單因子試驗設(shè)計

單因子試驗設(shè)計第1頁，共48頁，2023年，2月20日，星期三

單因子試驗是只包含一個試驗因子的試驗，也是最常見最簡單的一種試驗。 單因子試驗經(jīng)常采用完全隨機設(shè)計，或隨機區(qū)組設(shè)計。

它的數(shù)據(jù)分析要涉及到效應(yīng)模型、參數(shù)估計、方差分析、多重比較、正態(tài)性檢驗、方差齊性檢驗等多種方法。這也是學(xué)習(xí)復(fù)因子試驗的基礎(chǔ)。我們從一個例子開始來介紹單因子試驗。2.1單因子試驗第2頁，共48頁，2023年，2月20日，星期三

例:

茶是一種大眾飲品，它含有葉酸（一種維生素B），今要研究各地的綠茶中葉酸的含量是否有顯著差異？ 問題中，綠茶是一個因子，用A表示。 選定四個產(chǎn)地的綠茶，記為A1,A2,A3,A4，它是因子A的四個水平。為測定試驗誤差，需要重復(fù)。

各水平重復(fù)數(shù)相等的設(shè)計稱為平衡設(shè)計.各水平重復(fù)數(shù)不等的設(shè)計稱為不平衡設(shè)計.

如今我們選用不平衡設(shè)計，即A1,A2,A3,A4分別制作了7,5,6,6個樣品，共有24個樣品等待測試。一個例子第3頁，共48頁，2023年，2月20日，星期三這里一次測試就是一次試驗，試驗次序要隨機化。把試驗結(jié)果“對號入坐”，填寫試驗結(jié)果。第4頁，共48頁，2023年，2月20日，星期三在一個試驗中只考察一個因子A及其r個水平A1，A2，…，Ar．在水平Ai下重復(fù)mi次試驗，總試驗次數(shù)n=m1+m2+…+mr．

記yij是第i個水平下的第j次重復(fù)試驗的結(jié)果，這里i

——水平號，j——重復(fù)號．經(jīng)過隨機化后，所得的n個試驗結(jié)果列于表2.2.1．表2.2.1單因子試驗的數(shù)據(jù)第5頁，共48頁，2023年，2月20日，星期三A1.正態(tài)性：在水平Ａi下的數(shù)據(jù)yi1,yi2,…,yimi是來自正態(tài)總體

的一個樣本，i=1,2…,r。A2.方差齊性：r個正態(tài)總體的方差相等，即：

。A3.隨機性：所有數(shù)據(jù)yij都相互獨立。

圖2.2.1單因子試驗所涉及的多個正態(tài)總體第6頁，共48頁，2023年，2月20日，星期三r個水平均值

是否彼此相等？

這要用單因子方差分析方法來研究假如r個均值不全相等，哪些均值間的差異是重要的？

這要用多重比較的方法來研究第7頁，共48頁，2023年，2月20日，星期三其中

是因子A的第i個水平下第j次試驗結(jié)果；

是因子A的第i個水平的均值，是待估參數(shù)；

是因子A的第i個水平下第j次試驗誤差，它們是相互獨立同分布的隨機變量。由此可知：單因子試驗的三項基本假定用到試驗數(shù)據(jù)yij上去，可得到如下統(tǒng)計模型：第8頁，共48頁，2023年，2月20日，星期三由于 ，諸最小二乘法是使所有的偏差 的平方和

即四個產(chǎn)地綠茶的葉酸含量平均值為8.27,7.50,5.82,6.35它是第i個水平下的平均值。譬如，在例2.1.1中，由表2.1.2可得.達到最小，用微分法立即可得諸的最小二乘估計是：第9頁，共48頁，2023年，2月20日，星期三2.2單因子方差分析第10頁，共48頁，2023年，2月20日，星期三第11頁，共48頁，2023年，2月20日，星期三第12頁，共48頁，2023年，2月20日，星期三第13頁，共48頁，2023年，2月20日，星期三第14頁，共48頁，2023年，2月20日，星期三第15頁，共48頁，2023年，2月20日，星期三第16頁，共48頁，2023年，2月20日，星期三第17頁，共48頁，2023年，2月20日，星期三第18頁，共48頁，2023年，2月20日，星期三第19頁，共48頁，2023年，2月20日，星期三2.3多重比較第20頁，共48頁，2023年，2月20日，星期三多重比較方法第21頁，共48頁，2023年，2月20日，星期三多重比較方法第22頁，共48頁，2023年，2月20日，星期三多重比較方法在上例的均值比較中，各自的

t

用各自的來計算：1、最小顯著差數(shù)法（LSD法）m

為重復(fù)數(shù)，S2e為誤差項的方差第23頁，共48頁，2023年，2月20日，星期三多重比較方法2、新復(fù)極差法（SSR法或稱鄧肯q檢驗）(1)計算抽樣誤差：(2)計算比較標準：第24頁，共48頁，2023年，2月20日，星期三多重比較方法3、Tukey法（HSD法或稱圖基q檢驗）(1)計算抽樣誤差：(2)計算比較標準：第25頁，共48頁，2023年，2月20日，星期三2.4效應(yīng)模型第26頁，共48頁，2023年，2月20日，星期三第27頁，共48頁，2023年，2月20日，星期三第28頁，共48頁，2023年，2月20日，星期三第29頁，共48頁，2023年，2月20日，星期三第30頁，共48頁，2023年，2月20日，星期三第31頁，共48頁，2023年，2月20日，星期三第32頁，共48頁，2023年，2月20日，星期三第33頁，共48頁，2023年，2月20日，星期三第34頁，共48頁，2023年，2月20日，星期三第35頁，共48頁，2023年，2月20日，星期三2.5正態(tài)性檢驗在單因子方差分析中，對試驗的結(jié)果有三項假定：（1）相互獨立性；（2）正態(tài)性；（3）方差齊性。若在試驗過程中很好的實現(xiàn)隨機化，則試驗結(jié)果的相互獨立性一般可以得到滿足。而正態(tài)性和方差齊性則不太容易滿足，需要另外尋求統(tǒng)計檢驗方法。若檢驗后正態(tài)性和方差齊性不能滿足，還要尋求補救方法——數(shù)據(jù)變換，使數(shù)據(jù)具有完全或近似正態(tài)性和方差齊性。第36頁，共48頁，2023年，2月20日，星期三檢驗數(shù)據(jù)資料是否服從正態(tài)分布。正態(tài)分布檢驗有多種方法：1）偏度、峰度、Q-Q圖、正態(tài)概率紙檢驗2）卡方擬合優(yōu)度檢驗3）Shapiro-Wilk檢驗4）經(jīng)驗分布擬合優(yōu)度檢驗1、正態(tài)分布檢驗正態(tài)性檢驗第37頁，共48頁，2023年，2月20日，星期三1）偏度、峰度、Q-Q圖、正態(tài)概率紙檢驗比較直觀，但有些粗略。2）卡方擬合優(yōu)度檢驗分組不同，擬合的結(jié)果可能不同。需要有足夠大的樣本含量。對于連續(xù)型變量的優(yōu)度擬合，卡方檢驗并不是理想的方法。正態(tài)性檢驗第38頁，共48頁，2023年，2月20日，星期三將數(shù)據(jù)排序后一分為二折返配對，計算差值，查系數(shù)表ak(n)，構(gòu)造W

統(tǒng)計量。Shapiro-WilkW

統(tǒng)計量2、Shapiro-Wilk檢驗法（小樣本

8≤n≤50）正態(tài)性檢驗第39頁，共48頁，2023年，2月20日，星期三統(tǒng)計量W的取值范圍為[0,1]在原假設(shè)

H0：數(shù)據(jù)服從正態(tài)分布下，統(tǒng)計量W應(yīng)該接近于1，反之應(yīng)接近于0，在給定顯著性水平α下，使得：其拒絕域為：2、Shapiro-Wilk檢驗法（小樣本

8≤n≤50）正態(tài)性檢驗第40頁，共48頁，2023年，2月20日，星期三由樣本計算得到經(jīng)驗分布函數(shù)Fn(x)與原假設(shè)指定的正態(tài)分布F0(x)之間的差異進行檢驗。1）Kolmogorov-SmirnovD

統(tǒng)計量比較實際頻數(shù)與理論頻數(shù)的累積概率間的差距，找出最大距離D，根據(jù)D

值來進行檢驗。3、幾種經(jīng)驗分布擬合優(yōu)度檢驗（大樣本

>50）正態(tài)性檢驗第41頁，共48頁，2023年，2月20日，星期三2）Cramer-vonW

2

統(tǒng)計量3）Anderson-DarlingA

2

統(tǒng)計量正態(tài)性檢驗第42頁，共48頁，2023年，2月20日，星期三2.6方差