高等數(shù)學(xué)(工本)課后習(xí)題答案

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高等數(shù)學(xué)(工本)課后習(xí)題答案

第一章空間解析幾何與向量代數(shù)

習(xí)題11

1．研究空間直角坐標(biāo)系各個(gè)卦限中點(diǎn)的坐標(biāo)特征，指出以下點(diǎn)在哪個(gè)卦限：

A（1,2,3），B（2,3,4），C（2,3,4），D（2,3,1），E（1,2,4）．空間直角坐標(biāo)系中點(diǎn)M（x，y，z）的坐標(biāo)值與其所在卦限的關(guān)系如下：x+

y++

z++

卦限第一卦限其次卦限

x+

y+

z

卦限第五卦限

x+

y

z+

卦限第四卦限

x+

y

z

卦限第八卦限

第六卦限第三卦限++第七卦限

因此點(diǎn)A處于第四卦限，點(diǎn)B處于第五卦限，點(diǎn)C處于第八卦限，點(diǎn)D處于第三卦限，點(diǎn)E處于第一卦限．

2．研究在各個(gè)坐標(biāo)面和坐標(biāo)軸上的點(diǎn)的坐標(biāo)各有什么特征，指出以下各點(diǎn)在哪個(gè)坐標(biāo)面或坐標(biāo)軸上：A（3,4,0）,B（0,4,3），C（3,0,0），D（0,1,0），E（0,0,7）．

空間直角坐標(biāo)系中點(diǎn)P(x,y,z)（x,y,z至少有一個(gè)為0）的坐標(biāo)特征如下：

在x軸上，y、z必為0，在Oyz平面上，x必為0；在y軸上，x、z必為0，在Oxz平面上，y必為0；在z軸上，x、y必為0，在Oxy平面上，z必為0．因此點(diǎn)A（3,4,0）在Oxy平面上，點(diǎn)B（0,4,3）在Oyz平面上，點(diǎn)C（3,0,0）在x軸上，點(diǎn)D（0,1,0）在y軸上，點(diǎn)E（0,0,7）在z軸上．

3．點(diǎn)（a，b，c）關(guān)于各坐標(biāo)面、各坐標(biāo)軸、坐標(biāo)原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)是什么？如下表所示：

坐標(biāo)(a，b，c)

Oxy平面(a，b，

Oyz平面(a

，b，c)

Oxz平面(a，b，

c)

x軸(a，b，

y軸(a，b

，

z軸(

a，b，

c)

原點(diǎn)

(a，b，

c)c)c)c)

4．對(duì)于空間中的點(diǎn)M，假使經(jīng)過M向某條直線做垂線，則稱垂足為點(diǎn)M在直線上的投影點(diǎn)；假使經(jīng)過M向某個(gè)平面做垂線，則稱垂足為點(diǎn)M在該平面上的投影點(diǎn)．求點(diǎn)（a，b，c）在各個(gè)坐標(biāo)面及各個(gè)坐標(biāo)軸上的投影點(diǎn)的坐標(biāo)．

如下表所示：

坐標(biāo)(a，b，c)

Oxy平面(a，b，0)

Oyz平面(0，b，c)

Oxz平面(a，0，c)

x軸(a，0，0)

y軸(0，b，0)

z軸(0，0，c)

5．求頂點(diǎn)為A（2,5,0），B（11,3,8），C（5,1,11）的三角形各邊的長(zhǎng)度．

AB=AC=

BC

7；

6．求點(diǎn)A（4,-3,5）到各個(gè)坐標(biāo)軸的距離，即求點(diǎn)A與其在各個(gè)坐標(biāo)軸上投影點(diǎn)的距離．如下表所示：

習(xí)題12

1．利用向量的運(yùn)算化簡(jiǎn)以下向量的線性運(yùn)算：（1）a+2b(a2b)；

a+2b(a2b)=a+2ba+2b=4b

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b3a551

ab+5b+abb+b3a=2ab=

2522

（3）(mn)(a+b)(m+n)(ab)．

(mn)(a+b)(m+n)(ab)

=(mn)a+(mn)b(m+n)a+(m+n)b=2(mbna)

2．設(shè)向量u=ij+2k，v=i+3jk，計(jì)算2u3v．

2u3v=2(ij+2k)3(i+3jk)=5i11j+7k

=a{3,5,1)，b={2,2,3}，c={4,1,3}，求：3．給定向量

（1）2a；（2）a+bc；（3）2a3b+4c；（4）ma+nb．（1）=2a{6,10,2}；

（2）a+b=c{3,5,1}+{2,2,3}{4,1,3)={1,8,5}；

（3）ma+nb={3m,5m,m}+{2n,2n,3n}={3m+2n,5m+2n,m+3n}．

4．給定兩點(diǎn)A（3,3,3）及B（3,4,3），求與AB平行的單位向量．

676676AB

易得=AB{6,7,6},

因此AB{,,或{,,．111111111111AB

5．給定兩點(diǎn)A（4,0,5）及B（7,1,3），求與AB同向的單位向量．

AB

易得=AB{3,1,2}，因此AB=．

AB=cosα0,cos=β0．問：這些向6．設(shè)向量的方向余弦分別滿足：（1）cosα=0；（2）cosβ=1；（3）

量和坐標(biāo)軸的關(guān)系如何？

（1）由cosα=0可知該向量垂直于x軸；（2）由cosβ=1可知該向量與y軸同向；

（3）由cosα=0及cosβ=0可知該向量垂直于x軸與y軸，即該向量與z軸平行．

=易得a

a1111{，故cosα=

，cosβ=，cosγ=．a(chǎn)2222

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（1）由λa=0可得λaλa0，故λ=0或a=0；

（2）由β=λa可得βλaλaλ．

習(xí)題13

=a{3,2,1}，b={1,1,2}，求：1．已知向量

（1）a（2）5a3b；（3）ai，aj，ak．b；

（1）ab={3,2,1}{1,1,2}=1；（2）5a3b=15{3,2,1}{1,1,2}=15；

（3）ai={3,2,1}{1,0,0}=3，aj={3,2,1}{0,1,0}=2，ak={3,2,1}{0,0,1}=1．

a{2,3,5}，=b{3,1,2}，求：2．設(shè)向量=

(ab)；(b2a)．（1）a（2）b；（3）(a+b)；（4）(a+b)（5）(3a+2b)b；

22

（2）b{3,1,2}14；（1）a{2,3,5}{3,1,2}=b=7；22

（3）(a+b)=({2,3,5)+{3,1,2})={5,2,3}2=38；（4）(a+b)(ab)={5,2,3}{1,4,7}=24；

（5）(3a+b)(b2a)={9,8,13}{1,7,12}=221．3．設(shè)向量a≠0且ab=ac，問：是否有b=c？為什么？

2

2

設(shè)向量a與b、c的夾角分別為β、γ，由a=babcos=βa=caccosγ可得

bcosβ=ccosγ，即

向量b、c在向量a上的投影相等，因此不能斷定b=c．

=a{1,1,4}，=b{2,2,1}，求：4．已知向量

（

1）a（2

）ab={1,1,4}{2,2,1}=4；

b

3；

ab，故θ=πarctan．（3

）cosθ===ab

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=a{3,2,1}與=b{2,3,0}相互垂直．5．證明向量

由a{2,3,0}=0可得a與b相互垂直．b={3,2,1}

6．已知三角形的頂點(diǎn)為A(1,2,3),B(1,1,1),C(0,0,5)，證明此三角形是直角三角形，并求角B．

由已知得AB={2,1,2}，AC={1,2,2},BC={1,

1,4}故AB=

3，

222

BC，故此三角形是直角三角形，又

同理得AC=3，BC=，由于AB+ACABBCπ

，因此B=．=cosB4ABBC

7．計(jì)算以下向量所對(duì)應(yīng)的向量積ab：

a{0,1,1}，bb{3,2,1}；=={1,1,0}．（1）a={1,1,1}，=（2）

jki

（1）ab=111=3i+2j5k={3,2,5}；

321jki

（2）ab011=ijk={1,1,1}．

110

=a{3,2,1}，b={1,1,2}，求：8．已知向量

（1）ab；（2）2a7b；（3）7b2a．

jki

（1）ab3213i7j5k{3,7,5}；

112

ijk

（2）2a7b=1432114(3i7j5k=){42,98,70}；

112

ijk

（3）7b2a=14112=14(3i+7j+5k)={42,98,70}．

321

設(shè)a={x1,y1,z1}，b={x2,y2,z2}，c={x3,y3,z3}其中x1,y1,z1不全為0，則

a=b

ix1x2

jy1y2

kz{y1z2y2z1,x2z1x1z2,x1y2x2y1}，1z2

9．設(shè)向量a≠0且ab=ac．問：是否有b=c？為什么？

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a=c

ix1x3jy1y3kz{y1z3y3z1,x3z1x1z3,x1y3x3y1}，又ab=ac，即1z3

y1z2y2z1=y1z3y3z1x1(y2y3)=y1(x2x3)

x2x3y2y3z2z3

整理得y1(z2z3)=z1(y2y3)，由此可得，由x2z1x1z2=x3z1x1z3，

xyz111xyxy=xyxyz(xx)=x(zz)

12312211331123

已知x1,y1,z1不全為0可知x2x3,y2y3,z2z3不全為0也滿足ab=ac，因此a=b不一定成立．

={1,1,3}，c={1,2,0}，計(jì)算：a{2,3,1}，b10．已知向量=

b)c(ac)b；c．（1）(a（2）(a+b)(b+c)；（3）(ab)

（1）(ab)c(ac)b{8,16,0}{8,8,24}{0,8,24}；

ijk

（2）(a+b)(b+c)={3,4,4}{2,3,3}344=jk={0,1,1}；

233

i

（3）(ab)c2

1

jk31{1,2,0}={8,5,1}{1,2,0}=2．13

11．求同時(shí)垂直于向量a={2,1,1}和b={4,5,3}的單位向量．

ijk

設(shè)同時(shí)垂直于題中兩向量的向量為n，則n=2i2j+6k=ab211={2,2,6}，故

453

nn或{．

n

12．已知向量OA={1,0,3}，OB={0,1,3}，求△ABO的面積．

ijk

nOAOB，則n設(shè)=3i3j+k=103={3,3,1}，故

013

SABO=

1

n．2

習(xí)題14

1．求到原點(diǎn)O和點(diǎn)（2,3,4）的距離之比為1:2的點(diǎn)的軌跡方程，它表示何種曲面？設(shè)滿足條件的點(diǎn)為P(x,y,z

)=

1

，化簡(jiǎn)并整理得2

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3x2+4x+3y2+6y+3z3+8z29=0，可化為

2411624(x+)2+(y+1)2+(z+)2，此軌跡方程表示原點(diǎn)在(,1,

的球面．

333392．求與點(diǎn)（3,2,1）和點(diǎn)（4,3,0）等距離的點(diǎn)的軌跡方程．設(shè)滿足條件的點(diǎn)為P(x,y,z)，

化簡(jiǎn)并整

0．理得2x10y+2z11=

3．寫出球心在點(diǎn)（3,2,5），半徑為4的球面方程．

(x3)2+(y+2)2+(z5)2=16．

4．寫出球心在點(diǎn)（1,3,2）且通過點(diǎn)（1,1,1）的球面方程．

易得球面半徑r=

9．3，因此球面方程為(x+1)2+(y+3)2+(z2)2=

5．求出以下球面的球心和半徑：（1）x+y+z6z7=0；（2）x+y+z12x+4y6z=0；（3）x+y+z2x+4y4z7=0．

（1）原方程可化為x+y+(z3)=，半徑為4；16，因此該球面的球心為（0,0,3）

（2）原方程可化為(x6)+(y+2)+(z3)=，半徑為7；49，因此該球面的球心為（6,2,3）（3）原方程可化為(x1)+(y+2)+(z2)=，半徑為4．

16，因此該球面的球心為（1,2,2）2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

x2z2

（1）準(zhǔn)線為Oxz平面上的曲線+=1，母線平行于y軸；

49

（2）準(zhǔn)線為Oxy平面上的曲線xy=1，母線平行于z軸；（3）準(zhǔn)線為Oyz平面上的曲線yz1=0母線平行于x軸；（4）準(zhǔn)線為Oyz平面上的曲線y=z，母線平行與x軸；（5）x+y=z不是柱面．

7．寫出以下旋轉(zhuǎn)面的方程，并畫出它們的圖形：

（1）Oyz平面上的曲線z=y繞z軸旋轉(zhuǎn)所得的旋轉(zhuǎn)面；

2

2

2

22

2

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（2）Oxy平面上的曲線x+y=9繞y軸旋轉(zhuǎn)得到的旋轉(zhuǎn)面；

（3）Oxy平面上的曲線4x9y=36分別繞x軸和y軸旋轉(zhuǎn)得到的旋轉(zhuǎn)面；（4）Oxz平面上的直線x=z繞z軸旋轉(zhuǎn)得到的旋轉(zhuǎn)面．

（2）x+y+z=（3）4x9y9z=（1）=zx+y；9；36，4x9y+4z=36；（4）x+yz=0．

8．指出以下曲面是怎樣旋轉(zhuǎn)而生成的：

（1）3x+3y+4z=（2）xy+z=（3）x9y9z=12；1；1．

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

22

12繞z軸旋轉(zhuǎn)或Oyz平面上的曲線3y+4z=Oxz平面上的曲線3x+4z=（1）12繞z軸旋轉(zhuǎn)而得；

（2）Oxy平面上的曲線xy=1繞y軸旋轉(zhuǎn)或Oyz平面上的曲線y+z=1繞y軸旋轉(zhuǎn)而得；

2

2

2

2

2222

1繞x軸旋轉(zhuǎn)而得．（3）Oxy平面上曲線x9y=1繞x軸旋轉(zhuǎn)或Oxz平面上的曲線x9z=

9．在空間直角坐標(biāo)系下，x軸和y軸可以看做是空間中的直線，寫出它們的一般式方程．

2222

x軸：

{

y=0，y軸：x=0．

z=0z=0

{

以原點(diǎn)為圓心，半徑為2a的上半球面與中心在(0,a,z)，半徑為a的柱面的交線．

1的交線在Oxy平面上的投影．11．求球面x+y+z=9與平面x+z=

222

1可化為z=1x，帶入球面方程得x+y+(1x)=化簡(jiǎn)并整理得(x)+由x+z=9，

222

1

2

2

1217y，24

121217

(x)+y因此所求交線在Oxy平面上的投影為224．

z=0

12．畫出旋轉(zhuǎn)拋物面=zx+y與平面z=4所圍成的立體圖形，求出它在Oxy平面上的投影區(qū)域．由=zx+y與z=4得所圍立體圖形在Oxy平面上的投影區(qū)域?yàn)閤+y≤4．

2

2

2

2

2

2

習(xí)題15

1．求以下平面方程：

（1）經(jīng)過點(diǎn)（1,2,1），法向量為n（2）經(jīng)過點(diǎn)（3,2,1），法向量為n={0,1,2}．={1,1,2}；

0，整理得xy+2z+1=0；（1）易得平面方程為(x+1)(y2)+2(z1)=

0，整理得y+2z=0．（2）易得平面方程為y2+2(z+1)=

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2．求以下平面的法向量及平面所經(jīng)過的一個(gè)點(diǎn)：（1）5x3y31=0；（2）3x+4y+7z+14=0．

（1）法向量為（5,3,0），經(jīng)過點(diǎn)P（8,3,0）；（2）法向量為（3,4,7），經(jīng)過點(diǎn)Q（1,1,3）．

（1）垂直于x軸，平行于y、z軸，垂直于Oxy和Oxz平面，平行于Oyz平面，過原點(diǎn)；（2）垂直于y軸，平行于x、z軸，垂直于Oxy和Oyz平面，平行于Oxz平面，過原點(diǎn)；（3）平行于z軸，垂直于Oxy平面；（4）平行于z軸，垂直于Oxy平面；（5）平行于x軸，垂直于Oyz平面；（6）過原點(diǎn)．4．求平面2x2y+z+5=0的法向量的方向余弦．

nk1nj2ni2n{2,2,1}，故cos，cosβ==，cos．易得法向量==γ=αn3n3n3

5．求經(jīng)過三個(gè)點(diǎn)的平面方程：

（1）點(diǎn)P1(2,3,0),P2(2,3,4),P3(0,6,0)；（2）點(diǎn)Q1(4,2,1),Q2(1,2,2),Q2(0,4,5)．

（1）易得PP13{2,3,0}，因此過P1、P2、P3三點(diǎn)的平面的法向量為12={4,6,4}，PP

ijk

n=PP464=12i8j24k={12,4,24}，故平面方程為12PP13230

12x8(y6)24z=0，整理得3x+2y+6z=12；

（2）易得Q1Q2={5,4,1}，Q1Q3={4,2,6}，因此通過Q1、Q2、Q3三點(diǎn)的平面的法向量為

ijk

n=Q1Q2Q1Q3541=22i34j26k={22,34,26}，故平面方程為

426

22(x4)34(y2)+26(z1)=0，整理得11x17y13z+3=0．

6．給定平面π0:2x8y+z2=，求平面π的方程，使得平面π經(jīng)過點(diǎn)P且與平面0及點(diǎn)P（3,0,5）

π0平行．

n{2,8,1}，又平面π過點(diǎn)P，因此平面π的方程為由平面π0與平面π平行可得平面π的法向量=

2(x3)8y+z+5=0，整理得2x8y+z=1．

7．設(shè)平面π經(jīng)過兩點(diǎn)P0垂直，求平面π的方程．2(2,2,2)，且與平面π0:x+yz=1(1,1,1)和P

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易得PP1,1,1}，又平面π與平面π0垂直，因此平面π的法向量n與平面π0的法向量=n0{1,1,1}相12={

ijk

互垂直，故可取n=2i+2j=PP111={2,2,0}，因此平面π的方程為12n0111

2(x1)+2(y1)=0，整理得xy=0．

8．設(shè)平面π經(jīng)過點(diǎn)P(1,1,1)，且垂直于兩個(gè)平面π1:xy+z1=0和π2:2x+y+z+1=0，求平面

π的方程．

由平面π同時(shí)垂直于平面π1和π2可知平面π的法向量n同時(shí)垂直于平面π1的法向量n={1,1,1}和π21

ijk

的法向量n2={2,1,1}，故可取n=又平面π過點(diǎn)P(1,1,1)，n1n2111=2i+j+3k={2,1,3}，

211

因此平面π的方程為

2(x1)+(y+1)+3(z1)=0，整理得2xy3z=0．

9．設(shè)平面π經(jīng)過點(diǎn)P1(1,2,1)和P2(5,2,7)，且平行于x軸，求平面π的方程．

ijk

易得PPPP08=8j12i612{6,0,8}，由于平面π平行于x軸，故可取平面π的法向量n=

100

={0,8,0}，因此平面π的方程為8(y2)=0，即y=2．

10．寫出平面2x3yz+12=0的截距式方程，并求該平面在各個(gè)坐標(biāo)軸上的截距．

原方程可化為

xyz

++=1，因此該平面在x軸、y軸、z軸的截距分別為6，4，12．6412

11．求兩個(gè)平面π1:x+y1=0與π2:2x2z15=0的夾角．

平面π1的法向量為n1={1,1,0}，平面π2的法向量為cos==n2{2,0,2}，于是有

n1n21

，因此n1n22

平面π1和π2的夾角=

π．3

12．求點(diǎn)P(1,2,1)到平面x+2y+2z10=0的距離d．

由空間點(diǎn)面距離公式直接可得d

1．13．寫出以下直線的對(duì)稱式方程：

（1）通過點(diǎn)P(2,2,2)，方向向量為{1,3,2}；

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（2）通過點(diǎn)P1(2,5,8)和P2(1,6,3)；

（3）通過點(diǎn)P(2,8,3)且垂直于平面π:x+2y3z2=0（4）通過點(diǎn)P(1,2,5)，且平行于直線L:

x3y+6z4=0

{24xy+5z+2=0

．

（1）x2

1y+2z2；32

x2

3

y5z8；15

（2）取方向向量為PP{3,1,5}，則直線的對(duì)稱式方程為12=

=n{1,2,3}，則直線的對(duì)稱式方程為（3）取方向向量為平面π的法向量

x2y+8z3

；123

ijk

（4）取方向向量為直線L的方向向量v={2,3,6}{4,1,5}236={9,14,10}，則直線的對(duì)

415

稱式方程為x+19y2z5

1410

=3t+1x

0x1yz25x+3y5=

t，可得參數(shù)式方程y=5t，整理可得一般式方程；（1）令20xz=365z6t2=+

（2）消去t可得對(duì)稱式方程x1

2ij

（3）由于{3,2,1}{1,2,3}32

120y2z3x+2y5=

，整理可得一般式方程；

011x2z+5=

k

故可取該直線的方向向量為=原方程消1={4,8,4}，v{1,2,1}，

3

，于是得對(duì)稱式方程去y后可得x=z+2，故可取z=1得直線上的一點(diǎn)（3,4,1）

x3

1y+4z1，令21

x=t+3

x3y+4z1

t，進(jìn)而可得參數(shù)式方程y=2t4．112z=t+1

高等數(shù)學(xué)(工本)課后習(xí)題答案

（1）由于所求平面與直線L垂直，故可取所求平面的法向量為直線L的方向向量，即n=v

={1,2,1}{2,1,1}={1,1,3}，因此所求平面的方程為(x2)(y1)3(z1)=0，整理可得

x+y+3z=6；

故所求平面的法向量與直線L1、L2的方向向量都垂直，故可?。?）由于所求平面與直線L1、L2都平行，

n=v1v2，又v1={1,2,1}{1,1,1}={1,2,3}，v2={2,1,1}{1,1,1}={0,1,1}，故n=v1v2

={1,2,3}{0,1,1}={1,1,1}，因此所求平面的方程為(x1)+(y2)(z1)=0，整理可得

xy+z=0；

（3）任取直線上一點(diǎn)Q(9,1,1)，則PQ={6,2,3}，由于所求平面過直線L，故該平面的法向量必垂

直于直線L的方向向量v={5,2,1}，故可取n=vPQ={6,2,3}{5,2,1}={8,9,22}，因此所求平面的

0，整理可得8x9y22z=59．方程為8(x9)9(y+1)22(z1)=

5x3y+3z9=0與直線L:2x+2yz+23=0的夾角．

23x2y+z1=03x+8y+z18=0

易得直線L1、的方向向量為，L2={10,5,10}，v1={5,3,3}{3,2,1}={3,4,1}v2={2,2,1}{3,8,1}

πv1v2

于是有=cos0，因此直線L1、L2的夾角=．

2v1v2

16．求直線L1:17．求直線

{{

x+y+3z=0與平面xyz+1=0的夾角．

xy

z=0

v{1,1,3}{1,1,1=}{2,4,2}平面的法向量n={1,1,1}，于是有易得直線的方向向量=

{

vn

=sin0，因此所求夾角=0．

vn

0xy+1=xy+1=00將直線化為一般式方程可得，于是原問題轉(zhuǎn)變?yōu)榍蠼夥匠探M2xz=，解此方程

2xz=002x+y+z6=

{

x=1

組可得y=2，即交點(diǎn)為（1,2,2）．

z=2

高等數(shù)學(xué)(工本)課后習(xí)題答案

19．求平面x+3y+z1=0與直線

02xyz=

的交點(diǎn)．0x2y2z+3=

0x+3y+z1=x=1

0，得y=1，故交點(diǎn)坐標(biāo)為(1,1,3)．問題可轉(zhuǎn)化為求解方程組2xyz=

0z=3x2y2z+3=

習(xí)題16

1．求以下橢球面的中心和三個(gè)軸長(zhǎng)：（1）9x+4y+36z=36；

（2）25x+100y+4z50x+200y+25=0．

2

2

2

2

2

2

x2y2z2

（1）原方程可化為2+2+2=1，因此橢球面的中心在原點(diǎn)，軸長(zhǎng)分別為4,6,2；

231

(x1)2(y+1)2z2

（2）原方程可化為，軸長(zhǎng)分別為4,2,10．

1，因此橢球面的中心在（1,1,0）++2=

22125

2

2

2

2

（6）=y2x+3z；

2

2

（4）z=2(x1)+2(y1)；（5）z=4(2x+3y)；

（1）橢球面，中心在原點(diǎn)；（2）橢圓拋物面，頂點(diǎn)在原點(diǎn)，開口向上；

（3）橢圓拋物面，頂點(diǎn)在原點(diǎn)，開口向下；（4）拋物面，頂點(diǎn)為（1,1,0），開口向下；（5）橢圓拋物面，頂點(diǎn)在（0,0,4），開口向下；（6）橢圓拋物面，頂點(diǎn)在原點(diǎn)，開頭向y軸正方向；（7）橢圓柱面，母線平行于z軸；（8）橢圓柱面，母線平行于y軸；（9）橢圓錐面；（10）上半橢圓錐面；（11）上半橢球面；（12）通過z軸的兩個(gè)相互垂直的平面，與x、y軸夾角均為3．畫出以下圖形，并指出它們?cè)谥付ㄗ鴺?biāo)面上的投影：

（1）由曲面=zx+2y及z=62xy所圍的立體，求它在Oxy平面上的投影區(qū)域；

（2）由曲面=zx+y，柱面x+y=ax及平面z=0所圍的立體，求它在Oxy平面上的投影區(qū)域；（3）由曲面=zx+y及平面z=1所圍的立體，求它在Oxy平面上的投影區(qū)域；

（4）由曲面x+y+(za)=a(a0)及x+y=z所圍的立體，求它在Oxy平面上的投影區(qū)域；

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

π

．4

高等數(shù)學(xué)(工本)課后習(xí)題答案

2

2

2

2

2

2

2

（7）由曲面x+y+z=R及x+y+z=2Rz所圍的立體，求它在Oxy平面上的投影區(qū)域；（8）由Oxy平面上的曲線y=2x繞x軸旋轉(zhuǎn)而成的曲面與平面x=5所圍的立體，求它在Oxy平面上的投影區(qū)域．

投影區(qū)域分別為：

（1）x+y≤2；（5）x+y≤4；

2

2

2

2

2

（2）x+y≤ax；（3）x+y≤1；（6）x+y≤1；

2

2

2222

（4）x+y≤a；（8）y+z≤10．

2

2

222

（7）x+y≤

22

32

R；4

復(fù)習(xí)題一

一、填空題

1．已知兩點(diǎn)A(4,7,1),B(6,2,z)間的距離為11，則z=

2．設(shè)z軸上的點(diǎn)P到點(diǎn)A(4,1,7)和B(3,5,2)的距離相等，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為(0,0,

14)．9

3．已知向量a的模為2，它與x軸、y軸、z

軸的夾角分別為

πππ

,,，則a={．362

4．若向量=a{λ,3,2}與向量=b{1,2,λ}相互垂直，則λ=．

6，則a5．已知a=3，b=5，a

+b=

6．若向量a,b,c兩兩的夾角都為

π

3

，且a=4，b

=2，c=6，則a+b

{yz,zx,xy}．7．設(shè)向量OM={x,y,z}，a={1,1,1}，則OMa=

y=ex22

8．Oxy平面上的曲線繞x軸旋轉(zhuǎn)的旋轉(zhuǎn)面方程為y+z=e2x．

z=0

9．柱面y=2x的母線與2

2

y=2x軸平行，其準(zhǔn)線為．z=0

{

2

y=z10．曲面=繞yyx+z是Oyz平面上的曲線

x=0

2

2

{

軸旋轉(zhuǎn)的旋轉(zhuǎn)面．

二、單項(xiàng)選擇題

1．已知向量PQ={4,4,7}的終點(diǎn)為Q(2,1,7)，則起點(diǎn)P的坐標(biāo)為A．(2,3,0)

B．(2,3,0)

C．(4,5,14)

（A）

D．(4,5,14)

高等數(shù)學(xué)(工本)課后習(xí)題答案

2．設(shè)向量a與b平行但方向相反，且ab0，則以下式子正確的是A．a(chǎn)+bab

B．a(chǎn)+bab

C．a(chǎn)+b=a+b

（D）

D．a(chǎn)+b=abD

（C）

3．已知向量a={1,1,1}，則垂直于a及y軸的單位向量b=A

1,1,1}B．{1,1,0}

C

1,0,1}

1,0,1}

（A）

4．通過點(diǎn)M(5,2,1)且平行于Oyz平面的平面方程為

0A．x+5=

B．y2=0

0C．z+1=

0D．x1=

（A）

5．設(shè)空間直線方程為A．(0,0,0)

2

x

0yz

，則此直線經(jīng)過的點(diǎn)是12

2

B．(0,1,0)

2

C．(0,0,1)D．(2,1,2)

（B）

6．設(shè)球面方程為x+(y1)+(z+2)=2，則以下點(diǎn)在球面內(nèi)部的是A．(1,2,3)

B．(0,1,1)

2

C．(0,1,1)

D．(1,1,1)

2

7．以下曲面中經(jīng)過原點(diǎn)的曲面是A．x=y+z+28

．曲面=z

2

2

2

2

（C）

B．x+y+z=1C．=z

y2+xy2

D．z=(x+1)+y

（C）

y2的圖形關(guān)于

A．Oyz平面對(duì)稱B．Oxy平面對(duì)稱C．Oxz平面對(duì)稱

D．原點(diǎn)對(duì)稱

（D）

9．在空間直角坐標(biāo)系下，方程3x+5y=0的圖形表示

A．通過原點(diǎn)的直線B．垂直于z軸的直線C．垂直于z軸的平面D．通過z軸的平面10．在空間直角坐標(biāo)系下，z軸的對(duì)稱式方程是A．

（A）

x1yz

001

B．x

0yz3

02

C．x

1yz

00

D．x0yz

10

三、綜合題

1．證明以A(4,1,9)，B(10,1,6)，C(2,4,3)為頂點(diǎn)的三角形是等腰直角三角形．

證明易得AB{6,2,3}，BC={8,5,3}，AC={2,3,6}，于是有AB=7，

BC=，222AC=7，又AB+ACBC，由此可得ABC是等腰直角三角形．

2．在Oyz平面上求與三個(gè)點(diǎn)A(3,1,2)，B(4,2,2)，C(0,5,1)等距離的點(diǎn)的坐標(biāo)．

9+(x1)2+(y2)2=16+(x+2)2+(y+2)2

設(shè)所求點(diǎn)的的坐標(biāo)為P（0，x，y），由題設(shè)所給條件可得，2222

9+(x1)+(y2)=(x5)+(y1)

整理可得

{

3x+4y+5=0，解之得x=1，因此所求點(diǎn)的坐標(biāo)為（0,1,2）

．

4xy=6y=2

{

高等數(shù)學(xué)(工本)課后習(xí)題答案

3．設(shè)邊長(zhǎng)為a的正方體放置在Oxy平面上，底面的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，底面的一個(gè)頂點(diǎn)在x軸上，畫出正方體在空間直角坐標(biāo)系上的位置，求出它各個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)．

8

個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為

,0,0)，

,0)，(

,0,0)，(0,

,0)，,0,a

)，,a

)，(

,a)．,0,a)，(0,4．設(shè)有三個(gè)力F1={1,2,3}，F(xiàn)2={2,3,4}，F(xiàn)={3,4,5}，求合力F的模與方向余弦．3

易得F=F1+F2+F3={2,1,4}，故FFi

，cos=αF

F

jcos=βF

Fk，cos=γ

F

αβαβ

α設(shè)向量α與β的夾角為，則=，又當(dāng)與平行時(shí)，設(shè)，則βkαβ=cos1cos≤=1，αβαβ

因此對(duì)于任何向量α與β恒有αβ≤β，當(dāng)且僅當(dāng)它們平行時(shí)等號(hào)成立．

并指出等號(hào)成立的條件．

設(shè)向量α={a1,a2,a3}，β=

{b1,b2,b3}

由上題結(jié)論β≤αβ可得

a1b

2+a2b2+a3b3≤，當(dāng)且僅當(dāng)α與β平行時(shí)等號(hào)成立．

222222

b+b=a2ab+b，故ab=0，于是有a

b由a+b=ab可得a+bab，即a+2a

=π(a+b)(ab)

設(shè)a與b的夾角為θ=，a+b與ab的夾角為，則cos=6a

+bab

a+b

a

b22ab

，又

a+b

ab

a+b與1，因此cos=ab的夾角為=．

高等數(shù)學(xué)(工本)課后習(xí)題答案

8．證明：兩個(gè)方程組

{

F1(x,y,z)=0F2(x,y,z)=0

，表示同一條曲線的充要條件為它們是同解方程組．

G1(x,y,z)=0G2(x,y,z)=0

F(x,y,z)=0{G(x,y,z)=0

11

{

先證充分性：設(shè)點(diǎn)P(x1,y1,z1)是曲線

上的任意點(diǎn)，由于兩個(gè)方程組是同解方程組，故

{

F2(x1,y1,z1)=0F(x,y,z)=0F(x,y,z)=0

，同理可得對(duì)于曲線2上的任意點(diǎn)Q(x2,y2,z2)也有1222，即若

G1(x2,y2,z2)=0G2(x1,y1,z1)=0G2(x,y,z)=0

{{

兩方程組是同解方程組，則兩方程組表示同一曲線；

再證必要性：若兩方程組表示同一曲線，則對(duì)于曲線

F(x,y,z)=0

{G(x,y,z)=0

11

上的任意點(diǎn)P(x1,y1,z1)都在曲線

{

F2(x,y,z)=0F(x,y,z)=0F(x,y,z)=0

上，即2111，同理對(duì)于2上的任意點(diǎn)Q(x2,y2,z2)也有

G2(x,y,z)=0G2(x,y,z)=0G2(x1,y1,z1)=0

1

2

2

2

{{

F(x,y,z)=0{G(x,y,z)=0

1

2

2

2

，因此兩方程組是同解方程組．

9．求與三個(gè)點(diǎn)A（3,7,4），B（5,7,4），C（5,1,4）的距離都相等的點(diǎn)的軌跡．

設(shè)所求點(diǎn)的坐標(biāo)為P(x,y,z)，

則并整理可得

化簡(jiǎn)1{xy==4

，即所求點(diǎn)的軌跡為直線

1

{xy==4

．

222

x+y+z=64化為參數(shù)方程．10．將空間曲線方程

y+z=0

{

0化為y=z后帶入方程x2+y2+z2=64，即將y+z=64可得x+2z=x=

x=8cost，然后可得參數(shù)方程y=t．

z=t

22

1212

x+z=1，令6432

2x2+y2+z2=16為準(zhǔn)線，母線分別平行于x軸、y軸的柱面方程．

11．求以C:222

0xy+z=

將方程組消去x、y后便可得到解答，于是由：（1）將方程組中其次個(gè)方程的兩倍減去第一個(gè)方程可得3y2

22222=16．

v=0，又投影點(diǎn)必在直線上，由此可得方程設(shè)投影點(diǎn)坐標(biāo)為B(a,b,c)，則由題設(shè)可知其坐標(biāo)滿足AB

a+7b+2c+2a=5

，解此方程組可得b=2，因此投影點(diǎn)坐標(biāo)為（5,2,4）．組123

0c=4(a2)+2(b3)+3(c1)=

高等數(shù)學(xué)(工本)課后習(xí)題答案

其次章多元函數(shù)的微分學(xué)

習(xí)題2-1

（2）開區(qū)域，有界．

（1）閉區(qū)域，無界；2

2

（

1）0≤y≤x,x≥0；（2）yx+10；

22

（3）x+y≠0；（4）xy,x+y≥0．

y

214y2xyf(2,1)=，．f(1,)3x1()2x2y2

x

4．已知函數(shù)f(x,y)=lnxlny，求：

（1）f(x0+h,y0+k)f(x0,y0)；（2）f(2,1+k)f(2,1)；（3）f(1+h,1)f(1,1)．（1）f(x0+h,y0+k)f(x0,y0=)ln(x0+h)ln(y0+k)lnx0lny0；（2）f(2,1+k)f(2,1)=ln2ln(1+k)；

0．

（3）f(1+h,1)f(1,1)=

（1）lim

x→0

y→1

1xy

=1；

x2y2

（2）x→0

1y→

2