SAS學(xué)習(xí)系列39 時間序列分析-ARIMA模型

本文格式為Word版，下載可任意編輯——SAS學(xué)習(xí)系列39時間序列分析—ARIMA模型p時，?kk?0.即平穩(wěn)AR(p)模型的偏自相關(guān)函數(shù)具有p步截尾性。

注：實際上樣本的隨機(jī)性使得偏自相關(guān)函數(shù)不是嚴(yán)格截尾，例如上面兩圖都1階顯著不為0，1階之后都近似為0.

二、MA(q)模型——q階移動平均模型

1.模型：

其中，?q?0，隨機(jī)干擾序列?t為0均值、??2方差的白噪聲序列（E(?t?s)?0,t≠s）。

若μ=0，稱為中心化的MA(q)模型，非中心化的MA(q)模型可以通過xt*?xt??轉(zhuǎn)化為中心化。

記B為延遲算子，?q(B)?I??1B????qBq稱為q階自移動平均系數(shù)多項式，則中心化MA(q)模型可以表示為xt??q(B)?t.

2.模型的方差

3.模型的自協(xié)方差

只與滯后階數(shù)k相關(guān)，且q階截尾。當(dāng)k=0時，

當(dāng)1≤k≤q時，

當(dāng)k>q時，?(k)?0.

4.模型的自相關(guān)函數(shù)：?(k)??(k)（q階截尾性）?(0)

5.模型的滯后k階偏自相關(guān)函數(shù)（中心化）

可以證明滯后k階偏自相關(guān)函數(shù)具有拖尾性。

6.模型的可逆性以MR(1)為例，

模型Ⅰ：xt??t??1?t?1或xt??t

1??1B模型Ⅱ：xt??t?1?1?t?1或1?xt1??tB?1它們的自相關(guān)函數(shù)?1???1/(1??12)一致（即一致的自相關(guān)函數(shù)對應(yīng)不同的回歸模型），為了保證對應(yīng)的唯一性，需要增加約束條件，即MR(q)模型的可逆性條件。

觀測兩個模型的其次種表示：當(dāng)|?1|?1時，模型Ⅰ收斂、模型Ⅱ不收斂；當(dāng)|?1|?1時，模型Ⅰ不收斂、模型Ⅱ收斂。

表示成收斂形式的MR(q)模型稱為可逆MR(q)模型。一個自相關(guān)函數(shù)只對應(yīng)唯一一個可逆MR(q)模型。

三、ARMA(p,q)模型——自回歸移動平均模型

1.模型

其中，?p?0，?q?0，隨機(jī)干擾序列εt為0均值、??2方差的白噪聲序列（E(?t?s)?0,t≠s），且當(dāng)期的干擾與過去的序列值無關(guān)，即E(xtεt)=0.

若?0=0，則稱為中心化的ARMA(p,q)模型。引入延遲算子，中心化的ARMA(p,q)模型可表示為：?p(B)xt??q(B)?t.

顯然，AR(p)和MA(q)模型是ARMA(p,q)模型的特例。2.數(shù)字特征（1）均值：E(xt)??01??1????p;

（2）自協(xié)方差函數(shù)：?(k)????GiGi?k，其中Gi為格林函數(shù)；

2i?0??(k)（3）自相關(guān)函數(shù)：?(k)???(0)?GGii?0?i?k?Gi?0?

2i

3.模型的初步定階

對于平穩(wěn)非白噪聲序列，計算出樣本自相關(guān)系數(shù)（ACF）和偏自

?，?和移動平均階數(shù)q相關(guān)系數(shù)（PACF），根據(jù)其性質(zhì)估計自相關(guān)階數(shù)p稱為ARMA(p,q)模型的定階。

?都近似服?(k)和偏自相關(guān)函數(shù)?可以推導(dǎo)出：樣本自相關(guān)函數(shù)?kk1從正態(tài)分布N(0,).

n取顯著水平α=0.05，若樣本自相關(guān)系數(shù)和樣本偏自相關(guān)系數(shù)在最初的k階明顯大于2倍標(biāo)準(zhǔn)差，而后幾乎95%的系數(shù)都落在2倍標(biāo)準(zhǔn)差的范圍內(nèi)，且非零系數(shù)衰減為小值波動的過程十分突然，尋常視為k階截尾；若有超過5%的樣本相關(guān)系數(shù)大于2倍標(biāo)準(zhǔn)差，或者非零系數(shù)衰減為小值波動的過程比較緩慢或連續(xù)，尋常視為拖尾。

4.參數(shù)估計

對非中心化的ARMA(p,q)模型

xt????q(B)?p(B)?t.

參數(shù)μ可用樣本均值來估計總體均值（矩估計法），初步定階估計出

?后，模型共有p+q+1個未知參數(shù)：?和移動平均階數(shù)q自相關(guān)階數(shù)p?1,?,?p,?1,?,?q,??2.

（1）參數(shù)的矩估計

用時間序列樣本數(shù)據(jù)計算出延遲1階到p+q階的樣本自相關(guān)函數(shù)

?(k)，延遲k階的總體自相關(guān)函數(shù)為?k(?1,?,?p,?1,?,?q).用計算出?的樣本自相關(guān)函數(shù)來估計總體自相函數(shù)，得到p+q個聯(lián)立方程組：

?,?,??,??,?,??.從中解出?1,?,?p,?1,?,?q的值作為未知參數(shù)估計值?1p1qARMA(p,q)模型的兩邊同時求方差，并把前面的參數(shù)的估計值代入，可得白噪聲序列的方差估計為：

（2）參數(shù)的極大似然估計

當(dāng)總體分布類型已知時，極大似然估計是常用的估計方法。其基本思想是，認(rèn)為樣本來自使該樣本出現(xiàn)概率最大的總體。

因此，未知參數(shù)的極大似然估計，就是使得似然函數(shù)（即聯(lián)合密度函數(shù)）達(dá)到最大值的參數(shù)值：

;estimate;forecast;

說明：

（1）where語句

指定用于分析的時間間隔，尋常條件表達(dá)式是有關(guān)日期變量的條件表達(dá)式，例如：’31dec98’d

242233267269270315274237278

284277317313318374306271306

315301356348355422347305336

340318362348363435359310337

360342406396420472407362405

417391419461472535461390432;run;

procsgplotdata=arimad01;seriesx=datey=x/markers;run;

procarimadata=arimad01;identifyvar=x;run;

364413465491548622

347405467505559606

312355404404463408

運(yùn)行結(jié)果及說明：

為了識別時間序列的數(shù)據(jù)是否平穩(wěn)和是否明顯有季節(jié)性，繪制時間序列圖，可見不平穩(wěn)。更確切的判斷，尋常利用procarima過程的identify語句來檢測序列是否平穩(wěn)：

ARIMA過程變量名=x工作序列的均值279.6042標(biāo)準(zhǔn)差觀測數(shù)

白噪聲的自相關(guān)檢查至滯后卡方自由度Pr>卡方自相關(guān)118.51031446572.74121041.31181372.45241616.116dif12=dif1(xlog)-(lag1(xlog)-lag12(xlog));run;

procgplotdata=arimad03;

plotxlog*date/vaxis=axis1haxis=axis2href='31dec1949'dto'1jan61'dbyyear;

plot2dif12*date/vaxis=axis3vref=-1;

symbol1i=joinv=ch=3l=1r=1font=swissbc=green;symbol2i=joinv=ch=3l=1r=1font=swissbc=blue;axis1label=('Log')order=(4.5to6.5by0.5)offset=(0,45);

axis2label=('12Month')order=('1jan49'dto'1jan61'dbyyear);

axis3label=('Dif1-12')order=(-1to1by0.2)offset=(23,0);

formatdatemonyy.;

title1'TimeSerialDifChart';run;

運(yùn)行結(jié)果：

（三）檢驗待選的時間序列模型的自相關(guān)函數(shù)

對需要轉(zhuǎn)換為平穩(wěn)時間序列的數(shù)據(jù)，若最終是要用差分的方法來轉(zhuǎn)換，尋?？芍苯诱{(diào)用PROCARIMA過程的identify語句來實現(xiàn)對指定變量xlog所選差分的時滯數(shù)（如1和12）的檢驗。

代碼：

procarimadata=arimad02;identifyvar=xlog(1,12)nlag=15;run;運(yùn)行結(jié)果：

ARIMA過程變量名=xlog差分期間1,12工作序列的均值0.000291標(biāo)準(zhǔn)差觀測數(shù)差分剔除的觀測0.05372113113

白噪聲的自相關(guān)檢查至滯后卡方自由度Pr>卡方627.441244.65自相關(guān)60.0001-0.3880.072-0.1440.041-0.0500.15112|t|3.752.210.360.00030.02910.71790.4650滯后112112AR2,1-0.150380.20519-0.73方差估計0.002023標(biāo)準(zhǔn)誤差估計0.044778AICSBC殘差數(shù)-438.081-426.581131*AIC和SBC不包括對數(shù)行列式。

參數(shù)估計相關(guān)性參數(shù)MA1,1MA2,1AR1,1AR2,1MA1,11.0000.0660.8620.065MA2,10.0661.0000.1270.849AR1,10.8620.1271.0000.112AR2,10.0650.8490.1121.000

殘差的自相關(guān)檢查至滯后卡方自由度Pr>卡方65.51126.501810.392414.45自相關(guān)20.0637-0.0020.029-0.043-0.0640.0110.18180.5918-0.032-0.0160.057-0.0360.0330.002140.7332-0.0190.0110.081-0.1320.031-0.020200.8067-0.067-0.0700.036-0.0180.1210.005

變量“xlog〞的模型差分期間

在該模型中沒有均值項。自回歸因子因子1:1-0.06398B**(1)因子2:1+0.15038B**(12)

移動平均因子因子1:1-0.55123B**(1)因子2:1-0.42423B**(12)1,12不帶均值的條件最小二乘估計輸出：該參數(shù)的估計值、標(biāo)準(zhǔn)誤差和t值，以及該參數(shù)在模型中滯后數(shù)。

進(jìn)一步診斷檢驗?zāi)Ｐ停魯M合的模型是可行的，則所有參數(shù)估計應(yīng)當(dāng)具有顯著的t值，殘差近似地為正態(tài)，殘差序列具有隨機(jī)無趨勢序列的ACF與PACF，且不含有過度的p、d、q。

t統(tǒng)計量（其確切性依靠于模型的有效性和觀測序列的長度等因素）用來檢驗該項系數(shù)是否為0.擬合的ARIMA(1,1,1)×(1,1,1)12模型的具體形式為：

由于AR1,1及AR2,1的t值分別為0.36和-0.73（很小），所以該項系數(shù)為0的假設(shè)檢驗并不顯著p值|t|滯后MA1,10.502750.076356.58MA2,10.529930.095645.54

方差估計0.001986標(biāo)準(zhǔn)誤差估計0.044559AICSBC殘差數(shù)-441.319-435.569131*AIC和SBC不包括對數(shù)行列式。

參數(shù)估計相關(guān)性參數(shù)MA1,1MA2,1MA1,11.000-0.064MA2,1-0.0641.000

殘差的自相關(guān)檢查至滯后卡方自由度Pr>卡方65.60126.541810.122415.41自相關(guān)40.23120.0180.007-0.068-0.0740.0030.173100.7684-0.032-0.0180.051-0.0360.019-0.031160.8604-0.0140.0130.082-0.1260.023-0.018220.8440-0.064-0.0820.029-0.0010.1370.052

變量“xlog〞的模型差分期間

在該模型中沒有均值項。移動平均因子因子1:1-0.50275B**(1)因子2:1-0.52993B**(12)1,12參數(shù)估計的t值為6.58和5.54（較大），故要保存。擬合優(yōu)度統(tǒng)計量表中給出了殘差序列的方差、標(biāo)準(zhǔn)誤差，以及按AIC和SBC標(biāo)準(zhǔn)計算的統(tǒng)計量，這兩個值較小，說明對模型擬合得較好。

另外從-441.3195α=0.05，

故不能拒絕擬合模型的殘差為白噪聲，說明這個擬合模型，延遲數(shù)小于等于6期和12期的所有殘差自相關(guān)系數(shù)為零，即殘差中蘊(yùn)涵信息已經(jīng)完全被提取出來了。

最終將表中移動平均MA的兩個因子（1-0.50275B）和（1-0.52993B12）代入ARIMA(0,1,1)×(0,1,1)12模型得到：

其中，Z=log(xt).

以下變量的預(yù)計:xlog觀測預(yù)計標(biāo)準(zhǔn)誤差95%置信限0.04466.01146.18610.04985.94396.13900.05456.05056.26400.05886.07286.30330.06286.09846.34480.06666.22646.48760.07026.35906.63430.07366.34746.63600.07696.05886.36020.08006.04106.35470.08305.88876.21420.08595.98726.32411456.09871466.04151476.15731486.18811496.22161506.35701516.49671526.49171536.20951546.19791556.05151566.1556

預(yù)計今后一年（12期）國際航線各個月度的旅客人數(shù)，結(jié)果存在數(shù)據(jù)集forxlog中：

144DEC606.068436.057200.0445595.969876.144530.01123145JAN61146FEB61147MAR61148APR61149MAY61150JUN61151JUL61152AUG61153SEP61154OCT61155NOV61156DEC61.6.098730.0445596.011396.18606.6.041480.0497645.943956.13902.6.157260.0544746.050496.26403.6.188070.0588086.072816.30333.6.221600.0628436.098436.34477.6.356990.0666356.226386.48759.6.496680.0702226.359046.63431.6.491720.0736356.347406.63604.6.209520.0768966.058806.36023.6.197880.0800256.041046.35473.6.0514