三角形五心性質(zhì)

三角形五心性質(zhì)三角形的五心定理一、三角形五心定義內(nèi)心是三角形的三內(nèi)角平分線交點．也是三角形內(nèi)切圓的圓心．重心是三角形的三條中線的交點.（重心原是一個物理概念，對于等厚度的質(zhì)量均勻的三角形薄片，其重心恰為此三角形三條中線的交點，重心因而得名）外心是三角形的三邊的垂直平分線的交點.三角形外接圓的圓心.垂心是三角形的三條高的交點旁心是三角形一內(nèi)角平分線和另外兩頂點處的外角平分線的交點.三角形的旁切圓（與三角形的一邊和其他兩邊的延長線相切的圓）的圓心二、三角形五心性質(zhì)內(nèi)心:1、直角三角形的內(nèi)心到邊的距離等于兩直角邊的和減去斜邊的差的二分之一.2、若是的外心，則（為銳角或直角）或（為鈍角）.3、計算外心的坐標應先計算下列臨時變量：，，分別是三角形三個頂點連向另外兩個頂點向量的點乘。，，；.重心坐標：.4、外心到三頂點的距離相等.垂心:1、三角形三個頂點，三個垂足，垂心這7個點可以得到6個四點圓.2、三角形外心、重心和垂心三點共線，且.（此直線稱為三角形的歐拉線（Eulerline））3、垂心到三角形一頂點距離為此三角形外心到此頂點對邊距離的2倍.4、垂心分每條高線的兩部分乘積相等.旁心:1、每個三角形都有三個旁心.2、旁心到三邊的距離相等.注：三角形的中心：只有正三角形才有中心，這時重心，內(nèi)心，外心，垂心，四心合一。三、三角形五心性質(zhì)證明垂心：已知：ΔABC中，AD、BE是兩條高，AD、BE交于點O，連接CO并延長交AB于點F，求證：CF⊥AB.證明：連接DE∵∠ADB=∠AEB=90度∴A、B、D、E四點共圓∴∠ADE=∠ABE∵∠EAO=∠DAC∠AEO=∠ADC∴ΔAEO∽ΔADC∴AE/AO=AD/AC∴ΔEAD∽ΔOAC∴∠ACF=∠ADE=∠ABE又∵∠ABE+∠BAC=90度∴∠ACF+∠BAC=90度∴CF⊥AB重心:三角形的重心到頂點的距離是它到對邊中點距離的兩倍.

證明：如圖：△ABC中D為BC中點，E為AC中點，F(xiàn)為AB中點，G為△ABC重心

做BG中點H，GC中點I

∴HI為△GBC的中位線

∴HI//BC,且2HI=BC

同理：FE是△ABC中位線

∴FE//BC,且2FE=BC

∴FE//HI,且FE=HI

∴四邊形FHIE是平行四邊形

∴HG=GE

又H為BG的中點

∴HG=BH

∴HG=BH=GE

∴2GE=BG

∴三角形的重心到頂點的距離是它到對邊中點距離的兩倍四、有關(guān)三角形五心的詩歌三角形五心歌（重外垂內(nèi)旁）三角形有五顆心，重外垂內(nèi)和旁心，五心性質(zhì)很重要，認真掌握莫記混．重心三條中線定相交，交點位置真奇巧，交點命名為“重心”，重心性質(zhì)要明了，重心分割中線段，數(shù)段之比聽分曉；長短之比二比一，靈活運用掌握好．外心三角形有六元素，三個內(nèi)角有三邊．作三邊的中垂線，三線相交共一點．此點定義為外心，用它可作外接圓．內(nèi)心外心莫記混，內(nèi)切外接是關(guān)鍵．垂心三角形上作三高，三高必于垂心交．高線分割三角形，出現(xiàn)直角三對整，直角三角形有十二，構(gòu)成六對相似形，四點共圓圖中有，細心分析可找清.內(nèi)心三角對應三頂點，角角都有平分線，三線相交定共點，叫做“內(nèi)心”有根源；點至三邊均等距，可作三角形內(nèi)切圓，此圓圓心稱“內(nèi)心”，如此定義理當然．五心性質(zhì)別記混，做起題來真是好.

五心的性質(zhì)三角形的五心有許多重要性質(zhì)，它們之間也有很密切的聯(lián)系，如：（1）三角形的重心與三頂點的連線所構(gòu)成的三個三角形面積相等；（2）三角形的外心到三頂點的距離相等；（3）三角形的垂心與三頂點這四點中，任一點是其余三點所構(gòu)成的三角形的垂心；（4）三角形的內(nèi)心、旁心到三邊距離相等；（5）三角形的垂心是它垂足三角形的內(nèi)心；或者說，三角形的內(nèi)心是它旁心三角形的垂心；（6）三角形的外心是它的中點三角形的垂心；（7）三角形的重心也是它的中點三角形的重心；（8）三角形的中點三角形的外心也是其垂足三角形的外心．（9）三角形的任一頂點到垂心的距離，等于外心到對邊的距離的二倍.

下面是更為詳細的性質(zhì)：1、垂心三角形三邊上的高的交點稱為三角形的垂心。三角形垂心有下列有趣的性質(zhì)：設(shè)△ABC的三條高為AD、BE、CF，其中D、E、F為垂足,垂心為H。性質(zhì)1垂心H關(guān)于三邊的對稱點，均在△ABC的外接圓上。性質(zhì)2△ABC中,有六組四點共圓，有三組(每組四個)相似的直角三角形，且AH·HD=BH·HE=CH·HF。性質(zhì)3H、A、B、C四點中任一點是其余三點為頂點的三角形的垂心(并稱這樣的四點為一垂心組)。性質(zhì)4△ABC,△ABH,△BCH,△ACH的外接圓是等圓。性質(zhì)5在非直角三角形中,過H的直線交AB、AC所在直線分別于P、Q，則AB/AP·tanB+AC/AQ·tanC=tanA+tanB+tanC。性質(zhì)6三角形任一頂點到垂心的距離，等于外心到對邊的距離的2倍。性質(zhì)7設(shè)O，H分別為△ABC的外心和垂心，則∠BAO=∠HAC，∠ABH=∠OBC，∠BCO=∠HCA。性質(zhì)8銳角三角形的垂心到三頂點的距離之和等于其內(nèi)切圓與外接圓半徑之和的2倍。性質(zhì)9銳角三角形的垂心是垂足三角形的內(nèi)心；銳角三角形的內(nèi)接三角形(頂點在原三角形的邊上)中，以垂足三角形的周長最短。2、內(nèi)心三角形的內(nèi)切圓的圓心簡稱為三角形的內(nèi)心，即三角形三個角平分線的交點。內(nèi)心有下列優(yōu)美的性質(zhì)：性質(zhì)1設(shè)I為△ABC的內(nèi)心,則I為其內(nèi)心的充要條件是：到△ABC三邊的距離相等。性質(zhì)2設(shè)I為△ABC的內(nèi)心，則∠BIC=90°+12∠A，類似地還有兩式；反之亦然。性質(zhì)3設(shè)I為△ABC內(nèi)一點，AI所在直線交△ABC的外接圓于D。I為△ABC內(nèi)心的充要條件是ID=DB=DC。性質(zhì)4設(shè)I為△ABC的內(nèi)心，BC=a，AC=b，AB=c，I在BC、AC、AB上的射影分別為D、E、F；內(nèi)切圓半徑為r，令p=(1/2)(a+b+c)，則(1)S△ABC=pr；(2)r=2S△ABC/a+b+c；(3)AE=AF=p-a,BD=BF=p-b,CE=CD=p-c；(4)abcr=p·AI·BI·CI。性質(zhì)5三角形一內(nèi)角平分線與其外接圓的交點到另兩頂點的距離與到內(nèi)心的距離相等；反之，若I為△ABC的∠A平分線AD(D在△ABC的外接圓上)上的點，且DI=DB，則I為△ABC的內(nèi)心。性質(zhì)6設(shè)I為△ABC的內(nèi)心，BC=a，AC=b，AB=c，∠A的平分線交BC于K,交△ABC的外接圓于D，則AI/KI=AD/DI=DI/DK=(b+c)/a。3、外心三角形的外接圓的圓心簡稱三角形的外心.即三角形三邊中垂線的交點。外心有如下一系列優(yōu)美性質(zhì)：性質(zhì)1三角形的外心到三頂點的距離相等，反之亦然。性質(zhì)2設(shè)O為△ABC的外心，則∠BOC=2∠A，或∠BOC=360°-2∠A(還有兩式)。性質(zhì)3設(shè)三角形的三條邊長，外接圓的半徑、面積分別為a、b、c,R、S△，則R=abc/4S△。性質(zhì)4過△ABC的外心O任作一直線與邊AB、AC(或延長線)分別相交于P、Q兩點，則AB/AP·sin2B+AC/AQ·sin2C=sin2A+sin2B+sin2C。性質(zhì)5銳角三角形的外心到三邊的距離之和等于其內(nèi)切圓與外接圓半徑之和。4、重心性質(zhì)1設(shè)G為△ABC的重心，△ABC內(nèi)的點Q在邊BC、CA、AB邊上的射影分別為D、E、F，則當Q與G重合時QD·QE·QF最大；反之亦然。性質(zhì)2設(shè)G為△ABC的重心，AG、BG、CG