在時(shí)，通過(guò)構(gòu)造函數(shù)，并利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合不等式的基本性質(zhì)可證得結(jié)論成立.(1)解：當(dāng)時(shí)，，則，所以，，，因此，在處的切線方程為.(2)解：（i），令，則，令，則對(duì)任意的恒成立，所以，函數(shù)在上單調(diào)遞增，因?yàn)?，?dāng)時(shí)，，即，當(dāng)時(shí)，，即，所以，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，因?yàn)橛袃蓚€(gè)極值點(diǎn)、，則，解得.（ii）令，，，由（i）可知，，只需證，即證：，當(dāng)時(shí)，，得證；當(dāng)時(shí)，先證：，令，，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，則在上遞增，在上遞減，所以，得證，令，則，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增，所以，，即，則，記與的交點(diǎn)橫坐標(biāo)分別為，，則，，則，又，，【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：利用導(dǎo)數(shù)證明不等式問(wèn)題，方法如下：（1）直接構(gòu)造函數(shù)法：證明不等式（或）轉(zhuǎn)化為證明（或），進(jìn)而構(gòu)造輔助函數(shù)；（2）適當(dāng)放縮構(gòu)造法：一是根據(jù)已知條件適當(dāng)放縮；二是利用常見(jiàn)放縮結(jié)論；（3）構(gòu)造“形似”函數(shù)，稍作變形再構(gòu)造，對(duì)原不等式同解變形，根據(jù)相似結(jié)構(gòu)構(gòu)造輔助函數(shù).13．（2022·浙江·高三開(kāi)學(xué)考試）設(shè)為實(shí)數(shù)，函數(shù)．(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(2)當(dāng)時(shí)，直線是曲線的切線，求的最小值；(3)若方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，證明：．（注：是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）【答案】(1)答案見(jiàn)解析(2)(3)證明見(jiàn)解析【解析】【分析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)其正負(fù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，即可得答案；（2）利用程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根可得到，再利用換元法變形為，從而將證明，轉(zhuǎn)化為證明，即證明的問(wèn)題，再利用構(gòu)造新函數(shù)，求導(dǎo)，求其最值的方法即可證明.(1)，，當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．(2)，設(shè)切點(diǎn)為，切線斜率，切線方程為，，∴，，，令，，∴在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，，即的最小值為．(3)證明：，，令，，在（0，1）上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，，∴，不妨設(shè)，則，故,令，，所以，，，要證，只要證，只要證，令，，設(shè)，∴在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，∵，，，則存在，使得，∴在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，∵，，∴在上恒成立，即證．【點(diǎn)睛】本題考查了導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，考查了導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性，以及用導(dǎo)數(shù)證明不等式的相關(guān)問(wèn)題，解答的關(guān)鍵是要對(duì)等式或者不等式進(jìn)行合理的變式，從而才能合理地構(gòu)造新函數(shù)，利用其導(dǎo)數(shù)求其單調(diào)性以及最值，從而證明不等式.14．（2022·浙江溫州·高三開(kāi)學(xué)考試）已知函數(shù)（e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）.(1)求證：時(shí)，；(2)設(shè)的解為（，2，…），.①當(dāng)時(shí)，求的取值范圍；②判斷是否存在，使得成立，并說(shuō)明理由.【答案】(1)證明見(jiàn)解析；(2)①；②不存在，理由見(jiàn)解析.【解析】【分析】(1)根據(jù)給定條件構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)探討其單調(diào)性推理作答.(2)①探討函數(shù)的性質(zhì)，作出部分圖象，結(jié)合圖象可得，構(gòu)造函數(shù)并求出其值域得解；②分類討論的各種取值條件下值的范圍即可判斷作答.(1)，令，求導(dǎo)得：，令，，，則在上單調(diào)遞減，，在上單調(diào)遞減，則，，即，所以時(shí)，.(2)①，當(dāng)或或時(shí)，，當(dāng)或時(shí)，，于是得在，，上都遞增，在，上都遞減，而，又時(shí)，，，的部分圖象大致如圖，觀察圖象知，當(dāng)時(shí)，又，必有，令，，因在上遞減，則在上遞減，因此，在上遞增，則當(dāng)時(shí)，，所以的取值范圍是；②不存在，因，則當(dāng)時(shí)，而，必有，即不成立，當(dāng)時(shí)，不存在或者，有，即不成立，當(dāng)時(shí)，，令，，，而當(dāng)時(shí)，，，則，即在上遞增，，因此，，，于是得，又，，且函數(shù)在上遞增，故有，即，不成立，綜上，不存在，使得成立.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：涉及不等式恒成立問(wèn)題，將給定不等式等價(jià)轉(zhuǎn)化，構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)思想是解決問(wèn)題的關(guān)鍵.15．（2022·浙江·湖州中學(xué)高三階段練習(xí)）已知函數(shù)，．(1)當(dāng)時(shí)，求的單調(diào)區(qū)間；(2)設(shè)函數(shù)，①若有且只有一個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；②記函數(shù)，若關(guān)于x的方程有4個(gè)根，從小到大依次為，，，，求證：；．【答案】(1)單調(diào)增區(qū)間為；單調(diào)遞減區(qū)間為(2)①；②證明見(jiàn)解析【解析】【分析】（1）將代入函數(shù)表達(dá)式，直接求導(dǎo)，即可得出結(jié)論；（2）①必須考慮函數(shù)的單調(diào)性，對(duì)稱性，還必須巧妙使用基本不等式，才能得出結(jié)論；②由于的非線性，以及不等式的特殊性，結(jié)合函數(shù)圖像，應(yīng)用函數(shù)的縮放法，將非線性轉(zhuǎn)化為線性，才有可能解決.(1)令，，，而在定義域上是單調(diào)遞減的，，時(shí)，，時(shí)，所以為的極大值點(diǎn)；所以在上單調(diào)遞增，單調(diào)遞減；故增區(qū)間為，減區(qū)間為(2)①，因?yàn)?，，，，?dāng)時(shí)取等號(hào).所以當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，又，符合要求；，……[1]，是關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱的，

當(dāng)時(shí)，由的對(duì)稱性，只需考慮，由得，’又，所以在上有零點(diǎn)，又，與有且只有一個(gè)零點(diǎn)矛盾，故答案為:；②由的對(duì)稱性，，由[1]，，，∴關(guān)于軸對(duì)稱，有4個(gè)根，如圖：與關(guān)于對(duì)稱，與關(guān)于對(duì)稱，由①中分析可知，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，則最多只有兩個(gè)根，∴，，，不妨考慮時(shí)，此時(shí)，記，由①得，是單調(diào)遞減的，所以，即在上恒成立，，推出，所以，所以又時(shí)，，，推出，并由對(duì)稱性，，證畢.【點(diǎn)睛】構(gòu)造函數(shù)是解決問(wèn)題的關(guān)鍵，只有構(gòu)造出這個(gè)函數(shù)，才能推出；的縮放法是解決最后一個(gè)問(wèn)題的關(guān)鍵，將非線性問(wèn)題轉(zhuǎn)化為線性問(wèn)題，類似的練習(xí)需要多做才能有體會(huì).16．（2022·浙江·寧波市鄞州高級(jí)中學(xué)高三開(kāi)學(xué)考試）已知函數(shù).(1)若在定義域內(nèi)單調(diào)遞減，求的取值范圍；(2)若在點(diǎn)處的切線斜率是，證明：有兩個(gè)極值點(diǎn)，，且3【答案】(1)；(2)證明見(jiàn)解析.【解析】【分析】(1)求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，由導(dǎo)函數(shù)值恒小于等于0求解作答.(2)利用導(dǎo)數(shù)結(jié)合函數(shù)零點(diǎn)存在性定理探討函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，再求出兩個(gè)極值點(diǎn)的范圍即可推理作答.(1)函數(shù)的定義域?yàn)?，依題意，，，令，，求導(dǎo)得，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，因此，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，，則，所以的取值范圍是.(2)由(1)知，，且，解得，，則，求導(dǎo)得，令，有，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，因此，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，而，，，即分別在區(qū)間和內(nèi)有零點(diǎn)，當(dāng)或時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以，函數(shù)在和內(nèi)各有一個(gè)極值點(diǎn)，即有兩個(gè)極值點(diǎn)，，而，，則有，又，，則有，于是得，，則，所以.【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：若可導(dǎo)函數(shù)f(x)在指定的區(qū)間D上單調(diào)遞增(減)，求參數(shù)范圍問(wèn)題，可轉(zhuǎn)化為(或)恒成立問(wèn)題，從而構(gòu)建不等式，要注意“=”是否可以取到.17．（2022·浙江省諸暨市第二高級(jí)中學(xué)高三階段練習(xí)）已知函數(shù)，，(1)當(dāng)，時(shí)，求函數(shù)在處的切線方程；(2)若且恒成立，求的取值范圍：(3)當(dāng)時(shí)，記，（其中）為在上的兩個(gè)零點(diǎn)，證明：.【答案】(1)；(2)；(3)詳見(jiàn)解析.【解析】【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義即求；（2）利用參變分離法可得當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，通過(guò)導(dǎo)函數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)可得函數(shù)的大致圖象，即得；（3）利用放縮法可得，即證，再通過(guò)分析問(wèn)題轉(zhuǎn)化為證在上恒成立，然后利用導(dǎo)數(shù)即證.(1)當(dāng)，時(shí)，，，∴，，∴函數(shù)在處的切線方程為；(2)由題意可知，當(dāng)時(shí)，不等式顯然成立，故；當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，記，則，∴函數(shù)的減區(qū)間為，函數(shù)的增區(qū)間為，∴當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，∴可得；綜上，的取值范圍為；(3)由上可知，，，對(duì)于函數(shù)，∴函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故，即，∴，又，∴，即，由，可得，要證，即證，，也即，設(shè)，即證在上恒成立，∵，∴在上單調(diào)遞增，∴，成立∴，綜上，.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：恒（能）成立問(wèn)題的解法：若在區(qū)間D上有最值，則（1）恒成立：；；（2）能成立：；.若能分離常數(shù)，即將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為：（或），則（1）恒成立：；；（2）能成立：；.18．（2022·浙江·溫州中學(xué)高三期末）設(shè)實(shí)數(shù)，且，函數(shù).(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(2)若函數(shù)有兩個(gè)不同的零點(diǎn).（i）求的取值范圍；（ii）證明：.【答案】(1)答案見(jiàn)解析(2)（i）；（ii）證明見(jiàn)解析【解析】【分析】（1）分和兩種情況去求的單調(diào)區(qū)間；（2）首先利用對(duì)數(shù)均值不等式把轉(zhuǎn)化為不等式，再構(gòu)造函數(shù)利用函數(shù)單調(diào)性去證明即可.(1)，當(dāng)時(shí)，，的單調(diào)遞增區(qū)間為.當(dāng)時(shí)，令，得，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，所以的單調(diào)遞減區(qū)間為，的單調(diào)遞增區(qū)間為.(2)（i）由（1）知，時(shí)，為極小值點(diǎn)，又函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，得.于是，得，即由在單調(diào)遞增，則由，可得此時(shí)，，，故，函數(shù)有兩個(gè)不同的零點(diǎn).（ii）證明：由則，得，于是，設(shè)的極值點(diǎn)為，又由，于是，令，則即在上單調(diào)遞增，又，則在恒成立.由，可令，則，即，即故有：.則，所以，欲證，只需證，只需證，又由，所以只需證，由，所以上述只需證，只需證，令，則即在上單調(diào)遞增.由，可知，所以上述不等式成立.【點(diǎn)睛】導(dǎo)數(shù)是研究函數(shù)的單調(diào)性、極值(最值)最有效的工具，而函數(shù)是高中數(shù)學(xué)中重要的知識(shí)點(diǎn)，對(duì)導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用的考查主要從以下幾個(gè)角度進(jìn)行：(1)考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，往往與解析幾何相聯(lián)系．(2)利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，判斷單調(diào)性；已知單調(diào)性，求參數(shù)．(3)利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值(極值)，解決生活中的優(yōu)化問(wèn)題．(4)考查數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．19．（2022·浙江·鎮(zhèn)海中學(xué)高三期末）對(duì)于正實(shí)數(shù)，熟知基本不等式：，其中為的算術(shù)平均數(shù)，為的幾何平均數(shù)．現(xiàn)定義的對(duì)數(shù)平均數(shù)：(1)設(shè)，求證：：(2)①利用第（1）小問(wèn)證明不等式：：②若不等式對(duì)于任意的正實(shí)數(shù)恒成立，求正實(shí)數(shù)的最大值．【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)①證明見(jiàn)解析；②【解析】【分析】（1）令，由可證得在上單調(diào)遞減,,即可證得結(jié)果.（2）（?。┮C，只要證，即證，令，由（1）有，即可證得結(jié)論.（ⅱ）由恒成立，化簡(jiǎn)即得