冪函數(shù)的概念

冪函數(shù)的概念第1頁(yè)，共21頁(yè)，2023年，2月20日，星期四一般地，形如

的函數(shù)叫做冪函數(shù)，其中x是自變量，α是常數(shù)．對(duì)于冪函數(shù)，一般只討論α＝1,2,3，

，－1時(shí)的情形．提示：y＝x2是冪函數(shù)．y＝2x不是冪函數(shù)，是指數(shù)函數(shù)．二者本質(zhì)的區(qū)別在于自變量的位置不同，冪函數(shù)的自變量在底數(shù)位置，而指數(shù)函數(shù)的自變量在指數(shù)位置．y＝xα(α∈R)1．冪函數(shù)的定義第2頁(yè)，共21頁(yè)，2023年，2月20日，星期四在同一平面直角坐標(biāo)系下，冪函數(shù)y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝

，y＝x－1的圖象分別如下圖．提示：冪函數(shù)y＝xα(α∈R)隨著α的取值不同，它們的定義域、性質(zhì)和圖象也不盡相同．但它們的圖象均不經(jīng)過第四象限，在其他象限的圖象可由定義域和奇偶性決定．2．冪函數(shù)的圖象第3頁(yè)，共21頁(yè)，2023年，2月20日，星期四3．冪函數(shù)的性質(zhì)定義域值域奇偶性單調(diào)性定點(diǎn)函數(shù)特

征性質(zhì)y＝xy＝x2y＝x3y＝xy＝x－1RRR[0，＋∞){x|x∈R且x≠0}RR[0，＋∞)[0，＋∞){y|y∈R且y≠0}奇奇奇偶非奇非偶增增增x∈[0，＋∞)時(shí)，增x∈(－∞，0]時(shí)，減x∈(0，＋∞)時(shí)，減x∈(－∞，0)時(shí)，減(0,0)，(1,1)(1,1)第4頁(yè)，共21頁(yè)，2023年，2月20日，星期四1．設(shè)α∈，則使函數(shù)y＝xα的定義域?yàn)镽且為奇函數(shù)的所有

α值為(

)

A．1,3 B．－1,1C．－1,3 D．－1,1,3解析：根據(jù)冪函數(shù)的定義和性質(zhì)易得x＝1,3時(shí)，定義域?yàn)镽且為奇函數(shù)．答案：A第5頁(yè)，共21頁(yè)，2023年，2月20日，星期四2．給出命題：若函數(shù)y＝f(x)是冪函數(shù)，則函數(shù)y＝f(x)的圖象不過第四象限．在它的逆命題、否命題、逆否命題三個(gè)命題中，真命題的個(gè)數(shù)是(

)A．3 B．2 C．1 D．0解析：原命題正確，故其逆否命題正確，逆命題錯(cuò)誤，故否命題錯(cuò)誤．答案：C3．已知點(diǎn)

在冪函數(shù)f(x)的圖象上，則f(x)的表達(dá)式是(

)

A．f(x)＝x3 B．f(x)＝x－3C．f(x)＝ D．f(x)＝解析：設(shè)冪函數(shù)f(x)＝xα(α∈R)，則∴α＝ ＝－3，∴f(x)＝x－3.答案：B第6頁(yè)，共21頁(yè)，2023年，2月20日，星期四4．若函數(shù)f(x)＝，則f(f(f(0)))＝_____________________.解析：f(f(f(0)))＝f(f(－2))＝f(1)＝1.答案：1第7頁(yè)，共21頁(yè)，2023年，2月20日，星期四有關(guān)冪值的大小比較，可結(jié)合冪值的特點(diǎn)，選擇適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)，借助其單調(diào)性進(jìn)行比較．一般地，幾種冪值的比較方法如下：①冪的底數(shù)相同，指數(shù)不同型可以利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行比較．②冪的底數(shù)不同，指數(shù)相同型可以利用冪函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行比較．③冪的底數(shù)不同，指數(shù)不同型常運(yùn)用媒介法，即找到一個(gè)中間值，通過比較兩個(gè)冪值與中間值的大小，確定兩個(gè)冪值的大小．第8頁(yè)，共21頁(yè)，2023年，2月20日，星期四(1)和；

(2) ；(3)0.20.5和0.40.3.思維點(diǎn)撥：利用性質(zhì)、中間值作轉(zhuǎn)化．解：(1)＝，由于冪函數(shù)y＝

在(0，＋∞)上是減函數(shù)，所以

【例1】

比較下列各組值的大?。?2)由于 因此

(3)由于指數(shù)函數(shù)y＝0.2x在R上是減函數(shù)，所以0.20.5＜0.20.3.又由于冪函數(shù)y＝x0.3在(0，＋∞)是遞增函數(shù)，所以0.20.3＜0.40.3，故有0.20.5＜0.40.3.第9頁(yè)，共21頁(yè)，2023年，2月20日，星期四冪函數(shù)的圖象在解方程和不等式時(shí)有著重要作用．【例2】

點(diǎn)(

，2)在冪函數(shù)f(x)的圖象上，點(diǎn)在冪函數(shù)g(x)的 圖象上，問當(dāng)x為何值時(shí)，有f(x)＞g(x)，f(x)＝g(x)，f(x)＜g(x)．

思維點(diǎn)撥：由冪函數(shù)的定義，求出f(x)與g(x)的解析式， 再利用圖象判斷即可．第10頁(yè)，共21頁(yè)，2023年，2月20日，星期四解：設(shè)f(x)＝xα，則由題意得2＝(

)α，∴α＝2，即f(x)＝x2，再設(shè)g(x)＝xβ，則由題意得＝(－2)β，∴β=-2，即g(x)=，在同一坐標(biāo)系中作出f(x)與g(x)的圖象，如圖所示．由圖象可知：①當(dāng)x＞1或x＜-1時(shí)，f(x)＞g(x)；②當(dāng)x=±1時(shí)，f(x)=g(x)；③當(dāng)-1＜x＜1且x≠0時(shí)，f(x)＜g(x)．第11頁(yè)，共21頁(yè)，2023年，2月20日，星期四變式2：方程＝logsin1x的實(shí)根個(gè)數(shù)是(

)

A．0

B．1

C．2

D．3

解析：在同一平面直角坐標(biāo)系中分別作出函數(shù)y1

=

和y2=

y2=logsin1x的圖象，可知只有唯一交點(diǎn)(如右圖所示)． 答案：B第12頁(yè)，共21頁(yè)，2023年，2月20日，星期四對(duì)冪函數(shù)性質(zhì)的考查，主要是冪函數(shù)的定義域、奇偶性及單調(diào)性的考查．【例3】

已知冪函數(shù)f(x)＝xm2－2m－3(m∈Z)為偶函數(shù)，且在區(qū)間(0，＋∞)上是 減函數(shù)． (1)求函數(shù)f(x)的解析式； (2)討論函數(shù)φ(x)＝a的奇偶性．第13頁(yè)，共21頁(yè)，2023年，2月20日，星期四解：(1)∵冪函數(shù)f(x)在(0，＋∞)上是減函數(shù)，∴m2－2m－3＜0，∴－1＜m＜3.又m∈Z，∴m＝0,1,2，∴m2－2m－3＝－3或－4.又∵f

(x)為偶函數(shù)，∴f

(x)＝x－4.(2)由(1)得φ(x)＝－bx3，φ(－x)＝＋bx3.①當(dāng)a≠0，且b≠0時(shí)，φb

(x)為非奇非偶函數(shù)；②當(dāng)a

＝0，且b≠0時(shí)，φ(x)為奇函數(shù)；③當(dāng)a

≠0，且b＝0時(shí)，φ(x)為偶函數(shù)；④當(dāng)a

＝0，且b＝0時(shí)，φ(x)既為奇函數(shù)又為偶函數(shù)．第14頁(yè)，共21頁(yè)，2023年，2月20日，星期四變式3：已知冪函數(shù)f(x)的圖象過點(diǎn)(

，3

)，函數(shù)g(x)是偶函數(shù)， 且當(dāng)x∈[0，＋∞)時(shí)，g(x)＝.求f(x)與g(x)的解析式．解：設(shè)f(x)＝xα，∵其圖象過(

，3

)點(diǎn)，故3

＝(

)α，即(

)3＝(

)α， ∴α＝3，故f(x)＝x3. 令x∈(－∞，0)，則－x∈(0，＋∞)． ∴g(－x)＝又∵g(x)是偶函數(shù)，故g(－x)＝g(x)，∴g(x)＝(－x)

，x∈(－∞，0)，∴g(x)＝故g(x)＝（x∈R).第15頁(yè)，共21頁(yè)，2023年，2月20日，星期四【方法規(guī)律】1．冪函數(shù)y＝xα(α∈R)，其中α為常數(shù)，其本質(zhì)特征是以冪的底x為自變量，指數(shù)α為常數(shù)，這是判斷一個(gè)函數(shù)是否是冪函數(shù)的重要依據(jù)和唯一標(biāo)準(zhǔn)．應(yīng)當(dāng)注意并不是任意的一次函數(shù)、二次函數(shù)都是冪函數(shù)，如y＝x＋1，y＝x2－2x等都不是冪函數(shù)．2．在(0,1)上，冪函數(shù)中指數(shù)愈大，函數(shù)圖象愈靠近x軸(簡(jiǎn)記為“指大圖低”)，在(1，＋∞)上，冪函數(shù)中指數(shù)越大，函數(shù)圖象越遠(yuǎn)離x軸.第16頁(yè)，共21頁(yè)，2023年，2月20日，星期四已知冪函數(shù)y＝

(m∈N*)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，且在(0，＋∞)上是減函數(shù)，求滿足的a的取值范圍．【閱卷實(shí)錄】第17頁(yè)，共21頁(yè)，2023年，2月20日，星期四第18頁(yè)，共21頁(yè)，2023年，2月20日，星期四

解決本題的關(guān)鍵是根據(jù)函數(shù)的奇偶性求出m的值后，依據(jù)冪函數(shù)的性質(zhì)和圖象建立關(guān)于a的不等式組．在這里極易出現(xiàn)認(rèn)為函數(shù)在(－∞，0)和(0，＋∞)上為減函數(shù)，則函數(shù)必在定義域內(nèi)是減函數(shù)的認(rèn)識(shí)誤區(qū)．從而誤用性質(zhì)產(chǎn)生錯(cuò)誤，事實(shí)上由冪函數(shù)y＝

的圖象可知函數(shù)在整個(gè)定義域內(nèi)圖象整體不呈下降趨勢(shì)，故函數(shù)只能說在定義域的兩個(gè)子集上分別為減函數(shù)，另外在分類討論時(shí)，要做到不重不漏，尤其是a＋1＜0＜3－2a這種情況容易被忽略，應(yīng)引起注意．【教師點(diǎn)評(píng)】第19頁(yè)，共21頁(yè)，2023年，2月20日，星期四解：∵函數(shù)在(0，＋∞)上單調(diào)遞減，∴m2－2m－3＜0，解得－1＜m＜3.∵m∈N*，∴m＝1,2.又∵函數(shù)圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，∴m2－2m－3是偶數(shù)．而22－2×2