指數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)

x；x；

2015年假3-8人班

秋指函概念一般地，函數(shù)指函函數(shù)性質(zhì)：函數(shù)名稱指數(shù)函數(shù)

叫做指數(shù)函數(shù)，其中是變量，函數(shù)的定義域?yàn)?/p>

定義

函數(shù)

且

叫做指數(shù)函數(shù)圖象定義域值域過(guò)定點(diǎn)

圖象過(guò)定點(diǎn)

，即當(dāng)

時(shí)，

奇偶性

非奇非偶單調(diào)性

在

上是增函數(shù)

在

上是減函數(shù)函數(shù)值的變化情況變化對(duì)圖在第象限內(nèi)，從逆時(shí)針?lè)较蚩磮D象，象的影響看圖象，逐減注意：利用函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合圖象還可以看出：

逐漸增大；在第二象限內(nèi)，從逆時(shí)針?lè)较颍?）在ab]上，

f(x)(a且

值域是

[f(a),f(b)]

或

[f(b),f

；（2）若，

f(x)f(x)

取遍所有正數(shù)當(dāng)且僅當(dāng)R；（3）對(duì)于指數(shù)函數(shù)

f(x)

x

且

，總有

f

；

xlogxlogNaNaNa0ln例．設(shè)y1＝40.9，＝，y3()－，()AB．y2>y1>y3．D解析：選D.y1＝，y2＝＝21.44

＝(－1.5＝21.5，∵y＝在定義內(nèi)為增函數(shù)，且1.8>1.5>1.44，∴例18

如圖是指數(shù)函數(shù)y=a^x②，，y=d^x的圖象，則，，c，與1的大小關(guān)系)AB．b<a<1<d<cC．1<a<b<c<dD．a(chǎn)<b<1<d<c練習(xí)：比較下列各題中兩個(gè)值的大小：

,1.7

；（2）

0.8

；（）

,0.9

3.1.例．函數(shù)y＝(－x的單調(diào)增區(qū)間為()A．－，

B．(0，＋

C．(1＋∞)

D．1解析：選設(shè)＝1－x，則y＝t則函數(shù)t＝－x的減區(qū)間(，＋，為y＝1－x的遞增區(qū)間．例．已知函數(shù)y＝f(x)的定義域?yàn)?，則函數(shù)y＝的定義．解析：由函數(shù)的定義，得＜＜20＜所應(yīng)填(．對(duì)數(shù)函數(shù)（一）對(duì)數(shù)

答案：(0,1)數(shù)的概念般地

xN(0,a

么數(shù)叫以為的對(duì)數(shù)作a（—底數(shù)，—真，

logN

—對(duì)數(shù)）說(shuō)明：eq\o\ac(○,1)eq\o\ac(○,)注底數(shù)的限制，且；Nlogeq\o\ac(○,2)eq\o\ac(○,)eq\o\ac(○,3)eq\o\ac(○,)注對(duì)數(shù)的書寫格式兩個(gè)重要對(duì)數(shù)：

；

logeq\o\ac(○,1)eq\o\ac(○,)常對(duì)數(shù)：以10為的對(duì)數(shù)

lgN

；eq\o\ac(○,2)eq\o\ac(○,)自對(duì)數(shù)：以無(wú)理數(shù)指數(shù)式與對(duì)數(shù)式的互化

2.71828

為底的對(duì)數(shù)的對(duì)數(shù)．

＝Na0MN＝Na0MNna00cb

真數(shù)logN

＝底數(shù)指數(shù)

對(duì)數(shù)（二）對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)如果，，，，那么：eq\o\ac(○,1)

log(Ma

·

N)

loga

＋

logN

；eq\o\ac(○,2)

log

logNa－a；eq\o\ac(○,3)

logM

()

．注意：換底公式logba

logloga

（，；，；利用換底公式推導(dǎo)下面的結(jié)論nb（1））

ba

ab

．對(duì)函定義一般地，函數(shù)對(duì)函性質(zhì)：函數(shù)名稱定義

對(duì)數(shù)函數(shù)函數(shù)

對(duì)數(shù)函數(shù)叫做對(duì)數(shù)函數(shù)，其中是變量，函數(shù)的定義域且叫做對(duì)數(shù)函數(shù)

圖象

值域過(guò)定點(diǎn)

圖象過(guò)定點(diǎn)

，即當(dāng)

時(shí)，

奇偶性

非奇非偶單調(diào)性

在

上是增函數(shù)

在

上是減函數(shù)函數(shù)值的變化情況變化對(duì)圖在第象限內(nèi)，從順時(shí)針?lè)较蚩磮D象，象的影響看圖象，逐減

逐漸增大；在第四象限內(nèi)，從順時(shí)針?lè)较虮容^對(duì)數(shù)大小的常用方法有：(1)若底數(shù)為同一常數(shù)，則可由對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性直接進(jìn)行判(2)若底數(shù)為同一字母，則按對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性對(duì)底數(shù)進(jìn)行分類討.(3)若底數(shù)不同、真數(shù)相同，則可用換底公式化為同底再進(jìn)行比(4)若底數(shù)、真數(shù)都不相同，則常借助1、0-1等間量進(jìn)行比.指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)對(duì)比名稱一般形式定義域值域

指數(shù)函數(shù)y=ax(a，≠∞，+∞，∞)當(dāng)a，

對(duì)數(shù)函數(shù)y=logax(a＞0，a≠1)，∞)(-，∞)當(dāng)a函數(shù)值變

0)0)0)

loga

xx0(化情況單調(diào)性

當(dāng)＜＜1時(shí)x0)當(dāng)a，是增函數(shù)；當(dāng)＜＜1時(shí)，ax減函

當(dāng)0a時(shí)，xloga0(當(dāng)a，logax是函數(shù)；當(dāng)0a時(shí)，是函圖像

的圖像與的像關(guān)于直線對(duì)稱.

Rx0a0（2）時(shí)，冪Rx0a0（2）時(shí)，冪函數(shù)的圖象通過(guò)原，并且在區(qū)間例圖的曲線是對(duì)數(shù)函數(shù)

ylogx

2的圖象已知的值為、3、5、四值相應(yīng)于曲線C、

、

、的a的依次為【】4

y

CA、3、

B26、

14C．2、3

、

、

D．

、、

、

x訓(xùn)練：⑴若

a

，則函數(shù)

ylog(5)

的圖象不經(jīng)過(guò)【】

CA第一象限

B第二象限

C．三象限

D第四象限

Clog⑵若a4，則a的取值范圍是【】A

(0,)

B

3((,1)C．4

D．

(0,)

例已函數(shù)

f

是實(shí)數(shù)集上奇函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，

f（其中且）⑴求函數(shù)

f

的解析式；⑵畫出函數(shù)

f

的圖像；⑶當(dāng)

f

時(shí)，寫出的圍冪函數(shù)、冪函數(shù)定義：一般地，形如

y

(

的函數(shù)稱為冪函數(shù)，其中為數(shù)．、冪函數(shù)性質(zhì)歸納．y=x

y

y=x-1定義域值域奇偶性

RR奇

R[0）偶

RR奇

[0，）[0，）非奇非偶

x且y且y奇單調(diào)性

增

x∈，時(shí)增增(時(shí)，減x∈

增

x∈(0,+)，減；x∈(-,0)，減定點(diǎn)（，1）（1）所有的冪函數(shù)在（0∞）都有定義并且圖象都過(guò)點(diǎn)，1[0,

上是增函數(shù)．特別地，當(dāng)時(shí)冪函數(shù)的圖象下凸；當(dāng)

時(shí)，冪函數(shù)的圖象上凸；

（3）時(shí)冪函數(shù)的圖象在區(qū)間

上是減函數(shù)．在第一象限內(nèi)，當(dāng)從邊趨向原點(diǎn)時(shí)，圖象在

y

軸右方無(wú)限地逼近軸半軸，當(dāng)于，圖象在x軸上方無(wú)限地逼近軸半軸．例：已a(bǔ)>0，，函數(shù)與的圖象只能是

()例24右圖為冪函數(shù)

y

在第一象限的圖像，則

,b,c

的大小關(guān)系是（）(A

a

(B

b

y

y

a()

a

()

ad練習(xí)

y

b．在函數(shù)

1yxx

2

,yx

2

,yx

0

中，冪函數(shù)的個(gè)數(shù)為

O

yx

c()A0B．C．2D．計(jì)：

264

;②

=

；

=;③

0.064

)]

=1函y=log2

(2x2-3x+1)的減區(qū)間為若數(shù)

f()log

在區(qū)間

[]

上的最大值是最小值的3倍則已

1f(xlog

(a

）

fx

的定義域（2）求使f(0的的取值范圍幾個(gè)常見(jiàn)的函數(shù)方程（1）正比例函數(shù)

f(xf()f(x)f(y)