浙教版九年級上冊相似三角形章節(jié)知識點及典型例題同程教育

WORD完整---可輯---教資料享浙版年上數(shù)《似角》識與典型知框比例

四個數(shù)成比例兩條線段的比數(shù)的比例中項

比例的基本性質(zhì)成比例線段線段的比例中項

應(yīng)用：求圖上距離或?qū)嶋H距離黃金分割點金割比以及尺作圖找出分割點概念：對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊成比例的兩個三角形，叫做相似三角形對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊成比例性質(zhì)

周長比等于，面積比等于相似三角形

應(yīng)用平行：判定

兩角：兩邊一夾角：三邊：相似多邊形圖形的位似

概念：對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊成比例的兩個多邊形，叫做相似多邊形性質(zhì)：周長比等于，積比等于位似圖形的概念：一般地，兩個相似的圖形，如果它們每組對應(yīng)點所在的直線都而且兩個對應(yīng)點到這個點的距離之比都彼此相等么們就說它們是位似圖形，這個點叫做位似中心。位似多邊形的性質(zhì)：兩個位似多邊形的位似比等于它們的相似比。把一個圖形按一定的位似比改變成它的位似圖形，也叫做位似變換。任何一個平面圖形及該平面上一點，都以該為位中心，作出兩個符合要求的圖形均與原圖形位似，且這兩個符合要求的圖形關(guān)于位似中心對稱以坐標原點為位似中心的位似變換有如下性質(zhì)：若原圖形上點的坐標為與原圖形的位似比為k，則像上的應(yīng)點的坐標為kx，ky或（-kx，-ky）溫提：等三角形是相似比的相似三角形．知拓一：兩直角三角形的斜邊和一直角邊對應(yīng)成比例，則這兩直角三角形相似。完整版學(xué)習(xí)資料分享----

WORD完整---可輯---教資料享重知點方黃分把段AB

分成兩條線段AC,BC(BC

且

是

AB和B

的比例中項，即AC2

，叫做把線段AB

黃金分割，點

C

叫做線段AB

的黃金分割點，其中AC

52

≈AB

．即

BCAB

簡記為：

長短5＝＝全長注黃三形頂是

0

的腰角或角的等三形黃矩：與長比于金的形、似角的念對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊成比例的三角形，叫做相似三角形。相似用符號“∽”表示，讀作“相似于三角形對應(yīng)邊的比叫相似(或相似系似三角形對應(yīng)角相等應(yīng)成比例注對性：即兩個三角形相似時，一定要把表示對應(yīng)頂點的字母寫在對應(yīng)位置上，這樣寫比較容易找到相似三角形的對應(yīng)角和對應(yīng)邊b等三角形是相似比為1的似三角形。二者的區(qū)別在于全等要求對應(yīng)邊相等，而相似要求對應(yīng)邊成比例c傳性：若

ABC

∽

B'C

，且

'C

∽

，則

ABC

∽

用數(shù)學(xué)語言表述是：DE，∴ADE∽．、三形似判方1、定義法：三個對應(yīng)角相等，三條對應(yīng)邊成比例的兩個三角形相似．2、平行法：平行于三角形一邊的直線和其它兩或兩邊的延長線)相交，所構(gòu)成的三角形與原三角形相似．3、判定定理：如果一個三角的兩個角與另一個三角形的兩個角對應(yīng)相等，那么這兩個三角形相似．簡述為：兩角對應(yīng)相等，兩三角形相似．4、判定定理：如果一個三角的兩條邊與另一個三角形的兩條邊對應(yīng)成比例，并且夾角相等，那么這兩個三角形相似．簡述為：兩邊對應(yīng)成比例且夾角相等，兩三角形相似．5、判定定理：如果一個三角的三條邊與另一個三角形的三條邊對應(yīng)成比例，那么這兩個三角形相似．簡述為：三邊對應(yīng)成比例，兩三角形相似．、幾基圖的體用（1）若∥BC型X型）△ADE△ABC（2）射影定理若CD為Rt△ABC斜上的高（雙直角圖形）則eq\o\ac(△,Rt)ABC∽Rt△ACD△CBD且AC，CD，BC=BD·AB；A

CD

E

B

C

ADB（3）滿足、AC=AD·AB，2、∠ACD=∠B、，可判定△ADC∽eq\o\ac(△,．)ACB（4）當(dāng)

ADAEAC

或AD·AB=AC·AE時eq\o\ac(△,∽)ADEeq\o\ac(△,．)ACBAADDB

EBC、相三形性(1)相似三角形對應(yīng)角相等，對邊成比例．完整版學(xué)習(xí)資料分享----

WORD完整---可輯---教資料享(2)相似三角形對應(yīng)高的比，對中線的比和對應(yīng)角平分線的比都等于相似比．(3)相似三角形周長的比等于相比．(4)相似三角形面積的比等于相比的平方．注：相似三角形性質(zhì)可用來證明線段成比例、角相等，也可用來計算周長、邊長等．、相三形有證解題律輔線法、證四線成例常方：(1)線段成比例的定義(2)三角形相似的預(yù)備定理(3)利用相似三角形的性質(zhì)(4)利用中間比等量代換(5)利用面積關(guān)系、證題用法納(1)總體思路:“等積”變“比例找“相似”(2)找相似：通過“橫找”“豎”尋找三角形，即橫向看或縱向?qū)ふ业臅r候一共各有三個不同的字母，并且這幾個字母不在同一條直線上，能夠組成三角形，并且有可能是相似的，則可證明兩個三角形相似，然后由相似三角形對應(yīng)邊成比例即可證的所需的結(jié).(3)找中間比：若沒有三角形(即向看或縱向?qū)ふ业臅r候一共有四個字母或者三個字母，但這幾個字母在同一條直線)，則需進行“轉(zhuǎn)移“替換，常用的“替換”方法有這樣的三種：等線段代換、等比代換、等積代.即：找相似找不到，找中間比。方法：將等式左右兩邊的比表示出來。mcmm①(為間比)

a②nbn'

③

acm'm'(m或)bndn(4)添輔助線：若上述方法還不能奏效的話，可以考慮添加輔助(通常是添加平行線構(gòu)比例，以上步驟可以不斷的重復(fù)使用，直到被證結(jié)論證出為注：添加輔助平行線是獲得成比例線段和相似三角形的重要途徑。平面直角坐標系中通常是作垂線（即得平行線）構(gòu)造相似三角形或比例線段。（5）比例問題：常用處理方法將“一份”看著k對于等比問題，常用處理辦法是設(shè)“公比”為k。（6）對于復(fù)雜的幾何圖形，通采用將部分需要的圖形（或基本圖形出來的辦法處理畫似圖的般驟（1）確位似中心（位似中心以是平面中任意一點）（2）分連接原圖形中的關(guān)鍵和位似中心，并延長（或截取.（3）根已知的位似比，確定畫位似圖形中關(guān)鍵點的位（4）順連結(jié)上述得到的關(guān)鍵，即可得到一個放大或縮小的圖.①③④⑤注：①位似中心可以是平面內(nèi)任意一點，該點可在圖形內(nèi)，或在圖形外，或在圖形上（圖形邊上或頂點上）。②外位似：位似中心在連接兩個對應(yīng)點的線段之外，稱為“外位似”（即同向位似圖形）③內(nèi)位似：位似中心在連接兩個對應(yīng)點的線段上，稱為“內(nèi)位似”（即反向位似圖形）（5）在平面直角坐標系中，如位似變換是以原O為位似中心，相似比（k>0原形上點的坐標（x,y那同向位似圖形對應(yīng)點的坐標(kx,ky),反向似圖形對應(yīng)點的坐標為(-kx,-ky),完整版學(xué)習(xí)資料分享----

WORD完整---可輯---教資料享考一比例的變形及求值考二黃金分割的應(yīng)用考三相似三角形中的線段、面積問題考四相似三角形中的定值問題考五相似在實際生活中的應(yīng)用考六巧證比例線段考七添加輔助線構(gòu)造相似三角形求線段長度、證明考八在平面直角坐標系中的位似變換及位似作圖考九相似三角形的綜合題考點題型析考一比例的變形及求值1、若

357=，則的為（）完整版學(xué)習(xí)資料分享----

WORD完整---可輯---教資料享、已知

bc

，且，則考二黃金分割的應(yīng)用、如圖所示，樂器上的一根弦AB=80cm，兩個端點AB固在樂器面上，支撐點C是近點B的黃金分割點（即AC是與的例中項撐D是近點A的金分割點（即BD是AB與AD的例中項AC=，CD=（留根號）A

DC

B2、美是一種感覺，當(dāng)人體下半長與身高的比值越接是一種感覺，當(dāng)人體下半身長與身高的比值越接近0.618時越給人一種美感，如圖，某女士身高165，半身長身高的值是0.60，盡可能達到最好效果她應(yīng)穿的高跟鞋的高度大約為（）A．4cmB．6cmC．8cm．10cm考三相似三角形中的線段、面積問題1、如圖E為行四邊形ABCD邊DC延線上的一點，且CE＝DC，連接AE分交、BD于F．若BD＝12cm，DG的2、如圖所示，△ABC是等邊三形，被一有兩邊平行于BC的矩形所截，被成三部分，則圖中的陰影部分的面積是△ABC的面積的（）A．

B．C．D．第2題

第3題3、如圖為與△DEC重疊的形，其中E在BC，AC交DE于F點，∥DE．eq\o\ac(△,若)與△DEC的積相等，且EF=9，AB=12，DF=、已知：如圖，在△ABC與CAD中，∥BC，與相于點，且AEEB=1，∥交AC于F點△的積為，eq\o\ac(△,求)BCE和的積完整版學(xué)習(xí)資料分享----

11213131123213431121313112321343235、如圖，在eq\o\ac(△,Rt)ABC內(nèi)有長別為、b、c三個正方形，則a、b、c滿足的關(guān)系式是（）A.b=a+cB.b=ac=a+cD.b=2a=2c6、如圖所示，在eq\o\ac(△,Rt)中AB⊥AC，AB=3，PBC邊上一點，作AB于，PD⊥AC于D，設(shè)BP=x，（）A.

x+3B.4-C.

D.

x12525

7、在正方形ABCD中過點D作交AC于，交AB點，交CB的長線于點P。若，APN=3，求DM的長。NPB8、如圖，M是△ABC內(nèi)點，過M別作直線平行eq\o\ac(△,于)的各邊，所形成的三個小三角形的面積分別是4，9，49，則△ABC面積是

M

DC第

第10題年溫如直線m上故著三個正三角形eq\o\ac(△,:)ABCeq\o\ac(△,、)eq\o\ac(△,、)DCE,知BC=

12

，F(xiàn)G分是CE的點FMAC∥設(shè)中三個平行四邊形的面積次是S,若S=10則S（2008年州如圖，點A，A，AA在線OA上點B，BB在射線OB上且A∥ABA，AB∥ABAB若eq\o\ac(△,A)eq\o\ac(△,)BB，eq\o\ac(△,A)eq\o\ac(△,)BB的積分別為，4則圖中三個陰影三角形面積之和為．（2009溫）張等腰三角形紙片，底邊長15cm，邊上的高長．沿底邊依次從下往上裁剪寬度均為3cm的形紙條，如圖所示．已知剪得的紙條中有一張是正方形，則這張正方形紙條是第張完整版學(xué)習(xí)資料分享----

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y第題第題12、如圖，在正方形ABCD中，點是BC邊一點，且BE，AE與BD交點F，則△與邊的面積之比是

CE

P

M考四相似三角形中的定值問題1、如圖所示，已知矩形ABCD中，角線AC、BD于點，點P是AD的

OB

x中點，⊥AC于E⊥BD于F，AB=3，BC=4）PE+PF的）當(dāng)點P在上移時與AD的中點重合PE+PF值是否會變化？若不變化，請加以證明；若變化，請說明理由。

FC、如圖，已知平面直角坐標系中，直線y交x軸點B，y軸點。M為一象限內(nèi)一點，且MC垂于，OM，作⊥OM于P連BP，過作EP⊥BPy軸點E，問：當(dāng)點運動，的是發(fā)生變化，若不變求出值；若變化求出變化范圍。考五相似在實際生活中的應(yīng)用1、一個鋁質(zhì)三角形框架三條邊分別為24、30、36，要做一個與它相似的鋁質(zhì)三角形框架，現(xiàn)有長為27cm、45的兩根鋁材，要求以其中的一根為一，從另一根上截下兩段（允許有余料）作為另外兩邊，截法有（）A.0種B.1種C.2種D.種2如所示已零件的外徑為a要求出它的厚度x需先求出內(nèi)徑但不能直接量出AB現(xiàn)有一個交叉卡（兩條直尺長A＝BD去量，若

OCOD1OAOBn

，且量得CD＝b，求厚度x．完整版學(xué)習(xí)資料分享----

WORD完整---可輯---教資料享3某活小區(qū)的居民籌集資金1600元計劃在一塊上底為10m20m的形空地上種植花木（如圖1（）們在AMDBMC地帶上種植太陽花單價為8/m2，AMD地帶種滿花后（圖1中影部分花160元，請計算種滿BMC地帶所需的費用；（）其余地帶要種的有玫瑰和茉莉花兩種花木可供選擇，單價分別為12元/2和10元/，應(yīng)選擇哪種花木，剛好用完所籌集的資金；（3）若梯形為腰梯形，面積不變（如圖2你計一種花壇圖案，即在梯形內(nèi)找到一點P，使得△APB≌△DPC且，說出你的理由．eq\o\ac(△,S)考六巧證比例線段1、如圖所示，∠B=∠C，證

ABBDAC

）×CF=CD×BF

2、如圖所示，在中，，∠B=∠E，求證：AB=AD×AE

3、如圖所示，點E是行四邊ABCD的一邊DA延長線上的一點CE交BD于F，交AB于點G。求證：=EF×GFE

ADGFBC完整版學(xué)習(xí)資料分享----

WORD完整---可輯---教資料享4、如圖，在O的接ABC中，，D是上一點，AD的延長線交BC的長線于點P，（1）求證：=AD×AP（2若O的徑為，AB=20求和的5、如圖，在△ABC的外接圓O中，是BC的點，AD交BC于，連接BD（1）列出圖中所有相似三角形（2接DC在

上任取一點點A除CK交BC于點是否成立？若成立，給出證明；若不成立，舉例說明。6）圖1，在△中，點D、Q別在、BC上，且DE//邊長，AQ交DE于點P,求證：

DPPE=BQQCAD

E

Q圖

C(2)如圖，△ABC中，∠BAC=90°正方形DEFG四個頂點在ABC的上，連接AG,AF分別DE于M,N兩。①如圖2，若，直接寫出MN的；②如圖3，求證：MN2=DM·EN完整版學(xué)習(xí)資料分享----

A

WORD完整---可輯---教資料享AD

M

E

D

M

N

EGBF圖2

GBFC3考七添加輔助線構(gòu)造相似三角形求線段長度、證明1、如圖，ABC中D是AB上點EAC上的，延長ED與射線CB交于點F．若AE∶EC=1∶2，AD∶BD=3．：FB∶FC的值EDFB、如圖所示，點M、分在△ABC的AB、AC，且BM=CN，MN、BC的長線交于點，求證：ACNP=AB×AM

NBCP3、如圖所示，在等邊三角形ABC中，BC任意一點，線段AP垂平分線分別交AB、AC于點M、N，求證：完整版學(xué)習(xí)資料分享----

11WORD完整---可輯---教資料享11AMB考八在平面直角坐標系中的位似變換及位似作圖、如圖，矩形OABC的點是標原點，邊在x軸，邊OC在軸．矩形OAC與矩形關(guān)點位且形B的面積等于矩形OABC面的則點的標是114

y

C

B（）A3，2

B．(－，－)

C．(23)或(－，－)

D．(3，2)或－，－2

O

A、如圖，正方形ABCD和正方形OEFG中點A點的標分別為(3,2)(－－1)，則兩個正方形的位似中心的坐標_________．3、如圖所示，已知等邊三角形ABC求作等邊三角形DEF使它的三個頂點分別在三角形ABC的邊上，且EF∥BCC考九相似三角形的綜合題、如圖ABCD，∠A=90°，AD=5，是上一動點(不與AD重合，PE⊥，為垂足，PE交DC于點，(1)設(shè)，DE=y求y與x間的函數(shù)關(guān)系式，并指出x的值范圍；(2)請你探索在點運的過程中，四邊形ABED否構(gòu)成矩形？如果能，求出AP長；如果不能，請說明理由完整版學(xué)習(xí)資料分享----

WORD完整---可輯---教資料享、如圖，在ABC中，邊的高AD