工程流體力學(xué)

工程流體力學(xué)第1頁，共59頁，2023年，2月20日，星期四從平衡狀態(tài)下的流體中取一微元四面體OABC，如圖所示取坐標(biāo)軸。由于液體處于平衡狀態(tài)，則有，即各向分力投影之和亦為零，則：第2頁，共59頁，2023年，2月20日，星期四

x方向受力分析:

表面力：質(zhì)量力：將表面力和質(zhì)量力代入前面方程，得當(dāng)四面體無限地趨于O點(diǎn)時(shí)，則dx趨于0，所以有：px=pn

第3頁，共59頁，2023年，2月20日，星期四類似地有：px=py=pz=pn

而n是任意選取的，所以同一點(diǎn)靜壓強(qiáng)大小相等，與作用面的方位無關(guān)。第4頁，共59頁，2023年，2月20日，星期四2.2流體平衡微分方程

2.2.1流體平衡微分方程

在平衡流體中取一微元六面體，邊長分別為dx，dy，dz，設(shè)中心點(diǎn)的壓強(qiáng)為p(x,y,z)=p，對(duì)其進(jìn)行受力分析：y向受力：表面力：質(zhì)量力：第5頁，共59頁，2023年，2月20日，星期四根據(jù)平衡條件，在y方向有，即：得同理，得流體平衡微分方程（歐拉平衡方程）：第6頁，共59頁，2023年，2月20日，星期四物理意義：處于平衡狀態(tài)的流體，單位質(zhì)量流體所受的表面力分量與質(zhì)量力分量彼此相等。壓強(qiáng)沿軸向的變化率（）等于軸向單位體積上的質(zhì)量力的分量（ρX，ρY，ρZ）。上式是瑞士數(shù)學(xué)家和力學(xué)家歐拉在1755年導(dǎo)出的，稱為歐拉平衡微分方程。第7頁，共59頁，2023年，2月20日，星期四2.2.2平衡微分方程的全微分式

將歐拉平衡微分方程的各式分別乘以dx、dy、dz，然后相加，得因?yàn)閜=p(x,y,z)壓強(qiáng)全微分

第8頁，共59頁，2023年，2月20日，星期四2.2.3等壓面等壓面（equipressuresurface）：流體中壓強(qiáng)相等的各點(diǎn)所組成的面。常見的等壓面有：自由液面和平衡流體中互不混合的兩種流體的界面。等壓面的特性：等壓面與質(zhì)量力正交。只有重力作用下的等壓面應(yīng)滿足的條件：（1）靜止；（2）連通；（3）連通的介質(zhì)為同一均質(zhì)流體；（4）質(zhì)量力僅有重力；（5）同一水平面。第9頁，共59頁，2023年，2月20日，星期四第10頁，共59頁，2023年，2月20日，星期四2.3重力場中流體靜壓強(qiáng)的分布規(guī)律

2.3.1液體靜力學(xué)基本方程

重力作用下靜止流體質(zhì)量力：X=Y=0，Z=-g代入流體平衡微分方程的全微分式第11頁，共59頁，2023年，2月20日，星期四結(jié)論：

1）僅在重力作用下，靜止流體中某一點(diǎn)的靜壓強(qiáng)隨深度按線性規(guī)律增加。

2）僅在重力作用下，靜止流體中某一點(diǎn)的靜壓強(qiáng)等于表面壓強(qiáng)加上流體的容重與該點(diǎn)淹沒深度的乘積。

在自由液面上有：z=H時(shí),p=p0

代入上式有:

液體靜力學(xué)基本方程：第12頁，共59頁，2023年，2月20日，星期四3）自由表面下深度h相等的各點(diǎn)壓強(qiáng)均相等——只有重力作用下的同一連續(xù)連通的靜止流體的等壓面是水平面。

4）推廣：已知某點(diǎn)的壓強(qiáng)和兩點(diǎn)間的深度差，即可求另外一點(diǎn)的壓強(qiáng)值。練習(xí)：如圖所示的密閉容器中，液面壓強(qiáng)p0＝9.8kPa，A點(diǎn)壓強(qiáng)為49kPa，則B點(diǎn)壓強(qiáng)為多少？在液面下的深度為多少？第13頁，共59頁，2023年，2月20日，星期四5）帕斯卡原理（壓強(qiáng)的傳遞性）在密閉容器內(nèi)，施加于靜止液體上的壓力將以等值同時(shí)傳到各點(diǎn)。在水力系統(tǒng)中的一個(gè)活塞上施加一定的壓強(qiáng)，必將在另一個(gè)活塞上產(chǎn)生相同的壓強(qiáng)增量。如果第二個(gè)活塞的面積是第一個(gè)活塞的面積的10倍，那么作用于第二個(gè)活塞上的力將增大為第一個(gè)活塞的10倍，而兩個(gè)活塞上的壓強(qiáng)仍然相等。水壓機(jī)就是帕斯卡原理的實(shí)例。它具有多種用途，如液壓制動(dòng)等。帕斯卡（Pascal，Blaise1623—1662），是法國著名的數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家、哲學(xué)家和散文家。在物理學(xué)方面作出的突出貢獻(xiàn)是，于1653年首次提出了著名的帕斯卡定律，為此寫成了《液體平衡的論述》的著名論文，詳細(xì)論述了液體壓強(qiáng)的傳遞問題。應(yīng)用這個(gè)定律制造的各式各樣的液壓機(jī)械，為人類創(chuàng)造了無數(shù)的奇跡，他建立的直覺主義原則對(duì)于后來一些哲學(xué)家，如盧梭和柏格森等都有影響。

第14頁，共59頁，2023年，2月20日，星期四由靜力學(xué)基本方程，圖中1、2兩點(diǎn)的靜壓強(qiáng)與自由液面壓強(qiáng)p0的關(guān)系為：p1=p0+ρg（Z0-Z1）p2=p0+ρg（Z0-Z2）推導(dǎo)得p1/ρg+Z1=p2/ρg+Z2由于1、2兩點(diǎn)是任意選取的，因此可以得出以下表達(dá)式p/ρg+Z=C此為流體靜力學(xué)基本方程的另一種表達(dá)形式。p2/ρgp1/ρgZ2Z0Z112p0第15頁，共59頁，2023年，2月20日，星期四方程的意義項(xiàng)物理意義幾何意義p/ρg比壓能壓強(qiáng)水頭Z比位能位置水頭p/ρg+Z比勢(shì)能測壓管水頭結(jié)論：靜止流體中，流體的比勢(shì)能是守衡的，而比壓能與比位能之間可以相互轉(zhuǎn)化。p2/ρgp1/ρgZ2Z0Z112p0第16頁，共59頁，2023年，2月20日，星期四1）按常密度計(jì)算p=p0+ρgh由于ρ很小，在h不大時(shí)，可以忽略ρgh，則p=p0=C2）大氣層壓強(qiáng)分布對(duì)流層：從海平面到高程11Km處（0≤Z≤11Km）。p=101.3(1-Z/44300)5.256KPa同溫層：高程為11Km到25Km處（11≤Z≤25Km）。p=22.6exp[(11000-Z)/6334]

KPa2.3.2氣體靜壓強(qiáng)的計(jì)算第17頁，共59頁，2023年，2月20日，星期四2.3.3壓強(qiáng)的度量絕對(duì)壓強(qiáng)pabs：以絕對(duì)真空作為基準(zhǔn)表示的壓強(qiáng)。相對(duì)壓強(qiáng)p：以當(dāng)?shù)卮髿鈮簭?qiáng)(pa)作為基準(zhǔn)表示的壓強(qiáng)。又叫表壓。p=pabs-pa真空度pv

：絕對(duì)壓強(qiáng)低于當(dāng)?shù)卮髿鈮簭?qiáng)的數(shù)值。pv=pa-pabs=-p第18頁，共59頁，2023年，2月20日，星期四例：求淡水自由表面下2m深處的絕對(duì)壓強(qiáng)和相對(duì)壓強(qiáng)。

解：絕對(duì)壓強(qiáng)：相對(duì)壓強(qiáng)Pabs=P0+ρgh=101325+1000×9.807×2=120939PaP=ρgh=1000×9.807×2=19614Pa第19頁，共59頁，2023年，2月20日，星期四例：如圖所示，hv=2m時(shí)，求封閉容器A中的真空值。

解：設(shè)封閉容器內(nèi)的絕對(duì)壓強(qiáng)為pabs，真空值為Pv

。

根據(jù)真空值定義：

Pabs=pa-ρghvPv=Pa-Pabs=Pa-(Pa-ρghv)=ρghv=1000×9.807×2=19614Pa第20頁，共59頁，2023年，2月20日，星期四例：求A、B、C三點(diǎn)壓強(qiáng)。解：以相對(duì)壓強(qiáng)計(jì)算比較方便。pB=0pA=pB+ρghAB=1000×9.807×1.5=14710.5PapC=pB-ρghBC=-1000×9.807×2=-19614Pa或pVC=-pC=19614Pa例：已知hp=20cm,h=3.5m,求壓力表讀數(shù)。解：p0=-ρHgghp=-0.2×13600×9.807=-26675.04Pap=p0+ρ水ghp=-26675.04+1000×9.807×3.5=7649.46Pa第21頁，共59頁，2023年，2月20日，星期四2.3.4水頭、液柱高度和能量守恒（略）第22頁，共59頁，2023年，2月20日，星期四2.3.5壓強(qiáng)的計(jì)量單位法定單位:帕斯卡，簡稱帕。1Pa=1N/m2。1MPa=106Pa其它單位:1atm（標(biāo)準(zhǔn)大氣壓）=101325Pa=1.034kgf/cm2=760mmHg1at（工程大氣壓）=1kgf/cm2=98070Pa

1mH2O(米水柱)=9807Pa

1bar(巴)=105Pa≈1.02kgf/cm2第23頁，共59頁，2023年，2月20日，星期四2.4流體的相對(duì)平衡

2.4.1等加速直線運(yùn)動(dòng)容器中流體的平衡相對(duì)平衡：指各流體質(zhì)點(diǎn)彼此之間及流體與器皿之間無相對(duì)運(yùn)動(dòng)的相對(duì)靜止或相對(duì)平衡狀態(tài)。相對(duì)平衡流體中，質(zhì)量力除重力外，還受到慣性力的作用。盛有液體的敞口容器以等加速a作直線運(yùn)動(dòng)，如圖所示。第24頁，共59頁，2023年，2月20日，星期四取自由液面中心為坐標(biāo)原點(diǎn)。單位質(zhì)量力為：代入流體平衡微分方程的全微分式中dp=ρ(Xdx+Ydy+Zdz)=ρ(-adx-gdz)積分得p=ρ(-ax-gz)+CX=-ma/m=-aY=0Z=-mg/m=-g第25頁，共59頁，2023年，2月20日，星期四式中C為積分常數(shù)，由邊界條件確定：在坐標(biāo)原點(diǎn)處，x=z=0，p=pa，代入上式得C=pa則液體作等加速直線運(yùn)動(dòng)相對(duì)平衡時(shí)壓強(qiáng)分布規(guī)律為p=pa+ρ(-ax-gz)=pa+γ(-ax/g-z)相對(duì)壓強(qiáng)為p=γ(-ax/g-z)對(duì)于自由液面，相對(duì)壓強(qiáng)p=0,則Z=-ax/g上式為等加速直線運(yùn)動(dòng)液體自由液面方程。第26頁，共59頁，2023年，2月20日，星期四由自由液面方程可知，自由液面為通過原點(diǎn)的傾斜面，與水平面的夾角為tanβ=-a/g自由液面確定以后，可以由自由液面求任一點(diǎn)的壓強(qiáng)，即求出該點(diǎn)距自由液面的垂直距離h，按靜力學(xué)基本方程計(jì)算：p=pa+ρgh例如圖所示，一灑水車等加速度a=0.98m/s2向右行駛，求水車內(nèi)自由表面與水平面間的夾角；若B點(diǎn)在運(yùn)動(dòng)前位于水面下深為h=1.0m，距z軸為xB=-１.5m，求灑水車加速運(yùn)動(dòng)后該點(diǎn)的靜水壓強(qiáng)。第27頁，共59頁，2023年，2月20日，星期四解：tanβ=-a/g=-0.1α=180°-β=180°-174.25°=5.75°p=γ(-ax/g-z)=9807×[-0.98×(-1.5)/9.807-(-1.0)]=11278.05PaB點(diǎn)的相對(duì)壓強(qiáng)為：B點(diǎn)的相對(duì)壓強(qiáng)按自由液面計(jì)算為：p=γ(-xBtanα+h)=9807×[1.5×tan5.75°+1.0]=11278.05Pa第28頁，共59頁，2023年，2月20日，星期四例如圖，有一盛水的開口容器以3.6m/s2的加速度沿與水平成30o夾角的傾斜平面向上運(yùn)動(dòng)，試求容器中水面的傾角θ。解：根據(jù)壓強(qiáng)平衡微分方程式單位質(zhì)量力X=-acos30°Y=0Z=-g-asin30°代入上式，得dp=ρ(-acos30°dx-gdz-asin30°dz)積分得p=ρ(-acos30°x-gz-asin30°z)+C第29頁，共59頁，2023年，2月20日，星期四自由液面上，x=0，z=0，相對(duì)壓強(qiáng)p=0，得C=0自由液面方程為：p=ρ(-acos30°x-gz-asin30°z)=0即-acos30°x-gz-asin30°z=0tanθ=-z/x=acos30°/(g+asin30°)=0.269θ=15°第30頁，共59頁，2023年，2月20日，星期四2.4.2等角速度旋轉(zhuǎn)容器中液體的平衡

半徑為r處質(zhì)量為m的流體質(zhì)點(diǎn)所受慣性力為：F=mv2/r=m(ωr)2/r=mω2r單位質(zhì)量流體慣性力的軸向分力為：X1=ω2xY1=ω2yZ1=0單位質(zhì)量流體重力的軸向分力為：X2=0Y2=0Z2=-g因此，單位質(zhì)量力的軸向分力為：X=ω2xY=ω2yZ=-g第31頁，共59頁，2023年，2月20日，星期四流體平衡微分方程可以寫成：dp=ρ(ω2xdx+ω2ydy-gdz)積分得：p=ρ(ω2x2/2+ω2y2/2-gz)+C=ρ(ω2r2/2-gz)+C在坐標(biāo)原點(diǎn)處，x=y=z=0,p=pa，得C=pa繞鉛垂軸等速旋轉(zhuǎn)流體平衡時(shí)壓強(qiáng)分布規(guī)律：p=pa+ρ(ω2r2/2-gz)相對(duì)壓強(qiáng)：p=ρ(ω2r2/2-gz)自由液面相對(duì)壓強(qiáng)p=0，得自由液面方程z=ω2r2/2g第32頁，共59頁，2023年，2月20日，星期四繞鉛垂軸等速旋轉(zhuǎn)流體特點(diǎn)：等壓面為旋轉(zhuǎn)拋物面，在同一水平面上，軸心處壓強(qiáng)最低，邊緣處壓強(qiáng)最高。應(yīng)用舉例：1.盛滿水的圓柱形容器，蓋板中心開孔。由于蓋板封閉，旋轉(zhuǎn)時(shí)水面不能上升，蓋板各點(diǎn)承受的壓強(qiáng)為：p=ρgz=ρω2r2/2可見，軸心處壓強(qiáng)最低，邊緣處壓強(qiáng)最高，角速度ω越高，邊緣處壓強(qiáng)也越高。離心鑄造機(jī)就是利用的這個(gè)原理。第33頁，共59頁，2023年，2月20日，星期四2.盛滿水的圓柱形容器，蓋板邊緣開一個(gè)孔。相對(duì)壓強(qiáng)為零的面如圖中虛線所示。蓋板上各點(diǎn)的相對(duì)壓強(qiáng)為：p=0-ρ(ω2R2/2-ω2r2/2)=-ρ(ω2R2/2-ω2r2/2)或蓋板上各點(diǎn)的真空度為：pv=ρ(ω2R2/2-ω2r2/2)軸心處真空度最大，邊緣處真空度為零。離心泵和離心風(fēng)機(jī)就是利用的這一原理。第34頁，共59頁，2023年，2月20日，星期四3.敞口容器中流體混有雜質(zhì)。設(shè)某一雜質(zhì)的質(zhì)量為m1，與該雜質(zhì)同體積的流體質(zhì)量為m，旋轉(zhuǎn)后該雜質(zhì)的受力情況為：鉛垂方向受力為重力與浮力之差：Δpz=ΔG-Δp1=m1g-mg=(m1-m)g水平方向受力為離心力與壓力之差：Δpx=ΔFr-Δp2=m1ω2r-mω2r=(m1-m)ω2r合力用向量表示為：第35頁，共59頁，2023年，2月20日，星期四當(dāng)m1=m時(shí)，合力為零，該雜質(zhì)不能用旋轉(zhuǎn)的方法去除。當(dāng)m1＞m時(shí)，合力向右下方傾斜，雜質(zhì)下沉于底部，離心除塵器就是利用的該原理。當(dāng)m1＜m時(shí)，合力向左上方傾斜，上浮于流體表面，油脂分離器就是利用該原理回收水中的油脂。例題一半徑為R=30厘米的圓柱形容器中盛滿水，蓋板用螺栓連接，蓋板中心開一小孔，當(dāng)容器以n=300rpm速度等速旋轉(zhuǎn)時(shí)，求作用于螺栓上的拉力。第36頁，共59頁，2023年，2月20日，星期四解：蓋板任意半徑r處所受水的壓強(qiáng)為：p=ρω2r2/2作用于蓋板任意半徑r處微小圓環(huán)面積上的壓力為：dp=pdA=ρω2r2/2·2πrdr作用于螺栓上的拉力為：P=∫ApdA=ρπω2R4/4代入數(shù)據(jù)，得P=6257N第37頁，共59頁，2023年，2月20日，星期四2.5液體作用在平面上的總壓力

2.5.1解析法

如圖所示，MN為任意形狀的平面，傾斜放置于水中，與水面成θ角，面積為A，其形心C的坐標(biāo)為xc，yc，形心C在水面下的深度為hc。在受壓面上取微元面積dA，作用在dA上的力為：第38頁，共59頁，2023年，2月20日，星期四作用于平面MN上的總壓力為：積分是受壓面對(duì)Ox軸的靜矩，且則結(jié)論：潛沒于液體中任意形狀平面所受水的總壓力等于受壓面面積與其形心點(diǎn)的靜壓強(qiáng)之積。第39頁，共59頁，2023年，2月20日，星期四總壓力的作用點(diǎn)（壓力中心）根據(jù)合力矩定理（對(duì)Ox軸求矩）：積分是受壓面對(duì)Ox軸的慣性矩則根據(jù)慣性矩平行移軸定理，代入上式得：第40頁，共59頁，2023年，2月20日，星期四式中，yp——總壓力作用點(diǎn)到Ox軸的距離；yc——受壓面形心到Ox軸的距離；Ic——受壓面對(duì)平行于Ox軸的形心軸的慣性矩；A——受壓面面積。由于Ic/ycA＞0，故yp＞yc，即總壓力作用點(diǎn)一般位于形心之下，這是因?yàn)殪o壓強(qiáng)沿淹沒深度增加的原因。隨著受壓面淹沒深度的增加，yc增大，Ic/ycA減小，總壓力作用點(diǎn)靠近受壓面形心。第41頁，共59頁，2023年，2月20日，星期四1.當(dāng)平面面積與形心深度不變時(shí)，平面上的總壓力大小與平面傾角θ無關(guān)；

2.壓力中心的位置與受壓面傾角θ無關(guān)，并且壓力中心總是在形心之下.只有當(dāng)受壓面位置為水平放置時(shí)，壓力中心與形心才重合。結(jié)論：第42頁，共59頁，2023年，2月20日，星期四第43頁，共59頁，2023年，2月20日，星期四第44頁，共59頁，2023年，2月20日，星期四例如圖所示，一鉛直矩形閘門，已知h1=1m，h2=2m，寬b=1.5m，求總壓力及其作用點(diǎn)。解：

第45頁，共59頁，2023年，2月20日，星期四例

有一鉛直半圓壁（如圖）直徑位于液面上，求F值大小及其作用點(diǎn)。解：由式得總壓力由式得第46頁，共59頁，2023年，2月20日，星期四2.5.2圖算法壓強(qiáng)分布圖壓強(qiáng)分布圖繪制原則：根據(jù)靜力學(xué)基本方程式繪制靜壓強(qiáng)大??；靜壓強(qiáng)垂直于作用面且為壓應(yīng)力。受壓面為平面時(shí)，壓強(qiáng)分布圖的外包線為直線；受壓面為曲面時(shí)，曲面的長度與水深不成直線函數(shù)關(guān)系，故壓強(qiáng)分布圖外包線亦為曲線。第47頁，共59頁，2023年，2月20日，星期四適用范圍：規(guī)則平面上所受總壓力及其作用點(diǎn)的求解。

原理：總壓力大小等于壓強(qiáng)分布圖的體積，其作用線通過壓強(qiáng)分布圖的形心，該作用線與受壓面的交點(diǎn)便是壓力中心P。例

用圖解法計(jì)算前例中矩形閘門的總壓力大小與壓力中心位置。解：作出矩形閘門上的壓強(qiáng)分布圖：底為受壓面面積，高度是各點(diǎn)的壓強(qiáng)。第48頁，共59頁，2023年，2月20日，星期四梯形形心坐標(biāo):

a上底，b下底總壓力為壓強(qiáng)分布圖的體積：作用線通過壓強(qiáng)分布圖的重心：第49頁，共59頁，2023年，2月20日，星期四2.6液體作用在曲面上的總壓力

2.6.1曲面上的總壓力實(shí)際工程曲面多為二向曲面或球面。二向曲面AB一側(cè)承壓，在曲面上選取微元面積EF，由于各微元面上壓力dF方向不同，不能用積分求曲面上的總壓力，需將dF分解：第50頁，共59頁，2023年，2月20日，星期四水平分力：鉛垂分力：式中：dAx——EF在鉛垂面上的投影；dAz——EF在水平面上的投影?？倝毫Φ乃椒至Γ悍e分是曲面的鉛垂投影面Ax對(duì)Oy軸的靜矩，代入上式，得式中：hc——投影面Ax形心點(diǎn)的淹沒深度；pc——投影面Ax形心點(diǎn)的壓強(qiáng)。第51頁，共59頁，2023年，2月20日，星期四結(jié)論：液體作用于曲面上總壓力的水平分力等于該曲面的鉛垂投影面的壓力?？倝毫Φ你U垂分力：是曲面到自由液面（或自由液面延伸面）之間的鉛垂體——壓力體的體積。上式表明，液體作用在曲面上總壓力的鉛垂分力等于壓力體的重量。液體作用在曲面上的總壓力：總壓力作用線與水平面的夾角