初中數(shù)學中考復習 專題12 最短路徑-阿氏圓（PA+k·PB型）定圓型軌跡問題探究-備戰(zhàn)2020年中考數(shù)學壓軸題專題研究

專題十二：最短路徑——阿氏圓（PA+k·PB型）定圓型軌跡問題探究知識精講在平面上，到線段兩端距離相等的點，在線段的垂直平分線上，即對于平面內的定點A、B，若平面內有一動點P滿足PA:PB＝1，則P點軌跡為一條直線（即線段AB的垂直平分線），如果這個比例不為1，P點的軌跡又會是什么呢？兩千多年前的阿波羅尼斯在其著作《平面軌跡》一書中，便已經回答了這個問題。接下來，讓我們站在巨人的肩膀上，一起探究PA：PB＝k（k≠1）時P點的軌跡。對于平面內的定點A、B，若在平面內有一動點P且P滿足PA：PB＝k（k≠1），則動點P的軌跡就是一個圓，這個圓被稱為阿波羅尼斯圓，簡稱“阿氏圓”，如圖所示：幾何“PA+k·PB”型的最值問題．如圖2所示，⊙O的半徑為r，點A，B都在圓外，P為⊙O上的動點，已知r=k·OB，連接PA，PB，則當“PA+k·PB”的值最小時，P點的位置如何確定?如圖3所示，在線段OB上截取OC使OC=k·r，則可說明△BPO∽△PCO，即k·PB=PC．因此，求“PA+k·PB”的最小值轉化為求“PA+PC”的最小值，即A，P，C三點共線時最小(如圖4所示)．圖2圖3圖4專題導例1.如圖，已知正方形ABCD的邊長為2，以點A為圓心，1為半徑作圓，E是⊙A上的任意一點，將點E繞點D按逆時針方向旋轉90°得到點F，則線段AF的長的最小值．方法點睛“阿氏圓”解題一般步驟:(1)連接動點P至圓心O(將系數(shù)不為1的線段的兩個端點分別與圓心相連接)，即連接OP，OB;(2)計算出所連接的這兩條線段OP，OB的長度;(3)計算這兩條線段長度的比;(4)在OB上取點C，使得，即:半徑的平方=原有的線段×構造線段;(5)連接AC與圓O的交點即為點P．要點：如圖5，構造△PAB∽△CAP，得到PA2=AB·AC，即：半徑的平方=原有線段×構造線段口決：路徑成最短，折線變直線導例答案：22-1．典例精講類型一：圓中的阿氏圓問題例1如圖，已知AC＝6，BC＝8，AB＝10，⊙C的半徑為4，點D是⊙C上的動點，連接AD，連接AD、BD，則的最小值為.方法一：阿氏圓模型對比一下這個題目的條件，P點軌跡是圓，A是定點，我們需要找出另一個定點M使得PM:PA=1:2，這就是把“阿氏圓”的條件與結論互換了一下；而且這種問題里，給定的圓的位置、定點A的位置、線段的比例等，往往都是搭配好的！P點軌跡圓的圓心C點和A點在直線AC上，故所求M點在AC邊上，考慮到PM：PA=1:2，不妨讓P點與D點重合，此時DM==1，即可確定M點位置．如果對這個結果不是很放心，不妨再取個特殊的位置檢驗一下，如下圖，此時PM=3，PA=6，亦滿足PM:PA=1:2．方法二:構造相似三角形注意到圓C半徑為2，CA=4，連接CP，構造包含線段AP的△CPA，在CA邊上取點M使得CM=2，連接PM，可得△CPA∽△CMP，故PA：PM=2:1，即PM=．問題轉化為PM+PB最小值，直接連BM即可．【問題剖析】（1）這里為什么是？答：因為圓C半徑為2，CA=4，比值是1:2，所以構造的是，也只能構造．（2）如果問題設計為PA+kPB最小值，k應為多少？答：根據(jù)圓C半徑與CB之比為2:3，k應為．類型二：與拋物線有關的阿氏圓問題例2．如圖，頂點為C的拋物線y=ax2+bx（a＞0）經過點A和x軸正半軸上的點B，連接OC，OA，AB，已知OA=OB=2，∠AOB=120°．（1）求這條拋物線的解析式；（2）過點C作CE⊥OB，垂足為E，點P為y軸上的動點，若以O，C，P為頂點的三角形與△AOE相似，求點P的坐標；（3）若將（2）的線段OE繞點O逆時針旋轉得到OE′，旋轉角為α（0°＜α＜120°），連接E′A，E′B，求E′A+12E′B【分析】（1）根據(jù)AO=OB=2，∠AOB=120°，求出A點坐標，以及B點坐標，進而利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式；（2）∠EOC=30°，由OA=2OE，OC=233，推出當OP=12OC或OP′=2OC時，△POC與（3）如圖，取Q（12，0）．連接AQ，QE′．由△OE′Q∽△OBE′，推出QE'BE'=OE'OB，推出E′Q=12BE′，推出AE′+12BE′=AE′+QE′，由AE′+E′Q≥AQ，推出E′A+12E′B專題突破1.如圖，正方形ABCD的邊長為4，圓B的半徑為2，點P是圓B上一動點，則的最小值為，的最大值為.2.如圖，在平面直角坐標系中，A（2，0）、B（0，2）、C（4，0）、D（3，2），P是△AOB外部的第一象限內一動點，且∠BPA＝135o，則2PD＋PC的最小值是.3如圖，已知菱形ABCD的邊長為4，∠B＝60°，⊙B的半徑為2，P為⊙B上一動點，則的最小值為.4.如圖9所示，點A，B在⊙O上，且OA=OB=6，且OA⊥OB，C是OA的中點，點D在OB上，且OD=4，動點P在⊙O上，則PD+2PC的最小值為．5.如圖，拋物線y＝﹣89x2+bx+c（b為常數(shù)）與x軸交于A、C兩點，與y軸交于B點，直線AB的函數(shù)關系式為y＝89x+（1）求該拋物線的函數(shù)關系式與C點坐標；（2）已知點M（m，0）是線段OA上的一個動點，過點M作x軸的垂線l分別與直線AB和拋物線交于D、E兩點，當m為何值時，△BDE恰好是以DE為底邊的等腰三角形？（3）在（2）問條件下，當△BDE恰好是以DE為底邊的等腰三角形時，動點M相應位置記為點M′，將OM′繞原點O順時針旋轉得到ON（旋轉角在0°到90°之間）；①探究：線段OB上是否存在定點P（P不與O、B重合），無論ON如何旋轉，NPNB始終保持不變，若存在，試求出P②試求出此旋轉過程中，（NA+34NB6．如圖1，拋物線y=ax2+（a+3）x+3（a≠0）與x軸交于點A（4，0），與y軸交于點B，在x軸上有一動點E（m，0）（0＜m＜4），過點E作x軸的垂線交直線AB于點N，交拋物線于點P，過點P作PM⊥AB于點M．（1）求a的值和直線AB的函數(shù)表達式；（2）設△PMN的周長為C1，△AEN的周長為C2，若C1C2（3）如圖2，在（2）條件下，將線段OE繞點O逆時針旋轉得到OE′，旋轉角為α（0°＜α＜90°），連接AE′、BE′，求AE′+23BE7.如圖1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CB＝4，CA＝6，⊙C半徑為2，P為圓上一動點，連結AP、BP，求AP＋BP的最小值．（1）嘗試解決：為了解決這個問題，下面給出一種解題思路：如圖2，連接CP，在CB上取點D，使CD＝1，則有＝＝，又∵∠PCD＝∠BCP，∴△PCD∽△BCP．∴＝，∴PD＝BP，∴AP＋BP＝AP＋PD．請你完成余下的思考，并直接寫出答案：AP＋BP的最小值為．（2）自主探索：在“問題提出”的條件不變的情況下，AP＋BP的最小值為．（3）拓展延伸：已知扇形COD中，∠COD＝90°，OC＝6，OA＝3，OB＝5，點P是上一點，求2PA＋PB的最小值．專題十二：最短路徑——阿氏圓（PA+k·PB型）定圓型軌跡問題探究答案例1.連接CD，在BC上取點E，使得CE＝2，連接AE、ED，如圖所示：∵CD＝4，BC＝8，CE＝2，，，∵∠BCD＝∠BCD，∴△CDE∽△CBD，，，∴BD＝2DE，，，根據(jù)兩點之間，線段最短，當點D在AE上時，AD＋DE最小，最小值就是AE的長，，∴∠ACB＝90o，的最小值是.例2．（1）過點A作AH⊥x軸于點H．∵AO=OB=2，∠AOB=120°，∴∠AOH=60°．∴OH=1，AH=3．∴A點坐標為（﹣1，3），B點坐標為（2，0）．將兩點代入y=ax2+bx,得a-b=3，4a+2b=0.解得a=33,b=-2（2）如圖，∵C（1，﹣33），∴tan∠EOC=ECOE=33．∴∠POC=90°+30°=120°．∵∠AOE=120°，∴∠AOE=∠POC=120°．∵OA=2OE，OC=233，∴當OP=12OC或OP′=2OC時，△POC與△∴OP=33，OP′=433．∴點P坐標為（0，3（3）如圖，取Q（12，0）．連接AQ，QE∵OE'OB=OQOE'=12，∠QOE′=∠BOE′，∴△OE′Q∴E'QBE'=OE'OB=12．∴E′Q=12BE′．∴AE′+12BE′=∵AE′+E′Q≥AQ，∴E′A+12E′B的最小值就是線段AQ的長，最小值為=212專題突破1.在BC上取一點G，使得BG＝1，連接PG、DG，如圖所示：∵∠PBG＝∠PBC，∴△PBG∽△CBP，，∴，在△PDG中，DP＋PG≥DG，∴當D、G、P共線時，的值最小，最小值為；當點P在DG的延長線時，的值最大，如圖所示：此時最大值也是DG，最大值為5.2.依題意可得OA＝OB＝2，∠BPA＝135o，∴點P的軌跡是以原點為圓心，OA長為半徑的圓O上的劣弧AB，構造圓O，連接OP，在OC上截取OE＝1，連接PE、ED，過點D作DF⊥OC于點F，如圖所示：，∠POC＝∠EOP，∴△POC∽△EOP，，，，當E、P、D三點共線時，PD＋PE的值最小，最小值為DE的值，∵DF⊥OC于點F，則DF＝2，EF＝2，，∴的最小值為2DE.3.在BC上取一點G，使得BG＝1，過點D作DF⊥BC的延長線交于點F，連接DG、BP，如圖所示：∵∠PBG＝∠PBC，∴△PBG∽△CBP，，∴當D、G、P三點共線時，的值最小，最小值為DG，在Rt△CDF中，∠DCF＝60o，CD＝4，，在Rt△GDF中，的最小值為.4.410．提示：如圖，作O關于A的對稱點E，連接ED交圓O于點P．5.（1）在y＝89x+163中，令x＝0，則y＝163，令y＝∴B（0，163），A（﹣6，0），把B（0，163），A（﹣6，0）代入y＝﹣89x2+bx+∴拋物線的函數(shù)關系式為：y＝﹣89x2﹣409x+令y＝0，則0＝﹣89x2﹣409x+163，∴x1＝﹣6，x2＝1，（2）∵點M（m，0），過點M作x軸的垂線l分別與直線AB和拋物線交于D、E兩點，∴D（m，89m+163），當如圖1，作BG⊥DE于G，則EG＝GD＝12ED，GM＝OB＝163，∵DM+DG＝GM＝∴89m+163+12（﹣89m2﹣409m+163﹣8解得：m1＝﹣4，m2＝0（不合題意，舍去），∴當m＝﹣4時，△BDE恰好是以DE為底邊的等腰三角形；（3）①存在，如圖2．∵ON＝OM′＝4，OB＝163∵∠NOP＝∠BON，∴當△NOP∽△BON時，OPON＝NPNB=ONOB＝34，∴NPNB不變，即OP＝3②∵N在以O為圓心，4為半徑的半圓上，由①知，NPNB=ON∴NP＝34NB，∴（NA+34NB）的最小值＝NA+∴此時N，A，P三點共線，∴NA+34NB的最小值＝32+6．如圖，拋物線y=ax2+（a+3）x+3（a≠0）與x軸交于點A（4，0），與y軸交于點B，在x軸上有一動點E（m，0）（0＜m＜4），過點E作x軸的垂線交直線AB于點N，交拋物線于點P，過點P作PM⊥AB于點M．（1）求a的值和直線AB的函數(shù)解析式；（2）設△PMN的周長為C1，△AEN的周長為C2，若C1C2（3）如圖2，在（2）條件下，將線段OE繞點O逆時針旋轉得到OE′，旋轉角為α（0°＜α＜90°），連接AE′，BE′，求AE′+23BE（1）解：將A（4,0）代入拋物線y=ax2+（a+3）x+3，∴16a+4（a+3）+3=0.解得a＝--34，拋物線解析式為y=--3當x=0時，y=3，所以B（0,3），設直線解析式為y=kx+b，將A，B點的坐標代入得4k+b=0解得k=∴y＝-34∵PM⊥AB，PE⊥OA，∴∠PMN=∠AEN.∵∠PNM=∠ANE，∴△PNM∽△ANE.∴PNAN=6∵NE∥OB，∴ANAB=AEOA.∴AN＝∵拋物線的解析式為y=--3∴PN=--34m2＋94m＋3-(--34m＋3)=--34m∴-34∴m＝2.（3）如圖，在y軸上取一點M′，使得OM′=43,連接AM′,在AM′取一點E′，使得OE′=OE，∴OE＝OE′＝2，OM′·OB=4∴OE'2=OM′·OB.∵∠BOE'=∠M′OE∴△M′OE∽△E'O∴M'E'BE'=OE'OB＝23.∴M′∴AE′+23BE′=AE′+M′E′=AM′，此時AE′+23BE′最小(兩點之間線段最短，A,在Rt△AOM′中，AO=4，OM′=43，∴AM′=43AE′+23BE′最小值為43（1）如圖1，連結AD，∵AP＋BP＝AP＋PD，要使AP＋BP最小，∴