2022-2023學(xué)年上海市浦東新區(qū)高一年級(jí)上冊(cè)學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題【含答案】

2022學(xué)年第一學(xué)期期末考試試卷高一數(shù)學(xué)一、填空題（本題滿分40分，每題4分，共10題）1.函數(shù)的定義域是_________．【答案】【解析】【詳解】試題分析：函數(shù)滿足，即函數(shù)定義域?yàn)榭键c(diǎn)：求函數(shù)定義域2.已知冪函數(shù)的圖象過(guò)點(diǎn)，則______.【答案】【解析】【分析】先根據(jù)待定系數(shù)法求得函數(shù)的解析式，然后可得的值．【詳解】由題意設(shè)，∵函數(shù)的圖象過(guò)點(diǎn)，∴，∴，∴，∴．故答案為．【點(diǎn)睛】本題考查冪函數(shù)的定義及解析式，解題時(shí)注意用待定系數(shù)法求解函數(shù)的解析式，屬于基礎(chǔ)題．3.已知函數(shù)的兩個(gè)零點(diǎn)分別為，則___________.【答案】【解析】【分析】依題意方程有兩個(gè)不相等實(shí)數(shù)根、，利用韋達(dá)定理計(jì)算可得；【詳解】解：依題意令，即，所以方程有兩個(gè)不相等實(shí)數(shù)根、，所以，，所以；故答案為：4.已知函數(shù)是奇函數(shù)，則實(shí)數(shù)______．【答案】0【解析】【分析】由奇函數(shù)定義入手得到關(guān)于變量的恒等式后，比較系數(shù)可得所求結(jié)果．【詳解】∵函數(shù)為奇函數(shù)，∴，即，整理得在R上恒成立，∴．故答案為．【點(diǎn)睛】本題考查奇函數(shù)定義，解題時(shí)根據(jù)奇函數(shù)的定義得到恒等式是解題的關(guān)鍵．另外，取特殊值求解也是解決此類問(wèn)題的良好方法，屬于基礎(chǔ)題．5.若二次函數(shù)在區(qū)間上為嚴(yán)格減函數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是________．【答案】【解析】分析】由題知，再解不等式組即可得答案.【詳解】解：因?yàn)槎魏瘮?shù)在區(qū)間上為嚴(yán)格減函數(shù)，所以，即，解得,所以，實(shí)數(shù)的取值范圍是故答案為：6.古代文人墨客與丹青手都善于在紙扇上題字題畫，題字題畫的部分多為扇環(huán)．已知某扇形的扇環(huán)如圖所示，其中外弧線的長(zhǎng)為，內(nèi)弧線的長(zhǎng)為，連接外弧與內(nèi)弧的兩端的線段均為，則該扇形的中心角的弧度數(shù)為____________．【答案】【解析】【分析】根據(jù)扇形弧長(zhǎng)與扇形的中心角的弧度數(shù)為的關(guān)系，可求得，進(jìn)而可得該扇形的中心角的弧度數(shù).詳解】解：如圖，依題意可得弧的長(zhǎng)為，弧的長(zhǎng)為，設(shè)扇形的中心角的弧度數(shù)為則，則，即．因?yàn)?，所以，所以該扇形的中心角的弧度?shù)．故答案為：.7.已知函數(shù)，且，那么=_________.【答案】-12【解析】【分析】代入，整體代換求值即可.【詳解】由題意，，即，故,故答案為：-128.已知函數(shù)，關(guān)于的不等式在區(qū)間上總有解，則實(shí)數(shù)的取值范圍為________．【答案】【解析】【分析】由題知，進(jìn)而根據(jù)對(duì)勾函數(shù)性質(zhì)求解最值，解不等式即可.【詳解】解：當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取得等號(hào)，因?yàn)楫?dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；所以，根據(jù)對(duì)勾函數(shù)性質(zhì)，當(dāng)時(shí)，，所以，當(dāng)時(shí)，，因?yàn)殛P(guān)于的不等式在區(qū)間上總有解，所以，，解得，所以，實(shí)數(shù)的取值范圍為故答案為：9.已知函數(shù)，函數(shù)，如果恰好有兩個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是________．【答案】【解析】分析】求出函數(shù)的表達(dá)式，構(gòu)造函數(shù)，作出函數(shù)的圖象，利用數(shù)形結(jié)合進(jìn)行求解即可.【詳解】，，由，得，設(shè)，若，則，，則，若，則，，則，若，則，，則，即，作出的圖象如圖，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，由圖象知要使有兩個(gè)零點(diǎn)，即有四個(gè)根，則滿足或，故答案為：【點(diǎn)睛】函數(shù)零點(diǎn)的求解與判斷方法：(1)直接求零點(diǎn)：令f(x)＝0，如果能求出解，則有幾個(gè)解就有幾個(gè)零點(diǎn)．(2)零點(diǎn)存在性定理：利用定理不僅要函數(shù)在區(qū)間[a，b]上是連續(xù)不斷的曲線，且f(a)·f(b)＜0，還必須結(jié)合函數(shù)的圖象與性質(zhì)(如單調(diào)性、奇偶性)才能確定函數(shù)有多少個(gè)零點(diǎn)．(3)利用圖象交點(diǎn)的個(gè)數(shù)：將函數(shù)變形為兩個(gè)函數(shù)的差，畫兩個(gè)函數(shù)的圖象，看其交點(diǎn)的橫坐標(biāo)有幾個(gè)不同的值，就有幾個(gè)不同的零點(diǎn)．10.設(shè)，，若存在，使得成立，則正整數(shù)的最大值為________【答案】【解析】【分析】由題設(shè)且上有，所以，使得成立，只需即可，進(jìn)而求得正整數(shù)的最大值.【詳解】由題意知：，使成立，而當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，∴，而，即，∴僅需成立即可，有，故正整數(shù)的最大值為.故答案為：.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：結(jié)合基本不等式有，即，應(yīng)用對(duì)勾函數(shù)的性質(zhì)求值域，并將存在性問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)閉區(qū)間內(nèi)有解，只要即可求最值.二、選擇題（本題滿分16分，每題4分，共4題）11.已知為實(shí)數(shù)，若，則是的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】B【解析】【分析】根據(jù)充分性和必要性的判斷方法來(lái)判斷即可．【詳解】當(dāng)時(shí)，若，不能推出，不滿足充分性；當(dāng)，則，有，滿足必要性；所以是的必要不充分條件．故選:B．12.已知實(shí)數(shù)，，則的最小值為（）A.100 B.300 C.800 D.400【答案】D【解析】【分析】應(yīng)用“1”的代換，將目標(biāo)式轉(zhuǎn)化為，再利用基本不等式求最小值即可，注意等號(hào)成立的條件.【詳解】由，∴，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.∴的最小值為400.故選：D13.設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)?，?duì)于下列命題：①若存在常數(shù)，使得對(duì)任意，有，則是函數(shù)的最小值；②若函數(shù)有最小值，則存在唯一的，使得對(duì)任意，有；③若函數(shù)有最小值，則至少存在一個(gè)，使得對(duì)任意，有；④若是函數(shù)的最小值，則存在，使得．則下列為真命題的選項(xiàng)是（）A.①②都正確 B.①③都錯(cuò)誤 C.③正確④錯(cuò)誤 D.②錯(cuò)誤④正確【答案】D【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)最小值的定義依次判斷各選項(xiàng)即可得答案.【詳解】解：對(duì)于①，不一定是函數(shù)的函數(shù)值，所以可能的最小值大于，故錯(cuò)誤；對(duì)于②，函數(shù)有最小值，則可能存在若干個(gè)，使得對(duì)任意，有，故錯(cuò)誤；對(duì)于③，函數(shù)有最小值，則由最小值的定義，至少存在一個(gè)，使得對(duì)任意，有，故正確；對(duì)于④，若是函數(shù)的最小值，則存在，使得，故錯(cuò)誤；.故真命題的選項(xiàng)是②錯(cuò)誤④正確.故選：D14.設(shè)，分別是函數(shù)和的零點(diǎn)（其中），則的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)零點(diǎn)定義,可得,分別是和的解.結(jié)合函數(shù)與方程的關(guān)系可知,分別是函數(shù)與函數(shù)和函數(shù)交點(diǎn)的橫坐標(biāo),所以可得,.而與互為反函數(shù),則由反函數(shù)定義可得.再根據(jù)基本不等式,即可求得的最小值,將化為,即可得解.【詳解】因?yàn)?分別是函數(shù)和的零點(diǎn)則,分別是和的解所以,分別是函數(shù)與函數(shù)和函數(shù)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)所以交點(diǎn)分別為因?yàn)樗?由于函數(shù)與函數(shù)和函數(shù)都關(guān)于對(duì)稱所以點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱因?yàn)殛P(guān)于對(duì)稱的點(diǎn)坐標(biāo)為所以即,且所以,由于,所以不能取等號(hào)因所以即故選:D【點(diǎn)睛】本題考查了反函數(shù)的定義及性質(zhì)綜合應(yīng)用,函數(shù)與方程的關(guān)系應(yīng)用,基本不等式求最值,綜合性強(qiáng),屬于難題.三、解答題（本題滿分44分，共4題）15.已知．（1）求的值；（2）求的值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由題知，再根據(jù)正切的和角公式求解即可；（2）根據(jù)誘導(dǎo)公式，結(jié)合齊次式求解即可.【小問(wèn)1詳解】解：由知，所以，【小問(wèn)2詳解】解：由知；所以.16.2020年初，新冠肺炎疫情襲擊全國(guó)，對(duì)人民生命安全和生產(chǎn)生活造成嚴(yán)重影響．在黨和政府強(qiáng)有力的抗疫領(lǐng)導(dǎo)下，我國(guó)控制住疫情后，一方面防止境外疫情輸入，另一方面逐步復(fù)工復(fù)產(chǎn)，減輕經(jīng)濟(jì)下降對(duì)企業(yè)和民眾帶來(lái)的損失．為降低疫情影響，某廠家擬在2020年舉行某產(chǎn)品的促銷活動(dòng)，經(jīng)調(diào)查測(cè)算，該產(chǎn)品的年銷售量（即該廠的年產(chǎn)量）x萬(wàn)件與年促銷費(fèi)用m萬(wàn)元滿足（k為常數(shù)），如果不搞促銷活動(dòng)，則該產(chǎn)品的年銷售量只能是2萬(wàn)件．已知生產(chǎn)該產(chǎn)品的固定投入為8萬(wàn)元，每生產(chǎn)一萬(wàn)件該產(chǎn)品需要再投入16萬(wàn)元，廠家將每件產(chǎn)品的銷售價(jià)格定為每件產(chǎn)品年平均成本的1.5倍（此處每件產(chǎn)品年平均成本按元來(lái)計(jì)算）（1）將2020年該產(chǎn)品的利潤(rùn)y萬(wàn)元表示為年促銷費(fèi)用m萬(wàn)元的函數(shù)；（2）該廠家2020年的促銷費(fèi)用投入多少萬(wàn)元時(shí)，廠家的利潤(rùn)最大？最大利潤(rùn)是多少？【答案】（1）（2）該廠家2020年的促銷費(fèi)用投入3萬(wàn)元時(shí)，廠家的利潤(rùn)最大為29萬(wàn)元【解析】【分析】（1）根據(jù)題意列方程即可.（2）根據(jù)基本不等式，可求出的最小值，從而可求出的最大值.【小問(wèn)1詳解】由題意知，當(dāng)時(shí)，（萬(wàn)件），則，解得，∴．所以每件產(chǎn)品的銷售價(jià)格為（元），∴2020年利潤(rùn)．【小問(wèn)2詳解】∵當(dāng)時(shí)，，∴，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)等號(hào)成立．∴，即萬(wàn)元時(shí)，（萬(wàn)元）．故該廠家2020年的促銷費(fèi)用投入3萬(wàn)元時(shí)，廠家的利潤(rùn)最大為29萬(wàn)元．17.已知函數(shù).（1）當(dāng)時(shí)，求不等式的解集；（2）當(dāng)時(shí)，設(shè)，且，求（用表示）；（3）在（2）的條件下，是否存在正整數(shù)，使得不等式在區(qū)間上有解，若存在，求出的最大值，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.【答案】（1）；（2）；（3）存在，3.【解析】【分析】（1）時(shí)，不等式即，解不等式可得結(jié)果；（2）依題意得，進(jìn)而由換底公式和對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)可得結(jié)果；（3）依題意得在區(qū)間上有解；令，則，因此求得的最大值即可求得結(jié)果.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，故，所以不等式的解集為；（2）當(dāng)時(shí)，，，.（3）在（2）的條件下，不等式化為，即在區(qū)間上有解.令，則，，，，又是正整數(shù)，故的最大值為3.18.若函數(shù)對(duì)定義域內(nèi)的任意x都滿足，則稱具有性質(zhì)．（1）判斷是否具有性質(zhì)M，并證明在上是嚴(yán)格減函數(shù)；（2）已知函數(shù)，點(diǎn)，直線與的圖象相交于兩點(diǎn)（在左邊），驗(yàn)證函數(shù)具有性質(zhì)并證明；（3）已知函數(shù)，是否存在正數(shù)，當(dāng)?shù)亩x域?yàn)闀r(shí)，其值域?yàn)?，若存在，求的范圍，若不存在，?qǐng)說(shuō)明理由．【答案】（1）具有，證明見(jiàn)解析；（2）證明見(jiàn)解析；（3）不存在，理由見(jiàn)解析.【解析】【分析】（1）根據(jù)具有性質(zhì)的定義判斷即可，結(jié)合單調(diào)性的定義證明即可；（2）根據(jù)具有性質(zhì)的定義判斷即可，再根據(jù)得，進(jìn)而根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式作差法比較即可；（3）根據(jù)題意，分或，結(jié)合函數(shù)單調(diào)性討論求解即可.【小問(wèn)1詳解】解：因?yàn)?，所以函?shù)具有性質(zhì)，任取，則，因?yàn)?，所以，所以，即，所以，在區(qū)間上單調(diào)遞減.【小問(wèn)2詳解】解：因?yàn)?，所以具有性質(zhì)，由性質(zhì)得或，解得或，因?yàn)?，，所以，所?/p>