平均指標(biāo)和標(biāo)志變異指標(biāo)

平均指標(biāo)和標(biāo)志變異指標(biāo)第1頁，共72頁，2023年，2月20日，星期四5.1平均指標(biāo)的意義和作用5.1.1平均指標(biāo)的意義

平均指標(biāo)（Averageindicator）又稱平均數(shù)，反映現(xiàn)象總體各單位某一數(shù)量標(biāo)志值的典型水平、一般水平和代表性水平。

平均指標(biāo)是社會(huì)經(jīng)濟(jì)現(xiàn)象中最常用的一種綜合指標(biāo)

第2頁，共72頁，2023年，2月20日，星期四平均指標(biāo)的顯著特點(diǎn)是：

●它不是某一單位的具體數(shù)值，而是代表總體某種數(shù)量標(biāo)志的一般水平，是總體各單位的代表值

●把總體各單位標(biāo)志值的差異給抽象化了，它是一個(gè)抽象化的數(shù)值

正是由于平均指標(biāo)的“抽象化”特征，當(dāng)我們計(jì)算出某地平均每戶人口規(guī)模3.86人時(shí)，不必對(duì)數(shù)值進(jìn)行四舍五入，盡管“3.86人不存在”。

第3頁，共72頁，2023年，2月20日，星期四5.1.2平均指標(biāo)的作用1.可以反映總體各單位分布的集中趨勢2.可以對(duì)現(xiàn)象在不同空間、時(shí)間上進(jìn)行比較分析3.可以分析現(xiàn)象之間的依存關(guān)系

4.可以作為評(píng)價(jià)事物的參考依據(jù)

5.可以進(jìn)行數(shù)量上的估算

第4頁，共72頁，2023年，2月20日，星期四5.1.3平均指標(biāo)的種類

平均指標(biāo)按其所屬總體的時(shí)間范圍不同分為兩種靜態(tài)平均數(shù)動(dòng)態(tài)平均數(shù)反映同一時(shí)間范圍內(nèi)總體各單位某一數(shù)量標(biāo)志一般水平的平均指標(biāo)反映不同時(shí)間而同一空間范圍內(nèi)總體某一數(shù)量標(biāo)志一般水平的平均指標(biāo)本章主要討論靜態(tài)平均數(shù)，動(dòng)態(tài)平均數(shù)將在時(shí)間數(shù)列一章專門討論。第5頁，共72頁，2023年，2月20日，星期四

靜態(tài)平均數(shù)按其計(jì)算方法的不同分為兩種：數(shù)值平均數(shù)和位置平均數(shù)

凡根據(jù)總體各單位標(biāo)志值計(jì)算的平均數(shù)，稱為數(shù)值平均數(shù)。常見的主要有：算術(shù)平均數(shù)、調(diào)和平均數(shù)和幾何平均數(shù)等凡根據(jù)總體標(biāo)志值在分配數(shù)列中的位置確定的平均數(shù)，稱為位置平均數(shù)。常見的主要有眾數(shù)和中位數(shù)等第6頁，共72頁，2023年，2月20日，星期四5.2數(shù)值平均數(shù)

5.2.1算術(shù)平均數(shù)

1.算術(shù)平均數(shù)（arithmeticmean）的意義

是總體標(biāo)志總量與總體單位總量對(duì)比的結(jié)果基本計(jì)算公式第7頁，共72頁，2023年，2月20日，星期四算術(shù)平均數(shù)與強(qiáng)度相對(duì)指標(biāo)都是比值，都有“平均”含義，但兩者明顯區(qū)別在于

算術(shù)平均數(shù)的分子和分母是同一個(gè)總體的兩個(gè)總量指標(biāo)，分子是標(biāo)志總量，分母是單位總量，而且分子、分母位置不能互換

強(qiáng)度相對(duì)指標(biāo)分子和分母分屬兩個(gè)不同總體的總量指標(biāo)，且分子分母位置顛倒有意義，它有正、逆指標(biāo)之分第8頁，共72頁，2023年，2月20日，星期四2.簡單算術(shù)平均數(shù)

將各單位的標(biāo)志值xi直接相加得出標(biāo)志總量，再除以總體單位數(shù)n，就得到簡單算術(shù)平均數(shù)。用公式表示為式中：X—算術(shù)平均數(shù)；X1，X2，…，Xn—總體各單位標(biāo)志值；n—總體單位數(shù)；∑—總和符號(hào)。第9頁，共72頁，2023年，2月20日，星期四【實(shí)例5.1】一個(gè)公司有5個(gè)部門，每個(gè)部門員工數(shù)分別為：24，13，19，26和11，求平均每部門的人數(shù)。解：平均人數(shù)=

=

=18.6（人）第10頁，共72頁，2023年，2月20日，星期四3.加權(quán)算術(shù)平均數(shù)

如果調(diào)查所得的原始資料已經(jīng)經(jīng)過分組整理，形成了變量數(shù)列，則計(jì)算算術(shù)平均數(shù)要采用加權(quán)算術(shù)平均數(shù)的方法。第11頁，共72頁，2023年，2月20日，星期四計(jì)算過程是：將各組的變量值與各組的單位數(shù)相乘，計(jì)算出各組標(biāo)志總量，各組標(biāo)志總量匯總得出總體標(biāo)志總量，然后除以各組單位數(shù)之和即總體單位總量，得到平均數(shù)計(jì)算公式為第12頁，共72頁，2023年，2月20日，星期四【實(shí)例5.2】服裝商店要銷售100件毛衣，其中20件大號(hào)毛衣，每件200元，50件中號(hào)毛衣，每件190元，30件小號(hào)毛衣，每件180元。計(jì)算每件毛衣平均價(jià)格。解：根據(jù)題意，可列出計(jì)算表如下

銷售價(jià)格（元）200190180合計(jì)件數(shù)205030100銷售總價(jià)值（元）40009500540018900===189（元）

第13頁，共72頁，2023年，2月20日，星期四++=【說明】10當(dāng)權(quán)數(shù)相等時(shí)，加權(quán)算術(shù)平均數(shù)簡單算術(shù)平均數(shù)===10030*18050*19020*200++20權(quán)數(shù)不但可以用次數(shù)、頻數(shù)（即總體各組單位數(shù)）這種絕對(duì)數(shù)表示，還可以用比重、頻率這種相對(duì)數(shù)表示。此時(shí)，加權(quán)算術(shù)平均數(shù)公式可以演化為：第14頁，共72頁，2023年，2月20日，星期四加權(quán)算術(shù)平均數(shù)的特征加權(quán)算術(shù)平均數(shù)受兩個(gè)因素的影響：①變量值的大??；②權(quán)數(shù)的結(jié)構(gòu)。權(quán)數(shù)有絕對(duì)數(shù)權(quán)數(shù)和相對(duì)數(shù)權(quán)數(shù)兩種。絕對(duì)數(shù)權(quán)數(shù)就是變量值個(gè)數(shù)以絕對(duì)數(shù)形式表示，即次數(shù)或頻數(shù)；相對(duì)數(shù)權(quán)數(shù)則是變量值個(gè)數(shù)以相對(duì)數(shù)形式表示，即頻率。第15頁，共72頁，2023年，2月20日，星期四在計(jì)算加權(quán)算術(shù)平均數(shù)時(shí)，還會(huì)遇到權(quán)數(shù)的選擇問題。選擇權(quán)數(shù)的原則是，務(wù)必使各組的標(biāo)志值與其乘積等于各組的標(biāo)志總量，并且具有實(shí)際經(jīng)濟(jì)意義。在分配數(shù)列條件下，一般來說，次數(shù)就是權(quán)數(shù)。但也有例外，特別是用相對(duì)數(shù)或平均數(shù)計(jì)算加權(quán)算術(shù)平均數(shù)時(shí)，要特別注意。第16頁，共72頁，2023年，2月20日，星期四問題2：十元錢買3千克蔬菜，平均每千克多少錢？單價(jià)=總金額/總重量=10/3≈3.33問題1：每千克蔬菜價(jià)格為1.8元，1元錢能買多少千克蔬菜？總重量=總金額/單價(jià)=1/1.8元

【例5.5】3個(gè)蔬菜超市銷售同一種蔬菜，但價(jià)格不同，每千克價(jià)格分別為1.8元，2元，2.3元。若在3個(gè)超市各買1元錢的這種蔬菜，則蔬菜的平均為多少價(jià)格5.2.2調(diào)和平均數(shù)

第17頁，共72頁，2023年，2月20日，星期四是各個(gè)標(biāo)志值倒數(shù)的算術(shù)平均數(shù)的倒數(shù)，故又稱為倒數(shù)平均數(shù)1.簡單調(diào)和平均數(shù)

各個(gè)標(biāo)志值倒數(shù)的簡單算術(shù)平均數(shù)的倒數(shù)。其計(jì)算公式為

第18頁，共72頁，2023年，2月20日，星期四2.加權(quán)調(diào)和平均數(shù)

加權(quán)調(diào)和平均數(shù)是各個(gè)標(biāo)志值倒數(shù)的加權(quán)算術(shù)平均數(shù)的倒數(shù)其計(jì)算公式為

第19頁，共72頁，2023年，2月20日，星期四【例5.6】學(xué)校食堂購進(jìn)某種蔬菜，相關(guān)資料如表5.5所示，求蔬菜的平均價(jià)格。表5.5蔬菜價(jià)格資料及其計(jì)算表購買地點(diǎn)甲超市乙超市丙超市合計(jì)價(jià)格X（元/千克）1.822.3-購買金額m（元）20151045購買量m/x（千克）11.117.54.3522.96解：第20頁，共72頁，2023年，2月20日，星期四調(diào)和平均數(shù)與算術(shù)平均數(shù)在計(jì)算上是相通的，但各自適合不同的資料。在實(shí)際中，一般采用下列步驟進(jìn)行計(jì)算。⑸將數(shù)值代入公式，計(jì)算得答案。

⑴先在給出的材料中找出。方法是“求誰的平均數(shù)誰就是”

⑵確定權(quán)數(shù)為還是為。方法是分配數(shù)列中的這欄數(shù)值若與相乘有意義，則為，若與相除有意義，則為

⑶寫出計(jì)算公式。如何寫？若權(quán)數(shù)定為，寫公式，即采用算術(shù)平均數(shù)，若權(quán)數(shù)定為，則寫公式，即采用調(diào)和平均數(shù)

⑷延展計(jì)算表。根據(jù)寫出的公式，需要什么內(nèi)容就在表格中列出什么。例如，若采用的是算術(shù)平均數(shù)公式，則表格中列出計(jì)算，若采用的是調(diào)和平均數(shù)公式，則表格中列出計(jì)算練習(xí)P125T3第21頁，共72頁，2023年，2月20日，星期四【練習(xí)】學(xué)校食堂兩次購進(jìn)某種蔬菜，相關(guān)資料如下表所示，求蔬菜的平均價(jià)格。表1蔬菜價(jià)格資料及其計(jì)算表購買地點(diǎn)甲超市乙超市丙超市合計(jì)價(jià)格（元/千克）1.822.3-購買金額（元）20151045購買量m/x（千克）11.117.54.3522.96表2蔬菜價(jià)格資料及其計(jì)算表購買地點(diǎn)甲超市乙超市丙超市合計(jì)價(jià)格（元/千克）1.822.3-購買量（元）20151045購買量xf（千克）30302580xxm

f第22頁，共72頁，2023年，2月20日，星期四5.2.3幾何平均數(shù)

幾何平均數(shù)是若干項(xiàng)變量值的連乘積開若干次項(xiàng)數(shù)的方根。它是計(jì)算平均數(shù)的另一種形式。它主要用于計(jì)算比率或速度的平均。當(dāng)所掌握的變量值本身是比率的形式，而且各比率的乘積等于總的比率時(shí)，就應(yīng)采用幾何平均法計(jì)算平均比率。根據(jù)所掌握的資料不同，幾何平均數(shù)分為簡單幾何平均數(shù)和加權(quán)幾何平均數(shù)

第23頁，共72頁，2023年，2月20日，星期四

1.簡單幾何平均數(shù)簡單幾何平均數(shù)是n個(gè)變量值連乘積的n次方根。式中：(Xi—數(shù)列中第i個(gè)變量值(i=1，2，…，n)n—變量值個(gè)數(shù)∏—連乘符號(hào))第24頁，共72頁，2023年，2月20日，星期四【實(shí)例】產(chǎn)品的生產(chǎn)往往需要幾道生產(chǎn)工序，只有在第一道工序合格的產(chǎn)品才能進(jìn)入第二道工序?，F(xiàn)已知紡織廠紡紗車間產(chǎn)品合格率為91%，織布車間產(chǎn)品合格率為89%，印染車間產(chǎn)品合格率為87%，求三個(gè)車間平均產(chǎn)品合格率。解：由于后續(xù)車間的合格率是在前一車間產(chǎn)品合格基礎(chǔ)上計(jì)算的，所以全廠產(chǎn)品的總合格率并不等于各車間產(chǎn)品合格率的總和，而是各車間產(chǎn)品合格率的連乘積，因此要采用幾何平均法計(jì)算各車間產(chǎn)品平均合格率。即產(chǎn)品平均合格率第25頁，共72頁，2023年，2月20日，星期四

2.加權(quán)幾何平均數(shù)與算術(shù)平均數(shù)一樣，當(dāng)資料已經(jīng)經(jīng)過整理，則應(yīng)以各變量值出現(xiàn)的次數(shù)為權(quán)數(shù)，計(jì)算加權(quán)幾何平均數(shù)。其計(jì)算公式為：

【實(shí)例】一條產(chǎn)品流水線由12道工序組成，其中，合格率為98%的有2道工序，合格率為96%的有5道工序，合格率為92%的有3道工序，合格率為89%的有2道工序。求產(chǎn)品總平均合格率。解：產(chǎn)品總平均合格率為：

【練習(xí)】P124T四3、4第26頁，共72頁，2023年，2月20日，星期四5.3位置平均數(shù)

數(shù)值平均數(shù)都是根據(jù)標(biāo)志值計(jì)算得到的，而位置平均數(shù)是根據(jù)總體各單位標(biāo)志值所處的位置確定的。位置平均數(shù)主要包括眾數(shù)、中位數(shù)和四分位數(shù)。

5.3.1眾數(shù)

1.眾數(shù)mode的意義

指總體中出現(xiàn)次數(shù)最多的標(biāo)志值，是總體各單位一般水平的代表值，反映現(xiàn)象的集中趨勢。用表示。眾數(shù)可能不存在或不惟一

鞋的號(hào)碼大小，不需要全面登記所有鞋碼進(jìn)行平均，只用生活中最普遍的、成交量最大的尺碼，即眾數(shù)，它反映了人們一般的需求。第27頁，共72頁，2023年，2月20日，星期四2.眾數(shù)的確定

⑴由未分組資料確定眾數(shù)在資料未分組情況下，眾數(shù)的確定很簡單。只需找出次數(shù)最多的標(biāo)志值即可。例如，一組學(xué)生年齡分別為18，19，19，20，20，20，20，22。則眾數(shù)為20。若學(xué)生年齡為：18，19，19，19，20，20，20，22，則有雙眾數(shù)，分別是19、20。若學(xué)生年齡為：16，17，18，19，20，21，22，23，則不存在眾數(shù)。

第28頁，共72頁，2023年，2月20日，星期四⑵由單項(xiàng)式數(shù)列確定眾數(shù)

由單項(xiàng)式變量數(shù)列確定眾數(shù)，可直接觀察次數(shù)，出現(xiàn)次數(shù)最多的標(biāo)志值就是眾數(shù)。第29頁，共72頁，2023年，2月20日，星期四（2）由單項(xiàng)式數(shù)列確定眾數(shù)。在單項(xiàng)數(shù)列情況下，次數(shù)最多的組的標(biāo)志值便是眾數(shù)，表5.6所示。表5.6某商場銷售成年女鞋資料表女鞋號(hào)碼(碼）銷售量（百雙）

351.1362375382.1390.6400.2

合計(jì)10.9

從表5.6中可以看出，出現(xiàn)次數(shù)最多（5百雙）的變量值是37碼的鞋，因此，37碼就是該商場女鞋銷售的眾數(shù)。第30頁，共72頁，2023年，2月20日，星期四⑶由組距數(shù)列確定眾數(shù)由組距數(shù)列確定眾數(shù)，首先要由最多次數(shù)來確定眾數(shù)所在組，然后再用比例插值法計(jì)算眾數(shù)。第31頁，共72頁，2023年，2月20日，星期四下限公式：

上限公式：

式中：(M0—眾數(shù)；L—眾數(shù)組的下限；U—眾數(shù)組的上限；△1—眾數(shù)組次數(shù)與前一組次數(shù)之差；△2—眾數(shù)組次數(shù)與后一組次數(shù)之差；d—眾數(shù)組組距。)第32頁，共72頁，2023年，2月20日，星期四【例5.9】某班30名大學(xué)生的體重資料如表5.7所示，求30名大學(xué)生表5.7某班30名大學(xué)生的體重資料體重（千克）人數(shù)（人）44～48248～52352～56656～601060～64764～682合計(jì)30【練習(xí)】P125T5(1)第33頁，共72頁，2023年，2月20日，星期四3.眾數(shù)的特點(diǎn)及應(yīng)用⑴眾數(shù)是根據(jù)變量值出現(xiàn)的次數(shù)確定的，而不是通過所有變量值計(jì)算得到的，所以，眾數(shù)不受到極端變量值的影響。眾數(shù)的這一特點(diǎn)，是數(shù)值平均數(shù)所不具備的。在實(shí)際工作中，眾數(shù)用得最多的是具有明顯偏態(tài)集中趨勢的次數(shù)分配。例如，按照統(tǒng)計(jì)國際慣例，對(duì)家庭收入分配數(shù)列，工人周工資分配數(shù)列，某種債券息票率分組的行情次數(shù)等進(jìn)行的分析，都采用出現(xiàn)次數(shù)最多的眾數(shù)，得到“最普通的家庭收入額”，“最普通的工人周工資金額”，“最常見的外匯率、息票率”等。

第34頁，共72頁，2023年，2月20日，星期四⑵眾數(shù)是出現(xiàn)次數(shù)最多的變量值，如果數(shù)據(jù)分布沒有明顯集中趨勢，眾數(shù)可能不存在；如果有兩個(gè)最高次數(shù)，也可以有兩個(gè)眾數(shù)（bimodal）。只有在總體單位比較多，而且又明顯地集中于某個(gè)變量值時(shí)，計(jì)算眾數(shù)才有意義。⑶眾數(shù)主要用于測度定類數(shù)據(jù)的集中趨勢，當(dāng)然也適用于作為定序數(shù)據(jù)以及定距和定比數(shù)據(jù)集中趨勢的測度值。眾數(shù)是惟一一個(gè)能用在名詞數(shù)據(jù)上的平均數(shù)。例如，一項(xiàng)對(duì)大學(xué)生的研究包括了10個(gè)心理學(xué)專業(yè)的學(xué)生，20個(gè)英語專業(yè)的學(xué)生和6個(gè)管理專業(yè)的學(xué)生。我們無法計(jì)算這些專業(yè)的平均數(shù)，但我們可以指出眾數(shù)是英語專業(yè)，因?yàn)樗浅霈F(xiàn)次數(shù)最多的專業(yè)。在這里，“英語專業(yè)”是定類數(shù)據(jù)的集中趨勢。

第35頁，共72頁，2023年，2月20日，星期四5.3.2中位數(shù)1.中位數(shù)median的意義將現(xiàn)象總體中各單位的標(biāo)志值按大小順序排列，位于中間位置的那個(gè)標(biāo)志值就是中位數(shù)。通常用Me表示。中位數(shù)將全部標(biāo)志值分成兩半，一半小于中位數(shù)，一半大于中位數(shù)，所以中位數(shù)又稱為二分位數(shù)。在實(shí)際工作中，有許多場合，用中位數(shù)來表示現(xiàn)象的一般水平。例如，在研究居民收入水平時(shí)，以居民收入中位數(shù)來代表居民收入水平比采用算術(shù)平均數(shù)進(jìn)行計(jì)算更科學(xué)。第36頁，共72頁，2023年，2月20日，星期四

2.中位數(shù)的確定

⑴由未分組資料確定中位數(shù)在數(shù)據(jù)量不大的情況下，確定中位數(shù)的步驟是：①先對(duì)變量值由小到大順序排列；②根據(jù)中位數(shù)位置找出中位數(shù)。當(dāng)項(xiàng)數(shù)n為奇數(shù)，則居于(n+1)/2位置的那個(gè)變量值就是中位數(shù)；當(dāng)項(xiàng)數(shù)為偶數(shù)時(shí)，位于中間位置的第(n/2)項(xiàng)和第(n/2)+1項(xiàng)的兩個(gè)變量值的算術(shù)平均數(shù)就是中位數(shù)。第37頁，共72頁，2023年，2月20日，星期四⑵由單項(xiàng)式數(shù)列確定中位數(shù)

當(dāng)數(shù)據(jù)量較大時(shí)，資料常以分組數(shù)列的形式出現(xiàn)，如果是單項(xiàng)式變量數(shù)列，則確定中位數(shù)的步驟是；計(jì)算累計(jì)次數(shù)，累計(jì)次數(shù)第一次超過(∑f+1）/2的那一組即為中位數(shù)所在組；與該組對(duì)應(yīng)的標(biāo)志值即為中位數(shù)。其中∑f為總次數(shù)。

⑶由組距式數(shù)列確定中位數(shù)由組距數(shù)列確定中位數(shù)，應(yīng)先找出中位數(shù)所在組，累計(jì)次數(shù)第一次超過(∑f+1）/2的那一組即為中位數(shù)所在組，然后再用比例插值法計(jì)算中位數(shù)的值?！纠?.10】P108第38頁，共72頁，2023年，2月20日，星期四

下限公式：

上限公式：

式中：(Me—中位數(shù)；L—中位數(shù)組的下限；U—中位數(shù)組的上限；fm—中位數(shù)組的次數(shù)；∑f—總次數(shù)即總體單位數(shù)；Sm-1—中位數(shù)組前各組的次數(shù)之和；Sm+1—中位數(shù)組后各組的次數(shù)之和；d—中位數(shù)組的組距。)【例5.11】P109第39頁，共72頁，2023年，2月20日，星期四3.中位數(shù)的特點(diǎn)及應(yīng)用

⑴中位數(shù)是一種位置平均數(shù)，其大小取決于它在序列中的位置，因此它不受極端數(shù)值的影響。當(dāng)存在極端數(shù)值時(shí)，中位數(shù)能比數(shù)值平均數(shù)更好地代表數(shù)據(jù)分布的一般水平。

⑵中位數(shù)處于中間位置，有一半數(shù)值小于中位數(shù)，另有一半數(shù)值大于中位數(shù)，所以，它能表明數(shù)字資料的集中趨勢。第40頁，共72頁，2023年，2月20日，星期四因?yàn)?，人口的年齡分配不是中間高、兩邊低的分配形態(tài)，而是J字型的分配形態(tài)。嬰兒0-1歲人數(shù)最多，隨著年齡增大，人數(shù)逐漸減少，到百歲左右，所剩人數(shù)很少。在實(shí)際工作中，中位數(shù)用得較多的是測定人口年齡分配的平均年齡數(shù)。按照統(tǒng)計(jì)國際慣例，各國政府統(tǒng)計(jì)工作對(duì)年齡分組采用中位數(shù)，而不用算術(shù)平均數(shù)。若計(jì)算算術(shù)平均數(shù)，則會(huì)由于老人歲數(shù)很大的影響，使得算術(shù)平均年齡偏大，而與實(shí)際情況不符。第41頁，共72頁，2023年，2月20日，星期四

⑶中位數(shù)主要用于測度定序數(shù)據(jù)的集中趨勢，當(dāng)然也適用于定距數(shù)距和定比數(shù)據(jù)的集中趨勢，但不適用于定類數(shù)據(jù)第42頁，共72頁，2023年，2月20日，星期四4.四分位數(shù)

中位數(shù)是從中間點(diǎn)將全部數(shù)據(jù)等分為2部分，它也稱二分位數(shù)。同樣，可通過三個(gè)數(shù)值，將全部標(biāo)志值分割成為四個(gè)相等部分。其中每部分包含25%的數(shù)據(jù)，處在分位點(diǎn)上的這三個(gè)分割的數(shù)值就是四分位數(shù)。分別記為Q1、Q2、和Q3。很顯然，中間的四分位數(shù)就是中位數(shù)，因此通常所說的四分位數(shù)是指第一個(gè)四分位數(shù)Q1和第三個(gè)四分位數(shù)Q3。

四分位數(shù)的確定方法與中位數(shù)類似。也要分為兩種情況，即未分組資料和分組資料。對(duì)于未分組資料，首先將數(shù)據(jù)按大小順序排序，然后計(jì)算分位數(shù)所在的位置，最后確定相關(guān)的四分位數(shù)。

第43頁，共72頁，2023年，2月20日，星期四排序后處于25%和75%位置上的值不受極端值的影響主要用于順序數(shù)據(jù)，也可用于數(shù)值型數(shù)據(jù)，但不能用于分類數(shù)據(jù)Q1Q2Q325%25%25%25%第44頁，共72頁，2023年，2月20日，星期四四分位數(shù)

(位置的確定)?????íì+=+=4)1(34131nQnQ位置位置第45頁，共72頁，2023年，2月20日，星期四四分位數(shù)

(9個(gè)數(shù)據(jù)的算例)【例】：9個(gè)家庭的人均月收入數(shù)據(jù)原始數(shù)據(jù):15007507801080850960200012501630排序:75078085096010801250150016302000位置:123456789第46頁，共72頁，2023年，2月20日，星期四四分位數(shù)

(10個(gè)數(shù)據(jù)的算例)【例】：10個(gè)家庭的人均月收入數(shù)據(jù)排序:660

75078085096010801250150016302000位置:1234

5678910距離越近，權(quán)數(shù)越大，距離越遠(yuǎn)，權(quán)數(shù)越小，距離之和等于1第47頁，共72頁，2023年，2月20日，星期四5.3.4應(yīng)用平均指標(biāo)要注意的問題

1.平均指標(biāo)必須應(yīng)用于同質(zhì)總體2.平均指標(biāo)應(yīng)與分配數(shù)列相結(jié)合

由于平均指標(biāo)將各單位標(biāo)志值的差異抽象化了，反映的是總體各單位該標(biāo)志值的一般水平，因而掩蓋了總體各單位的差異及其分配情況，有時(shí)這種差異是不能被忽視的。有如下兩個(gè)班組工人的日產(chǎn)量資料。第48頁，共72頁，2023年，2月20日，星期四

3.平均指標(biāo)要與分組法相結(jié)合

為什么反而大呢第49頁，共72頁，2023年，2月20日，星期四5.4標(biāo)志變異指標(biāo)僅用集中趨勢指標(biāo)來描述現(xiàn)象的特征是不夠的

例如，在一次知識(shí)競賽中，男、女兩參賽代表隊(duì)成績資料如下：男代表隊(duì)：51，65，69，75，81，87，94，95，96，97女代表隊(duì)：74，76，78，79，82，82，83，84，86，86

兩參賽代表隊(duì)的平均分?jǐn)?shù)都是81分，但兩隊(duì)成績的分散程度卻不同。女代表隊(duì)的成績比較集中、整齊，即變異較小，從而平均數(shù)81分的代表性較好；男代表隊(duì)的成績比較分散，參差不齊，變動(dòng)較大，用平均分81分做代表，代表性較低。平均指標(biāo)在反映總體分布一般水平的同時(shí)，掩蓋了各標(biāo)志值的差異性，標(biāo)志變異指標(biāo)能彌補(bǔ)這方面的不足第50頁，共72頁，2023年，2月20日，星期四5.4.1標(biāo)志變異指標(biāo)的意義和作用1.標(biāo)志變異指標(biāo)variabilityindicator的意義

是反映總體各單位標(biāo)志值差異程度的綜合指標(biāo)，又稱為標(biāo)志變動(dòng)度。是和平均指標(biāo)相聯(lián)系的一種綜合指標(biāo)平均指標(biāo)將總體各單位標(biāo)志值的差異抽象化，從一個(gè)側(cè)面反映總體各單位標(biāo)志值的集中趨勢和程度標(biāo)志變異指標(biāo)則從另一個(gè)側(cè)面反映總體各單位標(biāo)志值的差別大小、變動(dòng)范圍和離散程度平均指標(biāo)與標(biāo)志變異指標(biāo)分別反映同一總體在數(shù)量上的集中趨勢與離散趨勢第51頁，共72頁，2023年，2月20日，星期四2.標(biāo)志變異指標(biāo)的作用

⑴標(biāo)志變異指標(biāo)能夠反映平均數(shù)代表性的大小

平均指標(biāo)作為總體各單位標(biāo)志值一般水平的代表性指標(biāo)，其代表性的大小與標(biāo)志變異指標(biāo)大小成反比。標(biāo)志變異指標(biāo)越大，平均數(shù)的代表性越??；標(biāo)志變異指標(biāo)越小，平均數(shù)的代表性越大第52頁，共72頁，2023年，2月20日，星期四

⑵標(biāo)志變異指標(biāo)可以說明現(xiàn)象變動(dòng)的均衡性、穩(wěn)定性和節(jié)奏性標(biāo)志變異指標(biāo)越大，說明標(biāo)志值之間的差異程度大，則反映總體均衡性、穩(wěn)定性差，節(jié)奏感不強(qiáng)；標(biāo)志變異指標(biāo)越小，說明標(biāo)志值之間的差異程度小，則反映總體均衡性、穩(wěn)定性好，節(jié)奏感強(qiáng)。企業(yè)為進(jìn)行產(chǎn)品質(zhì)量控制和實(shí)施全面質(zhì)量管理，在考核生產(chǎn)計(jì)劃執(zhí)行情況時(shí)，除了計(jì)算平均完成程度外，還研究計(jì)劃執(zhí)行的均衡性和節(jié)奏性第53頁，共72頁，2023年，2月20日，星期四⑶標(biāo)志變異指標(biāo)可以用來確定統(tǒng)計(jì)推斷的準(zhǔn)確程度

在抽樣調(diào)查中，利用樣本指標(biāo)來推斷總體指標(biāo)時(shí)，標(biāo)志變異指標(biāo)數(shù)值的大小是確定統(tǒng)計(jì)推斷準(zhǔn)確程度及計(jì)算誤差大小不可缺少的重要資料。具體內(nèi)容將在“抽樣推斷”一章中詳述

第54頁，共72頁，2023年，2月20日，星期四5.4.2標(biāo)志變異指標(biāo)的計(jì)算及特點(diǎn)1.全距range

是指總體各單位標(biāo)志值中最大數(shù)值與最小數(shù)值之差，又稱極差。用“R”表示。它表明各個(gè)數(shù)值之間最大可能的差距，是一種測量標(biāo)志變動(dòng)度的最簡方法。

對(duì)于未分組資料或單項(xiàng)數(shù)列資料，R=最大標(biāo)志值—最小標(biāo)志值

對(duì)于組距數(shù)列資料，R最高組的上限—最低組的下限P114例5.17第55頁，共72頁，2023年，2月20日，星期四全距主要用來說明總體各單位標(biāo)志值變動(dòng)總范圍。全距是一個(gè)較粗糙的測定標(biāo)志變動(dòng)度的指標(biāo)全距越大，各標(biāo)志值變動(dòng)范圍越大，平均數(shù)代表性較差；全距越小，各標(biāo)志值變動(dòng)范圍越小，平均數(shù)代表性就好；全距為0時(shí)，平均數(shù)的代表性最好。第56頁，共72頁，2023年，2月20日，星期四優(yōu)點(diǎn)是計(jì)算方法簡單，意義明確。全距經(jīng)常用于檢查產(chǎn)品質(zhì)量的穩(wěn)定性或進(jìn)行產(chǎn)品質(zhì)量控制。世界一些國家在提供證券市場行情時(shí)，廣泛應(yīng)用最高價(jià)、最低價(jià)和全距

缺點(diǎn)是易受極端數(shù)值的影響，它只能反映最大值和最小值之間的差距，而不能反映其內(nèi)部各項(xiàng)數(shù)值的差異狀況。當(dāng)標(biāo)志值有異常值存在時(shí)，會(huì)直接影響全距大小，使得全距不能充分反映總體分布的離散趨勢

第57頁，共72頁，2023年，2月20日，星期四2.四分位數(shù)間距interquartilerange

是將總體各單位標(biāo)志值按一定順序排列后，第三個(gè)四分位數(shù)與第一個(gè)四分位數(shù)之差。用“IQR”表示。IQR=Q3

—Q1第三個(gè)四分位數(shù)是處于中位數(shù)和最大數(shù)值中間的數(shù)值，第二個(gè)四分位數(shù)即中位數(shù)，第一個(gè)四分位數(shù)是處于中位數(shù)和最小數(shù)值中間的數(shù)值。四分位數(shù)間距先將數(shù)列一分為四，并略去最大與最小那一組的數(shù)值，然后再計(jì)算余下數(shù)值的全距。四分位數(shù)間距所包含的數(shù)值項(xiàng)數(shù)剛好是全部項(xiàng)數(shù)的一半

Q1Q2Q325%25%25%25%P114例5.18第58頁，共72頁，2023年，2月20日，星期四四分位數(shù)間距優(yōu)點(diǎn)是克服了全距受極端數(shù)值影響的缺點(diǎn)，計(jì)算簡便。在實(shí)際工作中，當(dāng)人們對(duì)極端數(shù)值不感興趣，而對(duì)處于當(dāng)中部分的單位特征更在意時(shí)，常使用四分位數(shù)間距。例如，在房地產(chǎn)行業(yè)中，用四分位數(shù)間距描述購房者中間的一半人，他們所購房屋價(jià)格的跨度。但是四分位數(shù)間距仍然不能反映總體內(nèi)部各項(xiàng)標(biāo)志值的差異狀況，所以，它也是一個(gè)較粗糙的測定標(biāo)志變動(dòng)度的指標(biāo)。第59頁，共72頁，2023年，2月20日，星期四

3.平均差meanabsolutedeviation

是總體各單位標(biāo)志值與其算術(shù)平均數(shù)離差絕對(duì)值的算術(shù)平均數(shù)，用符號(hào)“MAD”表示。平均差表示總體分布中，各標(biāo)志值對(duì)算術(shù)平均數(shù)的平均距離。平均差越大，說明各標(biāo)志值差異程度越大，平均數(shù)代表性越差；平均差越小，說明各標(biāo)志值差異程度越小，平均數(shù)代表性越好。根據(jù)所掌握資料不同，平均差可分為簡單平均差和加權(quán)平均差兩種第60頁，共72頁，2023年，2月20日，星期四簡單平均差：

（未分組資料ungrouped）

加權(quán)平均差：

（分組資料grouped）P116例5.19、例5.20第61頁，共72頁，2023年，2月20日，星期四平均差是根據(jù)全部標(biāo)志值計(jì)算出來的，反映了每個(gè)標(biāo)志值與平均數(shù)的平均離散程度，與全距相比，受極端數(shù)值的影響較小，是比全距更優(yōu)良的標(biāo)志變異指標(biāo)。在統(tǒng)計(jì)實(shí)踐中，一般在產(chǎn)品質(zhì)量控制分析中應(yīng)用平均差。但計(jì)算平均差時(shí)，須對(duì)離差取絕對(duì)值，這給平均差的代數(shù)運(yùn)算帶來了許多不便，從而使其應(yīng)用受到了限制。平均差并不是測定總體離散趨勢的最好方法，在實(shí)際中，最常用的標(biāo)志變異指標(biāo)是標(biāo)準(zhǔn)差。第62頁，共72頁，2023年，2月20日，星期四4.標(biāo)準(zhǔn)差standarddeviation

是總體各單位標(biāo)志值與其算術(shù)平均數(shù)離差平方的算術(shù)平均數(shù)的平方根。又稱為均方差，用“

”表示。標(biāo)準(zhǔn)差的平方稱為方差（variance），用“

”表示。標(biāo)準(zhǔn)差是標(biāo)志變異指標(biāo)中最重要，最常用的指標(biāo)。標(biāo)準(zhǔn)差的實(shí)質(zhì)與平均差基本相同，也表示各個(gè)標(biāo)志值與平均數(shù)的平均離散程度。由于標(biāo)準(zhǔn)差采用平方而不是加絕對(duì)值的方法，來消除各標(biāo)志值與算術(shù)平均數(shù)離差的正負(fù)號(hào)，因此它的應(yīng)用比平均差更廣泛。第63頁，共72頁，2023年，2月20日，星期四根據(jù)所掌握資料不同，標(biāo)準(zhǔn)差可分為簡單標(biāo)準(zhǔn)差和加權(quán)標(biāo)準(zhǔn)差兩種。

簡單標(biāo)準(zhǔn)差：

（未分組資料ungrouped）

加權(quán)標(biāo)準(zhǔn)差：

（分組資料grouped）第64頁，共72頁，2023年，2月20日，星期四【例5.21】根據(jù)例5.19資料計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)差例5.21是在資料未分組情況下的簡單標(biāo)準(zhǔn)差的計(jì)算。當(dāng)資料分組時(shí)，算術(shù)平均數(shù)與標(biāo)差的計(jì)算均須采用加權(quán)平均法。第65頁，共72頁，2023年，2月20日，星期四【例5.22】某地區(qū)