第2章時域離散信號和系統(tǒng)的頻域分析

第2章時域離散信號和系統(tǒng)的頻域分析2.1引言2.2序列的傅里葉變換的定義及性質(zhì)2.3周期序列的離散傅里葉級數(shù)及傅里葉變換表示式2.4時域離散信號的傅里葉變換與模擬

信號傅里葉變換之間的關(guān)系2.5序列的Z變換2.6利用Z變換分析信號和系統(tǒng)的頻域特性

信號和系統(tǒng)的分析方法：時域分析方法和頻域分析方法。

在模擬領(lǐng)域中，信號用連續(xù)變量時間t的函數(shù)表示，系統(tǒng)則用微分方程描述。為了在頻率域進行分析，用拉普拉斯變換和傅里葉變換將時間域函數(shù)轉(zhuǎn)換到頻率域。在時域離散信號和系統(tǒng)中，信號用序列表示，其自變量僅取整數(shù)，非整數(shù)時無定義，而系統(tǒng)則用差分方程描述。頻域分析是用Z變換或傅里葉變換數(shù)學(xué)工具。2.1引言信號、系統(tǒng)分析信號在時間分布上的特性和運算：直觀，物理概念會比較的清楚。分析信號在頻率分布上的特性和運算：這給了我們換個視角觀察信號的機會，我們會發(fā)現(xiàn)許多在時間域上得不到的特性和運算。時間域頻率域FT、ZTIFT、IZT一、序列分類對一個序列長度未加以任何限制，則一個序列可分為：

無限長序列：n=-∞~∞或n=0~∞或n=-∞~

0

有限長序列：0≤n≤N-1有限長序列在數(shù)字信號處理是很重要的一種序列。由于計算機容量的限制，只能對過程進行逐段分析。二、DFT的引入

由于有限長序列(序列絕對可和)，引入DFT

(離散傅里葉變換)。

DFT它是反映了“有限長”這一特點的一種有用工具。

DFT變換除了作為有限長序列的一種傅里葉表示，在理論上重要之外，而且由于存在著計算機DFT的有效快速算法--FFT,

因而使離散傅里葉變換(DFT)得以實現(xiàn)，它使DFT在各種數(shù)字信號處理的算法中起著核心的作用。三、四種不同傅里葉變換對傅里葉級數(shù)(FS):

連續(xù)時間,離散頻率的傅里葉變換。連續(xù)傅里葉變換(FT):

連續(xù)時間,連續(xù)頻率的傅里葉變換。離散時間傅里葉變換(DTFT):離散時間,連續(xù)頻率的傅里葉變換.離散傅里葉變換(DFT):

離散時間,離散頻率的傅里葉變換1.傅里葉級數(shù)(FS)周期連續(xù)時間信號非周期離散頻譜密度函數(shù)。周期為Tp的周期性連續(xù)時間函數(shù)x(t)可展成傅里葉級數(shù)X(jkW0),是離散非周期性頻譜,表示為:FS例子通過以下變換對可以看出時域的連續(xù)函數(shù)造成頻域是非周期的頻譜函數(shù),而頻域的離散頻譜就與時域的周期時間函數(shù)對應(yīng).(頻域采樣，時域周期延拓)2.連續(xù)傅里葉變換(FT)非周期連續(xù)時間信號通過連續(xù)傅里葉變換

(FT)得到非周期連續(xù)頻譜密度函數(shù)。例子從以下變換對可以看出時域連續(xù)函數(shù)造成頻域是非周期的譜,而是時域的非周期造成頻域是連續(xù)的譜.3.離散時間傅里葉變換(DTFT)非周期離散的時間信號DTFT(經(jīng)過單位圓上的z變換)得到周期性連續(xù)的頻率函數(shù)。例子同樣可看出,時域的離散造成頻域的周期延拓

,而時域的非周期對應(yīng)于頻域的連續(xù)

.4.離散傅里葉變換(DFT)

上面討論的三種傅里葉變換對,都不適用在計算機上運算,因為至少在一個域(時域或頻域)中,函數(shù)是連續(xù)的

.因為從數(shù)字計算角度,我們感興趣的是時域及頻域都是離散的情況,這就是我們這里要談到的離散傅里葉變換.周期性離散時間信號從上可以推斷：

周期性時間信號可以產(chǎn)生頻譜是離散的離散時間信號可以產(chǎn)生頻譜是周期性的。得出其頻譜為周期性離散的。也即我們所希望的。DFT的變換

總之，一個域的離散必然造成另一個域的周期延拓二、四種傅里葉變換形式的歸納時域頻譜周期離散非周期連續(xù)連續(xù)非周期離散周期時間函數(shù)頻率函數(shù)連續(xù)和非周期非周期和連續(xù)連續(xù)和周期（T0）非周期和離散(Ω0=2π/T0)離散（T）和非周期周期(ΩS=2π/T)和連續(xù)離散和周期周期和離散2.2序列的傅里葉變換的定義及性質(zhì)

2.2.1序列傅里葉變換的定義

定義(2.2.1)為序列x(n)的傅里葉變換，用DTFT表示（有時也稱FT）。

DTFT成立的充分必要條件是序列x(n)絕對可和，即滿足下式：(2.2.2)

DTFT反變換定義為：(2.2.4)(2.2.1)和(2.2.4)式組成一對傅里葉變換公式。一些絕對不可和的序列（如周期序列，不滿足絕對可和），其傅里葉變換可用沖激函數(shù)的形式表示出來,即周期序列的傅里葉變換。（2.3節(jié)介紹）

【例2.2.1】設(shè)x(n)=RN(n)，求x(n)的傅里葉變換。

解

當N=4時，其幅度與相位隨頻率ω的變化曲線如圖2.2.1所示。2.2.2序列傅里葉變換的性質(zhì)1.DTFT的周期性在定義式(2.2.1)中，n取整數(shù)，下式成立：M為整數(shù)(2.2.6)序列的傅里葉變換是頻率ω的周期函數(shù)，周期是2π。這樣X(ejω)可以展成傅里葉級數(shù)，(2.2.1)式就是傅里葉級數(shù)的形式，x(n)是其系數(shù)。由于FT的周期性，一般只分析±π或0~2π之間的FT(2.2.1)2.線性

則

設(shè)

式中a,b為常數(shù)。

3.時移與頻移

設(shè)X(ejω)=FT[x(n)]，則：(2.2.7)(2.2.8)(2.2.9)

）4.對稱性先了解共軛對稱與共軛反對稱以及它們的性質(zhì)：定義：設(shè)序列xe(n)滿足xe(n)=x*e(-n)則稱xe(n)為共軛對稱序列。共軛對稱序列的性質(zhì)：將xe(n)用其實部與虛部表示：xe(n)=xer(n)+jxei(n)

兩邊n用–n代替，并取共軛，得：

x*e(-n)=xer(-n)-jxei(-n)

xer(n)=xer(-n)(2.2.11)

xei(n)=-xei(-n)(2.2.12)

共軛對稱序列其實部是偶函數(shù)，而虛部是奇函數(shù)。兩式相等，對比得：實偶虛奇共軛反對稱序列的性質(zhì)：將x0(n)用實部與虛部表示：

xo(n)=xor(n)+jxoi(n)-x*o(-n)=-(xor(-n)-jxoi(-n))=-xor(-n)+jxoi(-n)

兩式相等，對比得：

xor(n)=-xor(-n)(2.2.14)

xoi(n)=xoi(-n)(2.2.15)

共軛反對稱序列的實部是奇函數(shù)，而虛部是偶函數(shù)。定義：滿足下式的序列稱共軛反對稱序列：

xo(n)=-x*o(-n)(2.2.13)實奇虛偶

時域中，一般序列可用共軛對稱與共軛反對稱序列之和表示，即：

x(n)=xe(n)+xo(n)=xe*(-n)-xo*(-n)(2.2.16)將(2.2.16)式中的n用-n代替，再取共軛得到：

x*(-n)=xe(n)-xo(n)(2.2.17)

比較兩式，得：(2.2.18)

(2.2.19)

在頻域，函數(shù)X(ejω)也有類似的概念和結(jié)論：

X(ejω)=Xe(ejω)+Xo(ejω)(2.2.20)

共軛對稱部分Xe(ejω)和共軛反對稱部分Xo(ejω)滿足：

Xe(ejω)=X*e(e-jω)(2.2.21)Xo(ejω)=-X*o(e-jω)(2.2.22)

同樣有下面公式：(2.2.23)

(2.2.24)

DTFT的對稱性

(a)

將序列x(n)分成實部xr(n)與虛部xi(n)

x(n)=xr(n)+jxi(n)

進行FT，得：

X(ejω)=Xe(ejω)+Xo(ejω)式中

xr(n)和xi(n)都是實數(shù)序列。Xe(ejω)具有共軛對稱性，其實部是偶函數(shù)，虛部是奇函數(shù)。Xo(ejω)具有共軛反對稱性質(zhì)，其實部是奇函數(shù)，虛部是偶函數(shù)。結(jié)論：

x(n)=xr(n)+jxi(n)

X(ejω)=Xe(ejω)+Xo(ejω)

(b)

將序列分成共軛對稱部分xe(n)和共軛反對稱部分xo(n)，即：

x(n)=xe(n)+xo(n)(2.2.25)

由(2.2.18)式和(2.2.19)式：

將上面兩式分別進行FT，得：(FT［x*(-n)］=X*(ejω))

FT［xe(n)］=1/2［X(ejω)+X*(ejω)］=Re［X(ejω)］=XR(ejω)FT［xo(n)］=1/2［X(ejω)-X*(ejω)］=jIm［X(ejω)］=jXI(ejω)

因此對(2.2.25)式進行FT得到：

X(ejω)=XR(ejω)+jXI(ejω)(2.2.26)結(jié)論：

x(n)=xe(n)+xo(n)X(ejω)=XR(ejω)+jXI(ejω)總結(jié)時域頻域?qū)嵅抗曹棇ΨQ虛部共軛反對稱共軛對稱實部共軛反對稱虛部x(n)=xe(n)+xo(n)X(ejω)=XR(ejω)+jXI(ejω)x(n)=xr(n)+jxi(n)

X(ejω)=Xe(ejω)+Xo(ejω)利用DTFT的對稱性，可得以下結(jié)論：（1）x(n)為實序列（xi(n)=0），得X(ejω)=Xe(ejω)為共軛對稱函數(shù)，即X(ejω)=X*(e-jω)（2）x(n)為實因果序列：實數(shù)x(n)=x*

(n），傅里葉變換只包含共軛對稱部分因為xe(n)有實偶虛奇特點，xo(n)有實奇虛偶特點，所以對實因果序列而言虛部位0，xe(n)為x(n)的偶數(shù)部分，xo(n)為x(n)奇數(shù)部分，則有

x(n)=xe(n)+xo(n)，

x(-n)=xe(n)-xo(n)xe(n)=1/2[x(n)+x(-n)]

x

o(n)=1/2[x(n)-x(-n)]

如h(n)是實序列，則得到

h(n)=he(n)+ho(n)he(n)=1/2［h(n)+h(-n)］

ho(n)=1/2［h(n)-h(-n)］因為h(n)是實因果序列，按照上面兩式he(n)和ho(n)可以用下式表示：[例2.2.3]

x(n)=anu(n)，0<a<1，求其偶函數(shù)xe(n)和奇函數(shù)xo(n)。

解：

x(n)=xe(n)+xo(n)xe(n)=1/2[x(n)+x(-n)]

x

o(n)=1/2[x(n)-x(-n)]5.時域卷積定理

設(shè)y(n)=x(n)*h(n),

則Y(ejω)=X(ejω)·H(ejω)(2.2.32)

定理說明，兩序列卷積的FT，服從相乘的關(guān)系。對LTI系統(tǒng)，其輸出的FT等于輸入信號的FT乘以單位脈沖響應(yīng)的FT。因此求系統(tǒng)的輸出信號，

(1)可以在時域用卷積公式(1.3.7)；

(2)可以在頻域按照(2.2.32)式，求出輸出的FT，再作逆FT求出輸出信號。6.頻域卷積定理設(shè)y(n)=x(n)·h(n)，則：(2.2.33)

定理說明，在時域兩序列相乘，對應(yīng)頻域為卷積關(guān)系。7.帕斯維爾(Parseval)定理

定理表明了時域能量和頻域能量的關(guān)系。這里頻域總能量是指|X(ejω)|2在一個周期中的積分再乘以1/(2π)。(2.2.34)序列傅里葉變換的性質(zhì)

2.3周期序列的離散傅里葉級數(shù)

及傅里葉變換表示式

2.3.1周期序列的離散傅里葉級數(shù)設(shè)是以N為周期的周期序列，由于周期性，可以展成傅里葉級數(shù)：(2.3.1)式中ak是傅里葉級數(shù)的系數(shù)。-∞<k<∞(2.3.3)令：ak也周期為N的周期序列。(2.3.4)

上式中是一個以N為周期的周期序列，稱為的離散傅里葉級數(shù)，用DFS表示。(2.3.4)

兩式構(gòu)成一對DFS。

將周期序列分解成N次諧波：

基波分量的頻率是2π/N，幅度是。第k次諧波頻率為ωk=(2π/N)k,k=0,1,2…N-1，幅度為。所以：一個周期序列可以用其DFS表示它的頻譜分布規(guī)律。

(2.3.6)(2.3.7)

[例2.3.1]設(shè)x(n)=R4(n)，將x(n)以N=8為周期進行周期延拓，得到如圖2.3.1(a)所示的周期序列，周期為8，求DFS［］。解

其幅度特性如圖2.3.1(b)所示。

2.3.2周期序列的傅里葉變換表示式

設(shè)周期序列以N為周期，其FT為：(2.3.10)

上式中的()為單位沖激函數(shù)[(n)表示單位脈沖序列]。式中為周期序列的DFS。由于不滿足絕對可和條件，因此對周期序列求FT時，要先計算，再計算X(ejω)。序列傅里葉變換有限長序列的傅里葉變換周期序列的傅里葉變換（通過DFS，并引入奇異函數(shù)()

）其中為周期序列的DFS。時域連續(xù)信號傅里葉變換

表2.3.2基本序列的傅里葉變換[例2.3.3]

令，2π/ω0為有理數(shù)，求其FT。解：將用歐拉公式展開：由(2.3.9)式，得其FT：

cosω0n的FT，是在ω=±ω0處的單位沖激函數(shù)，強度為π，且以2π為周期進行延拓，如圖所示。

(2.3.9)

2.4時域離散信號的傅里葉變換與模擬

信號傅里葉變換之間的關(guān)系

模擬信號xa(t)的一對傅里葉變換式定義如下：(2.4.1)(2.4.2)t與Ω(-∞,+∞)

采樣信號可用下式描述：的傅里葉變換為：模擬信號和采樣信號傅里葉變換的關(guān)系序列x(n)的一對傅里葉變換式為：(2.2.1)(2.2.4)

序列x(n)的FT----X(ejω)與模擬信號xa(t)的FT----Xa(jΩ)之間的關(guān)系為（ω=TΩ）：(2.4.7)

結(jié)論：序列的FT和模擬信號的FT之間的關(guān)系，與采樣信號和模擬信號的FT之間關(guān)系是一樣的，都是Xa(jΩ)以周期Ωs=2π/T進行周期延拓，頻率軸上取值的對應(yīng)關(guān)系為ω=ΩT。模擬信號和序列傅里葉變換的關(guān)系2.5序列的Z變換2.5.1Z變換的定義

序列x(n)的Z變換定義為(2.5.2)模擬信號和系統(tǒng)中：傅里葉變換進行頻域分析拉普拉斯變換是其推廣，對信號進行復(fù)頻域分析時域離散信號和系統(tǒng)中：序列的傅里葉變換進行頻域分析Z變換是其推廣，對序列進行復(fù)頻域分析單邊Z變換的求和限是從零到無限大，因此對于因果序列，用兩種Z變換定義計算出的結(jié)果是一樣的。如不另外說明，均用雙邊Z變換對信號進行分析和變換。雙邊Z變換單邊Z變換

Z變換存在的條件是|X(z)|有界，即等號右邊級數(shù)絕對可和：收斂域的定義：

對于序列x(n)，滿足

所有z值組成的集合稱為z變換F(z)的收斂域。

常用的Z變換是一個有理函數(shù)，用兩個多項式之比表示：零點----分子多項式P(z)的根，極點-----分母多項式Q(z)的根。

要點：

x(n)Z變換[

X(z)，收斂域]即對一個確定的x(n)，其Z變換X(z)的表達式和收斂域是一個整體，二者共同、唯一確定x(n)。(2.5.4)

與序列的傅里葉變換定義式比較，得到FT和ZT之間的關(guān)系：

(2.2.1)

(2.5.1)式中z=ejω表示在z平面上r=1的圓，該圓稱為單位圓。(2.5.4)式表明單位圓上的Z變換就是序列的傅里葉變換。傅里葉變換是Z變換的特例。如果已知序列的Z變換，可用上式方便的求出序列的FT，條件是收斂域中包含單位圓。[例2.5.1]

x(n)=u(n)，求其Z變換。解：|z|>1X(z)存在的條件是|z-1|<1，因此收斂域為|z|>1，由X(z)表達式表明，極點是z=1，單位圓上的Z變換不存在，或者說收斂域不包含單位圓,因此其傅里葉變換不存在。該例說明一個序列的傅里葉變換不存在，在一定收斂域內(nèi)Z變換是存在的。

該序列的FT不存在，但如果引進奇異函數(shù)δ(ω)，其傅里葉變換可以表示出來(見表2.3.2)。2.5.2序列特性對收斂域的影響

序列的特性決定其Z變換收斂域，了解序列特性與收斂域的一些關(guān)系，有助于Z變換的使用。x(n)n1≤n≤n2

x(n)=0其它其Z變換為：1.有限長序列如序列x(n)滿足：x(n)為有界序列，由于是有限項求和，整個z平面均收斂(可能除0與∞兩點)。有限長序列的收斂域表示如下：n1<0，

n2≤0，0≤|z|＜∞:n1<0，n2>0，

0<|z|＜∞:n1≥0，n2>0，0<|z|≤∞:若：n1<0，可能為反因果序列或雙邊序列，則收斂域不包括z=∞點；若：n2>0，可能為因果序列或雙邊序列，則收斂域不包括z=0點；[例2.5.2]

求x(n)=RN(n)的Z變換及其收斂域。解：

這是一個因果的有限長序列，因此收斂域為0<z≤∞。從X(z)的分母看到z=1似乎是X(z)的極點，但同時分子多項式在z=1時也有一個零點，極零點對消，X(z)在單位圓上仍存在，所以收斂域包含z=1（0<z≤∞）。2.右序列右序列是在n≥n1時，序列值不全為零，而在n<n1

時，序列值全為零的序列。如果n1>=0,則為因果序列，收斂域定為R<|z|≤∞，圓外區(qū)域。

例2.5.3求x(n)=anu(n)的Z變換及其收斂域解：

在收斂域中必須滿足|az-1|<1，因此收斂域為|z|>|a|。

-1

如果n2<0,則為反因果序列，其收斂域為0≤|z|<R，圓內(nèi)區(qū)域。3.左序列左序列是在n≤n2時，序列值不全為零，而在n>n2，序列值全為零的序列。其Z變換為：

例2.5.4

求x(n)=-anu(-n-1)的Z變換及其收斂域。X(z)存在要求|a-1z|<1，即收斂域為|z|<|a|4.雙邊序列一個雙邊序列可以看作一個左序列和一個右序列之和，其Z變換為：X(z)的收斂域是X1(z)和X2(z)收斂域的公共收斂區(qū)域。如果R1>R2，其收斂域為R1<|z|<R2

，這是一個環(huán)狀域如果R1<R2

，兩個收斂域沒有公共區(qū)域，X(z)沒有收斂域，因此，X(z)不存在。

[例2.5.5]

x(n)=a|n|,a為實數(shù)，求x(n)的Z變換及其收斂域。解第一部分收斂域為|az|<1，得|z|<|a|－1;第二部分收斂域為|az－1|<1,得到|z|>|a|。如果|a|<1,兩部分的公共收斂域為|a|<|z|<|a|－1,其Z變換如下式:如果|a|≥1，則無公共收斂域，因此X(z)不存在。當0<a<1時，x(n)的波形及X(z)的收斂域如圖2.5.2所示。通過以上例題及分析，我們得到以下結(jié)論：同一個Z變換函數(shù)，收斂域不同，所對應(yīng)的序列是不相同的如例2.5.3,2.5.4。收斂域中無極點，收斂域總是以極點為界的。常用序列的z變換：

(n)←→1，z>0u(n)

←→，z>1u(-n-1)

←→，z<1anu(n)←→，z>a(-a)nu(n)←→，z>a(-b)nu(-n-1)←→，z<bbnu(-n-1)←→，z<b6.1z變換

n←→，z>1因果序列反因果序列2.5.3逆Z變換序列的Z變換及逆Z變換表示如下：

式中c是X(z)收斂域中一條逆時針的閉合曲線，如上圖所示。直接計算圍線積分比較麻煩，實際中常用三種方法求逆z變換:

1.用留數(shù)定理求逆Z變換

2.冪級數(shù)法(長除法)3.部分分式展開法(2.5.5)

x(n)=被積函數(shù)X(z)zn-1在極點z=z1k的留數(shù),x(n)為圍線c內(nèi)所有極點留數(shù)之和1.用留數(shù)定理求逆Z變換設(shè)被積函數(shù)用F(z)表示，即

設(shè)F(z)在圍線c內(nèi)的極點為z1k，在圍線c外的極點為z2k，根據(jù)留數(shù)定理:x(n)=或x(n)為圍線c外所有極點留數(shù)之和取反

使用(2.5.9)式的條件是F(z)的分母階次(z的正次冪)比分子階次必須高二階以上。設(shè)X(z)=P(z)/Q(z)，則P(z)與Q(z)分別是M與N階多項式即：N-(M+n–1)≥2

N-M-n≥1

(2.5.10)(2.5.7)如果zk是N階極點，則:(2.5.8)

求極點留數(shù)的方法：如果zk是單階極點，則:

如果c內(nèi)有多階極點，而c外沒有多階極點，可以根據(jù)留數(shù)輔助定理(2.5.9)改求c外的所有極點留數(shù)之和，使問題簡化。[例2.5.6]

已知X(z)=(1-az-1)-1，|z|>a，求其逆Z變換x(n)。解：用留數(shù)定理求解，要先找出F(z)的極點，極點有：（1）z=a

（2）當n<0時，z=0也是極點其中極點z=0與n的取值有關(guān)：n≥0時，n=0不是極點,n<0時，z=0是一個n階極點.(如n=3和n=-3)

因此要分成n≥0和n<0兩種情況求x(n)?；仡櫜糠址质秸归_法圖2.5.4例中n<0時F(z)極點分布

（1）n≥0時，只有一個極點：

（2）n<0時，增加z=0的n階極點，不易求留數(shù)，采用留數(shù)輔助定理求解，檢查(2.5.10)式是否滿足，由于n<0，只要N-M≥0，(2.5.10)式就滿足。本例滿足(2.5.10)式。N-M-n≥1(2.5.10)

所以，n＜0時，改求圓外極點留數(shù)，但本例題中圓外沒有極點(見圖2.5.4)，故n＜0，x(n)＝0。最后得到該例題的原序列為:

x(n)=anu(n)事實上，該例題由于收斂域是|z|>a，根據(jù)前面分析的序列特性對收斂域的影響知道，x(n)一定是因果的右序列，這樣n＜0部分一定為零，無需再求。

[例2.5.7]已知,求其逆變換x(n)。解該例題沒有給定收斂域，為求出唯一的原序列x(n)，必須先確定收斂域。分析X(z)，得到其極點分布如圖2.5.5所示。圖中有兩個極點：z=a和z=a－1（a<a－1

），這樣收斂域有三種選法，它們是（1）|z|>|a－1|，對應(yīng)的x(n)是因果序列；（2）|z|<|a|，對應(yīng)的x(n)是左序列；（3）|a|<|z|<|a－1|，對應(yīng)的x(n)是雙邊序列。下面分別按照不同的收斂域求其x(n)。最后表示成：x(n)=(an－a－n)u(n)。（1）收斂域為|z|>|a－1|:這種情況的原序列是因果的右序列，無須求n<0時的x(n)。當n≥0時，F(xiàn)(z)在c內(nèi)有兩個極點：z=a和z=a－1，因此（2）收斂域為|z|<|a|:這種情況原序列是左序列，無須計算n≥0情況。n<0時，c內(nèi)只有一個極點z=0，且是n階極點，改求c外極點留數(shù)之和。

n<0時,最后將x(n)表示成封閉式：x(n)=(a－n－an)u(－n－1)

（3）收斂域為|a|<|z|<|a－1|:這種情況對應(yīng)的x(n)是雙邊序列。根據(jù)被積函數(shù)F(z)，按n≥0和n<0兩種情況分別求x(n)。

n≥0時，c內(nèi)只有1個極點：z=a,x(n)=Res［F(z),a］=an

n<0時，c內(nèi)極點有2個，其中z=0是n階極點，改求c外極點留數(shù)，c外極點只有z=a－1，因此x(n)=－Res［F(z),a－1］=a－n最后將x(n)表示為即x(n)=a|n|2.部分分式展開法對于大多數(shù)單階極點的序列，常常用這種部分分式展開法求逆Z變換。設(shè)x(n)的Z變換X(z)是有理函數(shù)，分母多項式是N階，分子多項式是M階，將X(z)展成一些簡單的常用的部分分式之和，通過查表(參考表2.5.1)求得各部分的逆變換，再相加即得到原序列x(n)。設(shè)X(z)只有N個一階極點，可展成正式

觀察上式，X(z)/z在z=0的極點留數(shù)就是系數(shù)A0，在z=zm的極點留數(shù)就是系數(shù)Am。

求出Am系數(shù)(m=0,1,2,…N)后，很容易求得x(n)序列。

例2.5.10

已知，求逆Z變換。解：x(n)=2nu(n)+(-3)nu(-n-1) 2<|z|<3

表2.5.1常見序列Z變換2.5.4Z變換的性質(zhì)和定理1.線性設(shè)X(z)=ZT［x(n)］,Rx-<|z|<Rx+Y(z)=ZT［y(n)］,Ry-<|z|<Ry+

則ZT［ax(n)+by(n)］

=aX(z)+bY(z),Rm-<|z|<Rm+(2.5.15)其中：Rm+=min［Rx+,Ry+］

Rm-=max［Rx-,Ry-］即Z變換的收斂域(Rm-，Rm+)是X(z)和Y(z)的公共收斂域，若無公共收斂域則Z變換不存在。2、移位特性

單邊、雙邊差別大！雙邊z變換的移位：

若x(n)←→X(z),<z<，且對整數(shù)m>0，則

x(nm)←→zmX(z),<z<對于雙邊Z變換：移位后序列不會丟失信息；對于單邊Z變換：因果序列左移時丟棄了k<0的部分非因果序列右移時丟棄了k>0的部分x(n+1)←→zX(z)–n(0)zx(n+2)←→z2X(z)–n(0)z2

–n(1)z

特例：若x(n)為因果序列，則x(n–m)←→z-mX(z)…單邊z變換的移位：

若x(n)←→X(z),有整數(shù)m>0,則x(n-1)←→z-1X(z)+x(-1)x(n-2)←→z-2X(z)+x(-2)+x(-1)z-1

….右移特性：左移特性：例2：已知x(n)=an(a為實數(shù))的單邊z變換為

的單邊Z變換解:（1）由于x1(n)=x(n-2)所以X1(z)=z-2X(z)+x(-2)+z-1x(-1)（2）由于x1(n)=x(n+2)所以X2(z)=z2X(z)-x(0)z2-x(1)z3.乘指數(shù)序列an(Z域尺度變換乘)

設(shè)X(z)=ZT［x(n)］,Rx-<|z|<Rx+y(n)=anx(n),a為常數(shù)則Y(z)=ZT［anx(n)］=X(z/a)|a|Rx-<|z|<|a|Rx+(2.5.17)例1：求anu(n)的z變換例2：求cos(n)u(n)的z變換6.2z變換的性質(zhì)解：u(n)←→anu(n)←→,z>1cos(n)u(n)=0.5(ejn+e-jn)u(n)

解：=0.5[(ej)n+(e-j)n]u(n)4.序列乘n的Z變換(z域微分)

設(shè)

則(2.5.18)

例：求x(n)=nu(n)的z變換Y(z).

解：

5.復(fù)共軛序列的Z變換

設(shè)6.初值定理設(shè)x(n)是因果序列，X(z)=ZT［x(n)］(2.5.20)則

即用象函數(shù)可以直接求得因果序列的初值x(0),而不必求得原序列。7.終值定理若x(n)是因果序列，且其Z變換的極點，除可以有一個一階極點在z=1(單位圓)上，其它極點均在單位圓內(nèi)，則：

終值定理用于由象函數(shù)直接求得序列的終值，而不必求得原序列。

終值定理也可用X(z)在z=1點的留數(shù)表示例1：某因果序列的z變換為（a為實數(shù)），求x(0)和x(∞)解：6.2z變換的性質(zhì)9.復(fù)卷積定理（了解）8.序列卷積設(shè)

10.帕斯維爾(Parseval)定理（了解）系統(tǒng)初始狀態(tài)

2.5.5利用Z變換解差分方程用Z變換求解差分方程，將差分方程變成了代數(shù)方程，使求解過程簡單。由1.4.1知N階線性常系數(shù)差方程為：利用線性和序列移位性對于N階差分方程，求其解必須已知N個初始條件。設(shè)x(n)是因果序列（x(n)=0,n<0），初始條件y(-1),y(-2)…y(-N)。對(2.5.30)式進行Z變換：(2.5.30)

稱為系統(tǒng)函數(shù)h(k)←→H(z)

取逆變換得：[例2.5.11]已知差分方程：y(n)=by(n-1)+x(n)，式中x(n)=anu(n)，y(-1)=2，求y(n)。解：對差分方程進行Z變換：

而

所以x(n-1)←→z-1X(z)+x(-1)x(n-2)←→z-2X(z)+x(-2)+x(-1)z-1

收斂域為：|z|>max(|a|,|b|)式中第一項為零輸入解，第二項為零狀態(tài)解。6.4z域分析例1：若某系統(tǒng)的差分方程為

y(k)–y(k–1)–2y(k–2)=f(k)+2f(k–2)，已知y(–1)=2，y(–2)=–1/2，f(k)=(k)。求系統(tǒng)的yzi(k)、yzs(k)、y(k)。

解：方程取單邊z變換（用到移位特性）

Y(z)-[z-1Y(z)+y(-1)]-2[z-2Y(z)+y(-2)+y(-1)z-1]=F(z)+2z-2F(z)

x(n-1)←→z-1X(z)+x(-1)x(n-2)←→z-2X(z)+x(-2)+x(-1)z-1

即(1-z-1-2z-2)Y(z)-(1+2z-1)y(-1)-2y(-2)=F(z)+2z-2F(z)

將y(–1)=2，y(–2)=–1/2，F(xiàn)(z)=z/z-1代入得：例2：

某系統(tǒng)，已知當輸入f(k)=(–1/2)k(k)時，其零狀態(tài)響應(yīng)

求系統(tǒng)的單位序列響應(yīng)h(k)解：h(k)=[3(1/2)k–2(–1/3)k](k)2.6利用Z變換分析信號和系統(tǒng)

的頻域特性2.6.1頻率響應(yīng)函數(shù)與系統(tǒng)函數(shù)設(shè)系統(tǒng)初始狀態(tài)為零，輸出端對輸入為單位脈沖序列δ(n)的響應(yīng)，稱為系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)h(n)，對h(n)進行傅里葉變換得到H(ejω)(2.6.1)

一般稱H(ejω)為系統(tǒng)的頻率響應(yīng)函數(shù)或傳輸函數(shù)，它表征系統(tǒng)的頻率特性。

設(shè)h(n)進行Z變換，得到H(z)，一般稱H(z)為系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)，它表征了系統(tǒng)的復(fù)頻域特性。對N階差分方程(1.4.2)式，進行Z變換，得到系統(tǒng)函數(shù)的一般表示式(2.6.2)

如果H(z)的收斂域包含單位圓|z|=1，H(ejω)與H(z)之間關(guān)系如下式：(2.6.3)頻率響應(yīng)函數(shù)是系統(tǒng)函數(shù)的特殊情況2.6.2用系統(tǒng)函數(shù)的極點分布分析系統(tǒng)的因果性和穩(wěn)定性

因果(可實現(xiàn))系統(tǒng)其單位脈沖響應(yīng)h(n)一定滿足當n<0時，h(n)=0，那么其系統(tǒng)函數(shù)H(z)的收斂域一定包含∞點，即∞點不是極點，極點分布在某個圓的圓內(nèi)，收斂域在某個圓外。

穩(wěn)定系統(tǒng)要求（P17系統(tǒng)穩(wěn)定的條件，此條件與P33序列傅里葉變換存在條件相同），序列傅里葉變換存在，對照Z變換可知，系統(tǒng)穩(wěn)定要求收斂域包含單位圓。如果系統(tǒng)因果且穩(wěn)定，收斂域包含∞點和單位圓，那么收斂域可表示為：r<|z|≤∞，0<r<1

系統(tǒng)因果且穩(wěn)定，H(z)的極點集中在單位圓的內(nèi)部。具體系統(tǒng)的因果性和穩(wěn)定性可由系統(tǒng)函數(shù)的極點分布確