直線和拋物線的位置關(guān)系學(xué)案

高數(shù)學(xué)選修2--1學(xué)案

姓名直線和物的置系2.4.3

班級(jí)【學(xué)習(xí)標(biāo)掌拋物線定義及其標(biāo)準(zhǔn)方程和拋物線的幾何性，掌直線和拋物線的位置關(guān)系的判斷方.3.熟練掌握直線和拋物線的位置關(guān)系的應(yīng)用【預(yù)習(xí)標(biāo)直與拋物線的位置關(guān)系：（）位置關(guān)系的判定：聯(lián)直線

l:kx

和拋物線

y

px(p

消

整理得：

k2x

p

當(dāng)

a

時(shí)0

直線與拋物線交，有兩個(gè)不同公共交點(diǎn)直與拋物線相切，只有一個(gè)公共交點(diǎn)直與拋物線相離，沒有公共交點(diǎn)當(dāng)時(shí)則直線是拋物線的對(duì)稱軸或是和對(duì)稱軸平行的直線，此時(shí)直線與拋物線相交，只有個(gè)公共交點(diǎn)但不能成為相切（直線與拋物線相交于

(,B(x,y)2

弦

2()2x112

或AB1

1k2

(yy)y1

，特別注意解題是結(jié)合韋達(dá)定理處理問題焦弦問題：設(shè)拋物線

pxp0)的焦點(diǎn)

(

p2

的直線與拋物線交于

(x,y),()1

，直

與

的斜率分別為

kk

，直線的斜為

，則有①

yy2

；②

x12

p4

；③

k④ABx21

22

，⑤

FA

p1

，

FB

p1

；⑥

1AFBF

，⑦過A,B兩做準(zhǔn)線的垂線，垂足分別為MN,則

,⑧通徑

P

；⑨以弦

AB

長(zhǎng)為直徑的圓總與準(zhǔn)線相切直線和拋物線的位置關(guān)系1

【例題解】題型一直和物位關(guān)系例1.設(shè)物線

yx

的準(zhǔn)線與

軸交于點(diǎn)

過點(diǎn)

的直線

l

與物有共直

l的率的取值范（

）例2.已直線l：和物線y

x（）若直線

l

與拋物線有兩個(gè)公共點(diǎn)，求

k

的取值范圍（）若直線l與物線只有一個(gè)公共點(diǎn)，求k取值范圍（）若直線

l

與拋物線沒有公共點(diǎn)，求

k

的取值范圍變式練：已直線

ykx

及拋物線

y

px(p

，請(qǐng)判斷直線和拋線位關(guān)系已直線＝a－1與曲y＝ax恰有一個(gè)公共點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的值.（

a

45

）求定點(diǎn)

且與拋物線

y2

只有一個(gè)公共點(diǎn)的直線的方程。（

x

或

或

12

）已直線

l:x

與拋物線

:x

4y

相切于點(diǎn)

A（）求實(shí)數(shù)

b

的值（）求以點(diǎn)A為心，且與拋物線的線相切的圓的方程題型二和長(zhǎng)關(guān)題例已知直線

ykx交物線

x于,兩的點(diǎn)My)y及AB長(zhǎng)例4.已拋物線

y

與直線

yx

相交于

A,B

兩點(diǎn)，當(dāng)

的積于

時(shí)，求

的值變式練：直線和拋物線的位置關(guān)系2

PAB1.PAB

經(jīng)過

y

的焦點(diǎn)F作對(duì)稱軸成

的直線與拋物線相交于A、B兩，|AB|。已知拋物線

y2

截直線

2

所得的弦AB的為

是對(duì)稱軸上一點(diǎn)，若S，點(diǎn)坐標(biāo)。【（15，）或（，0已拋物線：2x

的焦點(diǎn)為F，過點(diǎn)F直線l與相于A、B．若

，求直線l的程．(2)求的小值．題型三中弦題例已拋物線

y

x，過點(diǎn)引弦，使它恰好在點(diǎn)被平分，求這條弦所在的線方程變式練：1已拋物線

y

x

，求過點(diǎn)

的直線被拋物線所截得弦中點(diǎn)的軌跡方程2.知拋物線

y2x

及定點(diǎn)

M(4,3)

，求被點(diǎn)M平分的拋物線的弦所在直線的方程，并此弦長(zhǎng)。已拋物線

y

，點(diǎn)P

引一條弦，使此弦在點(diǎn)被平分，求弦所在的直線方程（

4xy

）題型四和物有最問題例6.過定作線l交拋物線

y

x于,兩，為拋物線的焦點(diǎn)，求

AFB面積的最小值例7.求物線

y264

上的點(diǎn)到直線

xy

的距離的小求取得最小值時(shí)的拋線上的點(diǎn)的標(biāo)例8.設(shè)物線

y

(p0)

上各點(diǎn)到直線

xy

的距離的最小值為求值。（

p

218

）直線和拋物線的位置關(guān)系3

變式練：1.求物線

yx

上的點(diǎn)到直線

l:y0

的距離的最小值取最小值的的坐標(biāo)。

P

是拋物線

y

2x

上一點(diǎn)，且

，設(shè)

(aa

，試求

的值圍點(diǎn)在拋物線

上點(diǎn)Q在圓x

y

上求最小值【

】已

B

，

P

是拋物線

y

上任一點(diǎn)，面積最小值及此時(shí)

P

點(diǎn)的231，P(,)坐。【最小值為】8定長(zhǎng)為的線段AB的點(diǎn)AB在物線

y

上移動(dòng)，求AB中點(diǎn)到軸的距離的最小值M點(diǎn)坐標(biāo)為

(,

)

5時(shí)M到y(tǒng)最短距離是】4題型五綜應(yīng)例設(shè)物線

y

4px(p

的準(zhǔn)線與x軸交點(diǎn)為M點(diǎn)M作直線l交物線于

A,BAB中點(diǎn)的軌跡方程兩1）求線段（）若線段AB的垂直平分線交對(duì)稱軸于

N(,0)

求證：

xp例10.設(shè)物線y的條弦PQ被線l:(

垂直分（1）

的取值范圍（）若

k

，求此弦長(zhǎng)例11.已

B

是拋物線

y2

上的兩點(diǎn)且

OAOB

(

為坐原，①求證：

B

這兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)之積為定值，縱坐標(biāo)之積也是定值；②求證：直線

AB

過定點(diǎn)；③求線段

AB

中點(diǎn)

M

的軌跡方程。例．線

1與物線x28

交于A兩，線段AB的垂直平分線與直線直線和拋物線的位置關(guān)系4

y于點(diǎn)求點(diǎn)Q的標(biāo)（）

P

為拋物線上位于線段

AB

下方（含

AB

）的動(dòng)點(diǎn)時(shí)，求

面的大。變式練：已拋物線

:y21

，F(xiàn)

為拋物線的焦點(diǎn)橢圓

:3222

過

點(diǎn)直線

l

交于A兩，弦長(zhǎng)AB,且l與C相交于兩個(gè)不同交點(diǎn)，求直線l斜率取值范圍。【

】

A

為拋物線

y

7119x上點(diǎn)，F(xiàn)為拋物線的焦點(diǎn)，AF2

,求點(diǎn)F

且與

垂的直l的程【

xy

】拋線

y

上，存在

P,

兩點(diǎn)，并且

P,

關(guān)于直線

l;y(x

對(duì)，求k的值k范【】【同步習(xí)已拋物線的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，對(duì)稱軸為，求此拋物線方程。

軸，且與圓

x

相的共長(zhǎng)于2.知拋物線的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，它的準(zhǔn)線過橢圓

x20)

的個(gè)點(diǎn)

F

，26且直于橢圓兩點(diǎn)所在直線，已知拋物線與橢圓的一個(gè)交點(diǎn)為M(33

)

，橢圓和物線的方程過物線y＝的點(diǎn)作一條直線與拋物線相交于AB兩點(diǎn)，它們的橫坐標(biāo)之和等于5，則樣的直線（）A．有且僅有一條B有且僅有兩條C有無數(shù)條D．不存在4.知拋物線

y

2

有一個(gè)內(nèi)接直角三角形，直角頂點(diǎn)在原點(diǎn)，邊長(zhǎng)為213，直線和拋物線的位置關(guān)系5

一直角邊的方程是

yx

,求拋物線的方程.5.物線頂點(diǎn)原點(diǎn)它準(zhǔn)線過雙曲線

（a＞0,＞0的個(gè)點(diǎn)并雙曲線實(shí)軸垂直，已知拋物線與雙曲線的一個(gè)交點(diǎn)為

6

，求拋物線與雙曲方.頂在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上的拋物線截直線

2xy0

所得弦為

，拋線的方。（

y2

或

y2

）設(shè)

(,0)

是拋物線

y

2(

對(duì)稱軸上的一個(gè)定,過作物線的弦，證：P,

這兩點(diǎn)的橫坐之積為定值，縱坐標(biāo)之積也是定值。正形

ABCD

中，一條邊

AB

在直線＝x＋，另外兩頂點(diǎn)

CD

在物線

y2x

上，求正方形的面積．9.如圖所示，傾斜角為

的直線經(jīng)過拋物線

y

x的點(diǎn)F，與物線交于A、B兩點(diǎn)（1）拋物線點(diǎn)

F

的坐標(biāo)及準(zhǔn)線

l

的方程；（2）為角，線段

AB

的垂直平分線

m

交

軸于點(diǎn)

P

，證FPFPcos2

為定值，并求此定值.10.直角坐標(biāo)

xo