高中數(shù)學(xué)必修4三角函數(shù)?？碱}型：任-意-角

任意角【知識(shí)梳理】1．按旋轉(zhuǎn)方向分名稱定義圖形正角按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)形成的角負(fù)角按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)形成的角零角一條射線沒有作任何旋轉(zhuǎn)形成的角2.按角的終邊位置(1)角的終邊在第幾象限，則此角稱為第幾象限角；(2)角的終邊在坐標(biāo)軸上，則此角不屬于任何一個(gè)象限．3.所有與角α終邊相同的角，連同角α在內(nèi)，可構(gòu)成一個(gè)集合S＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(β|β＝α＋k·360°，k∈Z))，即任一與角α終邊相同的角，都可以表示成角α與整數(shù)個(gè)周角的和．【?？碱}型】題型一、象限角的判斷【例1】已知角的頂點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)重合，始邊落在x軸的非負(fù)半軸上，作出下列各角，并指出它們是第幾象限角．(1)－75°；(2)855°；(3)－510°.[解]作出各角，其對(duì)應(yīng)的終邊如圖所示：(1)由圖①可知：－75°是第四象限角．(2)由圖②可知：855°是第二象限角．(3)由圖③可知：－510°是第三象限角．【類題通法】象限角的判斷方法(1)根據(jù)圖形判定，在直角坐標(biāo)系中作出角，角的終邊落在第幾象限，此角就是第幾象限角．(2)根據(jù)終邊相同的角的概念．把角轉(zhuǎn)化到0°～360°范圍內(nèi)，轉(zhuǎn)化后的角在第幾象限，此角就是第幾象限角．【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練】在直角坐標(biāo)系中，作出下列各角，在0°～360°范圍內(nèi)，找出與其終邊相同的角，并判定它是第幾象限角．(1)360°；(2)720°；(3)2012°；(4)－120°.解：如圖所示，分別作出各角．可以發(fā)現(xiàn)(1)360°＝0°＋360°，(2)720°＝0°＋2×360°，因此，在0°～360°范圍內(nèi)，這兩個(gè)角均與0°角終邊相同．所以這兩個(gè)角不屬于任何一個(gè)象限．(3)2012°＝212°＋5×360°，所以在0°～360°范圍內(nèi)，與2012°角終邊相同的角是212°，所以2012°是第三象限角．(4)－120°＝240°－360°，所以在0°～360°范圍內(nèi)，與－120°角終邊相同的角是240°，所以－120°是第三象限角．題型二、終邊相同的角的表示【例2】(1)寫出與α＝－1910°終邊相同的角的集合，并把集合中適合不等式－720°≤β＜360°的元素β寫出來(lái)．(2)分別寫出終邊在下列各圖所示的直線上的角的集合．(3)寫出終邊落在圖中陰影部分(包括邊界)的角的集合．[解](1)與角α＝－1910°終邊相同的角的集合為eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(β|β＝－1910°＋k·360°，k∈Z)).∵－720°≤β＜360°，∴－720°≤－1910°＋k·360°＜360°，2．區(qū)域角是指終邊落在坐標(biāo)系的某個(gè)區(qū)域的角，其寫法可分三步(1)先按逆時(shí)針方向找到區(qū)域的起始和終止邊界；(2)由小到大分別標(biāo)出起始、終止邊界對(duì)應(yīng)的一個(gè)角α，β，寫出所有與α，β終邊相同的角；(3)用不等式表示區(qū)域內(nèi)的角，組成集合．【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練】已知角α的終邊在如圖所示的陰影部分內(nèi)，試指出角α的取值范圍．解：終邊在30°角的終邊所在直線上的角的集合為S1＝{α|α＝30°＋k·180°，k∈Z}，終邊在180°－75°＝105°角的終邊所在直線上的角的集合為S2＝{α|α＝105°＋k·180°，k∈Z}，因此終邊在圖中陰影部分的角α的取值范圍為{α|30°＋k·180°≤α<105°＋k·180°，k∈Z}.題型三、確定及所在的象限【例3】若α是第二象限角，則2α，eq\f(α,2)分別是第幾象限的角？[解](1)∵α是第二象限角，∴90°＋k·360°<α<180°＋k·360°(k∈Z)，∴180°＋k·720°<2α<360°＋k·720°，∴2α是第三或第四象限的角，或角的終邊在y軸的非正半軸上．(2)∵α是第二象限角，∴90°＋k·360°<α<180°＋k·360°(k∈Z)，∴45°＋k·180°<eq\f(α,2)<90°＋k·180°(k∈Z)．法一：①當(dāng)k＝2n(n∈Z)時(shí)，45°＋n·360°<eq\f(α,2)<90°＋n·360°(n∈Z)，即eq\f(α,2)是第一象限角；②當(dāng)k＝2n＋1(n∈Z)時(shí)，225°＋n·360°<eq\f(α,2)<270°＋n·360°(n∈Z)，即eq\f(α,2)是第三象限角．故eq\f(α,2)是第一或第三象限角．法二：∵45°＋k·180°表示終邊為一、三象限角平分線的角，90°＋k·180°(k∈Z)表示終邊為y軸的角，∴45°＋k·180°<eq\f(α,2)<90°＋k·180°(k∈Z)表示如圖中陰影部分圖形．即eq\f(α,2)是第一或第三象限角．【類題通法】1．nα所在象限的判斷方法確定nα終邊所在的象限，先求出nα的范圍，再直接轉(zhuǎn)化為終邊相同的角即可．2.eq\f(α,n)所在象限的判斷方法已知角α所在象限，要確定角eq\f(α,n)所在象限，有兩種方法：(1)用不等式表示出角eq\f(α,n)的范圍，然后對(duì)n的取值分情況討論：被n整除；被n除余1；被n除余2；…；被n除余n－1.從而得出結(jié)論．(2)作出各個(gè)象限的從原點(diǎn)出發(fā)的n等分射線，它們與坐標(biāo)軸把周角分成4n個(gè)區(qū)域．從x軸非負(fù)半軸起，按逆時(shí)針方向把這4n個(gè)區(qū)域依次循環(huán)標(biāo)上1,2,3,4.標(biāo)號(hào)為幾的區(qū)域，就是根據(jù)α終邊所在的象限確定eq\f(α,n)的終邊所落在的區(qū)域．如此，eq\f(α,n)所在的象限就可以由標(biāo)號(hào)區(qū)域所在的象限直觀地看出．【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練】已知角α為第三象限角，試確定角2α，eq\f(α,2)是第幾象限角．解：∵α為第三象限角，∴k·360°＋180°<α<k·360°＋270°(k∈Z)．(1)(2k＋1)·360°<2α<(2k＋1)·360°＋180°(k∈Z)，則2α可能是第一象限角、第二象限角或終邊在y軸非負(fù)半軸上的角．(2)k·180°＋90°<eq\f(α,2)<k·180°＋135°(k∈Z)，當(dāng)k＝2n(n∈Z)時(shí)，n·360°＋90°<eq\f(α,2)<n·360°＋135°(n∈Z)，此時(shí)eq\f(α,2)為第二象限角；當(dāng)k＝2n＋1(n∈Z)時(shí)，n·360°＋270°<eq\f(α,2)＋315°(n∈Z)，此時(shí)eq\f(α,2)為第四象限角．綜上所述，eq\f(α,2)可能是第二象限角或第四象限角.【練習(xí)反饋】1．把一條射線繞著端點(diǎn)按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)240°所形成的角是()A．120° B．－120°C．240° D．－240°解析：選D一條射線繞著端點(diǎn)按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)240°所形成的角是－240°，故選D.2．與435°角終邊相同的角可以表示為()A．－75°＋k·360°，k∈Z B．－435°＋k·360°，k∈ZC．75°＋k·360°，k∈Z D．75°＋k·180°，k∈Z解析：選C435°＝360°＋75°，∴與435°角終邊相同的角是75°＋k·360°，k∈Z.3．以下說(shuō)法，其中正確的有________(填寫序號(hào))．①－65°是第四象限角； ②225°是第三象限角；③475°是第二象限角； ④－315°是第一象限角．解析：－65°是第四象限角，故①正確；②225°是第三象限角，故②正確；475°＝360°＋115°是第二象限角，故③正確；－315°＝－360°＋45°是第一象限角，故④正確．答案：①②③④4．若角α＝2014°，則與角α具有相同終邊的最小正角為________，最大負(fù)角為________．解析：∵2014°＝5×360°＋214°，∴與角α終邊相同的角的集合為{α|α＝214°＋k·360°，k∈Z}，∴最小正角是214°，最大負(fù)角是－146°.答案：214°－146°5．試寫出終邊在直線y＝－eq