中考重難點(diǎn)攻關(guān)-二次函數(shù)綜合題型解析

中考重難點(diǎn)攻關(guān)——二次函數(shù)綜合題型解析二次函數(shù)是初中代數(shù)綜合性最強(qiáng)的知識(shí)，在不同地區(qū)、不同版本的中考試題中經(jīng)常做為壓軸題出現(xiàn)，足見(jiàn)其重要性。函數(shù)思想和解題方法原理不僅僅局限于初中學(xué)習(xí)，在高中、大學(xué)及以后的生活、工作中都有廣泛的用途。在中考前的復(fù)習(xí)中掌握好二次函數(shù)的綜合題解題方法，將大大提高中考成績(jī)?，F(xiàn)舉一例：【四川省內(nèi)江市2019中考試題加試卷壓軸題】已知拋物線C1：與C2：的頂點(diǎn)相同.(1)求拋物線C2的解析式；(2)點(diǎn)A是拋物線C2在第四象限內(nèi)的一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)A作AP⊥x軸，P為垂足，求AP+OP的最大值；Q1B1’Q2B2’B?COxyAPG1G2(3)Q1B1’Q2B2’B?COxyAPG1G2難度：★★★★考點(diǎn)：函數(shù)綜合應(yīng)用解析：(1)∵拋物線C1：的頂點(diǎn)為(1，-4)，又拋物線C1與C2：的頂點(diǎn)相同，∴，解得m=2，進(jìn)而解得n=-3，∴拋物線C2的解析式是.(2)拋物線C2：與x軸交于點(diǎn)(-1，0)和(3，0)設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)為(a，a2-2a-3)(0＜a＜3)，則點(diǎn)P坐標(biāo)為(a，0)，∴AP+OP=|a2-2a-3|+a=-a2+3a+3=∴當(dāng)時(shí)，AP+OP取得最大值，為.(3)連結(jié)BC.拋物線C2的對(duì)稱軸為直線l：x=1∵點(diǎn)B的坐標(biāo)為(-1，-4)，點(diǎn)C的坐標(biāo)為(1，-4)，∴BC=2，BC⊥直線l.假設(shè)在拋物線C2上存在滿足條件的點(diǎn)B’，過(guò)點(diǎn)B’作B’G⊥直線l于點(diǎn)G，則有△BCQ≌△QGB’，進(jìn)而有BC=QG=2，CQ=GB’.設(shè)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(1，q)，點(diǎn)B’的坐標(biāo)為(x，x2-2x-3)，則QG=x2-2x-3-q=2，CQ=|-4-q|，GB’=|x-1|聯(lián)立，整理得q2+7q+10=0，解得q=-2或-5∴滿足要求的點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(1，-2)或(1，-5).題型一：二次函數(shù)中的最值問(wèn)題例1：如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=ax2+bx+c經(jīng)過(guò)A(-2,-4)，O(0,0)，B(2,0)三點(diǎn)．(1)求拋物線y=ax2+bx+c的解析式；(2)若點(diǎn)M是該拋物線對(duì)稱軸上的一點(diǎn)，求AM+OM的最小值．解：(1)把A(-2,-4)，O(0,0)，B(2,0)三點(diǎn)的坐標(biāo)代入y=ax2+bx+c中，得解這個(gè)方程組，得a=，b=1，c=0M所以解析式為．M(2)由，可得拋物線的對(duì)稱軸為x=1，并且對(duì)稱軸垂直平分線段OB∴OM=BM∴OM+AM=BM+AM連接AB，交直線x=1于M點(diǎn)，則此時(shí)OM+AM最小，過(guò)點(diǎn)A作AN⊥x軸于點(diǎn)N，在Rt△ABN中，AB，因此OM+AM最小值為.方法提煉：已知一條直線上一動(dòng)點(diǎn)M和直線同側(cè)兩個(gè)固定點(diǎn)A、B，求AM+BM最小值的問(wèn)題，只需做出點(diǎn)A關(guān)于這條直線的對(duì)稱點(diǎn)A’，將點(diǎn)B與A’連接起來(lái)交直線與點(diǎn)M，那么A’B就是AM+BM的最小值。同理，也可以做出點(diǎn)B關(guān)于這條直線的對(duì)稱點(diǎn)B’，將點(diǎn)A與B’連接起來(lái)交直線與點(diǎn)M，那么AB’就是AM+BM的最小值。應(yīng)用的原理是：兩點(diǎn)之間線段最短。例2：已知拋物線C1的函數(shù)解析式為，若拋物線C1經(jīng)過(guò)點(diǎn)，方程的兩根為，，且。(1)求拋物線C1的頂點(diǎn)坐標(biāo).(2)已知實(shí)數(shù)，請(qǐng)證明：≥，并說(shuō)明為何值時(shí)才會(huì)有.(3)若拋物線先向上平移4個(gè)單位，再向左平移1個(gè)單位后得到拋物線C2，設(shè)，是C2上的兩個(gè)不同點(diǎn)，且滿足：∠AOB=90°，m＞0，n＜0，.請(qǐng)你用含有的表達(dá)式表示出△的面積，并求出的最小值及取最小值時(shí)一次函數(shù)的函數(shù)解析式。解：(1)∵拋物線過(guò)點(diǎn)，∴-3a＝-3∴a＝1∴y=x2+bx-3∵x2+bx-3=0的兩根為x1，x2且＝4∴且b＜0∴b＝-2∴y=x2-2x-3=(x-1)2-4∴拋物線C1的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(1，-4)(2)∵x＞0，∴≥0∴≥0，顯然當(dāng)x＝1時(shí)，才有(3)方法一：由平移知識(shí)易得C2的解析式為：y＝x2∴A(m，m２)，B（n，n２）∵△AOB為直角三角形，∴OA２+OB２=AB２∴m２＋m４＋n２＋n４＝(m－n)２＋(m２－n２)２化簡(jiǎn)得：mn＝-1∵又∵mn＝-1∴＝∴S△AOB的最小值為1，此時(shí)m＝1,A(1，1)∴直線OA的一次函數(shù)解析式為y＝x方法提煉：①已知一元二次方程兩個(gè)根x1，x2求。因?yàn)?②例3：如圖，已知拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(-1，0)、B(3，0)、C(0，3)三點(diǎn)．(1)求拋物線的解析式．(2)點(diǎn)M是線段BC上的點(diǎn)（不與B，C重合），過(guò)M作MN∥y軸交拋物線于N，若點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為m，請(qǐng)用m的代數(shù)式表示MN的長(zhǎng)．(3)在(2)的條件下，連接NB、NC，是否存在m，使△BNC的面積最大？若存在，求m的值；若不存在，說(shuō)明理由．解：(1)設(shè)拋物線的解析式為：y=a(x+1)(x-3)，則：a(0+1)(0-3)=3，a=-1；∴拋物線的解析式：y=-(x+1)(x-3)=-x2+2x+3．(2)設(shè)直線BC的解析式為：y=kx+b，則有：，解得；故直線BC的解析式：y=-x+3．∵點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為m，∴M(m，-m+3)、N(m，-m2+2m+3)；∴故MN=-m2+2m+3-(-m+3)=-m2+3m(0＜m＜3)．(3)如圖.∵S△BNC=S△MNC+S△MNB=，∴S△BNC=（0＜m＜3）；∴當(dāng)m=時(shí)，△BNC的面積最大，最大值為．方法提煉：因?yàn)椤鰾NC的面積不好直接求，將△BNC的面積分解為△MNC和△MNB的面積和。然后將△BNC的面積表示出來(lái)，得到一個(gè)關(guān)于m的二次函數(shù)。此題利用的就是二次函數(shù)求最值的思想，當(dāng)二次函數(shù)的開(kāi)口向下時(shí)，在頂點(diǎn)處取得最大值；當(dāng)二次函數(shù)的開(kāi)口向上時(shí)，在頂點(diǎn)處取得最小值。題型二：二次函數(shù)與三角形的綜合問(wèn)題例4：如圖，已知：直線交x軸于點(diǎn)A，交y軸于點(diǎn)B，拋物線y=ax2+bx+c經(jīng)過(guò)A、B、C(1，0)三點(diǎn).(1)求拋物線的解析式;(2)若點(diǎn)D的坐標(biāo)為(-1，0)，在直線上有一點(diǎn)P，使△ABO與△ADP相似，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；(3)在(2)的條件下，在x軸下方的拋物線上，是否存在點(diǎn)E，使△ADE的面積等于四邊形APCE的面積？如果存在，請(qǐng)求出點(diǎn)E的坐標(biāo)；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．解：(1)由題意得，A(3，0)，B(0，3)∵拋物線經(jīng)過(guò)A、B、C三點(diǎn)，∴把A(3，0)，B(0，3)，C(1，0)三點(diǎn)分別代入得方程組解得：∴拋物線的解析式為(2)由題意可得：△ABO為等腰三角形,如圖所示，若△ABO∽△AP1D，則∴DP1=AD=4，∴P1(-1，4)若△ABO∽△ADP2，過(guò)點(diǎn)P2作P2M⊥x軸于M，AD=4,∵△ABO為等腰三角形,∴△ADP2是等腰三角形,由三線合一可得：DM=AM=2=P2M，即點(diǎn)M與點(diǎn)C重合∴P2(1，2)(3)如圖設(shè)點(diǎn)E(x，y)，則①當(dāng)P1(-1，4)時(shí)，=∴，∴∵點(diǎn)E在x軸下方，∴y=-4代入得：x2-4x+3=-4，即x2-4x+7=0∵△=(-4)2-4×7=-12＜0∴此方程無(wú)解.②當(dāng)P2(1，2)時(shí)，=∴∴∵點(diǎn)E在x軸下方∴y=-2代入得：x2-4x+3=-2，即x2-4x+5=0∵△=(-4)2-4×5=-4＜0∴此方程無(wú)解.綜上所述，在x軸下方的拋物線上不存在這樣的點(diǎn)E。方法提煉：①求一點(diǎn)使兩個(gè)三角形相似的問(wèn)題，我們可以先找出可能相似的三角形，一般是有幾種情況，需要分類討論，然后根據(jù)兩個(gè)三角形相似的邊長(zhǎng)相似比來(lái)求點(diǎn)的坐標(biāo)。②要求一個(gè)動(dòng)點(diǎn)使兩個(gè)圖形面積相等，我們一般是設(shè)出這個(gè)動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)，然后根據(jù)兩個(gè)圖形面積相等來(lái)求這個(gè)動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)。如果圖形面積直接求不好求的時(shí)候，我們要考慮將圖形面積分割成幾個(gè)容易求解的圖形。例5：如圖，點(diǎn)A在x軸上，OA=4，將線段OA繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°至OB的位置．(1)求點(diǎn)B的坐標(biāo)；(2)求經(jīng)過(guò)點(diǎn)A、O、B的拋物線的解析式；(3)在此拋物線的對(duì)稱軸上，是否存在點(diǎn)P，使得以點(diǎn)P、O、B為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形？若存在，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由．解：(1)如圖，過(guò)B點(diǎn)作BC⊥x軸，垂足為C，則∠BCO=90°，∵∠AOB=120°，∴∠BOC=60°，又∵OA=OB=4，∴OC=OB=×4=2，BC=OB?sin60°=4×=，∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為(-2，-)；(2)∵拋物線過(guò)原點(diǎn)O和點(diǎn)A、B，∴可設(shè)拋物線解析式為y=ax2+bx，將A(4，0)，B(-2，-)代入，得DP，解得，∴此拋物線的解析式為DP(3)存在，如圖，拋物線的對(duì)稱軸是x=2，直線x=2與x軸的交點(diǎn)為D，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(2，y)，C①若OB=OP，則22+|y|2=42，解得y=±，C當(dāng)y=時(shí)，在Rt△POD中，∠PDO=90°，sin∠POD=，∴∠POD=60°，∴∠POB=∠POD+∠AOB=60°+120°=180°，即P、O、B三點(diǎn)在同一直線上，∴y=不符合題意，舍去，∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為(2，-)②若OB=PB，則42+|y+|2=42，解得y=-，故點(diǎn)P的坐標(biāo)為(2，-)，③若OP=BP，則22+|y|2=42+|y+|2，解得y=-，故點(diǎn)P的坐標(biāo)為(2，-)，綜上所述，符合條件的點(diǎn)P只有一個(gè)，其坐標(biāo)為(2，-).方法提煉：求一動(dòng)點(diǎn)使三角形成為等腰三角形成立的條件，這種題型要用分類討論的思想。因?yàn)橐挂粋€(gè)三角形成為等腰三角形，只要三角形的任意兩個(gè)邊相等就可以，所以應(yīng)該分三種情況來(lái)討論。題型三：二次函數(shù)與四邊形的綜合問(wèn)題例6：綜合與實(shí)踐：如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=﹣x2+2x+3與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)D是該拋物線的頂點(diǎn)．(1)求直線AC的解析式及B，D兩點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)點(diǎn)P是x軸上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)P作直線l∥AC交拋物線于點(diǎn)Q，試探究：隨著P點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)，在拋物線上是否存在點(diǎn)Q，使以點(diǎn)A、P、Q、C為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出符合條件的點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．(3)請(qǐng)?jiān)谥本€AC上找一點(diǎn)M，使△BDM的周長(zhǎng)最小，求出M點(diǎn)的坐標(biāo)．解：(1)當(dāng)y=0時(shí)，﹣x2+2x+3=0，解得x1=-1，x2=3．∵點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)，∴A、B的坐標(biāo)分別為(-1，0)，(3，0)．當(dāng)x=0時(shí)，y=3．∴C點(diǎn)的坐標(biāo)為(0，3).設(shè)直線AC的解析式為y=k1x+b1(k1≠0)，則，解得，∴直線AC的解析式為y=3x+3．∵y=-x2+2x+3=-(x-1)2+4，∴頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為(1，4)．(2)拋物線上有三個(gè)這樣的點(diǎn)Q，①當(dāng)點(diǎn)Q在Q1位置時(shí)，Q1的縱坐標(biāo)為3，代入拋物線可得點(diǎn)Q1的坐標(biāo)為(2，3)；②當(dāng)點(diǎn)Q在點(diǎn)Q2位置時(shí)，點(diǎn)Q2的縱坐標(biāo)為-3，代入拋物線可得點(diǎn)Q2坐標(biāo)為(1+，-3)；③當(dāng)點(diǎn)Q在Q3位置時(shí)，點(diǎn)Q3的縱坐標(biāo)為-3，代入拋物線解析式可得，點(diǎn)Q3的坐標(biāo)為(1-，-3)；綜上可得滿足題意的點(diǎn)Q有三個(gè)，分別為：Q1(2，3)，Q2(1+，-3)，Q3(1-，-3)．(3)點(diǎn)B作BB′⊥AC于點(diǎn)F，使B′F=BF，則B′為點(diǎn)B關(guān)于直線AC的對(duì)稱點(diǎn)．連接B′D交直線AC與點(diǎn)M，則點(diǎn)M為所求，過(guò)點(diǎn)B′作B′E⊥x軸于點(diǎn)E．∵∠1和∠2都是∠3的余角，∴∠1=∠2．∴Rt△AOC～Rt△AFB，∴，由A(-1，0)、B(3，0)C(0，3)得OA=1，OB=3，OC=3，∴AC=，AB=4．∴，∴BF=，∴BB′=2BF=，由∠1=∠2可得Rt△AOC∽R(shí)t△B′EB，∴，∴．∴B′E=，BE=，∴OE=BE-OB=-3=．∴B′點(diǎn)的坐標(biāo)為(-，)．設(shè)直線B′D的解析式為y=k2x+b2(k2≠0)．∴，解得，∴直線B'D的解析式為：，聯(lián)立B'D與AC的直線解析式可得：，解得，∴M點(diǎn)的坐標(biāo)為．方法提煉：求一動(dòng)點(diǎn)使四邊形成為平行四邊形成立的條件，這種題型要用分類討論的思想，一般需要分三種情況來(lái)討論。題型四：二次函數(shù)與圓的綜合問(wèn)題例7：如圖，半徑為2的⊙C與x軸的正半軸交于點(diǎn)A，與y軸的正半軸交于點(diǎn)B，點(diǎn)C的坐標(biāo)為（1，0）．若拋物線過(guò)A、B兩點(diǎn)．（1）求拋物線的解析式；（2）在拋物線上是否存在點(diǎn)P，使得∠PBO=∠POB？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在說(shuō)明理由；（3）若點(diǎn)M是拋物線（在第一象限內(nèi)的部分）上一點(diǎn)，△MAB的面積為S，求S的最大（?。┲担猓海?）如答圖1，連接OB．∵BC=2，OC=1∴OB=∴B（0，）將A(3，0)，B(0，)代入二次函數(shù)的表達(dá)式得，解得，∴．（2）存在．如答圖2，作線段OB的垂直平分線l，與拋物線的交點(diǎn)即為點(diǎn)P．∵B（0，），O（0，0），∴直線l的表達(dá)式為．代入拋物線的表達(dá)式，得；解得，∴P（）．（3）如答圖3，作MH⊥x軸于點(diǎn)H．設(shè)M（），則S△MAB=S梯形MBOH+S△MHA﹣S△OAB=(MH+OB)·OH+HA·MH﹣OA·OB==∵，∴=xyBAPHCOD∴當(dāng)時(shí)，xyBAPHCOD題型五：二次函數(shù)中的證明問(wèn)題例8：如圖，已知二次函數(shù)的圖像過(guò)點(diǎn)A(-4，3），B(4，4).（1）求二次函數(shù)的解析式：（2）求證：△ACB是直角三角形；（3）若點(diǎn)P在第二象限，且是拋物線上的一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作PH垂直x軸于點(diǎn)H，是否存在以P、H、D為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由。解：（1）將A(-4，3），B(4，4)代入中，整理得：解得∴二次函數(shù)的解析式為：，整理得：（2）由整理得∴C(-2，0)，D(，0)從而有：AC2=4+9，BC2=36+16，AC2+BC2=13+52=65，AB2=64+1=65∴AC2+BC2=AB2，故△ACB是直角三角形.（3）設(shè)(x＜0)PH=，HD=，AC=，BC=.①當(dāng)△PHD∽△ACB時(shí)有：即：整理∴，（舍去）.此時(shí)，∴.②當(dāng)△DHP∽△ACB時(shí)有：即：整理，得∴，（舍去）此時(shí)，∴.綜上所述，滿足條件的點(diǎn)有兩個(gè)即，.例9：在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)P是拋物線：y=x2上的動(dòng)點(diǎn)(點(diǎn)在第一象限內(nèi)).連接OP，過(guò)點(diǎn)O作OP的垂線交拋物線于另一點(diǎn)Q．連接PQ，交y軸于點(diǎn)M．作PA丄x軸于點(diǎn)A，QB丄x軸于點(diǎn)B．設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m．（1）如圖1，當(dāng)m=時(shí)，①求線段OP的長(zhǎng)和tan∠POM的值；②在y軸上找一點(diǎn)C，使△OCQ是以O(shè)Q為腰的等腰三角形，求點(diǎn)C的坐標(biāo)；（2）如圖2，連接AM、BM，分別與OP、OQ相交于點(diǎn)D、E．①用含m的代數(shù)式表示點(diǎn)Q的坐標(biāo)；②求證：四邊形ODME是矩形．解：（1）①把x=代入y=x2，得y=2，∴P（，2），∴OP=.∵PA丄x軸，∴PA∥MO．∴tan∠POM=tan∠OPA==．②設(shè)Q（n，n2），∵tan∠QOB=tan∠POM，∴．∴n=.∴Q（，），∴OQ=．當(dāng)OQ=OC時(shí)，則C1（0，），C2（0，）；當(dāng)OQ=CQ時(shí)，則C3（0，1）．（2）①∵P（m，m2），設(shè)Q（n，n2），∵△APO∽△BOQ，∴∴，得，∴Q．②設(shè)直線PO的解析式為y=kx+b，把P（m，m2）、Q代入，得：解得b=1，∴M（0，1）∵，∠QBO=∠MOA=90°，∴△QBO∽△MOA∴∠MAO=∠QOB，∴QO∥MA同理可證：EM∥OD又∵∠EOD=90°，∴四邊形ODME是矩形．題型六：自變量取值范圍問(wèn)題 例10：如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，四邊形ABCD是菱形，頂點(diǎn)A、C、D均在坐標(biāo)軸上，且AB=5，sinB=．（1）求過(guò)A、C、D三點(diǎn)的拋物線的解析式；（2）記直線AB的解析式為y1=mx+n，（1）中拋物線的解析式為y2=ax2+bx+c，求當(dāng)y1＜y2時(shí)，自變量x的取值范圍；（3）設(shè)直線AB與（1）中拋物線的另一個(gè)交點(diǎn)為E，P點(diǎn)為拋物線上A、E兩點(diǎn)之間的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)P點(diǎn)在何處時(shí)，△PAE的面積最大？并求出面積的最大值．解：（1）∵四邊形ABCD是菱形，∴AB=AD=CD=BC=5，sinB=sinD=；Rt△OCD中，OC=CD·sinD=4，OD=3；OA=AD﹣OD=2，即：A(﹣2，0)、B(﹣5，4)、C(0，4)、D(3，0)；設(shè)拋物線的解析式為：y=a(x+2)(x﹣3)，得：2×(﹣3)a=4，a=﹣；∴拋物線：．（2）由A(﹣2，0)、B(﹣5，4)得直線AB：；由（1）得，則：，解得，；由圖可知：當(dāng)y1＜y2時(shí)，﹣2＜x＜5．（3）∵S△APE=AE·h，∴當(dāng)P到直線AB的距離最遠(yuǎn)時(shí)，S△ABC最大；若設(shè)直線l∥AB，則直線l與拋物線有且只有一個(gè)交點(diǎn)時(shí)，該交點(diǎn)為點(diǎn)P；設(shè)直線l：