理論力學(xué)課件 第五章-分析力學(xué)

第五章分析力學(xué)§5.1約束與廣義坐標§5.2虛功原理§5.3拉格朗日方程§5.5哈密頓正則方程§5.6泊松括號與泊松定理§5.7哈密頓原理1§5.0引言Lagrange(拉格朗日)Hamilton(哈密頓)拉格朗日:1788年:《分析力學(xué)》.全書沒有一張圖,是完全用數(shù)學(xué)分析來解決所有的力學(xué)問題.哈密頓:1834年：哈密頓正則方程；1843年：哈密頓原理。其它人的貢獻：如莫培督、歐拉、高斯、雅科畢等人2分析力學(xué)：以變分原理為基礎(chǔ)，以動能和勢能為基本量，從力學(xué)體系的一切可能運動中尋找真實運動的學(xué)科變分原理虛功原理達朗伯原理哈密頓原理一切可能運動：指力學(xué)體系在約束許可下可能存在的運動基本量均是標量3矢量力學(xué)和分析力學(xué)的區(qū)別與聯(lián)系矢量力學(xué)分析力學(xué)隔離法方程個數(shù)：3n+k力學(xué)體系方程個數(shù)：3n-k基本量為矢量：基本量為標量：T,V,H,L,Q真實運動可能運動更容易推廣到其它分支學(xué)科，特別是多粒子體系。4§5.1約束與廣義坐標一、約束及分類1.力學(xué)體系：有相互作用的大量質(zhì)點組成的體系。2.約束：加在體系上限制其運動（位置和速度）的條件。約束方程：如：小蟲在吹著的氣球上運動，自由體系：力學(xué)體系的運動狀態(tài)完全由主動力和初始條件決定非自由體系：力學(xué)體系的運動狀態(tài)受某些預(yù)先給定的幾何上或運動學(xué)上的限制。53.分類：1)幾何約束和運動約束僅限制體系位置——幾何約束不僅限制位置，且限制速度——運動約束，或稱微分約束xyoCm6AyxOLAyxO2）穩(wěn)定約束和不穩(wěn)定約束穩(wěn)定約束：限制體系位置的約束不是時間的函數(shù)不穩(wěn)定約束：限制體系位置的約束是時間的函數(shù)3）可解和不可解約束o點固定不動nmolnmol7

例:冰面上滑行的冰刀的簡化模型.假定將冰刀抽象為以剛性輕桿相連的兩個質(zhì)點,并設(shè)兩質(zhì)點質(zhì)量相等,桿長為l,當(dāng)冰刀在冰面上運動時,質(zhì)心(桿的中點)的速度只能沿桿的方向.選兩質(zhì)點在冰面上的坐標為(x1,y1)和(x2,y2)，則約束條件為OyxvABAy1y2x1x24）完整約束和非完整約束

完整約束：幾何約束和可積的運動約束非完整約束：不可積的運動約束完整體系，非完整體系8n個質(zhì)點系統(tǒng)由n個位矢rl,r

2,…,rn確定，或由N＝3n個直角坐標，(x1，yl，z1),…,(xn，yn，zn)表示.如果該系統(tǒng)存在k個完整約束:二、自由度、廣義坐標獨立坐標個數(shù)：3n-kl1xyO如何選擇獨立坐標？①④②③9自由度：確定一力學(xué)體系的運動（或位形）所需求的獨立坐標變量個數(shù)，叫體系的自由度。廣義坐標：若體系有k個完整約束，則有3n-k個獨立坐標，引進s個獨立坐標q1,q2…qs稱q1,q2…qs為廣義坐標注：1）qα不一定是線量

2）qα可自由選取，不一定是3n中的s個，但必須方便確定體系的位置，選擇不止一種。

3）幾何約束下，獨立坐標數(shù)=自由度=廣義坐標數(shù)=3n-k10§5.2虛功原理一、實位移和虛位移P(x,y,z)sxyzo虛位移：在約束許可下，某一時刻質(zhì)點可能發(fā)生的微小位移說明：(1).虛位移的產(chǎn)生不需要時間dt=0,而實位移必須有時間間隔；(2).只要滿足約束條件，虛位移可能不止一個；11(3).

對于穩(wěn)定約束，實位移是虛位移中的一個；對于不穩(wěn)定約束，實位移不在虛位移之列.f(x,y,z,t)f(x,y,z,t+dt)δrdrPP’mmt時刻t+dt時刻12二、理想約束3.常見理想約束

1)光滑曲面，曲線4)光滑鉸鏈3)不可伸長的輕繩2)剛性桿hnnnABC13三、虛功原理：2.證明:a.必要性

（1）有一受k個穩(wěn)定的約束體系，處于平衡狀態(tài)，對每一質(zhì)點均有b.充分性。反證法結(jié)果與（1）矛盾，因此，體系應(yīng)該靜止14例1：輕桿在圖示中受兩力作用下處于平衡，用虛功原理求aby153.廣義坐標下的虛功原理（3）(4)（5）16若作用在體系上的主動力均為保守力，則體系的勢能為相應(yīng)的主動力：（6）(5)說明：（1）廣義力的個數(shù)=自由度個數(shù)=廣義坐標個數(shù)；（2）廣義力的量綱可以是力，力矩等的量綱17p206例1：求平衡時，α，β與主動力之間的關(guān)系oyxP2αFP1β(x1,y1)(x2,y2)AB解一：18解二：19例3.在半徑為r的鉛垂半圓形鋼絲上，穿兩個重為P和Q的小球，此二球用長為2l的不伸長繩子連接，不計摩擦。求平衡時繩與水平線所成之角nnoxy解：（1）確定自由度s=1,廣義坐標（3）寫出主動力作用點坐標（1）(2)（3）20§5.3Lagrange方程一、動力學(xué)的普遍方程1.D’Alembert-Lagrenge方程體系由n個質(zhì)點組成，每個質(zhì)點有稱為D’Alembert-Lagrenge方程稱達朗伯原理21Chapter222二、基本的拉格朗日方程

廣義力222323證明：24各項的物理意義：可見L方程是以qα為變量的s個二階線性微分方程組,方程個數(shù)=自由度數(shù)，約束越多，自由度越少，方程越少，只要寫出T，Qα，代入方程即可得到運動方程.適用條件：理想的完整體系25ξηζryx0例1.質(zhì)點P受力F，求相對運動微分方程（非保守系）（P217）解：1）選廣義坐標x,y,z;2)求T,Qα3)代入L-方程26例：5.12ABFCxyθmgO2a解：1）確定自由度，選廣義坐標2）寫出T，Qα

273)代入方程2829三、保守系的L-方程保守體系的L方程30例子：在光滑的水平面上放置一質(zhì)量為M的三棱柱，一個質(zhì)量為m的均質(zhì)圓柱嚴三棱柱的斜面無滑動地滾動。已經(jīng)斜面傾角為α，求三棱柱的加速度。解：（1）分析約束：三個約束；確定自由度

s=2，確定廣義坐標：x,x1(2)分析受力情況(3)寫出T，V，Lαhh(x,y)mMyxo31(4)由保守系下的拉格朗日方程得到加速度L-方程32四、循環(huán)積分如在L函數(shù)中，不顯含qα，則該坐標為循環(huán)坐標。運用L-方程求解問題時應(yīng)注意的問題：i).使用的條件：（a）理想、完整約束；（b）保守、理想、完整約束。ii).動能的表達式T應(yīng)是廣義坐標、廣義速度及時間的函數(shù)；動能是對慣性系而言的，應(yīng)為絕對動能。33如有心力場中，θ為循環(huán)坐標又如上例：水平方向動量守恒34四、能量積分設(shè)一完整保守系，有s個自由度351.齊次歐拉定理：應(yīng)用齊次歐拉定理：362.廣義能量積分令廣義能量37則1）L中不顯含t，叫廣義能量守恒2）穩(wěn)定體系，不顯含t表明時間變更不影響L，表明L的時間均勻性——廣義能量守恒。能量守恒38例:習(xí)題5.6解:選q=θ為廣義坐標約束方程：是非穩(wěn)定約束θ不是循環(huán)坐標，L中不顯含t,有廣義能量積分.oxyθcM(x,y)aωtω39例子：有一物體P1沿光滑水平面滑動，二另一物體P2則由一無重量的桿子與之相連，并在鉛直面內(nèi)擺動。假設(shè)二物體的質(zhì)量分別為m1和m2,輕桿長為l,求體系的運動規(guī)律。no

yx解：分析約束，s=2,廣義坐標：保守、理想、完整體系為循環(huán)坐標,因此有：積分一次上式(1)40代人L-方程(2)41例5.9：求運動方程zyxoθαrz425.7s=1(約束方程x2=4ay)xyoωxmgPv’4344§5.5Hamilton正則方程一、勒襄特變換（1）引入新變量引入新函數(shù)G：比較（4）和（5），有：45二、哈密頓正則方程引入新變量引入新函數(shù)H為哈密頓函數(shù)46哈密頓正則方程47說明：正則方程與L-方程完全等價。具有更廣泛的適用性廣義坐標和廣義動量組成2s維的相空間三、能量積分和循環(huán)積分1.H函數(shù)的性質(zhì)對于穩(wěn)定約束：H為總能量482.能量積分2.循環(huán)積分49Example1:電子繞原子核的運動50rRθOO’AA’φD5.245152§5.6泊松括號一、泊松括號的定義和性質(zhì)泊松括號：53二、泊松括號與正則方程1.正則方程的泊松表達式哈密頓正則方程542.運動積分定理：若函數(shù)，則為哈密頓正則方程的一個運動積分證明：先從線性偏微分方程：u=c（constant)的偏微分方程的解5556example57三、泊松定理定理：若和是正則方程的兩個運動積分，那么和組成的泊松括號也是正則方程的一個運動積分。證明：？58§5.7哈密頓原理力學(xué)原理變分原理：從一切可能的運動中尋找真實運動。變分不變分微分（虛功原理）積分（哈密頓原理）微分（達朗伯原理）積分（機械能守恒）公元二世紀提出光的最小化原理，1657費馬修訂1747年莫培督提出最小作用量原理1828年高斯-最小拘束原理赫芝-最小曲