BS模型在資產(chǎn)評估中的應(yīng)用

本文格式為Word版，下載可任意編輯——BS模型在資產(chǎn)評估中的應(yīng)用B-S模型在資產(chǎn)評估中的應(yīng)用

主講老師趙強

一、Black-Scholes模型介紹（一）Black-Scholes模型介紹

Black-Scholes模型是FisherBlack和MyronScholes首先提出了一種估算期權(quán)價值的方法：Black-Scholes模型（即：B-S模型）。

除此之外，期權(quán)價值還可以采用以下方法估算：（1）二項式定價模型方法；（2）風(fēng)險中性定價方法。

期權(quán)定價存在多種方法中，B-S模型最為常用。（二）B-S模型的適用前提

B-S模型是建立在以下假設(shè)基礎(chǔ)上的：

（1）股票價格是一個隨機變量聽從對數(shù)正態(tài)分布；

（2）在期權(quán)有效期內(nèi)，無風(fēng)險利率是恒定的；

（3）市場無摩擦，即不存在稅收和交易成本，所有證券完全可分割；（4）該期權(quán)是歐式期權(quán)，即在期權(quán)到期前不可實施；（5）不存在無風(fēng)險套利機遇；（6）證券交易是持續(xù)的；

（7）投資者能夠以無風(fēng)險利率借貸。

設(shè)：μ為股票每年投資回報率期望值；σ為股票價格的年波動率。

在t時刻股票價格為S，則在t＋dt時刻股票的價格應(yīng)當(dāng)為S＋μS，假使用微分方程描述就是：

上述推導(dǎo)過程說明，股票價格與時間之間的關(guān)系聽從指數(shù)函數(shù)的關(guān)系。進一步推導(dǎo)，可以得出結(jié)論：

即：Ln（ST）－Ln（S0）＝Ln（ST/S0）～N（（μ－σ/2）T，σT）。其中：S0：股票初始價格；T：是初始時間距目前階段的時間。

進一步：Ln（ST）～N（Ln（S0）＋（μ－σ/2）T，σT）

2

22

2

假使設(shè)ST是股票在T時刻的價值，則看漲期權(quán)的價值應(yīng)當(dāng)可以用以下函數(shù)表述：

假使ST是一個隨機變量，滿足ST≥X的概率為P，則滿足ST＜X的概率就是1－P，這樣投資者獲利的數(shù)學(xué)期望值就是：

E（ST）＝（ST－X）×P＋0×（1－P）這就是看漲期權(quán)C的價值估算。對于看跌期權(quán)P：

假使?jié)M足ST＜X的概率為P，則滿足ST≥X的概率就是1－P，這樣投資者獲利的數(shù)學(xué)期望值就是：

E（ST）＝（X－ST）×P＋0×（1－P）這就是看跌期權(quán)P的價值估算。B-S模型的推導(dǎo)：由于看漲期權(quán)的收益：

C＝eE（max（ST－X），0）＝e[E（ST－X/ST＞X）＋E（ST－X/ST＜X）]

上式中的后半部分，根據(jù)看漲期權(quán)的定義是等于0的，因此可以得到看漲期權(quán)的收益：C＝eE（ST－X/ST＞X）

-rT-rT

-rT

設(shè)：Y＝Ln（為：

），則Y聽從正態(tài)分布，而＝e，這樣看漲期權(quán)的收益C可以改寫

Y

注意關(guān)注下式：

該等式定義了N（d2）是隨機變量大于行權(quán)價X的概率，也就是發(fā)生行權(quán)事件的概率。（三）B-S模型的分類B-S模型一般分為兩類：

（1）不含分紅派息的B-S模型：所謂不含分紅派息的B-S模型就是在估算股票期權(quán)價值時，認(rèn)為標(biāo)的股票在期權(quán)到期日之前這段時間內(nèi)沒有分紅派息，或者說不考慮分紅派息；（2）含分紅派息的B-S模型：所謂含分紅派息的B-S模型就是在估算股票期權(quán)價值時，需要考慮標(biāo)的股票在期權(quán)到期日之前這段時間內(nèi)進行的分紅派息對期權(quán)價值的影響。

不含分紅派息的買期權(quán)C（CallOption）：C0＝SN（d1）－XeN（d2）上式中：

C0：不含分紅派息買期權(quán)（看漲期權(quán)）；X：期權(quán)執(zhí)行價；S：標(biāo)的資產(chǎn)現(xiàn)實價格；

r：連續(xù)復(fù)利計算的無風(fēng)險收益率；T：期權(quán)到期時間；N（）：標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)密度函數(shù)；d1，d2：B-S模型的兩個參數(shù)。

-rT

上式中：X：期權(quán)執(zhí)行價；S：標(biāo)的資產(chǎn)現(xiàn)實價格；

r：連續(xù)復(fù)利計算的無風(fēng)險收益率；T：期權(quán)到期時間；σ：股票波動率。

含分紅派息的買期權(quán)C（看漲期權(quán)）：C1＝Se

-δT

N（d1）－XeN（d2）

-rT

上式中：

C1：含分紅派息的買期權(quán)（買期權(quán)、看漲期權(quán)）；X：期權(quán)執(zhí)行價；S：標(biāo)的資產(chǎn)現(xiàn)實價格；

r：連續(xù)復(fù)利計算的無風(fēng)險收益率；T：期權(quán)限制時間；

δ：連續(xù)復(fù)利計算的股息率；N（）：標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)密度函數(shù)；d1，d2：B-S模型的兩個參數(shù)。

上式中：X：期權(quán)執(zhí)行價；S：標(biāo)的資產(chǎn)現(xiàn)實價格；

r：連續(xù)復(fù)利計算的無風(fēng)險收益率；T：期權(quán)到期時間；σ：股票波動率；

δ：連續(xù)復(fù)利計算的股息率。

不含分紅派息的賣期權(quán)P0（看跌期權(quán)）：P0＝XeN（-d2）－SN（-d1）含分紅派息賣期權(quán)P1（看跌期權(quán)）:P1＝XeN（-d2）－Se

-rT

-δT

-rT

N（-d1）

看漲期權(quán)實際就是當(dāng)標(biāo)的資產(chǎn)的價格ST高于約定的行權(quán)價X時，期權(quán)擁有人就會行權(quán)，按行權(quán)價X買入標(biāo)的資產(chǎn)，這時由于ST≥X，因此期權(quán)擁有者可以獲利ST－X，反之當(dāng)標(biāo)的資產(chǎn)價格ST＜X時，權(quán)利人不會行權(quán)，這時期權(quán)價值就是0，上述狀況可以用以下函數(shù)表述：

看漲期權(quán)函數(shù)曲線

看跌期權(quán)實際就是當(dāng)標(biāo)的資產(chǎn)的價格ST低于約定的行權(quán)價X時，期權(quán)擁有人就會行權(quán)，按行權(quán)價X賣出標(biāo)的資產(chǎn)，這時由于ST≤X，因此期權(quán)擁有者按X價賣出標(biāo)的資產(chǎn)，還可以按ST再買回標(biāo)的資產(chǎn)，這樣就可以獲利X－ST，反之當(dāng)標(biāo)的資產(chǎn)價格ST＞X時，權(quán)利人不會行權(quán)，這時期權(quán)價值就是0，上述狀況可以用以下函數(shù)表述：

看跌期權(quán)函數(shù)曲線

（四）特別形式的期權(quán)

兩點式期權(quán)（BinaryOption）：

所謂兩點式期權(quán)就是具有不連續(xù)收益的期權(quán)。典型的例子就是現(xiàn)金或無值（Cash-or-Nothing）期權(quán)。

現(xiàn)金或無值（Cash-or-Nothing）看漲期權(quán)當(dāng)標(biāo)的資產(chǎn)價格低于執(zhí)行價時該期權(quán)價值為0，當(dāng)標(biāo)的資產(chǎn)價格高于執(zhí)行價時，期權(quán)價值為給定值Q。

現(xiàn)金或無值（Cash-or-Nothing）看漲期權(quán)的