2022-2023學(xué)年上海市浦東新區(qū)寶山校區(qū)高二年級下冊學(xué)期3月月考（三）數(shù)學(xué)試題【含答案】

2022-2023學(xué)年上海市浦東新區(qū)寶山校區(qū)高二下學(xué)期3月月考（三）數(shù)學(xué)試題一、填空題1．已知圓錐的高，它的側(cè)面展開圖的扇形圓心角為216°，求其全面積__________．【答案】【分析】利用圓錐母線與底面半徑的關(guān)系，求出圓錐的母線長和底面半徑，然后求其全面積.【詳解】解：設(shè)底面半徑為，母線長，則有，解得，所有，故答案為：.2．已知球面上三點，球半徑為，球心到平面的距離是________.【答案】【分析】由題意可知為直角三角形，從而求出三角形的外接圓半徑，結(jié)合球的性質(zhì)可得，即求.【詳解】因為，則為直角三角形，為外接圓的直徑，即外接圓的半徑為，設(shè)球心到平面的距離為，則.故答案為：3．在正方體中，點P在側(cè)面BCC1B1及其邊界上運動，并且總是保持AP⊥BD1，則動點P的軌跡是_______．【答案】線段B1C【分析】利用直線與平面垂直的判定可得BD1⊥平面B1AC，又點P在側(cè)面BCC1B1及其邊界上運動，并且總保持AP⊥BD1，得到點的軌跡為平面B1AC與平面BCC1B1的交線段.【詳解】解：如圖：連接、、正方體中，，，又與交于點ABD1⊥平面B1AC又知點P在側(cè)面BCC1B1及其邊界上運動根據(jù)平面的基本性質(zhì)可得：平面B1AC與平面BCC1B1的交線段為B1C故答案為：線段B1C4．已知橢圓：的左、右兩個焦點分別為、，過的直線交橢圓于兩點.若是等邊三角形，則的值等于_________.【答案】【分析】因為是等邊三角形，可得軸，再根據(jù)橢圓的定義可得，進而求得，再根據(jù)橢圓中的關(guān)系求解即可【詳解】因為是等邊三角形，故，故關(guān)于軸對稱，故軸.故，，故，又，故，故，即，所以，故答案為：5．如圖所示，已知是棱長為a的正方體，E，F(xiàn)分別為，的中點，則四棱錐的體積為______．【答案】【分析】把所求幾何體體積轉(zhuǎn)化成求兩個體積相等的三棱錐與三棱錐體積之和，變換頂點成求即可解出.【詳解】因為，，所以四邊形是菱形．連接EF，則．易知三棱錐與三棱錐的高相等，故．又因為，則，所以．故答案為：【點睛】此題考查幾何體體積求法，通過割補，變換三棱錐頂點等方法進行轉(zhuǎn)換，輕松解題，需要積累求常見幾何體體積的常規(guī)方法，對于解題能起到事半功倍的作用.6．已知，到兩點距離相等的點的坐標(biāo)滿足的條件為________．【答案】【分析】利用點到兩點距離相等，利用距離公式列出方程，化簡即可求得結(jié)果.【詳解】點到兩點距離相等，則化簡得，即到兩點距離相等的點的坐標(biāo)滿足的條件為.故答案為：.7．已知空間三點O(0,0,0)，A(－1,1,0)，B(0,1,1)在直線OA上有一點H滿足BH⊥OA，則點H的坐標(biāo)為________.【答案】【詳解】試題分析：設(shè)H點的坐標(biāo)為（x，y，z）則∵O（0，0，0），A（-1，1，0），B（0，1，1），∴=（-1，1，0），=（x，y，z），∵點H在直線OA上，則∥，即存在λ∈[0，1]，使=λ即（x，y，z）=λ（-1，1，0）=（-λ，λ，0）∴=（-λ，λ-1，-1），又∵BH⊥OA，即?=0即λ+λ-1=0，解得λ=∴點H的坐標(biāo)為（-，，0）【解析】向量的數(shù)量積判斷向量的共線與垂直8．已知圓，點在以為起點的同一條射線上，且滿足，則稱點關(guān)于圓周對稱.那么，雙曲線上的點關(guān)于單位圓周的對稱點所滿足的方程為_________.【答案】【分析】在雙曲線上任取點，設(shè)其關(guān)于圓周的對稱點為，滿足，利用距離公式聯(lián)立列出方程，化簡求出，令，分別用表示，，，，用消參法即可求得所滿足的方程.【詳解】在雙曲線上任取點，設(shè)其關(guān)于圓周的對稱點為.則.令，則，，故，，上述兩式聯(lián)立得點所滿足的方程為.故答案為：.二、單選題9．定義曲線：為橢圓：的“倒曲線”，給出以下三個結(jié)論：①曲線有對稱軸，②曲線有對稱中心，③曲線與橢圓有公共點．其中正確的結(jié)論個數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】曲線：上取點，利用點的坐標(biāo)證得對稱性，從而判斷出①②，利用的范圍可以判斷出③，從而得出結(jié)論.【詳解】曲線：上取點，則該點關(guān)于軸對稱的點也在曲線，故曲線關(guān)于軸對稱，同理可證曲線關(guān)于軸對稱，則該點關(guān)于原點對稱點也在曲線，故曲線關(guān)于原點對稱，故①②正確；曲線：，則，而橢圓：中，，故曲線與橢圓無公共點，③錯誤；綜上，正確的有2個，故選：C.10．如圖所示，正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為1，線段B1D1上有兩個動點E、F且EF=，則下列結(jié)論中錯誤的是（

）A．AC⊥BE B．EF平面ABCDC．三棱錐A-BEF的體積為定值 D．異面直線AE,BF所成的角為定值【答案】D【分析】A．通過線面的垂直關(guān)系可證真假；B．根據(jù)線面平行可證真假；C．根據(jù)三棱錐的體積計算的公式可證真假；D．根據(jù)列舉特殊情況可證真假.【詳解】A．因為，所以平面，又因為平面，所以，故正確；B．因為，所以，且平面，平面，所以平面，故正確；C．因為為定值，到平面的距離為，所以為定值，故正確；D．當(dāng)，，取為，如下圖所示：因為，所以異面直線所成角為，且，當(dāng)，，取為，如下圖所示：因為，所以四邊形是平行四邊形，所以，所以異面直線所成角為，且，由此可知：異面直線所成角不是定值，故錯誤.故選：D.【點睛】本題考查立體幾何中的綜合應(yīng)用，涉及到線面垂直與線面平行的證明、異面直線所成角以及三棱錐體積的計算，難度較難.注意求解異面直線所成角時，將直線平移至同一平面內(nèi).三、解答題11．已知正三棱柱的所有棱長為，是中點，求：(1)直線與所成角的大??；(2)直線與平面所成角的大小；(3)二面角的大小；(4)點到平面的距離．【答案】(1)(2)(3)(4)【分析】（1）過點作，建立空間直角坐標(biāo)系，寫出相應(yīng)點的坐標(biāo)，求出直線與所在的向量，利用向量的夾角公式即可求解；（2）求出平面的法向量和直線的一個方向向量，利用向量的夾角公式即可求解；（3）求出平面的一個法向量，結(jié)合（2）中的平面的法向量，利用向量的夾角公式即可求解；（4）利用向量法即可求解.【詳解】（1）如圖，過點作，因為三棱柱為正三棱柱，所以兩兩互相垂直，建立如圖空間直角坐標(biāo)系，則，所以，，設(shè)直線與所成角的大小，，直線與所成角大小為.（2）設(shè)平面的法向量為，則，，即，取，得，直線的一個方向向量，設(shè)與也即與平面所成角為，所以，則．（3）平面的一個法向量，設(shè)夾角為，則，由圖可知所求是銳二面角，所以二面角大小為．（4）平面的法向量，，則．12．已知橢圓的方程為，雙曲線的左、右焦點分別是的左、右頂點，而的左、右頂點分別是的左、右焦點．(1)求雙曲線的方程；(2)若直線與雙曲線有兩個不同的交點和，且（其中為原點），求的范圍；(3)對于（2）中的點和，在軸上是否存在點使為等邊三角形，若存在請求出的值；不存在則說明理由.【答案】(1)(2)(3)存在，【分析】（1）設(shè)雙曲線的方程，用待定系數(shù)法求出，的值；（2）將直線方程與雙曲線的方程聯(lián)立，消元得到一個關(guān)于的一元二次方程，求解判別式，利用韋達定理和已知條件求出參數(shù)的取值范圍即可；（3）分和兩種情況討論，結(jié)合（2）的結(jié)論和弦長公式求出，利用點到直線的距離公式和題干條件即可求解.【詳解】（1）設(shè)雙曲線的方程為，則，再由得，故的方程為.（2）將代入得由直線與雙曲線交于不同的兩點得：，且①，，則，，又，得，，即，解得：②，故的取值范圍為.（3）當(dāng)時，點坐標(biāo)為，即，此時，點到的距離，顯然不合題意；當(dāng)時，線段的中垂線方程為，令，得，由①知，且，由（2）知：點到的距離，且，即，，滿足范圍，故.【點睛】解決直線與雙曲線