2023級985高等數(shù)學(xué)（下）及其參考答案

本文格式為Word版，下載可任意編輯——2023級985高等數(shù)學(xué)（下）及其參考答案周世國：2023級985高等數(shù)學(xué)（下）及其參考答案

2023級高等數(shù)學(xué)下冊試題（985）一、填空題（每題3分，共15分

1微分方程y???2y??5y?0的通解為________________.解：原微分方程對應(yīng)的特征方程為r2?2r?5?0解之，得特征根為：r??1?2i故通解為：y?e?x?c1cos2x?c2sin2x?.

2、設(shè)區(qū)域D為x2?y2?1，則???x2?y2?dxdy?____________.

D解：???x2?y2?dxdy??2?d??10r2.rdr??0.

D23．已知兩直線的方程是

L?2?21:x?11?y0?z?3?1,L2:x2?y?11?z1,則過L1且平行于L2的平面方程是________________.

???ijk解：可取所求平面的法向量為????n?10?1?i?3j?k.211又所求平面過點?1,2,3?，由平面的點法式方程得，所求平面為：

1.?x?1???3y??2??1z.??3?，即0x?3y?z?2?0.4、設(shè)S是平面x?y?z?15被圓柱面x2?y2?1截出的限部分，則曲面積分

??yds?_____________.

S解：由對稱性知，顯然??yds?0.

S5、設(shè)????x,y,z?|x2?y2?z2?1?，則???x2dxdydz?___.

?解：由輪換對稱性，知

???x2dxdy?d???z2ydx?d???ydz2z.dxdydz???故???x2dxdydz?122212????1220sin?d??0?.?d?

?3????x?y?z?dxdydz?3?0d??4?15.

1

周世國：2023級985高等數(shù)學(xué)（下）及其參考答案

二、選擇題（每題3，共151.級數(shù)?n?1?n4n的和為?A?

29?A?49；?B??；?C?19；?D?89.

解：令s?x??x?nxn?1n?1,x???1,1?.

?則?s?x?dx?0?n?1?x，s?x???x?1?x?1?xnx?1??.?2??1?x?故

??n?1?1??.n???n44n?1?4?n1?n?1?1?1?114s????.24?4?4?91?1???4??n?14n?24n?1n?1另解：設(shè)Sn?則

1414?24142??34241423??44341434????????nnSn?4n?14n（1）

?n4n?1234（2）

（1）—（2），得

34Sn?14???144???14n?n4n?1

?故

1??1?4??n?1??????4???1?14?n4n?1n1?n?1????1?????n?13??4????4

Sn?n4??1??4n??1?????.n?19??4????34（3）

49?注意到?n?1n4n?1收斂。從而limn4n?1n???0,所以limSn?n??，即?n?1n4n?49.

2.已知f?x?,f?y?在區(qū)域D???x,y?|x?y?1?上連續(xù)，且f?x??0,f?y??0.則

??Daf?y??fb?ff???y?x??xdxd?y.??B?A?a?b；?B?a?b；?C?2?a?b?；?D?2?a?b?.

2

周世國：2023級985高等數(shù)學(xué)（下）及其參考答案

解：記I???Daff?y??bf?x?dxdy（1）

?x??f?y??x?v,?y?u.做變換??u?y,?v?x.，即?

?x?v?0?y1?v10??1.

?x其雅可比行列式為J??u?y?u故由積分變換公式，得：

I???f?x??f??yD?af?y??b?f?xdxd?y?a?f?u??bf???f?u??f?vD?vJdu?dv?D??f?u???a???f?u??bffvdudvv其中D????u,v?|u?v?1?與D???x,y?|x?y?1?形狀一致.換記號，則有

I???Daf?x??bff?x??f?y?dxdy（2）y??故由（1）、（2）相加，得：I?1?a?b?dxdy??a?b????22D12?2?a?b.

3.曲線積分?ydx?xdyx?y22L等于?A?，中L為x2?y2?1，正向.

?；?D??A?解：??2?；?B?ydx?xdyx?y222?；?C??.

L??Lydx?xdy??2A??2?.（A為L所圍成的區(qū)域的面積）.

x?sinydx?f?x?cosydy與路徑無關(guān)，其中f?x?具有一fx?e4.設(shè)曲線積分?????L?階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且f?0??1,則f?x?等于?D?

?A?e?e4x?x；?B?e?e4x?x；?C?e?e2x?x；?D?e?e2x?x.

x?sinydx?f?x?cosydy與路徑無關(guān)，故fx?e解：由于?????L?3

周世國：2023級985高等數(shù)學(xué)（下）及其參考答案

???f??x??ex??sin?yy??????f?x?cosy???x，

2x即??cosy??f??x?cosy，對于任何?x,y??R成立fx?e????化簡，得f??x??f??x?xe（1）

?1dx1dx?1?1由公式：f?x??e???exe?dx?c??e?x?e2x?c??ex?ce?x（2）

?????2?2x?x又代入f?0??1,得：c?12.所以，f?x??e?e2.

5.設(shè)f?x?在點x?0的某個鄰域內(nèi)二階可導(dǎo)，且limsinx?xf?x?1x?0x3?2,則

f???0???C?.

?A?1；?B?0；?C?423；?D?3.

解：由于limsinx?xf?x?x?0x3?12,故

sinx?xf??x1x3?2???x?（1）

f?x??12sixn???x?.x2?x122x?x2?sxi?n2x0?x?（2）

由（2）式，得f?0??limf?x??lim?12sinxx?0x?0?x??o2?（3）

?2x?x????1?1x2?sinx且f??0??limf?x??f?0?x?1?o?x2?x?0x?lim2x?0x??11x2?sinx?11x3?sinx?x3x2?cosx?1?lim2xx?0x?lim2x?0x2?lim2x?02x

3x2?lim2x?02x?lim1?cosxx?02x?0.（4）由洛必達法則，

1xf?x?x?f?x??xf??x?2?limsinx?x?0x3?limcosx?03x2

4

周世國：2023級985高等數(shù)學(xué)（下）及其參考答案

?lim???sinx?2f??x??xf???x?6x?134312f???0??.

16x?0?lim16??sinx6xf???0?12x?0?13limf??x??f??0?x?0x?0?16limf???x?

x?016f???0????故f???0??注意：假使僅僅追求此題的答案，則可以這樣做設(shè)xf?x??f?x??12x?2x?sinx3，即

sinxx11!?45!357?1?xxxx??x??_??????2x?!3!5!7!?12?12x?23!23!213!x?67!215!x?5417!x??

6f??x??x?f???x??1?x??23!85!x?23x??4

x?13307!?x??43.

故f???0??1??1?三、計算、證明題（每題10分，共70分）

1．證明：曲面xyz?a3?a?0?上任一點的切平面與三個坐標面所圍成的周邊體的體積為一定數(shù).

證：任取曲面?:xyz?a3?0上一點M0?x0,y0,z0?

令F?x,y,z??xyz?a3，則曲面在M0點處的切平面的法向量為

?n??F??xM,0??Fy?M,0?z?F?M???0?0y,0z0x,0z?0x.0y所以曲面在M0點處的切平面為：

y0z0?x?x0??x0z0?y?y0??x0y0?z?z0??0.

即

x3a3?y3a3?z3a3?1.

y0z0x0z0x0y0故所求周邊體的體積為

113a3a3a9a9aV??.?232y0z0.x0z0x0y02?x0y0z0?2a3333992???92a.

35

周世國：2023級985高等數(shù)學(xué)（下）及其參考答案

113a3a3a9a9a93V????a.22332y0z0x0z0x0y02?x0y0z0?2?a?2333992.表達格林公式并計算曲線積分I????2xy?y?dx??2xy?x2L2?10xdy.其中L?是以?0,0?,?1,0?,?1,1?,?0,1?為頂點的正方形的正向邊界曲線.解：格林公式的表達這里略去.

I????2xy?y?dx??2xy?x2LD2?10xdy????DD???2xy?x2?10x??x?????????2xy?y??dxdy2?y??????2y?2x?10????2y?2y???dxdy???10dxdy?10.???3．

?x?2y?dx?2?x?y?ydy是否為某個二元函數(shù)u?x,y?的全微分？若是，求u?x,y?.

y?P?y解：（一）由于

?Q?x??2?x?y?3?在整個xoy平面上除原點外恒成立，所以，

?x?2y?dx?2?x?y?（二）可取

ydy是某一個函數(shù)u?x,y?的全微分.

u?x,y?????x,y?0,1??x?2y?dx??x?y?2yxydy??xyydyy21??x?2y?dx?0?x?y?2

x?lny|1??x?y?dx?0?x?y?2???x?y?0ydx2

1???lny??lnx?y?lny??y????yx?y???1?lnx?y?1?yx?y.

4．計算曲面積分???x2?y2?dS，其中曲面S為錐面z?Sx?y22及平面z?1所圍

成的區(qū)域的整個邊界曲面.解：S?S1?S2.其中

S1:z?

x?y,

22

6

周世國：2023級985高等數(shù)學(xué)（下）及其參考答案

dS???z???z?1????????dxdy?22?1??x?????2y??dxdy?22dxdy.

??x???y???x2?y2????x2?y2??

???x2?y2?dS?2???x2?y2?dxdy?2?2?120d??r.rdr?20S1Dxy2?;

22S2:z?1,dS?1????z?????z??dxd??x?y?dxd.y??，??y??

???x2?y2?dS????x2?y2?dxdy??2?0d??1r2.r10dr?S1Dxy2?;

所以

???x2?y2?dS????x2?y2?dS?2??1S???x2?ydSS2?1?2??.

1S1?5．求冪級數(shù)?1nn?1n?n?1?x在x???1,1?內(nèi)的和函數(shù).

?1?n?1???解：?nxn??1nn?1n?n?1?x???1??x??1n?1?nn?1?n?1nn?1xn?1?設(shè)sxn1?x???n?1n

???則s?xn?1??x?????xn?1?1n?1??n????n?11?x.

所以，s?sx1?x?1?0???101?xdx??ln1?x.

?即

?1nxn??ln1?xn?1?又設(shè)s2?x???xn?1n?1n?1

?則s??x?????xn?1????x2?n?1??xn?n?1???n?11?x.

則s2?x??s2?0???xx01?xdx??x?ln1?x.

?故

?1?nxn?11ln1?xn?1x?1n?1x?n?1n?1?xs2?x???1?x.（3）

1）

2）

7

（（周世國：2023級985高等數(shù)學(xué)（下）及其參考答案

所以

?n?n?1?x=?ln1?xnn?1?1?1?ln1?xx.

6．計算曲面積分??x2ydzdx?y2zdxdy，?是柱體

?????x,y,z?|x2?y2?a,0?z?h2?的外側(cè).

解：由高斯公式：

原式?????2??x2y?yz????dxdydz

?z???y??2???????x?2?y?dxdydz??2?0d??rdr0a?h0rdz?h?22?0d??rdr?0a3?2ha.

47．（此題有兩小題，周六課時的同學(xué)都做，周五課時的同學(xué)任選一題）（1）計算三重積分?????x2?y2?z2?22,zdxdydz,其中區(qū)域?是由?2所確定.222?x?y??z?2??22（2）設(shè)函數(shù)f?u?具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)且f?0??0,求lim1t?0?t42???2f2?2x?y?z222?dv.

x?y?z?t解：（1）解法一：柱面坐標法：

?x2?y2?z2?22,聯(lián)立?2消z,得?在xoy坐標面上的投影區(qū)域為222?x?y??z?2??2,圓域D:x2?y2?3.

????zdxdydz

22??2?0d??330rdr?4?r2?4?r2zdz?2?2?30?z3r.??3?3|4?r2??dr24?r??2?2?32?32?3??0?r???4?r2???2?334?r2????dr（令r?2sint）

??30?2sint8cost??2?2cost?.2costdt

3????30322cost?1?3cost?3costsintcostdt

?32?8

周世國：2023級985高等數(shù)學(xué)（下）及其參考答案

?4?3?.32?3costsintdt?042?3?.32?3costsintdt

0?20?03?2?.32?3costsintdt?2?.32?3costsintdt

??4?3.32cost535?|330?2?3.32cost242?|30

?2?.324?cost3?|0?2?.32cost4?|30

???2??31???3??7???15?.32??.32????.32????.32?????15332?32??8??4??16?59?59?.32?48015

其實，此題最宜采用球面坐標計算：這時首先要把積分區(qū)域?分成兩個子區(qū)域：???1??2.其中

?