2020屆高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講練測(cè)專題22函數(shù)單調(diào)性與最值(講)文(含解析)

專題2.2函數(shù)的單一性與最值理解函數(shù)的單一性、最大(小)值及其幾何意義．會(huì)運(yùn)用基本初等函數(shù)的圖象剖析函數(shù)的性質(zhì).知識(shí)點(diǎn)一函數(shù)的單一性單一函數(shù)的定義增函數(shù)

減函數(shù)一般地，設(shè)函數(shù)

f(x)的定義域?yàn)?/p>

I，假如關(guān)于定義域

I

內(nèi)某個(gè)區(qū)間

D上的隨意兩個(gè)自變量的值x1，x2定義12121212)，當(dāng)x<x時(shí)，都有f(x)<f(x)，當(dāng)x<x時(shí)，都有f(x)>f(x那么就說(shuō)函數(shù)f(x)在區(qū)間D上是增那么就說(shuō)函數(shù)f(x)在區(qū)間D上是減函數(shù)函數(shù)圖象描繪自左向右看圖象是上漲的自左向右看圖象是降落的單一區(qū)間的定義假如函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間D上是增函數(shù)或減函數(shù)，那么就說(shuō)函數(shù)y＝f(x)在這一區(qū)間擁有(嚴(yán)格的)單一性，區(qū)間D叫做y＝f(x)的單一區(qū)間．知識(shí)點(diǎn)二函數(shù)的最值前提設(shè)函數(shù)y＝()的定義域?yàn)镮，假如存在實(shí)數(shù)知足fxM(1)關(guān)于隨意的x∈I，都有(3)關(guān)于隨意的x∈I，都有條件f(x)≤M；f(x)≥M；(2)存在x0∈I，使得f(x0)＝M(4)存在x0∈I，使得f(x0)＝M結(jié)論M為最大值M為最小值【特別提示】11.函數(shù)y＝f(x)(f(x)>0)在公共定義域內(nèi)與y＝－f(x)，y＝f（x）的單一性相反.a2.“對(duì)勾函數(shù)”y＝x＋x(a>0)的單一增區(qū)間為(－∞，－a)，(a，＋∞)；單一減區(qū)間是[－a，0)，(0，a].考點(diǎn)一判斷函數(shù)的單一性【典例1】【2019年高考北京文數(shù)】以下函數(shù)中，在區(qū)間（0，+）上單一遞加的是（）1A．yx2B．y=2xC．ylog1xD．y1x2【答案】A【分析】易知函數(shù)y2x,ylog1x，y1在區(qū)間(0,)上單一遞減，2x1函數(shù)yx2在區(qū)間(0,)上單一遞加.應(yīng)選A.【方法技巧】函數(shù)不含有參數(shù)．解決此類問(wèn)題時(shí)，第一確立定義域，而后利用單一性的定義或借助圖象求解即可?！咀兪?/p>

1】（2019·黑龍江大慶實(shí)驗(yàn)中學(xué)模擬）函數(shù)

f(x)＝ln(

x2－2x－8)的單一遞加區(qū)間是

(

)A．(－∞，－

2)

B．(－∞，

1)C．(1，＋∞)

D．(4，＋∞)【答案】

D【分析】函數(shù)y＝x2－2x－8＝(x－1)2－9圖象的對(duì)稱軸為直線x＝1，由x2－2x－8>0，解得x>4或x<－2，因此(4，＋∞)為函數(shù)y＝x2－2x－8的一個(gè)單一遞加區(qū)間．依據(jù)復(fù)合函數(shù)的單一性可知，函數(shù)f(x)＝ln(x2－2x－8)的單一遞加區(qū)間為(4，＋∞)．考點(diǎn)二確立含參函數(shù)的單一性(區(qū)間)【典例2】（2019·大連二十四中模擬）議論函數(shù)f(x)＝ax(≠0)在(－1,1)上的單一性．x－1a【分析】方法一：(定義法)設(shè)－1＜x1＜x2＜1，x－1＋11f(x)＝ax－1＝a1＋x－1，11則f(x1)－f(x2)＝a1＋x1－1－a1＋x2－1a(x2－x1)＝

(x1－1)(

x2－1)

.因?yàn)椋?＜x1＜x2＜1，因此x2－x1>0，x1－1＜0，x2－1＜0，故當(dāng)a>0時(shí)，f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)，函數(shù)f(x)在(－1,1)上單一遞減；當(dāng)a＜0時(shí)，f(x1)－f(x2)＜0，即f(x1)＜f(x2)，函數(shù)f(x)在(－1,1)上單一遞加。(ax)′(x－1)－(－1)′(x－1)－axa方法二：(導(dǎo)數(shù)法)f′(x)＝(x－1)2＝(x－1)2＝－(x－1)2當(dāng)a>0時(shí)，f′(x)＜0，函數(shù)f(x)在(－1,1)上單一遞減；當(dāng)a＜0時(shí)，f′(x)>0，函數(shù)f(x)在(－1,1)上單一遞加?！痉椒记伞颗袛嗪瘮?shù)單一性常用以下幾種方法：定義法：一般步驟為設(shè)元→作差→變形→判斷符號(hào)→得出結(jié)論．圖象法：假如f(x)是以圖象形式給出的，或許f(x)的圖象易作出，則可由圖象的上漲或降落確立單一性．導(dǎo)數(shù)法：先求導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)值的正負(fù)確立函數(shù)的單一區(qū)間．(4)性質(zhì)法：①關(guān)于由基本初等函數(shù)的和、差組成的函數(shù)，依據(jù)各初等函數(shù)的增減性及f(x)±g(x)增減性質(zhì)進(jìn)行判斷；21【變式2】（2019·安徽蚌埠二中模擬）判斷并證明函數(shù)f(x)＝ax＋x(此中1<a<3)在[1,2]上的單一性．21【分析】函數(shù)f(x)＝ax＋x(1<a<3)在[1,2]上單一遞加．證明：設(shè)1≤x1<x2≤2，則f(x21212121＝(x2－1a(x1＋x2)－1，x)x1x2由1≤x1<x2≤2，得x2－x1>0,2<x1＋x2<4，1<1x11xxx241又因?yàn)?<a<3，因此2<a(x1＋x2)<12，1得a(x1＋x2)－x1x2>0，進(jìn)而f(x)－f(x)>0，即f(x)>f(x)，2121故當(dāng)a∈(1,3)時(shí)，f(x)在[1,2]上單一遞加．考點(diǎn)三解函數(shù)不等式【典例3】（2019·山東濰坊一中模擬）已知函數(shù)f(x)為R上的減函數(shù)，則知足f1＜f(1)的實(shí)數(shù)xx的取值范圍是()A．(－1,1)B．(0,1)C．(－1,0)∪(0,1)D．(－∞，－1)∪(1，＋∞)【答案】C11>1，|x|＜1，【分析】由f(x)為R上的減函數(shù)且f＜f(1)，得x因此－1＜x＜0或x即x≠0，x≠0.0＜x＜1.應(yīng)選C.【方法技巧】求解函數(shù)不等式問(wèn)題，主假如利用函數(shù)的單一性將“f”符號(hào)脫掉，使其轉(zhuǎn)變?yōu)樵敿?xì)的不等式求解．此時(shí)應(yīng)特別注意函數(shù)的定義域以及函數(shù)奇偶性質(zhì)的應(yīng)用．【變式3】（2019·廣東深圳中學(xué)模擬）設(shè)函數(shù)f(x)是奇函數(shù)，且在(0，＋∞)內(nèi)是增函數(shù)，又f(－3)＝0，則f(x)<0的解集是()A．{x|－3<x<0或x>3}B．{x|x<－3或0<x<3}C．{x|x<－3或x>3}D．{x|－3<x<0或0<x<3}【答案】B【分析】∵f(x)是奇函數(shù)，f(－3)＝0，f(－3)＝－f(3)＝0，解得f(3)＝0.∵函數(shù)f(x)在(0，＋∞)內(nèi)是增函數(shù)，∴當(dāng)0<x<3時(shí)，f(x)<0；當(dāng)x>3時(shí)，f(x)>0.∵函數(shù)f(x)是奇函數(shù)，∴當(dāng)－3<x<0時(shí)，f(x)>0；當(dāng)x<－3時(shí)，f(x)<0.則不等式f(x)<0的解集是{x|0<x<3或x<－3}．考點(diǎn)四利用函數(shù)的單一性求參數(shù)a－x＋4a，x＜1，【典例4】（2019·重慶南開(kāi)中學(xué)模擬）若f(x)＝是定義在R上的減函數(shù)，－ax，x≥1則a的取值范圍為_(kāi)_______．1【答案】8，3【分析】由題意知，13a－1＜0，a＜3，a－＋4≥－，解得1aaa≥8，a>0，a>0，1因此a∈8，3.【方法技巧】依據(jù)函數(shù)單一性把問(wèn)題轉(zhuǎn)變?yōu)閱我粎^(qū)間關(guān)系的比較?！咀兪?】（2019·成都實(shí)驗(yàn)外國(guó)語(yǔ)學(xué)校模擬）設(shè)函數(shù)－x2＋4x，x≤4，f(x)＝若函數(shù)f(x)在區(qū)間log2x，x>4.(a，a＋1)上單一遞加，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是( )A．(－∞，1]B．[1,4]C．[4，＋∞)D．(－∞，1]∪[4，＋∞)【答案】D【分析】作出函數(shù)f(x)的圖象如下圖，由圖象可知，若f(x)在(a，a＋1)上單一遞加，需知足a≥4或＋1≤2，即a≤1或a≥4，應(yīng)選D.a考點(diǎn)五函數(shù)的最值【典例5】(2018·全國(guó)Ⅱ)若f(x)＝cosx－sinx在[0，a]上是減函數(shù)，則a的最大值是( )ππ3πA.4B.2C.4D．π【答案】C【分析】∵f(x)＝cosx－sinx＝－2sinx－π，4∴當(dāng)x－πππ，即π3π∈－，x∈－，時(shí)，42244πy＝sinx－4單一遞加，f(x)＝－π單一遞減，2sinx－4∴－π，3π是f(x)在原點(diǎn)鄰近的單一減區(qū)間，44聯(lián)合條件得[0，a]?－π，3π，443π3π∴a≤4，即amax＝4.【方法技巧】求函數(shù)最值(值域)的常用方法(1)單一性法：先確立函數(shù)的單一性，再由單一性求最值.(2)圖象法：先作出函數(shù)的圖象，再察看其最高點(diǎn)、最低點(diǎn)，求出最值.(3)基本不等式法：先對(duì)分析式變形，使之具備“一正二定三相等”的條件后用基本不等式求出最值.(4)導(dǎo)數(shù)法：先求導(dǎo)，而后求出在給定區(qū)間上的極值，最后聯(lián)合端點(diǎn)值，求出最值.【變式

5】（2019·山東菏澤一中模擬）定義新運(yùn)算⊕：當(dāng)

a≥b時(shí)，a⊕b＝a；當(dāng)

a<b時(shí)，a