矩陣的分解演示文稿

矩陣的分解演示文稿現(xiàn)在是1頁(yè)\一共有42頁(yè)\編輯于星期四（優(yōu)選）矩陣的分解.現(xiàn)在是2頁(yè)\一共有42頁(yè)\編輯于星期四定理3.12

L是單位下三角矩陣U一個(gè)上三角矩陣Gauss消元法的消元過(guò)程實(shí)際上是對(duì)線(xiàn)性代數(shù)方程組進(jìn)行一系列初等行變換的過(guò)程。由線(xiàn)性代數(shù)知識(shí)知，線(xiàn)性代數(shù)方程組的初等變換相當(dāng)于對(duì)其增廣矩陣實(shí)行初等行變換，也即相當(dāng)于增廣矩陣左邊乘以一個(gè)初等矩陣?，F(xiàn)在是3頁(yè)\一共有42頁(yè)\編輯于星期四現(xiàn)在是4頁(yè)\一共有42頁(yè)\編輯于星期四也可以直接用比較法導(dǎo)出矩陣A的LU分解的計(jì)算公式。上式可記為比較第1行比較第r行現(xiàn)在是5頁(yè)\一共有42頁(yè)\編輯于星期四同樣，由比較第r列現(xiàn)在是6頁(yè)\一共有42頁(yè)\編輯于星期四綜合以上分析，有因此可以推導(dǎo)出U的第一行L的第一列------(1)------(2)現(xiàn)在是7頁(yè)\一共有42頁(yè)\編輯于星期四思考U的第r行L的第r列------(3)------(4)稱(chēng)上述(1)~(4)式所表示的分解過(guò)程為矩陣A的Doolittle分解現(xiàn)在是8頁(yè)\一共有42頁(yè)\編輯于星期四function[l,u]=lu_Doolittle1(A)

%求可逆矩陣的LU分解

%A為可逆矩陣，l為單位下三角矩陣，u為上三角矩陣

n=length(A);

u=zeros(n);

l=eye(n);

u(1,:)=A(1,:);

l(2:n,1)=A(2:n,1)/u(1,1);

fork=2:n

forj=k:n

u(k,j)=A(k,j)-l(k,1:k-1)*u(1:k-1,j);

end

u(k,k:n)=A(k,k:n)-l(k,1:k-1)*u(1:k-1,k:n);

fori=k+1:n

l(i,k)=(A(i,k)-l(i,1:k-1)*u(1:k-1,k))/u(k,k);

end

l(k+1:n,k)=(A(k+1:n,k)-l(k+1:n,1:k-1)*u(1:k-1,k))/u(k,k);

end現(xiàn)在是9頁(yè)\一共有42頁(yè)\編輯于星期四對(duì)于線(xiàn)性方程組系數(shù)矩陣非奇異，經(jīng)過(guò)Doolittle分解后線(xiàn)性方程組可化為下面兩個(gè)三角形方程組現(xiàn)在是10頁(yè)\一共有42頁(yè)\編輯于星期四現(xiàn)在是11頁(yè)\一共有42頁(yè)\編輯于星期四上述解線(xiàn)性方程組的方法稱(chēng)為直接三角分解法的Doolittle分解用Doolittle分解求解方程組解下面再用Doolittle分解方法求解現(xiàn)在是12頁(yè)\一共有42頁(yè)\編輯于星期四現(xiàn)在是13頁(yè)\一共有42頁(yè)\編輯于星期四Doolittle分解在計(jì)算機(jī)上實(shí)現(xiàn)是比較容易的但如果按上述流程運(yùn)算仍需要較大的存儲(chǔ)空間:現(xiàn)在是14頁(yè)\一共有42頁(yè)\編輯于星期四因此可按下列方法存儲(chǔ)數(shù)據(jù):現(xiàn)在是15頁(yè)\一共有42頁(yè)\編輯于星期四直接三角分解的Doolittle分解可以用以下過(guò)程表示:存儲(chǔ)單元(位置)現(xiàn)在是16頁(yè)\一共有42頁(yè)\編輯于星期四Doolittle分解的緊湊格式現(xiàn)在是17頁(yè)\一共有42頁(yè)\編輯于星期四Doolittle分解的結(jié)果與Gauss消元法所得結(jié)果完全一樣，但卻避免了中間過(guò)程?，F(xiàn)在是18頁(yè)\一共有42頁(yè)\編輯于星期四定理3.2.3設(shè)矩陣A非奇異，當(dāng)且僅當(dāng)矩陣A的所有順序主子式全非零時(shí)，其Doolittle分解式存在，且分解是惟一的。下面給出Doolittle分解存在惟一的一個(gè)充要條件現(xiàn)在是19頁(yè)\一共有42頁(yè)\編輯于星期四用緊湊格式的Doolittle分解求解方程組解現(xiàn)在是20頁(yè)\一共有42頁(yè)\編輯于星期四現(xiàn)在是21頁(yè)\一共有42頁(yè)\編輯于星期四所以現(xiàn)在是22頁(yè)\一共有42頁(yè)\編輯于星期四用Doolittle分解求解方程組解直接利用Doolittle分解的緊湊格式算得現(xiàn)在是23頁(yè)\一共有42頁(yè)\編輯于星期四現(xiàn)在是24頁(yè)\一共有42頁(yè)\編輯于星期四

列選主元Doolittle分解在Doolittle分解(包括緊湊格式)中，會(huì)反復(fù)用到公式仍有可能是小主元做除數(shù)為此，也要考慮在算法中加入選取列主元現(xiàn)在是25頁(yè)\一共有42頁(yè)\編輯于星期四

Crout分解L為下三角矩陣，U為單位上三角矩陣現(xiàn)在是26頁(yè)\一共有42頁(yè)\編輯于星期四三、Cholesky分解與平方根法

對(duì)稱(chēng)正定矩陣的三角分解（Cholesky分解）現(xiàn)在是27頁(yè)\一共有42頁(yè)\編輯于星期四現(xiàn)在是28頁(yè)\一共有42頁(yè)\編輯于星期四因此可以證明這種分解是唯一的設(shè)存在另外的一個(gè)分解則單位下三角單位下三角上三角上三角所以：現(xiàn)在是29頁(yè)\一共有42頁(yè)\編輯于星期四又因?yàn)椋杭此裕杭磩t：令：現(xiàn)在是30頁(yè)\一共有42頁(yè)\編輯于星期四綜合以上分析,則有為了方便我們記：(Cholesky分解)且該分解式唯一這種關(guān)于對(duì)稱(chēng)正定矩陣的分解稱(chēng)為Cholesky分解現(xiàn)在是31頁(yè)\一共有42頁(yè)\編輯于星期四現(xiàn)在是32頁(yè)\一共有42頁(yè)\編輯于星期四-------------(6)-------------(7)-------------(8)現(xiàn)在是33頁(yè)\一共有42頁(yè)\編輯于星期四現(xiàn)在是34頁(yè)\一共有42頁(yè)\編輯于星期四

對(duì)稱(chēng)正定線(xiàn)性方程組的解法線(xiàn)性方程組-------------(10)-------------(11)因而線(xiàn)性方程組(10)可化為兩個(gè)三角形方程組-------------(12)-------------(13)現(xiàn)在是35頁(yè)\一共有42頁(yè)\編輯于星期四用平方根法解對(duì)稱(chēng)正定方程組解現(xiàn)在是36頁(yè)\一共有42頁(yè)\編輯于星期四現(xiàn)在是37頁(yè)\一共有42頁(yè)\編輯于星期四即所以原方程組的解為現(xiàn)在是38頁(yè)\一共有42頁(yè)\編輯于星期四平方根法的數(shù)值穩(wěn)定性用平方根法求解對(duì)稱(chēng)正定方程組時(shí)不需選取主元由可知因此平方根法是