3絕對(duì)值的意義及應(yīng)用（含答案）

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絕對(duì)值的意義及應(yīng)用

絕對(duì)值是初中代數(shù)中的一個(gè)重要概念，應(yīng)用較為廣泛．在解與絕對(duì)值有關(guān)的問(wèn)題時(shí)，首先必需弄清絕對(duì)值的意義和性質(zhì)。對(duì)于數(shù)x而言，它的絕對(duì)值表示為：|x|.一.絕對(duì)值的實(shí)質(zhì)：

正實(shí)數(shù)與零的絕對(duì)值是其自身，負(fù)實(shí)數(shù)的絕對(duì)值是它的相反數(shù)，即

也就是說(shuō)，|x|表示數(shù)軸上坐標(biāo)為x的點(diǎn)與原點(diǎn)的距離。

總之，任何實(shí)數(shù)的絕對(duì)值是一個(gè)非負(fù)數(shù)，即|x|≥0，請(qǐng)牢牢記住這一點(diǎn)。二.絕對(duì)值的幾何意義：

一個(gè)數(shù)的絕對(duì)值就是數(shù)軸上表示這個(gè)數(shù)的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離。

例1.有理數(shù)a、b、c在數(shù)軸上的位置如下圖，則式子|a|+|b|+|a+b|+|b-c|化簡(jiǎn)結(jié)果為()

A．2a+3b-cB．3b-cC．b+cD．c-b(其次屆“希望杯〞數(shù)學(xué)邀請(qǐng)賽初一試題)

解：由圖形可知a＜0，c＞b＞0，且|c|＞|b|＞|a|，則a+b＞0，b-c＜0．所以原式＝-a+b+a+b-b+c＝b+c，故應(yīng)選(C)．三.絕對(duì)值的性質(zhì)：

1.有理數(shù)的絕對(duì)值是一個(gè)非負(fù)數(shù)，即|x|≥0，絕對(duì)值最小的數(shù)是零。

2.任何有理數(shù)都有唯一的絕對(duì)值，并且任何一個(gè)有理數(shù)都不大于它的絕對(duì)值，即x≤|x|。

3.已知一個(gè)數(shù)的絕對(duì)值，那么它所對(duì)應(yīng)的是兩個(gè)互為相反數(shù)的數(shù)。

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4.若兩個(gè)數(shù)的絕對(duì)值相等，則這兩個(gè)數(shù)不一定相等(顯然如|6|＝|-6|，但6≠-6)，只有這兩個(gè)數(shù)同號(hào)，且這兩個(gè)數(shù)的絕對(duì)值相等時(shí)，這兩個(gè)數(shù)才相等。四.含絕對(duì)值問(wèn)題的有效處理方法

1.運(yùn)用絕對(duì)值概念。即根據(jù)題設(shè)條件或隱含條件，確定絕對(duì)值里代數(shù)式的正負(fù)，再利用絕對(duì)值定義去掉絕對(duì)值的符號(hào)進(jìn)行運(yùn)算。例2.已知：|x-2|+x-2＝0，

求：(1)x+2的最大值；(2)6-x的最小值。解：∵|x-2|+x-2＝0，∴|x-2|＝-(x-2)

根據(jù)絕對(duì)值的概念，一個(gè)數(shù)的絕對(duì)值等于它的相反數(shù)時(shí)，這個(gè)數(shù)為負(fù)數(shù)或零，∴x-2≤0，即x≤2，這表示x的最大值為2(1)當(dāng)x＝2時(shí)，x+2得最大值2+2＝4；(2)當(dāng)x＝2時(shí)，6-x得最小值6-2＝4

2.用絕對(duì)值為零時(shí)的值分段探討．即對(duì)于含絕對(duì)值代數(shù)式的字母沒(méi)有條件限制或限制不確鑿的，就需先求零點(diǎn)，再分區(qū)間定性質(zhì)，最終去掉絕對(duì)值符號(hào)。例3.已知|x-2|+x與x-2+|x|互為相反數(shù)，求x的最大值．

解：由題意得(|x-2|+x)+(x-2+|x|)＝0，整理得|x-2|+|x|+2x-2＝0令|x-2|＝0，得x＝2，令|x|＝0，得x＝0以0，2為分界點(diǎn)，分為三段探討：

(1)x≥2時(shí)，原方程化為x-2+x+2x-2＝0，解得x＝1，因不在x≥2的范圍內(nèi)，舍去。(2)0≤x＜2時(shí)，原方程化為2-x+x+2x-2＝0，解得x＝0(3)x＜0時(shí)，原方程化為2-x-x+2x-2＝0，從而得x＜0綜合(1)、(2)、(3)知x≤0，所以x的最大值為0

3.整體參與運(yùn)算過(guò)程．即整體配湊，借用已知條件確定絕對(duì)值里代數(shù)式的正負(fù)，再用絕對(duì)值定義去掉絕對(duì)值符號(hào)進(jìn)行運(yùn)算。例4.若|a-2|＝2-a，求a的取值范圍。

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解：根據(jù)已知條件等式的結(jié)構(gòu)特征，我們把a(bǔ)-2看作一個(gè)整體，那么原式變形為|a-2|＝-(a-2)，又由絕對(duì)值概念知a-2≤0，故a的取值范圍是a≤2

4.運(yùn)用絕對(duì)值的幾何意義．即通過(guò)觀測(cè)圖形確定絕對(duì)值里代數(shù)式的正負(fù)，再用絕對(duì)值定義去掉絕對(duì)值的符號(hào)進(jìn)行運(yùn)算．

例5.求滿(mǎn)足關(guān)系式|x-3|-|x+1|＝4的x的取值范圍．解：原式可化為|x-3|-|x-(-1)|＝4

它表示在數(shù)軸上點(diǎn)x到點(diǎn)3的距離與到點(diǎn)-1的距離的差為4由圖可知，小于等于-1的范圍內(nèi)的x的所有值都滿(mǎn)足這一要求。

所以原式的解為x≤-1五.有關(guān)絕對(duì)值知識(shí)的應(yīng)用

1.假使根據(jù)已知條件或題目中的隱含條件可以確定絕對(duì)值符號(hào)內(nèi)的數(shù)(或代數(shù)式)為“負(fù)〞值或“非負(fù)〞值，則由絕對(duì)值的定義可直接寫(xiě)出其結(jié)果.

例6.設(shè)x，y，a是實(shí)數(shù)，并且|x|＝1-a，|y|＝(1-a)(a-1-a2)，試求|x|+y+a2+1的值等于______．

解：顯然|x|≥0，|y|≥0，

∴由|x|≥0得1-a≥0，由|y|≥0得1-a≤0，∴1-a＝0，從而x＝0，y＝0，a＝1∴原式＝|0|+0+12+1＝2

2.假使根據(jù)已知或題目自身不能確定絕對(duì)值符號(hào)內(nèi)的代數(shù)式為“負(fù)〞或“非負(fù)〞，就應(yīng)分別對(duì)各種狀況進(jìn)行探討。探討的方法有：

(1)直接利用絕對(duì)值的性質(zhì)，去掉絕對(duì)值符號(hào)，把式子轉(zhuǎn)化為不含絕對(duì)值的式子進(jìn)行

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探討。

例7.已知|a|＝3，|b|＝2，求a+b的值。解：∵|a|＝3，|b|＝2，∴a＝3或-3，b＝2或-2因此a，b的取值應(yīng)分四種狀況：

a＝3，b＝2或a＝3，b＝-2或a＝-3，b＝2或a＝-3，b＝-2，從而易求a+b的值分別為5，1，-1，-5

解這類(lèi)問(wèn)題，要正確組合，全面思考，謹(jǐn)防漏解。

(2)采用零點(diǎn)分區(qū)間法，求出絕對(duì)值的零點(diǎn)，把數(shù)軸分成相應(yīng)的幾個(gè)區(qū)間進(jìn)行探討(所謂絕對(duì)值的零點(diǎn)就是使絕對(duì)值符號(hào)內(nèi)的代數(shù)式等于零的字母所取值在數(shù)軸上所對(duì)應(yīng)的點(diǎn))。

例8.化簡(jiǎn)：|1-3x|+|1+2x|．

解：由1?3x?0和1?2x?0得兩個(gè)零點(diǎn)：x?三部分：（1）當(dāng)x??11和x??，這兩個(gè)點(diǎn)把數(shù)軸分成321時(shí)，1?3x?0，1?2x?02?原式?(1?3x)?[?(1?2x)]??5x;

（2）當(dāng)?11?x?時(shí)，1?3x?0，1?2x?023?原式?(1?3x)?(1?2x)?2?x；（3）當(dāng)x?1時(shí)，1?3x?0，1?2x?0，3∴原式＝-(1-3x)+(1+2x)＝5x．

3.利用絕對(duì)值的幾何意義解含絕對(duì)值的方程，這樣既直觀，又簡(jiǎn)便。

由于|x|的幾何意義是表示數(shù)軸上點(diǎn)x到原點(diǎn)的距離，因此|x-a|的幾何意義是表示點(diǎn)x到點(diǎn)a的距離．由此可知，方程|x-a|＝k的解是x＝a+k或x＝a-k(k≥0)

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例9.|x-2|+|x-1|+|x-3|的最小值是()

A．1B．2C．3D．4

解：設(shè)A(1)，B(2)，C(3)，P(x)，如下圖，求|x-1|+|x-2|+|x-3|的最小值，即是在數(shù)軸上求一點(diǎn)P，使AP+BP+PC為最小，顯然，當(dāng)P與B重合，即x＝2時(shí)，其和有最小值2，故應(yīng)選(B)

4.利用“一個(gè)實(shí)數(shù)的絕對(duì)值是一個(gè)非負(fù)數(shù)〞這一性質(zhì)解題，可使問(wèn)題化難為易。在運(yùn)用這一性質(zhì)時(shí)，常與非負(fù)數(shù)的性質(zhì)：“有限個(gè)非負(fù)數(shù)的和為零時(shí)，則每一個(gè)非負(fù)數(shù)必為零〞聯(lián)用。

例10.若|m+1|+|2n+1|＝0，那么m2023-n4＝______．

六.絕對(duì)值化簡(jiǎn)與求值的基本方法

例11.若a、b互為相反數(shù)，cd互為負(fù)倒數(shù)．則|a+b+cd|＝____________．(96年泰州市初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽)

解：由題設(shè)知a+b＝0，cd＝-1，則|a+b+cd|＝|0-1|＝1

例12.若|x-y+2|與|x+y-1|互為相反數(shù)，則xy的負(fù)倒數(shù)是________．(95年希望杯邀請(qǐng)賽初一培訓(xùn)題)

解：由題設(shè)知|x-y+2|≥0，|x+y-1|≥0，但二者互為相反數(shù)，故只能x-y+2＝0，x+y-1＝0

133，y?，xy??2244?其負(fù)倒數(shù)是

3解得x??例13.已知a、b是互為相反數(shù)，c、d是互為負(fù)倒數(shù)，x的絕對(duì)值等于它的相反數(shù)的2倍，則x3+abcdx+a-bcd的值是_______．(94年希望杯邀請(qǐng)賽初一試題)

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由x-x-2≥0，得x≥2或x≤-1，由x-x-2＜0，得-1＜x＜2

∴當(dāng)x≥2或x≤-1時(shí)，|x-x-2|=x-x-2，當(dāng)-1＜x＜2時(shí)，|x-x-2|=-(x-x-2)=-x+x+27.解：式中含有三個(gè)變量，即3x+1，x，1-x．它們分別為非負(fù)數(shù)、負(fù)數(shù)時(shí)的x的取值范圍是彼此不一樣的，可以采用找零點(diǎn)、分區(qū)間的方法去絕對(duì)值符號(hào)：

由3x?1?0,x?0,1?x?0得三個(gè)零點(diǎn)，即?、0、1這三個(gè)點(diǎn)把數(shù)軸分成四個(gè)區(qū)間：x??，?2

2

2

2

2

2

2

13131?x?0,0?x?1,x?13

原式＝3x+1-(-x)+1-x＝3x+2

③當(dāng)0≤x＜1時(shí)，3x+1＞0，x≥0，1-x＞0，故原式＝3x+1-x+1-x＝x+2

④當(dāng)x≥1時(shí)，3x+1＞0，x＞0，1-x≤0，故原式＝3x+1-x+[-(1-x)]=3x．

8.分析與略解：此題由于x的取值范圍不定，所以我們必需分類(lèi)探討x的取值范圍狀況，分別由x+3＝0，x-2＝0，x-5＝0，得x＝-3，x＝2，x＝5．由下面的圖可以發(fā)現(xiàn)，當(dāng)x分別取-3、2、5三數(shù)左右兩邊的數(shù)時(shí)，三個(gè)代數(shù)式x+3，x-2，x-5的值的符號(hào)都不同，因此，有必要從下面的四個(gè)x取值所在的區(qū)間去探討化簡(jiǎn)結(jié)果；

當(dāng)x＜-3時(shí)，原式＝-x-3-x+2-x+5＝-3x+4；當(dāng)-3≤x＜2時(shí)，原式＝x+3-x+2-x+5＝

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