點(diǎn)集拓?fù)渲v義熊金城部分習(xí)題參考答案

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P73第2.1節(jié)

3．設(shè)?X,??是一個(gè)的度量空間,證明:(1)X的每一個(gè)子集都是開集;

(2)假使Y也是一個(gè)度量空間,則任何映射f:X?Y都是連續(xù)的.證(1)對(duì)任意的A?X和任意頂?shù)膞?A,取??開集.

(2)設(shè)f:X?Y為任一映射,U?T射.

6.從毆氏平面?到實(shí)數(shù)空間?的映射m,s:?2??定義為對(duì)任何x??x1,x2?，

21,則B?x,????x??A,所以A是4,所以,f是連續(xù)映

Y,由(1)知,f?1?U??T

Xm?x??max?x1,x2?,s?x??x1?x2

2證明m和s都是連續(xù)函數(shù)。（提醒：分別用?的度量?1和?2（參見第5題）.）

2證先證m是連續(xù)映射.設(shè)x??x1,x2???是任意一點(diǎn),對(duì)任意的??0,對(duì)任意

y??y1,y2???2,由于

?1?x,y??max?x1?y1,x2?y2??max?x1,x2??max?y1,y2??m?x??m?y?

(其中?1是習(xí)題5中定義的?的度量),故mB?x,???Bm?x?,?,即m在x??對(duì)于

2????2?2的度量?1而言是連續(xù)的,由于x??2是任意的,從而對(duì)于?2的度量?1而言連續(xù).由習(xí)

題5的結(jié)論知,m對(duì)于?的度量?而言是連續(xù)的.

2下面再證s是連續(xù)映射.設(shè)x??x1,x2???是任意一點(diǎn),對(duì)任意的??0,對(duì)任意

2y??y1,y2???2,由于

?2?x,y??x1?y1?x2?y2??x1?x2???y1?y2??s?x??s?y?

(其中?2是習(xí)題5中定義的?的度量),故sB?x,???Bs?x?,?,即s在x??對(duì)于

2????2?2的度量?2而言是連續(xù)的,由于x??2是任意的,從而對(duì)于?2的度量?2而言連續(xù).由習(xí)

題5的結(jié)論知,s對(duì)于?的度量?而言是連續(xù)的.

2P73第2.2節(jié)

2.對(duì)于每一個(gè)n???,令A(yù)n?m???m?n,(1)證明P=Ann???????是正整數(shù)集??的一個(gè)拓?fù)?(2)寫出1???的所有開鄰域.

(1)證顯然?,???A1?P.又??An???P,n?1,2,?.任意

,An?Am?Amax?m,n??P,對(duì)任意的P1?P，?A?TBAn?Amin?n:An?TB1??P，An,Am?P

n1????因此P為??的拓?fù)?

(2)1???的唯一開鄰域?yàn)锳1???.

7.設(shè)P1和PP

12是集合X的兩個(gè)拓?fù)?證明P

1?P2也是X的一個(gè)拓?fù)?舉例說明

?P2可以不是X的拓?fù)?

證若P1和P

2都是X的拓?fù)?,由于?,X?P1,P

22,所以?,X?P

11?P2;

任意A,B?P1,P,則A?B?P1,P

12,所以A?B?P

1?P2;

A?T'對(duì)任意的P'?P

?P

2,即P'?P

,P

2,則

?A?P1,P

2,所以

?A?T'A?P1?P2.因此P1?P2是X的拓?fù)?

例,設(shè)X??a,b,c?,P1?然,P

1??a?,?b,c?,?a,b,c?,??,P

12???b?,?a,c?,?a,b,c?,??,顯

,P

2都是X的拓?fù)?P

?P

2???a?,?b?,?b,c?,?a,c?,?a,b,c?,??,因?P2,因此P1?P2不是X的拓?fù)?

?a?,?b??P1?P

2,?a,b???a???b??P

110.證明:

(1)從拓?fù)淇臻g到平庸空間的任何映射都是連續(xù)的;(2)從離散空間到拓?fù)淇臻g的任何映射都是連續(xù)的.證(1)設(shè)(X,P1)是任意拓?fù)淇臻g,(Y,P的U?P

22)是平庸拓?fù)淇臻g,f:X?Y,對(duì)任意

,U?Y,或?,所以f?1?U??X,或?,它們都屬于P1,所以f連續(xù).

2(2)設(shè)(X,P1)是離散拓?fù)淇臻g,(Y,P

)是任意拓?fù)淇臻g,f:X?Y,對(duì)任意的

U?P

集).

2,f?1?U???x?f?1?U??x??P

1,所以

f連續(xù).(由于離散拓?fù)淇臻g的單點(diǎn)集是開

P73第2.4節(jié)

2.設(shè)X是一個(gè)拓?fù)淇臻g,A,B?X,證明:

(1)x?X是集合A的凝聚點(diǎn)當(dāng)且僅當(dāng)x是集合A??x?的凝聚點(diǎn);(2)假使d?A??B?A,則B是一個(gè)閉集.

證(1)若x?X是集合A的凝聚點(diǎn),當(dāng)且僅當(dāng)對(duì)任意的U?U

x,有

U??A??x????,

由A??x??A??x???x?,從而U?凝聚點(diǎn).

(2)由于d?A??B?A,所以d?B??d?A??B,即d?B??B,故B為閉集.3.證明:閉包運(yùn)算定義中的Kuratovski公理等價(jià)于條件:對(duì)任何A,B?X,

????A??x????x????,即x是集合A??x?的

A?c*?A??c*?c*?B???c*?A?B??c*???.

證“必要性〞若Kuratovski公理成立，則對(duì)任意A,B?X，

A?c*?A?c*?c*?B???c*?A??c*?B??c*?A?B??c*?A?B??c*???；

“充分性〞若對(duì)任意A,B?X，有

A?c*?A??c*?c*?B???c*?A?B??c*???，則令A(yù)?B??，有

??c*????c*?c*?????c*????c*??????c*?????；

令A(yù)?B，有

A?c*?A??c*?c*?A???c*?A??c*????c*?A??A?c*?A??c*?A??c*?c*?A??，

并且c*?c?A???c?A?，所以c?c?A???c?A?。

*****由以上結(jié)果有

c*?A?B??c*?A?B??c*????A?c*?A??c*?c*?B???c*?A??c*?B?，

故Kuratovski公理成立。

4.設(shè)X是一個(gè)拓?fù)淇臻g；A??????是X的一個(gè)任意子集簇，其中指標(biāo)集非空；

A,B?X。證明以下三個(gè)包含關(guān)系，并舉例說明每一個(gè)包含關(guān)系都不能改為等號(hào)：

(1)

????A??????A?;(2)????A??????A?;(3)A?B?A?B.

證(1)由于任意???,A??(2)由于任意???,A????????A?,從而A??????A?,因此????A??????A?;

??A?,從而A??????A?,因此????A??????A?;

(3)由于A??A?B???A?B?,所以

A?B??A?B???A?B??B??A?B?A?B??B?A?B.

??例(1)和(2)的例子可參考本節(jié)的補(bǔ)充例題中的例.

(3)?為毆氏度量空間所誘導(dǎo)的拓?fù)淇臻g,

?????1??1??1?A??0,1?,B??,1??A?B??0,???0,?,但

?2??2??2??1??1??1?A?B??0,1???,1???0,???0,?.

?2??2??2?6.證明:拓?fù)淇臻g中的每一個(gè)子集的導(dǎo)集為閉集當(dāng)且僅當(dāng)此空間的每一個(gè)單點(diǎn)集的導(dǎo)集為閉集(此即為楊忠道定理).

證明:“?〞是顯然的.

“?〞設(shè)拓?fù)淇臻gX的每一獨(dú)立點(diǎn)集的導(dǎo)集為閉集,對(duì)任意的A?X,設(shè)x?d?d?A??,對(duì)x的任意開鄰域U,U??d?A???x????.因d(?x?)是閉集,且x?d??x??,令

V?U?d??x??,則V是x的開鄰域,從而有y?V??d?A???x??.由于y?V,y?d??x??且

y?x,于是存在y的開鄰域W,使得x?W,由于V和W都是y的開鄰域,故K?V?W也

是y的開鄰域,由y?d?A?,所以存在z?K??A??y????.

由z?K?W,z?x,因此z?U??A??x??,故U??A??x????,即x?d?A?,所以

d?d?A???d?A?,即d?A?是閉集.

“?證法2〞任取x?d?A?,由于d?A??A?A?A?d?A?,故x?A?d?A?.若

??x?A,則x?d?A?;若x?A,我們只需證x?d?A?.

實(shí)事上,由于d??x??是閉集,故G??d??x?????P?U

??x.對(duì)任意的U?P?U

x,令

V?U?G?P?Ux.由于x?d?A?,故V?d?A???.取y?V?d?A?,則y?V?U且y?d?A?.于是U?A??y???,再分兩種狀況來考慮:

(1)y?x,則已有x?y?d?A?.

(2)y?x,令W?于是W?P?U

x??x???,由于y?V?G??d??x????,故y??x??d??x????x?,??,且?U?W??A??y???,而x?W,故

U??A??x???U?W??A??x???U?W?A?U?W??A??y????.

從而x?d?A?.這就證明白d?A??d?A?,故d?A?為閉集.

注:d?A?不是閉集的例子:設(shè)X??1,2,3?,P??,X,?1?,?2,3?,A??1,2?,則

??d?A???3?不是閉集,事實(shí)上,d??2????3?也不是閉集.

對(duì)于度量空間,簡(jiǎn)單驗(yàn)證每個(gè)單點(diǎn)集?x?的導(dǎo)集d的導(dǎo)集是閉集.

事實(shí)上,設(shè)?X,??是度量空間,?x?是?X,??的單點(diǎn)集.對(duì)任意的y???x????,所以度量空間的每個(gè)子集

??x???,y?x,記

???????x,y??0,則B?y,????x???,即??x???是開集,從而?x?是閉集.

2??再證?X,??的每一子集的導(dǎo)集都是閉集.設(shè)P上述結(jié)論知,作為拓?fù)淇臻g(X,P點(diǎn)集,則d??是由X的度量?誘導(dǎo)出來的拓?fù)?由

)的每一單點(diǎn)集都是閉集,即若?x?是(X,P

??)的獨(dú)

??x????x?,又x?d??x??,所以d??x????,因此(X,P

?)中每一單點(diǎn)集的

導(dǎo)集都是閉集.

由第6題(即楊忠道定理)的結(jié)論知,(X,P

)中每一子集的導(dǎo)集都是閉集,所以

?X,??中的每一子集的導(dǎo)集都是閉集.

8.證明度量空間的每一獨(dú)立點(diǎn)集都是閉集,并且每一子集的導(dǎo)集都是閉集.

證明:設(shè)?X,??是度量空間,?x?是?X,??的獨(dú)立點(diǎn)集.任意的y??x?,y?x,記

?????????x,y??0,則B?y,???x??,即?x?是開集,從而?x?是閉集.

?2?下面證明?X,??的每一子集的導(dǎo)集都是閉集.設(shè)??是由X表及里度量?誘導(dǎo)出來的拓?fù)?由度量空間的每一獨(dú)立點(diǎn)集都是閉集知,拓?fù)淇臻gX,??的每一獨(dú)立點(diǎn)集都是閉集,即若?x?是X,??的獨(dú)立點(diǎn)集,則d??x????x?,又x?d??x??,所以d??x????,因此X,??中每一獨(dú)立點(diǎn)集的導(dǎo)集都是閉集.

??????

由本節(jié)第6題的結(jié)論知X,??的每一子集的導(dǎo)集都是閉集.補(bǔ)充例題

1.設(shè)X是一個(gè)拓?fù)淇臻g;A?a)

???????是X中的是個(gè)子集簇,證明:

??????Ai?????A?．而當(dāng)，?為有限時(shí)????Ai?????A?,舉例說明當(dāng)?為無限A??????A?,即使當(dāng)?為有限時(shí),這一包含關(guān)系也可能是嚴(yán)格的.

時(shí)上述包含關(guān)系可以是嚴(yán)格的．

b)

??c)對(duì)內(nèi)核，寫出對(duì)應(yīng)的包含關(guān)系．證明a)A??????A??A??????A?,此關(guān)系對(duì)一切???成立，所以

??????Ai?????A?.

現(xiàn)在,假使?有限,則??????,A??A??但

????A??????A?

??A?作為有限個(gè)閉集的并是閉的，故????A??????A?

從而它們應(yīng)當(dāng)相等．

下面我們給出?為無限時(shí)嚴(yán)格包含的例子．設(shè)X?R，并對(duì)

2p?N?定義

????11???Ap???,?q?N?????pq??于是有集簇新Ap??p?N?.現(xiàn)在Ap?Ap?????1??,0??.而?p?N?Ap顯然包含?p?N?Ap中的??p??????1???所有元，此外還包含??0,?q?N?和?0,0?.????q??b)??????,A??A??????A??????A?,但????A?是閉集,因此????A??????A?.

在R中,考慮A1??0,1?,A2??1,2??A1?A2??,A1?A2??1?.

c)對(duì)已得的結(jié)論取補(bǔ)集,可得

?????

A??????A?(但?為有限時(shí)成為等式).

P78第2.5節(jié)

?2.設(shè)X是一個(gè)拓?fù)淇臻g,A,B?X,證明:

(1)A??A???A?,A0?A???A?;(2)?A0???A?,?A????A?;(3)??A?B????A????B?,?A?B??A0?B0;

0????(4)??A???當(dāng)且僅當(dāng)A是一個(gè)既開又閉的集;

(5)????A?????A?;(6)A?B???A?B??A?B????A????B??.證明:(1)A???A??A?A??A???A??A?A???A??X?A?;

????A???A??A?A??A???A?A?'?A'?'?A?A?'?A?A0???A0?A0

(2)?A0?A0??A0'??A??A'???A??A'????A?

???????????A??A???A?'??A??A'????A?.

(3)

?????A?B???A?B???A?B??A??B??A'?B'?'??A?A?B??''?????B???A?B?''?????A?????'???A'????B?B????A????B?

?A?B?0?A0,?A?B?0?B0??A?B?0?A0?B0.

(4)若??A???,由(1)A??A???A??A,A0?A???A??A,所以A是既開又閉的集合.

反之,若A是既開又閉的集合,即A?A,A?A???A??A?A?A?A??.

?'?'?'?'(5)由于??A??A??A'?為閉集,所以???A?????A?,故

?????A??????A??????A??????A?????A?.

?'??(6)A?B???A?B??A?B??A?B???A?B??A?B?A'?B'?'???

??A?B?A'??A?B?B'???A?B???A????A?B???B???

A?B????A????B??5.設(shè)A是度量空間?X,??中的一個(gè)子集,證明:

(1)x?A??x,A?0;(2)x???A????x,A??0且?x,A?0.

0''????????證明:(1)x?A?A?0'?'?x?A'????x,A??0;

'??'?(2)x???A??A?A?x?A且x?A???x,A??0且?x,A'?0.

??P86第2.6節(jié)

1.設(shè)X是一個(gè)集合,則X的子集簇B和E是X的同一個(gè)拓?fù)銽的兩個(gè)基的充分必要條件是B和E滿足條件:

(1)假使x?B?B,則存在E?E,使得x?E?B;(2)假使x?E?E,,則存在B?B,使得x?B?E.

證“必要性〞設(shè)B和E為X的同一個(gè)拓?fù)銽的兩個(gè)基，任意x?B?B,即B?Ux，由于E是X的拓?fù)銽一個(gè)基，由定理2.6.2知,存在E?E,使得x?E?B.同理可證(2)成立.

“充分性〞設(shè)B和E分別是X的拓?fù)銽，T的基，并且滿足條件(1)和(2).設(shè)x?E?E,由條件(2)存在Bx?B使得x?Bx?E,而

*E??x?E?x???x?EBx?E?E??x?EBx

對(duì)任意的A?T存在E1?E,使得

*A??E?!!E??E?!!示E1),所以T

*??x?EBx??x?E,E?!!Bx?T(因在下標(biāo)中無法輸入E1,故用!!表

??T，由條件(1)類似可證T?T*.因此T=T*.故B和E是X的

同一拓?fù)銽,的基.

22.毆氏平面?的一個(gè)子集叫做一個(gè)開矩形,假使存在a,b,c,d??滿足條件a?b和

c?d.使得D??a,b???c,d?,其中?a,b?和?c,d?都表示開區(qū)間.證明:?2中所有的開矩

形構(gòu)成的集簇是?的一個(gè)基.

證記B=

2??a,b???c,d?a,b,c,d??,a?b,c?d?,則B是?2P2的一個(gè)開集簇.

任意P?x,y???,任意的U?U,存在??0,使B?P,???U.取

a?x?,b?x?,c?y?,d?y?

2222則?a,b???c,d??B?P,???U,且?a,b???x,d??B.由定理2.6.2知,B構(gòu)成?的一

2????個(gè)基.

3.證明實(shí)數(shù)集合R有一個(gè)拓?fù)湟约?/p>

??a,??a?R??????,b?b?R?

為它的一個(gè)子基,并說明這個(gè)拓?fù)涞奶攸c(diǎn).

證明:令L??a,??a?R????,b?b?R.由于

????R??S????,b???a,???R

S?L所以R?S?L?S.由定理2.6.4知,存在R的唯一拓?fù)?以L為子基.

對(duì)任意的x?R,由于???,x?,?x,???L??.所以?x?????,x???x,????,即R的每一獨(dú)立點(diǎn)集都是開集,故?是R的離散拓?fù)?

補(bǔ)充例題

設(shè)X為至少包含兩點(diǎn)的集合,p?X,T?G?Xp?G????是X的拓?fù)?我們稱之為特別點(diǎn)拓?fù)?

(1)判斷下述B是否為T的基,為什么?

BB

1?????p,x?x?X??p??;B

2???x?x?X?;

43???p,x?x?X?;B??G?Xp?G?

0(2)設(shè)A?X,試求d?A?,A.

解(1)B1不是T的基,由于開集?p?不是B1中一些元的并.B管每個(gè)非空開集都是B集的元.B3,B

22也不是T的基,盡

中含有不是開

中一些元的并,但x?p時(shí),?x??B

2,即B

24是T的基,,由于它們符合定義的條件.由此例可知,同一拓?fù)銽的基不是

唯一的.

注:初學(xué)者簡(jiǎn)單忽略“B?T〞這個(gè)條件。

(2)當(dāng)p?A時(shí)，對(duì)任意的x?X??p?，由于T的基B

2中包含x的元只有?p,x?，

即x有一個(gè)鄰域基，它只有一個(gè)元?p,x?，且?p,x??A??x???，所以x?d?A?。

而當(dāng)p?A時(shí)，對(duì)任意的x?X，?p,x??A??x???，所以x?d?A?，因此

?????X??p?p?Ad?A????p?A,?類似可得

?A,A0????p?A。p?A7.設(shè)X是一個(gè)度量空間.證明:假使X有一個(gè)基只含有有限個(gè)元素,則X必為只含有有限多個(gè)點(diǎn)的離散空間.

證設(shè)B??B1,B2,?,Bn?為?X,??的基,假定X無限,取互異的n?1個(gè)點(diǎn)

x1,x2,?,xn?1?X.令??min1?i?j?n?1???x,x??,則B?x,???U

ijix,i?1,2,?,n?1且

B?xi,???B?xj,????i?j.

由于B是X的基,故存在Bi?B,使xi?Bi?B?xi,??,i?1,2,?,n?1,從而

Bi?Bj??,即B至少有n?1個(gè)元素,此為矛盾.

故X是只含有有限個(gè)點(diǎn)的度量空間.由第一章的習(xí)題可知,X是離散空間.

P92第2.7節(jié)

1.設(shè)X是一個(gè)離散空間,?xi?i?Z是X中的一個(gè)序列.證明:序列?xi?i?Z收斂當(dāng)且僅當(dāng)

??存在M?Z?,使當(dāng)i,j?M時(shí),有xi?xj.

證明:“?〞是顯然的.

“?〞X是一個(gè)離散空間,所以?x?為x的開鄰域,故存在M?Z?,使當(dāng)i?M時(shí),xi??x?,即當(dāng)i?M時(shí),有xi?x,因此,當(dāng)i,j?M時(shí),有xi?xj.

3.設(shè)X是一個(gè)度量空間.證明:

(1)X中的任何一個(gè)收斂序列都只有唯一的極限;(2)定理2.7.2的逆命題成立;

(3)對(duì)于任何一個(gè)映射f:X?Y定理2.7.3的逆命題成立,其中Y是任何一個(gè)拓?fù)淇臻g.

證明:(1)設(shè)?xi?i?Z是X中的收斂序列,x,y為其極限.若x?y,則??x,y??0,取

???1??x,y??0,存在M?Z?,當(dāng)i?M時(shí),xi?B?x,???