高中數(shù)學(xué)同步講義分冊選修2-22.歸納法

數(shù)學(xué)歸納預(yù)習(xí)P92～95，思考并完成下列問數(shù)學(xué)歸納法的概念是什么？適用范圍是什么數(shù)學(xué)歸納法的證題步驟是什么[新知初探一般地，證明一個與正整數(shù)n有關(guān)題，可按下列步驟進(jìn)只要完成這兩個步驟，就可以斷定命題對n0開始的所有正整n都成立．這種證明數(shù)學(xué)歸納法的框圖表[點睛 數(shù)學(xué)歸納法證題的三個關(guān)鍵數(shù)學(xué)歸納法的原理表明：第一個步驟是要找一個數(shù)n0，這個n0，就是我們要證明n＝kn＝k＋1時，等式的兩邊會增加在第二步證明n＝k＋1成立時，一定要利用歸納假設(shè)，即必須把歸納假設(shè)“n＝k時命題成立”作為條件來導(dǎo)出“n＝k＋1”f(k＋1)f(k)的式子寫出來，尤其是f(k)中的最后一項這是數(shù)學(xué)歸納法的不用歸納假設(shè)的證明就不是數(shù)學(xué)歸納法[小試身手判斷(正確的打“√”，錯誤的打(1)與正整數(shù)n有關(guān)的數(shù)學(xué)命題的證明只能用數(shù)學(xué)歸納法．( (2)數(shù)學(xué)歸納法的第一步n0的初始值一定為1.( (3)數(shù)學(xué)歸納法的兩個步驟 答案：(1)×(2)×如果命題p(n)對所有正偶數(shù)n都成立，則用數(shù)學(xué)歸納法證明時須先證 成立答案已知

1(n∈N*)，計算得

n＞2時，

＞2，由此推測，2答案2用數(shù)學(xué)歸納法證明等[典例]用數(shù)學(xué)歸納法證明等12＋

* (n∈N*

[證明 (1)當(dāng)n＝1時， 1×3＝2×3成立假設(shè)當(dāng)12＋

n＝k＋1時，

＋

＝2(2k＋3)n＝k＋1可得對于任意的用數(shù)用數(shù)學(xué)歸納法證明恒等式應(yīng)注意的nn0時等式兩端項的情況；二是弄n＝kn＝k＋1n＝k＋1時結(jié)論也成立，要設(shè)法將待證式與歸納假設(shè)建立聯(lián)系，并朝n＝k＋1證明目標(biāo)的表達(dá)式變形．[活學(xué)活用求證

1

1 1

1 11

＋＋＋2＋…＋2n(n∈Nn1n證明：(1)n＝1時，左邊n1n 右邊＝1＝1，左邊＝ (2)假設(shè)n＝k(k∈N*)時等式成立，即1－1＋1－1＋…＋ －1＝1＋1 ，1，

n＝k＋11－1＋1－1＋…＋ －1

－

1＋1＋…＋1 － ＝1＋1＋…＋ ＋

n＝k＋1用數(shù)學(xué)歸納法證明不等用數(shù)學(xué)歸納法證明不等[典例]已知＋求證：1＋1 1 1＋

> [證明 (1)當(dāng)n＝3時，左邊＝1＋1＋1，右邊 假設(shè)當(dāng)即1＋1＋1＋…＋1 n＝k＋11＋1＋1＋…＋1

因 所以1＋1＋1＋…＋1

n＝k＋1由(1)，(2)知對一切n∈N*，n＞2[一題多變1．[變條件，變設(shè)問]將本題中所要證明的不等式改為 1 1 1 1 ＋…＋(n≥2，n∈N)，如何證明

證明：(1)當(dāng)n＝2時，1＋1＋1＋1＞5 假設(shè)當(dāng)即1＋1＋…＋1

則當(dāng)n＝k＋1時 ＋…＋1＋ ＋ ＝1

1＋…＋1＋ ＋1 ＋1 －1＞5＋1 ＋1 ＋1 －1＞5＋

＝ 1 ＝ n＝k＋1可知，原不等式對一切2．[變條件，變設(shè)問]將本題中所要證明的不等式改為

1

＋＋

(n≥2，n∈N)，如何證明證明：(1)n＝2時，左邊＝1＋1＝4，右邊＝ 2左邊＞右邊，所以原不等式成立假設(shè)當(dāng)2即1＋11＋1…1＋2 n＝k＋1左邊＝1＋11＋1…1＋ 2k＋12k＋2> >

2n＝k＋1可知，對一切用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式的四個關(guān)(1)驗證第一個n的值時，要注意n0不一定為1，若n＞k(k為正整數(shù))，則n0＝k＋1.(2)n＝kn＝k＋1的推導(dǎo)過程中，一定要用到歸納假設(shè)，(3)用數(shù)學(xué)歸納法證明與n有關(guān)的不等式一般有兩種具體形式：一是直接給出不等式，取前n個值的情況分別驗證比較，以免出現(xiàn)判斷，最后猜出從某個n值開始都成立的歸納—猜想—證[典例]下列各你能做出什么一般性的猜想？能證明你的猜想[解 由題意得，2＝2×1,3×4＝4×1×3,4×5×6＝8×1×3×5,5×6×7×8證明：(1)n＝1(2)n＝k時等式成立，即(k＋1)(k＋2)(k＋3)…2k＝2k·1·3·5·…·(2k－1)，那么當(dāng)n＝k＋1時，n＝k＋1(1)“(1)“歸納—猜想—證明”的一般環(huán)(2)“歸納—猜想—證明”的主要題①已知數(shù)列的遞n②由一些恒等式、不等式改編的一些探究性問題，求使命題成立的參數(shù)值是否存在③給出一些簡題(n＝1,2,3，…)，猜想并證明對任意正整數(shù)n[活學(xué)活用數(shù)列{a}中，a

的表達(dá) 加以證明

2＝4，

解：∵a2＝4，且

4

1

猜想：an＝ 當(dāng)n＝1,2猜想正確假設(shè)當(dāng)即ak＝ n＝k＋1(k－1)· ＝k－ ＝＝＝＝1 ∴n＝k＋1由(1)(2)n∈N*層級一學(xué)業(yè)水平達(dá)＋設(shè)S＝1 1＋1＋

1

為 3 3

k＋…＋2k

Sk＋ B．Sk＋ 1 ＋

1 C．Sk＋ －

解析選 因式子右邊各分?jǐn)?shù)的分母是連續(xù)正整數(shù)則由Sk＝1＋1＋…＋1 ①得Sk＋1＝1＋1＋…＋1＋

由②－①，得Sk＋1－Sk＝ － ＝ .故Sk＋1＝Sk＋

利用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式 1＜n(n≥2，n∈N*)的過程中，由n＝k變到n＝k＋1時，左邊增加了 B．kC．2k－1 D．2k解析：選 當(dāng)n＝k時，不等式左邊的最后一項為1，而當(dāng)n＝k＋1時，最后一 ，并且不等式左邊和式的分母的變化規(guī)律是每一項比前一項加1， 2kn＝k＋2時命題也成立，則 該命題對于n＞2的自n都成Ck取值無關(guān)解析選 由n＝k時命題成立可推出n＝k＋2時命題也成立又n＝2時命題成立對于不等 n2＋n＜n＋1(n∈N*)，某同學(xué)用數(shù)學(xué)歸納法的證明過程如下當(dāng)n＝1時 12＋1＜1＋1，不等式成立假設(shè)當(dāng)n＝k(k∈N*)時，不等式成立， k2＋k＜k＋1，則當(dāng)n＝k＋1時，(k＋1)2＋(k＋1)＝k2＋3k＋2＜(k2＋3k＋2)＋k＋2＝∴n＝k＋1時，不等式成立，則上述證法( n＝1n＝kn＝k＋1的推理不正解析：選 在n＝k＋1時，沒有應(yīng)用n＝k時的歸納假設(shè)，故選設(shè)f(n)＝5n＋2×3n－1＋1(n∈N*)，若f(n)能被m(m∈N*)整除則m的最大值為 解析：選 f(1)＝8，f(2)＝32，f(3)＝144＝8×18，猜想m的最大值為用數(shù)學(xué)歸納法證明“對于足夠大的自然數(shù)，總有2＞3”時，驗證第一步不等成立所取的第一個值0最小應(yīng)當(dāng)是 ．最小應(yīng)為答案7

1．用數(shù)學(xué)歸納法證明

，假設(shè)n＝k時，不等式成立2當(dāng)n＝k＋1時，應(yīng)推證的目標(biāo)不等式 解析：觀察不等式中分母的變化便知 1

1答案

對任意n∈N*,34n＋2＋a2n＋1都能被14整除，則最小的自然數(shù) 解析：n＝1時，36＋a314a＝35a＝3n＝2時，310＋35不能被14整除，故a＝5.答案已知n∈N*，求證證明：(1)n＝1時，左邊＝4－18＝－14＝－1×2×7＝n＝k＋1即當(dāng)n＝k＋1時成立．由(1)(2)n∈N*用數(shù)學(xué)歸納法證明

＋2≤證明：(1)n＝1時，3≤1＋1≤3 n＝k＋1

1 1

1

1＋

＋…＋

2又1＋1＋1＋…＋1＋1＋1＋…＋ ＜1＋k＋k12

n＝k＋1可知，命題對所有層級二應(yīng)試能力達(dá)標(biāo)1.n邊形f(n)條對角線，則n＋1邊形對角線的條＋1)為 解析：選 線，故故應(yīng)選設(shè) 1 (n∈N*)，那么f(n＋1)－f(n)等于 ＋＋

1 1 ＋ ＋ 1 ＋

1 1 1

.解析：選 f(n＋1)－f(n)＝1＋ ＋ . 個數(shù)為f(k)，則f(k＋1)與f(k)的關(guān)系是( 解析：Cn＝k＋11llkf(k)lk條直線都相交(k個交點)k個交點兩兩不相同，且與平面內(nèi)其他的f(k)個交點也兩兩不相同，從而n＝k＋1時交點的個數(shù)是f(k)＋k＝f(k＋1)．若命題A(n)(n∈N*)n＝k(k∈N*)時命題成立，則有n＝k＋1時命題成立．現(xiàn)知命題對n＝n0(n0∈N*)時命題成立，則有( 命題對所有正整數(shù)都命題對小于n0的正整數(shù)不成立，對大于或等于n0命題對小于n0的正整數(shù)成立與否不能確定，對大于或等于n0解析：選C 由題意知n＝n0時命題成立能推出n＝n0＋1時命題成立，由n＝n0＋1時命題成立，又推出n＝n0＋2時命題也成立…，所以對大于或等于n0的正整數(shù)命題都成立，而對小于n0的正整數(shù)命題是否成立不確定．用數(shù)學(xué)歸納法證明時，左邊所得的項

(n∈N*，a≠1)，在驗證n＝1成解析：n＝1時，n＋1＝2，所以左邊答案用數(shù)學(xué)歸納法證明1＋2＋22＋…＋2n－1＝2n－1(n∈N*)①當(dāng)n＝1時，左邊＝20＝1，右邊＝21－1＝1，等式成立②假設(shè)n＝k(k≥1，且k∈N*)時，等式成立n＝k＋1所以當(dāng)n＝k＋1時，等式也成立

解析：由證明過程知，在證從n＝k到n＝k＋1時，直接用的等比數(shù)列前n項和答案：沒有用歸納假平面內(nèi)有n(n∈N*)個圓，其中每兩個圓都相交于兩點，且每三個圓都不相交于同一點，求證：這nn2－n＋2部分．證明：(1)n＝1時，n2－n＋2＝2(2)n＝k(k≥1，k∈N*)kk2－k＋2n＝k＋1k＋1kk2－k＋2k＋1個圓增加2k個部分，故k＋1個圓把平面分成k2－k＋2＋2k＝(k＋1)2－(k＋1)＋2