《§11、3等比數(shù)列》學(xué)案

《§11、3等比數(shù)列》學(xué)案一、學(xué)習(xí)要求：1、知道掌握等比數(shù)列的定義；2、知道掌握等比數(shù)列的通項(xiàng)公式和等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式；；3、能應(yīng)用等比數(shù)列的知識解決一些簡單的實(shí)際問題。二、學(xué)習(xí)重點(diǎn)、難點(diǎn)：重點(diǎn)：等比數(shù)列的定義；等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及應(yīng)用；等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式及其應(yīng)用。難點(diǎn)：等比數(shù)列的概念及應(yīng)用等比數(shù)列解決有關(guān)問題。三、學(xué)時安排共3學(xué)時第一學(xué)時：知道等比數(shù)列的定義和等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，并能進(jìn)行簡單的應(yīng)用。第二學(xué)時：了解等比中項(xiàng)概念，會用等比數(shù)列的求和公式進(jìn)行應(yīng)用。第三學(xué)時：綜合應(yīng)用等差數(shù)列和等比數(shù)列的概念及相關(guān)公式解決有關(guān)實(shí)際問題。四、學(xué)習(xí)過程：第一學(xué)時（一）課前嘗試1、學(xué)法指導(dǎo)（1）觀察兩個數(shù)列的結(jié)構(gòu)特征，引入等比數(shù)列的概念。（2）分析等比數(shù)列從第二項(xiàng)起，它與前邊一項(xiàng)之間的關(guān)系，嘗試推導(dǎo)等比數(shù)列通項(xiàng)公式。（3）運(yùn)用等比數(shù)列的定義和通項(xiàng)公式解決有關(guān)的簡單問題。2、嘗試練習(xí)（1）判斷下列數(shù)列是否是等比數(shù)列？如果是等比數(shù)列，求出它們的公比q：①0，0，0，0，…… ②1.21,1.331,1.4641,1.61051,……③-L-.，0.1, 10,1000,……1000（2）試在括號內(nèi)填上適當(dāng)?shù)臄?shù)，使下列數(shù)列是等比數(shù)列：①( )，3,27； ②16,( ),( ),2；(3)設(shè)0.3,0.09,0.027為一個等比數(shù)列的前3項(xiàng)，求其公比q,第5項(xiàng)和第n項(xiàng)。(二)課堂探究1、探究問題(1)某企業(yè)制定五年發(fā)展規(guī)劃,若當(dāng)年(也就是第一年)的產(chǎn)值是1200萬元,計(jì)劃每年以13.7%的速度增長,那么從當(dāng)年算起,5年的產(chǎn)值依次為多少？并說出數(shù)據(jù)的特點(diǎn)。(2)汽車購買時的價格是20萬元,每年的折舊率是10%(就是說這輛車每年減少它的價值的10%),那么這輛車從購買當(dāng)年算起,10年之內(nèi)逐年的價值(單位：萬元)依次為多少？并說出數(shù)據(jù)的特點(diǎn)。2、知識鏈接：(1)等比數(shù)列的概念數(shù)列｝是等比數(shù)列O院=q (q是常數(shù))nan(2)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式：a=aqn-1n1推論：公比為q的等比數(shù)列｝的項(xiàng)之間存在關(guān)系式：a=aqn一mn nm3、拓展練習(xí)(1)下面是數(shù)列｝的前4項(xiàng)，據(jù)此判斷：哪些是等比數(shù)列？為什么？如果是n等比數(shù)列，求出公比q.①-1，-4，-16，-64，…； ②2，2，2，2，…；③1,1,1」」,???； ④0，1，2，22,23,24，…2468

(2)求出下列等比數(shù)列中的未知項(xiàng)：①2,a,8(a>0)； ②4,b,c,1.2(3)(3)已知等比數(shù)列L｝為2,

n6,18,54,…，求其公比q,a和a.5n(4)在等比數(shù)列b｝中:n⑴已知b⑴已知bi=3,q=2,求b6.；(2)已知b=20,b=160,求b3 6 n.(5)在培育水稻新品種中,如果第一代得到120粒種子,并且從第一代起,由以后各代的每一粒種子都可以得到120粒下一代的種子,問到第5代大約可以得到這個新品種的種子多少粒？4、當(dāng)堂訓(xùn)練(1)已知等比數(shù)列的通項(xiàng)公式a=1.10〃，求其首項(xiàng)與公比；n4(2)在等比數(shù)列｛a｝中，a=2,a=18,q>0,求q與an 3 5 10.(3)已知｛a｝是無窮等比數(shù)列，公比為q：(A層次)n①將數(shù)列｝中的前k項(xiàng)去掉，剩余各項(xiàng)按原來順序組成一個新數(shù)列，這個新數(shù)n列是等比數(shù)列嗎？如果是,它的首項(xiàng)與公比分別是多少？②取出數(shù)列^a｝中的所有奇數(shù)項(xiàng)，組成一個新的數(shù)列，這個數(shù)列是等比數(shù)列嗎?n如果是，它的公比是多少？③數(shù)列｝中，每隔10項(xiàng)取出一項(xiàng)，組成一個新的數(shù)列，這個數(shù)列是等比數(shù)列n嗎？如果是，它的公比是多少？5、歸納總結(jié)（三）課后拓展1、判斷256是否是等比數(shù)列1,2,4,8,…的項(xiàng)，并說明理由，如果是，它是第幾項(xiàng)？2、在等比數(shù)列^a｝中，若a=1,q=1，求an 4 2 2 6.3、在-2和-162之間插入三個數(shù),使這5個數(shù)成等比數(shù)列,求這三個數(shù)。（四）格言警句科學(xué)成就就是由一點(diǎn)一滴積累起來的。唯有長時期的積聚才能由點(diǎn)滴匯成大海。（華羅庚）第二學(xué)時(一)課前嘗試1、學(xué)法指導(dǎo)(1)根據(jù)等比數(shù)列的定義，導(dǎo)出等比中項(xiàng)概念；(2)在應(yīng)用等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式時，必須要考察其公公比的取值情況。若公比q=1，則應(yīng)該使用S=na求和；若公比q=1,則應(yīng)使用n1S=ai(1-qn)=aZaq求和。其中q/1時，等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式有n1-q1-q兩種形式，要根據(jù)題設(shè)條件合理使用。2、嘗試練習(xí)(1)求3與27的等比中項(xiàng)；(2)在等比數(shù)列｝中，a=3,q=2，求前5項(xiàng)的和Sn 1 5.(3)求在等比數(shù)列1,3,9,…，2187的和。(二)課堂探究1、探究問題(1)坐標(biāo)平面上作出點(diǎn)(n,aqn-1)(n=1,2,3，…)，它們對應(yīng)什么函數(shù)圖象；反之函數(shù)j=aqx-1圖象上對應(yīng)于x=1,2,3,…的點(diǎn)的縱坐標(biāo)有什么特點(diǎn)？(2)如何求上節(jié)中探究問題中的5年內(nèi)的企業(yè)總產(chǎn)值。2、知識鏈接(1)等比中項(xiàng)：G2=a?boG=±工a?b注意：當(dāng)且僅當(dāng)兩個同號的數(shù)a,b(ab=0)才有等比中項(xiàng)。(2)等比數(shù)列前n項(xiàng)和：S=呸匕竺)或s=a「anq(q/1)n1—qn 1-q說明：①公式推導(dǎo)運(yùn)用了錯位相消法。這是很重要的數(shù)學(xué)思想；②當(dāng)已知a，q，n時用前者；當(dāng)已知a，q，a時用后者。

1 1n3、拓展練習(xí)(1)求5與125的正等比中項(xiàng)。(2)某企業(yè)要在今年起的今后10年內(nèi)，把產(chǎn)值翻一番，求平均每年的增值率？(A層次)(3)在等比數(shù)列｝中，：nTOC\o"1-5"\h\z①已知a=-4,q=L求前10項(xiàng)的和S1 2 10.②已知a=1,a=243,q=3，求前k項(xiàng)的和S1 k k.(4)已知等比數(shù)列L｝中，a=5,a=40，求其前7項(xiàng)之和Sn 2 5 7.說明：在等比數(shù)列｝中，常采用這種兩式相除消去法。n(5)某商場第1年銷售計(jì)算機(jī)5000臺，計(jì)劃平均每年的銷售量比上一年增加10%，那么從第一年起，約幾年內(nèi)可使總銷售量達(dá)到30000臺？4、當(dāng)堂訓(xùn)練（1）求3+2J2與3-2貶的等比中項(xiàng)；⑵求等比數(shù)列1,1,1，…的前6項(xiàng)的和；248（3）在等比數(shù)列｝中：n17①已知q=,S=3-，求a和a；TOC\o"1-5"\h\z25 8 1 5②已知a=11,S=41，求a與q.3 23 2 15、歸納總結(jié)（三）課后拓展1、已知等比數(shù)列｝中，a=1,q=2=2，求它的第5項(xiàng)和前5項(xiàng)的和；n 12、在等比數(shù)列｝中，已知a=1,a=1,求Sn 145 10.3、在等比數(shù)列｛a｝中，已知a—a=216,a—a=8,S=40,求a、q和n.n 64 31 n 1（四）格言警句如果我們過于爽快地承認(rèn)失敗，就可能使自己發(fā)覺不了我們非常接近于正確。（卡爾?波普爾）第三學(xué)時（一）課前嘗試1、學(xué)法指導(dǎo)（1）回顧等比數(shù)列的定義，從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)之比是一個確定的常數(shù)q,這個常數(shù)q可以為正數(shù)也可以是一個負(fù)數(shù)；（2）等比數(shù)列｝中，a、n、q、a、S這5個量中只要知道其中3個量即n 1 nn可求出其余兩個量；（3）綜合運(yùn)用等差數(shù)列和等比數(shù)列的定義、通項(xiàng)公式和求和公式解決有關(guān)的實(shí)際問題。2、嘗試練習(xí)（1）已知數(shù)列的前4項(xiàng)，判定它們是不是等比數(shù)列？如果是等比數(shù)列，求出公比及通項(xiàng)公式。（2）設(shè)數(shù)列％｝是等比數(shù)列，b=1,b=-—，求公比利q和首項(xiàng)b.n 10 7 64 1（3）在3和9之間插入兩個正數(shù)a和b，使3、a、b依次成等比數(shù)列，a、b、9成等差數(shù)列，求這兩個數(shù)a和b？（二）課堂探究1、探究問題比較等差數(shù)列和等比數(shù)列的概念、通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)求和公式等，討論并說出兩者的關(guān)系。2、知識鏈接（1）等差數(shù)列和等比數(shù)列的定義：（2）等差數(shù)列｛a｝中，a、n、d、a、S；等比數(shù)列b｝中，a、n、q、a、n 1 nn n 1 nS均滿足已知其中任何三個量即可求出其余兩個量；n(3)已知三個數(shù)成等差數(shù)列，可設(shè)為a-d、a、a+~；已知三個數(shù)成等比數(shù)列，可設(shè)為a、a、aq；綜合運(yùn)用等差數(shù)列和等比數(shù)列的有關(guān)概念和公式解決相關(guān)的實(shí)q際問題。3、拓展練習(xí)(1)設(shè)數(shù)列％｝是等比數(shù)列，b=4,b=16，求它的前5項(xiàng)。n 35(2)已知三個數(shù)成等差數(shù)列，其和為15，把它們分別加上1，1，4后，所得的新數(shù)成等比數(shù)列，且其積為216，求原來的三個數(shù)。(3)設(shè)四個整數(shù)中，前三個數(shù)成等比數(shù)列，后三個數(shù)成等差數(shù)列，且第1個數(shù)與第4個數(shù)的和是14，第2個數(shù)與第3個數(shù)的和是12，求這四個整數(shù)。4、當(dāng)堂訓(xùn)練(1)已知三個正數(shù)成等差數(shù)列，其和為15，若將這三個數(shù)分別加上1，4，19后，得到的新三個數(shù)成等比數(shù)列，求原來的三個正數(shù)？2、有四個數(shù)，前三個數(shù)成等差數(shù)列，它們的和為12，后三個數(shù)成等比數(shù)列，它們的和為19，求這四個數(shù)？5、歸納總結(jié)

(三)課后拓展(1)若a(三)課后拓展(1)若a、x、x、b成等差數(shù)列，12a、y、j、b成等比數(shù)列，則展」=(

1 2 yy12(A)a^b (B)---a-b ab(C)ab- (D)-+-a-