第九章第三節(jié)能控性和觀性

2023/4/3第三章線性控制系統(tǒng)的能控性和能觀性3.1能控性和能觀性的定義

3.2線性定常系統(tǒng)的能控性判別

3.3線性定常系統(tǒng)的能觀性判別

3.4能控性與能觀性的對偶關(guān)系

3.5狀態(tài)空間表達式的能控標(biāo)準(zhǔn)型與能觀標(biāo)準(zhǔn)型

3.6線性系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)分解

3.7傳遞函數(shù)矩陣的實現(xiàn)問題

3.8傳遞函數(shù)中零極點對消與狀態(tài)能控性和能觀性之間的關(guān)系

本章小結(jié)和作業(yè)2023/4/33.1能控性和能觀性的定義一、意義所謂狀態(tài)空間描述，就是用狀態(tài)方程和輸出方程來描述系統(tǒng)。狀態(tài)方程描述了系統(tǒng)內(nèi)部變量與外部控制作用的關(guān)系；輸出方程描述了系統(tǒng)內(nèi)部狀態(tài)變量與輸出變量之間的關(guān)系。由此可知，狀態(tài)空間描述從本質(zhì)上提示了系統(tǒng)輸入輸出關(guān)系與內(nèi)部結(jié)構(gòu)的內(nèi)在聯(lián)系，這為深入研究系統(tǒng)內(nèi)部結(jié)構(gòu)提供了可能性。更為重要的是60年代初期卡爾曼提出了能控性和能觀測性概念。所謂能控性，是指外加控制作用u(t)對受控系統(tǒng)的狀態(tài)變量x(t)和輸出變量y(t)的支配能力，它回答了u(t)能否使x(t)和y(t)作任意轉(zhuǎn)移的問題。所謂能觀測性，是指由系統(tǒng)的量測輸出向量y(t)識別狀態(tài)向量x(t)的測辨能力，它回答了能否通過y(t)的量測值來識別x(t)的問題。當(dāng)給定了初始狀態(tài)x(t0)以及控制作用u(t)后，系統(tǒng)在任何時刻的狀態(tài)x(t)就唯一地確定下來。2023/4/3

對于給定的系統(tǒng)，當(dāng)外加控制及作用點確定之后，有些狀態(tài)分量能受外加控制作用u(t)的控制，有些狀態(tài)向量可能不受u(t)的控制。能受u(t)控制的狀態(tài)稱為能控狀態(tài)，不受u(t)控制的狀態(tài)稱不能控狀態(tài)。同樣，對于給定的系統(tǒng)，有些狀態(tài)能夠通過輸出y(t)確定下來，有些狀態(tài)不能通過y(t)確定下來。能夠通過y(t)而確定下來的狀態(tài)稱為能觀狀態(tài)，不能通過y(t)而確定下來的狀態(tài)稱為不能觀狀態(tài)。設(shè)計一個線性系統(tǒng)，總是希望所施加的控制u(t)能完全控制系統(tǒng)的運動狀態(tài)，而不希望出現(xiàn)失控現(xiàn)象。同時也希望通過y(t)能完全確定系統(tǒng)的運動狀態(tài)，以便實現(xiàn)狀態(tài)反饋控制?？傊?，能控性和能觀測性分別是從狀態(tài)的控制能力和狀態(tài)的測辨能力兩個方面揭示了控制系統(tǒng)的兩個基本屬性。現(xiàn)代控制理論的許多基本問題，如最優(yōu)控制和最優(yōu)估計，都是以能控性和能觀測性為存在條件的。2023/4/3二、對能控性和能觀測性的直觀討論每一個狀態(tài)變量運動都可由輸入u(t)來影響和控制，而由任意的始點達到原點——狀態(tài)能控。狀態(tài)的任意形式的運動均可由輸出完全反映——狀態(tài)能觀測。系統(tǒng)狀態(tài)2023/4/3比如一個系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述為：寫成標(biāo)量方程組的形式為：可以直觀地看出，受u的控制，即可以通過選擇u，使取任意值，而則不受u的控制，不能通過u的選擇，使取我們所需的值。y只反映，而與無直接也無間接關(guān)系，因而能觀，而不能觀測。2023/4/3再比如電網(wǎng)絡(luò)||12023/4/32||||2023/4/3三、定義1、能控性定義線性定常系統(tǒng)如果存在一個分段連續(xù)的輸入u（t），能在有限的時間區(qū)間內(nèi)，使系統(tǒng)由某一初始狀態(tài)轉(zhuǎn)移到指定的任一終端狀態(tài)，則稱此狀態(tài)是能控的。若系統(tǒng)的所有狀態(tài)都是能控的，則系統(tǒng)是狀態(tài)完全能控的。幾點說明：1）系統(tǒng)的初始狀態(tài)X0，可以是狀態(tài)空間中任意非零的有限點，終端狀態(tài)X(tf)為狀態(tài)空間的原點。2）也可以指定X0是原點，而終端狀態(tài)X(tf)為狀態(tài)空間中任意非零點。3）在討論能控性問題時，不計較u的約束，只要能使?fàn)顟B(tài)從X0到達X(tf)即可，而不討論到達的軌跡。2023/4/34）能控性反映了輸入u控制內(nèi)部狀態(tài)變量的能力。2、能觀性定義系統(tǒng)如果對任意給定的輸入u，在有限的觀測時間，使得根據(jù)期間的輸出y（t）能唯一地確定系統(tǒng)在初始時刻的狀態(tài)，則稱狀態(tài)是能觀測的。若每一個狀態(tài)都是能觀測的，則稱系統(tǒng)是完全能觀測的。幾點說明：1）能觀測表示輸出y（t）反映內(nèi)部變量x（t）的能力。2）之所以對的確定，是因為可由得到任意的2023/4/33.2線性定常系統(tǒng)的能控性判別一、具有標(biāo)準(zhǔn)型的系統(tǒng)能控性判別1、若A的特征值互異，則為對角線標(biāo)準(zhǔn)型，此時系統(tǒng)狀態(tài)完全能控的充要條件是：的各行元素沒有全為0的。（非奇異變換不改變系統(tǒng)的能控性）例：（1）系統(tǒng)模擬結(jié)構(gòu)圖：

2023/4/3（2）完全能控（3）不完全能控（4）完全能控2023/4/3（5）不完全能控（6）不完全能控？（7）A陣為任意形式，作變換：

2023/4/32、若A具有重特征值：（1）每個重跟只對應(yīng)一個約旦塊，則能控的充要條件是：與每個約旦塊最后一行對應(yīng)的行沒有元素全為0的。（2）若有重根對應(yīng)一個以上的約旦塊，則能控的充要條件是：中與每個重根的約旦塊最后一行對應(yīng)的行均是行線性無關(guān)的。例：（1）模擬結(jié)構(gòu)圖：2023/4/3（2）模擬結(jié)構(gòu)圖：2023/4/3（3）完全能控（4）不完全能控

（5）完全能控（6）不完全能控2023/4/3（7）不完全能控（8）能控（9）2023/4/3（10）（11）2023/4/3（12）均為行線性無關(guān)，所以完全能控。2023/4/3二、直接從A與B判別系統(tǒng)的能控性線性定常系統(tǒng)其完全能控的充要條件是：M稱為能控判別陣。證明略。例（1）2023/4/3（2）2023/4/3系統(tǒng)狀態(tài)不完全能控2023/4/3三、由傳遞函數(shù)判斷能控性（SISO系統(tǒng)）兩邊去拉氏變換：U－X之間的傳遞函數(shù)：狀態(tài)完全能控的充要條件是：沒有零極點對消現(xiàn)象。例：（1）存在零極點對消，故不可控2023/4/3（2）實際上，只需即可判別出完全能控。2023/4/33.3線性定常系統(tǒng)的能觀性判別一、變換為標(biāo)準(zhǔn)形式的判別方法1、A的特征值互異，則系統(tǒng)能觀的充要條件是：中沒有元素全為0的列。例：（1）2023/4/3（2）2、A有重特征值時，（1）若每個重根只對應(yīng)一個約旦塊，則能觀的充要條件是：中對應(yīng)每個約旦塊的首列元素不全為0。（2）若有重根對應(yīng)一個以上的約旦塊，則能觀的充要條件是；中與每個重根的約旦塊第一列對應(yīng)的列均是列線性無關(guān)的。例：（1)2023/4/3（2）（3）2023/4/3(4)都是列線性無關(guān)的，所以能觀2023/4/3二、直接由A、C矩陣判別系統(tǒng)的能觀性系統(tǒng)：完全能觀的充要條件是：例：能觀判別陣2023/4/3三、由傳遞函數(shù)判別系統(tǒng)的能觀性（SISO系統(tǒng)）1、線性定常單輸入—單輸出系統(tǒng)，狀態(tài)完全能觀測的充分必要條件，其狀態(tài)—輸出的傳遞函數(shù)無相消因子，即無零極點對消現(xiàn)象。2、線性定常單輸入—單輸出系統(tǒng)，狀態(tài)完全能控、完全能觀測的充分必要條件試，其輸入—輸出函數(shù)無相消因子，即無零極點對消現(xiàn)象。2023/4/33.4能控性與能觀性的對偶關(guān)系一、線性系統(tǒng)的對偶關(guān)系兩個系統(tǒng)：若滿足下列條件，則稱與是互為對偶的2023/4/3從傳遞函數(shù)來看：為m×r矩陣因此，對偶系統(tǒng)的傳遞函數(shù)矩陣是互為轉(zhuǎn)置的，但其特征方程式是相同的。二、對偶原理若兩個系統(tǒng)：是互為對偶的，則的能控性等價于的能觀性；的能觀性等價于的能控性。2023/4/3證明：的能控判別陣：2023/4/33.5狀態(tài)空間表達式的能控標(biāo)準(zhǔn)型與能觀標(biāo)準(zhǔn)型非奇異變換不改變系統(tǒng)的能控性（能觀性）；只有系統(tǒng)完全能控（能觀）才能通過非奇異變換化為能控（能觀）標(biāo)準(zhǔn)型。一、單輸入系統(tǒng)的能控標(biāo)準(zhǔn)型系統(tǒng)：若是完全能控的，則因此一定可以從M的nr個列向量中選取n個獨立的列向量組成變換矩陣，從而導(dǎo)出系統(tǒng)的能控標(biāo)準(zhǔn)型。2023/4/31、能控標(biāo)準(zhǔn)I型SISO系統(tǒng)：是能控的，則存在非奇異變換其中，使其狀態(tài)空間表達式化為：其中，分別具有如下形式：2023/4/3其中，為A的特征多項式：的各項系數(shù)。是相乘的結(jié)果。此為能控標(biāo)準(zhǔn)I型2023/4/3由能控標(biāo)準(zhǔn)I型，容易求得傳遞函數(shù)為：【例3-1】將下列狀態(tài)空間表達式變換成能控標(biāo)準(zhǔn)I型解：方法一，（1）判別系統(tǒng)的能控性系統(tǒng)能控，可以化為能控標(biāo)準(zhǔn)型。2023/4/3（2）A的特征多項式（3）計算可直接寫出：需通過計算得到2023/4/3（4）得到系統(tǒng)的能控標(biāo)準(zhǔn)I型為：還可以直接寫出系統(tǒng)的傳遞函數(shù)：2023/4/3方法二，（1）先求出系統(tǒng)的傳遞函數(shù)：2023/4/3（2）根據(jù)傳遞函數(shù)直接寫出（3）得到系統(tǒng)的能控標(biāo)準(zhǔn)I型2023/4/32、能控標(biāo)準(zhǔn)II型

SISO系統(tǒng)：是能控的，則存在非奇異變換使其狀態(tài)空間表達式化為：其中，分別具有如下形式：2023/4/3其中，為A的特征多項式：的各項系數(shù)。是相乘的結(jié)果。此為能控標(biāo)準(zhǔn)II型證明見教材！【例3-2】將系統(tǒng)化為能控標(biāo)準(zhǔn)II型解：（1）判斷能控性2023/4/3系統(tǒng)能控，故可以化為可能標(biāo)準(zhǔn)II型。（2）A的特征多項式（3）計算可以直接寫出需計算得到：2023/4/3（4）得到能控標(biāo)準(zhǔn)II型二、單輸出系統(tǒng)的能觀標(biāo)準(zhǔn)型同理，只有當(dāng)系統(tǒng)是狀態(tài)完全能觀時，即：時，才能導(dǎo)出能觀標(biāo)準(zhǔn)型2023/4/31、能觀標(biāo)準(zhǔn)I型SISO系統(tǒng)：是能觀的，則存在非奇異變換，使其狀態(tài)空間表達式化為：其中，分別具有如下形式：2023/4/3其中，為A的特征多項式：的各項系數(shù)。是相乘的結(jié)果。此為能觀標(biāo)準(zhǔn)I型而變換陣2023/4/3能觀標(biāo)準(zhǔn)II型SISO系統(tǒng)：是能觀的，則存在非奇異變換使其狀態(tài)空間表達式化為：其中，分別具有如下形式：2023/4/3變換陣：而且，也可以直接由傳遞函數(shù)寫出能觀標(biāo)準(zhǔn)II型，或者由能觀標(biāo)準(zhǔn)II型直接寫出傳遞函數(shù)。2023/4/3【例3-3】將系統(tǒng)化為能觀標(biāo)準(zhǔn)型解：（1）判斷能觀性狀態(tài)完全能觀。（2）A的特征多項式2023/4/3（3）（能觀I型）直接寫出：計算得到：所有能觀標(biāo)準(zhǔn)I型為：2023/4/3（4）（能觀II型）直接寫出：計算得到：所有能觀標(biāo)準(zhǔn)II型為：2023/4/33.6線性系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)分解如果一個系統(tǒng)是不完全能控（觀）的，則其能控（觀）的狀態(tài)向量構(gòu)成了能控（觀）子空間，不能控（觀）的狀態(tài)向量構(gòu)成了不能控（觀）子空間，但在一般形式下，并沒有明顯地分解出來，本章討論如何用非奇異變換對狀態(tài)空間按能控（觀）性進行結(jié)構(gòu)分解。一、按能控性分解設(shè)線性定常系統(tǒng)是不完全能控的，即則存在非奇異變換將狀態(tài)空間表達式化為：2023/4/3其中，2023/4/3即：其中，維子空間是能控子空間維子空間是不能控子空間。機構(gòu)分解的情況如圖所示。變換矩陣由n個列向量組成，前個列向量取自M中個線性無關(guān)的列；后個列向量在保證非奇異的情況下是任意的。2023/4/32023/4/3【例3-4】將以下系統(tǒng)按能控性進行分解。解：（1）判別能控性系統(tǒng)狀態(tài)不請安全能控。（2）組成變換矩陣取2023/4/3（3）求若取則

2023/4/3同理可以算出在這兩種分解后的狀態(tài)空間表達式中，能控自空間的形式完全相同，均為此非偶然也，乃因是取自M中的兩個線性無關(guān)的列。2023/4/3二、按能觀性分解設(shè)線性定常系統(tǒng)是狀態(tài)不完全能觀的，即則存在非奇異變換，將狀態(tài)空間表達式化為：其中，分別具有如下形式：2023/4/32023/4/3可見，變換后系統(tǒng)分解為兩個子系統(tǒng)：其結(jié)構(gòu)圖見下頁。變換陣的構(gòu)成：

維能觀子系統(tǒng)

維不能觀子系統(tǒng)由n個行向量構(gòu)成，其中，前行取自能觀陣N中個線性無關(guān)的行，行在保證非奇異的情況下是任意的。2023/4/32023/4/3【例3-5】將以下系統(tǒng)按能觀性進行分解。解：（1）判別能觀性不完全能觀。（2）構(gòu)造變換陣取則2023/4/3（3）求三、按能控性能觀性分解1、若線性定常系統(tǒng)不完全能控且不完全能觀，則存在非奇異變換把原狀態(tài)空間表達式化為：2023/4/3其中，這樣，就將整個狀態(tài)空間分解為能控能觀、能控不能觀、不能控能觀、不能控不能觀四個子空間。2023/4/3能控能觀能控不能觀不能控能觀不能控不能觀2023/4/3其結(jié)構(gòu)圖如下：2023/4/3從結(jié)構(gòu)圖我們可以看出，從輸入到輸出實際上只有一條通道：因此，反映系統(tǒng)輸入輸出特性的傳遞函數(shù)描述實際上只是反映了能控且能觀的那個子系統(tǒng)的動力學(xué)行為。從而也說明了傳遞函數(shù)描述只是對系統(tǒng)的一種不完全描述。根據(jù)傳遞函數(shù)求狀態(tài)空間表達式（實現(xiàn)問題），其解將有無窮多個。但是其中維數(shù)最小的那個狀態(tài)空間表達式是嘴常用的，這就是最小實現(xiàn)問題。2、按能控能觀性分解的步驟（1）首先將系統(tǒng)按能控性分解。為此取狀態(tài)變換按能控性分解構(gòu)造2023/4/3將系統(tǒng)變換為：（2）將上式中的不能控子系統(tǒng)按能觀性分解，取變換這樣，將分解為：按能觀性分解構(gòu)造2023/4/3（3）將能控子系統(tǒng)按能觀性分解，取變換由有，將代入上式，得：按能觀性分解構(gòu)造2023/4/3兩邊左乘得：綜合以上三次變換，就可以得到按能控性能觀性分解的表達式：2023/4/32023/4/3【例3-6】（1）將原系統(tǒng)按能控性分解，得到（2）不能控子系統(tǒng)僅為一維，且能觀，故無需再分解。2023/4/3（3）能控子系統(tǒng)按能觀性分解：取變換取變換陣2023/4/32023/4/3綜合幾次分解的結(jié)果，可以得到：2023/4/33、結(jié)構(gòu)分解的另一種方法先把原系統(tǒng)化為對角線（約旦）標(biāo)準(zhǔn)型，然后判別出能控能觀、不能控能觀、能控不能觀、不能控不能觀的狀態(tài)變量，最后按順序排列即可?！纠?-7】2023/4/32023/4/3由能控能觀的判據(jù)知：能控且能觀的變量：能控但不能觀的變量：不能控但能觀的變量：不能控且不能觀的變量：最后將這些變量重新排列順序，就可以得到分解后的狀態(tài)空間表達式：2023/4/32023/4/33.7傳遞函數(shù)矩陣的實現(xiàn)問題一、實現(xiàn)問題的基本概念給定傳遞函數(shù)陣W（s），若有狀態(tài)空間表達式使之成立則稱該狀態(tài)空間表達式為傳遞函數(shù)陣W（s）的一個實現(xiàn)?？蓪崿F(xiàn)條件：（1）中每個元的分子分母多項式系數(shù)均為實常數(shù)。（2）的元是真有理分式。說明：真有理分式：分子多項式的階數(shù)低于或等于分母的階數(shù)。嚴(yán)格真有理分式：分子多項式的階數(shù)低于分母的階數(shù)。2023/4/3當(dāng)傳遞函數(shù)陣中所有元的分子多項式階數(shù)低于分母多項式的階數(shù)時，則必有當(dāng)傳遞函數(shù)陣中哪怕只有一個元的分子多項式階數(shù)等于分母多項式的階數(shù)時，則，且此時，應(yīng)先由得到再實現(xiàn)【例3-8】2023/4/3二、能控標(biāo)準(zhǔn)型實現(xiàn)和能觀標(biāo)準(zhǔn)型實現(xiàn)先把嚴(yán)格真有理分式的傳遞函數(shù)寫成如下形式：這里，則其能控標(biāo)準(zhǔn)型實現(xiàn)為：該傳遞函數(shù)陣的特征多項式系數(shù)m×r維常數(shù)陣2023/4/3r×r維單位陣r×r維零陣2023/4/3其能觀標(biāo)準(zhǔn)型實現(xiàn)為：m×m維單位陣m×m維零陣2023/4/3【例3-9】求的能控標(biāo)準(zhǔn)型實現(xiàn)和能觀標(biāo)準(zhǔn)型實現(xiàn)。解：2023/4/3所以：直接寫出其能控標(biāo)準(zhǔn)型如下：2023/4/3能觀標(biāo)準(zhǔn)型如下：2023/4/3三、最小實現(xiàn)1、最小實現(xiàn)的定義傳遞函數(shù)W（s）的一個實現(xiàn)：如果不存