普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)試題理全國(guó)卷含

2018年一般高等學(xué)校招生全國(guó)一致考試數(shù)學(xué)試題理（全國(guó)卷3）注意事項(xiàng)：1．答題前，考生務(wù)必然自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)碼填寫(xiě)在答題卡上.2．回答選擇題時(shí),選出每題答案后,用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需改動(dòng),用橡皮擦干凈后,在涂選其他答案標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí),將答案寫(xiě)在答題卡上,寫(xiě)在本試卷上無(wú)效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題（本題共12小題，每題5分，共60分．在每題給的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求的。）1．已知會(huì)集Ax|x1≥0，B0，1，2，則AIB（）A．0B．1C．1，2D．0，1，22．1i2i（）A．3iB．3iC．3iD．3i3．中國(guó)古建筑借助榫卯將木構(gòu)件連接起來(lái)，構(gòu)件的凸出部分叫棒頭，凹進(jìn)部分叫卯眼，圖中木構(gòu)件右邊的小長(zhǎng)方體是棒頭．若如圖擺放的木構(gòu)件與某一帶卯眼的木構(gòu)件咬合成長(zhǎng)方體，則咬合時(shí)帶卯眼的木構(gòu)件的俯視圖可以是（）4．若sin1，則cos2（）3A．8B．7C．7D．89999255．x2的張開(kāi)式中x4的系數(shù)為（）xA．10B．20C．40D．806．直線(xiàn)xy20分別與x軸，y軸交于A(yíng)，B兩點(diǎn)，點(diǎn)P在圓x22y22上，則ABP面積的取值范圍是（）A．2，6B．4，8C．2，32D．22，327．函數(shù)yx4x22的圖像大體為（）8．某集體中的每位成品使用搬動(dòng)支付的概率都為p，各成員的支付方式相互獨(dú)立，設(shè)X為該集體的10位成員中使用搬動(dòng)支付的人數(shù)，DX2.4，PX4PX6，則p（）A．B．C．D．9．△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若ABC的面積為a2b2c2，則C4（）A．2B．3C．4D．610．設(shè)A，B，C，D是同一個(gè)半徑為4的球的球面上四點(diǎn)，ABC為等邊三角形且其面積為93，則三棱錐DABC體積的最大值為（）A．123B．183C．243D．54311．設(shè)F1，F(xiàn)2x2y2OF2是雙曲線(xiàn)C：a2b21（a0，b0）的左，右焦點(diǎn)，是坐標(biāo)原點(diǎn)．過(guò)作C的一條漸近線(xiàn)的垂線(xiàn)，垂足為P．若PF16OP，則C的離心率為（）A．5B．2C．3D．212．設(shè)alog0.20.3，blog20.3，則（）A．a(chǎn)bab0B．a(chǎn)bab0C．a(chǎn)b0abD．a(chǎn)b0ab二、填空題（本題共13．已知向量a=1,2

4小題，每題5分，共20分），b=2,2，c=1,λ．若c∥

2a+b

，則

________．14．曲線(xiàn)yax1ex在點(diǎn)0，1處的切線(xiàn)的斜率為2，則a________．15．函數(shù)fxcos3x在0，的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為_(kāi)_______．616．已知點(diǎn)M1，12，過(guò)C的焦點(diǎn)且斜率為k的直線(xiàn)與C交于A(yíng)，B兩和拋物線(xiàn)C：y4x點(diǎn)．若∠AMB90，則k________．三、解答題（共70分，解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟，第17~21題為必考題，每個(gè)試題考生都必定作答，第22、23題為選考題，考生依照要求作答．）（一）必考題：共60分。17．（12分）等比數(shù)列an中，a11，a54a3．⑴求an的通項(xiàng)公式；⑵記Sn為an的前n項(xiàng)和．若Sm63，求m．18．（12分）某工廠(chǎng)為提高生產(chǎn)效率，張開(kāi)技術(shù)創(chuàng)新活動(dòng)，提出了完成某項(xiàng)生產(chǎn)任務(wù)的兩種新的生產(chǎn)方式．為比較兩種生產(chǎn)方式的效率，采用40名工人，將他們隨機(jī)分成兩組，每組20人，第一組工人用第一種生產(chǎn)方式，第二組工人用第二種生產(chǎn)方式．依照工人完成生產(chǎn)任務(wù)的工作時(shí)間（單位：min）繪制了以下莖葉圖：⑴依照莖葉圖判斷哪一種生產(chǎn)方式的效率更高？并說(shuō)明原由；⑵求40名工人完成生產(chǎn)任務(wù)所需時(shí)間的中位數(shù)m，并將完成生產(chǎn)任務(wù)所需時(shí)間高出m和不高出m的工人數(shù)填入下面的列聯(lián)表：高出m不高出m第一種生產(chǎn)方式第二種生產(chǎn)方式⑶依照⑵中的列聯(lián)表，能否有99%的掌握認(rèn)為兩種生產(chǎn)方式的效率有差異？附：K2nadbc2PK2≥k．a(chǎn)bcdacbd，k19．（12分）如圖，邊長(zhǎng)為2的正方形ABCD所在平面與半圓弧所在平面垂直，M是上異于C，的點(diǎn)．⑴證明：平面AMD⊥平面BMC；⑵當(dāng)三棱錐MABC體積最大時(shí)，求面MAB與面MCD所成二面角的正弦值．20．（12分）已知斜率為k的直線(xiàn)l與橢圓C：x2y21交于A(yíng)，B兩點(diǎn)．線(xiàn)段AB的中點(diǎn)為43M1，mm

0．⑴證明：

k

1；2⑵設(shè)

F

為C

的右焦點(diǎn)，

P為C

uuur上一點(diǎn),且FP

uuurFA

uuurFB

0．證明：

uuurFA

uuur，F(xiàn)P

uuur，F(xiàn)B成等差數(shù)列，并求該數(shù)列的公差．21．（12分）已知函數(shù)fx2xax2ln1x2x．⑴若a0，證明：當(dāng)1x0時(shí)，fx0；當(dāng)x0時(shí)，fx0；⑵若x0是fx的極大值點(diǎn)，求a．（二）選考題：共10分，請(qǐng)考生在第22、23題中任選一題作答。若是多做，則按所做的第一題計(jì)分．22．[選修4—4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程]（10分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，⊙O的參數(shù)方程為xcos，0，2且傾斜角為（為參數(shù)），過(guò)點(diǎn)的直sin線(xiàn)l與⊙O交于A(yíng)，B兩點(diǎn)．⑴求的取值范圍；⑵求AB中點(diǎn)P的軌跡的參數(shù)方程．23．[選修4—5：不等式選講]（10分）設(shè)函數(shù)fx2x1x1．⑴畫(huà)出yfx的圖像；⑵當(dāng)x∈0，，fx≤axb，求ab的最小值．參照答案一、選擇題1．答案：C解答：∵A{x|x10}{x|x1}，B{0,1,2}，∴AIB{1,2}.應(yīng)選C.2．答案：D解答：(1i)(2i)2ii23i，選D.3．答案：A解答：依照題意，A選項(xiàng)符號(hào)題意.4．答案：B解答：cos212sin212799

.應(yīng)選B.5．答案：C解答：C5r(x2)5r(2)rC5r2rx103r，當(dāng)r2時(shí)，103r4，此時(shí)系數(shù)xCr2rC22240.應(yīng)選C.556．答案：A解答：由直線(xiàn)xy20得A(2,0),B(0,2)，∴|AB|222222，圓(x2)2y22的圓心為(2,0)，∴圓心到直線(xiàn)xy20的距離為2222，11∴點(diǎn)P到直線(xiàn)xy20的距離的取值范圍為222d222，即2d32，∴SABP1|AB|d[2,6].27．答案：D解答：當(dāng)x0時(shí)，y2，可以消除A、B選項(xiàng)；又由于y4x32x4x(x2)(x2)，22則f(x)0的解集為(,2)U(0,2)，f(x)單調(diào)遞加區(qū)間為(,2)，(0,2)；2222f(x)0的解集為(2,0)U(2,)，f(x)單調(diào)遞減區(qū)間為(2,0)，(2,).2222結(jié)合圖象，可知D選項(xiàng)正確.8．答案：B解答：由X~B(10,p)，∴DX10p(1p)2.4，∴10p210p2.40，解之得p10.4,p20.6，由P(X4)P(X6)，有p0.6.9．答案：C解答：SABCa2b2c22abcosC1abcosC，又SABC1absinC，故4422tanC1，∴C4

.應(yīng)選C.10．答案：B解答：如圖，ABC為等邊三角形，點(diǎn)O為A，B，C，D外接球的球心，G為ABC的重心，由SABC93，得AB6，取BC的中點(diǎn)H，∴AHABsin6033，∴AG2AH23，∴球心O到面ABC的距離為d42(23)22，∴三棱錐31DABC體積最大值VDABC3.93(24)18311．答案：C|PF2|b，|OF2|c，∴|PO|a；又由于|PF|uuur6a；解答：∵6|OP|，所以|PF|11在RtPOF2中，cos|PF2|b；|OF2|c∵在RtPF1F2中，cos|PF2|2|F1F2|2|PF1|2b，2|PF2||F1F2|cb24c2(6a)2bb24c26a24b24c26a23c23a2∴2b2ccc23a2e3.12．答案：B解答：∵alog0.20.3，blog20.3，∴1log0.30.2，1log0.32，ab∴11log0.30.4，∴0111即0ab1，ababab又∵a0，b0，∴abab0，應(yīng)選B.二、填空題13．答案：1rrrrr240，解得1解答：2ab(4,2)，∵c//(2ab)，∴1.2214．答案：3解答：yaex(ax1)ex，則f(0)a12，所以a3.15．答案：3解答：由f(x)cos(3x)0，有3xk(kk，由Z)，解得x9k6623得k可取0,1,2，∴f(x)cos(3x)在[0,]上有3個(gè)零點(diǎn).039616．答案：2解答：依題意得，拋物線(xiàn)C的焦點(diǎn)為F(1,0)，故可設(shè)直線(xiàn)AB:yk(x1)，聯(lián)立yk(x1),消去y得k2x2(2k24)xk20，設(shè)A(x1,y1)，B(x2,y2)，則y24x,x12k241，∴y1y2k(x1x2)2k4x2k2，x1x2k，k2[x1x2uuuruuury1y2(x1x2)1]4.又MA(x1,y1)，MB(x21,y1)，∴112uuuruuurMAMB(x11)(x21)(y11)(y21)x1x2(x1x2)1y1y2(y1y2)112k24144k210，∴k2.k三、解答題17．答案：（1）an2n1或an(2)n1；（2）6.解答：（1）設(shè)數(shù)列{an}的公比為q，∴q2a54，∴q2.a3∴an2n1或an(2)n1.（2）由（1）知，Sn12n2n1或Sn1(2)n1[1(2)n]，12123∴Sm2m163或Sm1[1(2)m]63（舍），3∴m6.18．解答：（1）第一種生產(chǎn)方式的平均數(shù)為x184，第二種生產(chǎn)方式平均數(shù)為x274.7，∴x1x2，所以第一種生產(chǎn)方式完成任務(wù)的平均時(shí)間大于第二種，∴第二種生產(chǎn)方式的效率更高.（2）由莖葉圖數(shù)據(jù)獲取m80，∴列聯(lián)表為K2n(adbc)240(151555)2106.635（3）(ab)(cd)(ac)(bd)20202020，∴有99%的掌握認(rèn)為兩種生產(chǎn)方式的效率有差異.19．解答：（1）∵正方形ABCD半圓面CMD，∴AD半圓面CMD，∴AD平面MCD.∵CM在平面MCD內(nèi)，∴ADCM，又∵M(jìn)是半圓弧CD上異于C,D的點(diǎn)，∴CMMD.又∵ADIDMD，∴CM平面ADM，∵CM在平面BCM內(nèi)，∴平面BCM平面ADM.（2）如圖建立坐標(biāo)系：∵SABC面積恒定，∴MOCD，VMABC最大.M(0,0,1)，A(2,1,0)，B(2,1,0)，C(0,1,0)，D(0,1,0),urr設(shè)面MAB的法向量為m(x1,y1,z1)，設(shè)面MCD的法向量為n(x2,y2,z2)，uuur(2,1,1)，MB(2,1,1)，MAMC(0,1,1)，MD(0,1,1)，2x1y1z10ur(1,0,2)，2x1y1z10mr(1,0,0)同理n，，1525∴cos5，∴sin.5520．解答：（1）設(shè)直線(xiàn)l方程為ykxt，設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),ykxt聯(lián)立消y得(4k23)x28ktx4t2x2y2120，413則64k2t24(4t212)(34k2)0，得4k23t2①，且x1x28kt2，y1y2k(x1x2)2t6t2m，4k234k23∵m0，∴t0且k0.且t34k2②.4k由①②得4k23(34k2)2，16k2∴k11或k.22∵k0，∴k1.2uuruuruurruuruuurr（2）FPFAFB0，F(xiàn)P2FM0,M(1,m)，F(xiàn)(1,0)，∴P的坐標(biāo)為(1,2m).14m23，M(1,3)，由于P在橢圓上，∴1，∴m4342又x12y121，x22y221，4343兩式相減可得y1y23x1x2，x1x24y1y2又x1x22，y1y231，，∴k32直線(xiàn)l方程為y(x1)，47即yx，4yx74，∴y2x2143消去y得28x256x10，x1,214321，14uuruur(x11)2y121)2y22|FA||FB|(x23，uur(11)2(30)23|FP|,22uuuruuuruuur∴|FA||FB|2|FP|.uuuruuuruuur∴FA，F(xiàn)P，F(xiàn)B成等差數(shù)列，uuuruuurcxacx|c|xx|2d||FA||FB|||aa1a2a121(x1x2)24x1x2141321.∴d321.227142821．解答：（1）若a0時(shí)，f(x)(2x)ln(1x)2x(x1)，∴f(x)ln(1x)(2x)1x2ln(x1)11.11x1令h(x)ln(x1)1，x1∴h(x)11x.x1(x1)2(x1)2∴當(dāng)x0時(shí)，h(x)0，h(x)在(0,)上單調(diào)遞加，當(dāng)1x0時(shí)，h(x)0，h(x)在(1,0)上單調(diào)遞減.∴h(x)minh(0)ln1110，f(x)0恒建立，∴f(x)在(1,)上單調(diào)遞加，又f(0)2ln100，∴當(dāng)1x0時(shí)，f(x)0；當(dāng)x0時(shí)，f(x)0.（2）f(x)(2ax1)ln(x1)1ax2x11，f(x)2aln(x1)2ax12ax(x1)ax210，x1(x1)22a(x1)2ln(x1)(2ax1)(x1)ax22ax10，2a(x1)2ln(x1)3ax24axx0，a[2(x1)2ln(x1)3x24x]x.設(shè)h(x)2(x1)2ln(1x)3x24x，∴h(x)4(x1)ln(1x)2(x1)6x4，h(0)60，h(0)0，∴在x0鄰域內(nèi)，x0時(shí)，h(x)0，x0時(shí)，h(x)0.x0時(shí)，ax，由洛必達(dá)法規(guī)得a12(x1)2ln(1x)3x24x，6x0時(shí)，ax，由洛必達(dá)法規(guī)得a12(x1)2ln(1x)3x24x，6綜上所述，a1.622．解答：（1）eO的參數(shù)方程為xcos，∴eO的一般方程為x2y21，當(dāng)90時(shí)，ysin直線(xiàn)：l:x0與eO有兩個(gè)交點(diǎn)，當(dāng)90時(shí)，設(shè)直線(xiàn)l的方程為yxtan2，由直線(xiàn)l與eO有兩個(gè)交點(diǎn)有|002|，得tan21，∴tan或tan1，∴1tan2114590或90135，綜上(45,135).（2）點(diǎn)P坐標(biāo)為(x,y)，當(dāng)90時(shí)，點(diǎn)P坐標(biāo)為(0,0)，當(dāng)90時(shí)，設(shè)直線(xiàn)l的方程為ykx2，A(x1,y1),B(x