2023屆數(shù)學2.9函數(shù)的應(yīng)用

(時間：60分鐘)A組專項基礎(chǔ)訓練一、選擇題(每小題5分，共20分)1.有一批材料可以圍成200m長的圍墻，現(xiàn)用此材料在一邊靠墻的地方圍成一塊矩形場地(如圖)，且內(nèi)部用此材料隔成三個面積相等的矩形，則圍成的矩形場地的最大面積為()A．1000m2B．2000m2C．2500m2D．3000m2答案C解析設(shè)圍成的場地寬為xm，面積為ym2，則y＝3x(200－4x)×eq\f(1,3)＝－4x2＋200x(0<x<50)．當x＝25時，ymax＝25×100＝2500.∴圍成的矩形場地的最大面積為2500m2.2．(2023·湖北改編)里氏震級M的計算公式：M＝lgA－lgA0，其中A是測震儀記錄的地震曲線的最大振幅，A0是相應(yīng)的標準地震的振幅．假設(shè)在一次地震中，測震儀記錄的最大振幅是1000，此時標準地震的振幅為0.001，則此次地震的震級為________級；9級地震的最大振幅是5級地震最大振幅的_______倍．()A．61000B．41000C．610000D．410000答案C解析由M＝lgA－lgA0知，M＝lg1000－lg0.001＝3－(－3)＝6，∴此次地震的震級為6級．設(shè)9級地震的最大振幅為A1,5級地震的最大振幅為A2，則lgeq\f(A1,A2)＝lgA1－lgA2＝(lgA1－lgA0)－(lgA2－lgA0)＝9－5＝4.∴eq\f(A1,A2)＝104＝10000，∴9級地震的最大振幅是5級地震最大振幅的10000倍．3．某電信公司推出兩種收費方式：A種方式是月租20元，B種方式是月租0元．一個月的本地網(wǎng)內(nèi)打出時間t(分鐘)與打出費s(元)的函數(shù)關(guān)系如圖，當打出150分鐘時，這兩種方式費相差()A．10元B．20元C．30元D.eq\f(40,3)元答案A解析設(shè)A種方式對應(yīng)的函數(shù)解析式為s＝k1t＋20，B種方式對應(yīng)的函數(shù)解析式為s＝k2t，當t＝100時，100k1＋20＝100k2，∴k2－k1＝eq\f(1,5)，t＝150時，150k2－150k1－20＝150×eq\f(1,5)－20＝10.4.某汽車運輸公司購買了一批豪華大客車投入營運，據(jù)市場分析每輛客車營運的總利潤y(單位：10萬元)與營運年數(shù)x(x∈N*)為二次函數(shù)關(guān)系(如右圖所示)，則每輛客車營運多少年時，其營運的平均利潤最大()A．3B．4C．5D．6答案C解析由題圖可得營運總利潤y＝－(x－6)2＋11，則營運的年平均利潤eq\f(y,x)＝－x－eq\f(25,x)＋12，∵x∈N*，∴eq\f(y,x)≤－2eq\r(x·\f(25,x))＋12＝2，當且僅當x＝eq\f(25,x)，即x＝5時取“＝”．∴x＝5時營運的平均利潤最大．二、填空題(每小題5分，共15分)5.如圖，書的一頁的面積為600cm2，設(shè)計要求書面上方空出2cm的邊，下、左、右方都空出1cm的邊，為使中間文字部分的面積最大，這頁書的長、寬應(yīng)分別為____________．答案30cm、20cm解析設(shè)長為acm，寬為bcm，則ab＝600，則中間文字部分的面積S＝(a－2－1)(b－2)＝606－(2a＋3b)≤606－2eq\r(6×600)＝486，當且僅當2a＝3b，即a＝30，b＝20時，S最大＝486.6．某市出租車收費標準如下：起步價為8元，起步里程為3km(不超過3km按起步價付費)；超過3km但不超過8km時，超過部分按每千米2.15元收費；超過8km時，超過部分按每千米2.85元收費，另每次乘坐需付燃油附加費1元．現(xiàn)某人乘坐一次出租車付費22.6元，則此次出租車行駛了________km.答案9解析設(shè)出租車行駛xkm時，付費y元，則y＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(9，0<x≤3,8＋2.15x－3＋1，3<x≤8,8＋2.15×5＋2.85x－8＋1，x>8))由y＝22.6，解得x＝9.7．(2023·紹興模擬)2023年我國人口總數(shù)為14億，如果人口的自然年增長率控制在1.25%，則________年我國人口將超過20億．(lg2≈0.3010，lg3≈0.4771，lg7≈0.8451)答案2037解析由已知條件：14(1＋1.25%)x－2008>20，x－2008>eq\f(lg\f(10,7),lg\f(81,80))＝eq\f(1－lg7,4lg3－3lg2－1)＝28.7，則x>2036.7，即x＝2037.三、解答題(共25分)8．(12分)如圖所示，在矩形ABCD中，已知AB＝a，BC＝b(a>b)．在AB、AD、CD、CB上分別截取AE、AH、CG、CF都等于x，當x為何值時，四邊形EFGH的面積最大？求出這個最大面積．解設(shè)四邊形EFGH的面積為S，由題意得S△AEH＝S△CFG＝eq\f(1,2)x2，S△BEF＝S△DHG＝eq\f(1,2)(a－x)·(b－x)．由此得S＝ab－2eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)x2＋\f(1,2)a－xb－x))＝－2x2＋(a＋b)x＝－2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(a＋b,4)))2＋eq\f(a＋b2,8).函數(shù)的定義域為{x|0<x≤b}，因為a>b>0，所以0<b<eq\f(a＋b,2).若eq\f(a＋b,4)≤b，即a≤3b，x＝eq\f(a＋b,4)時面積S取得最大值eq\f(a＋b2,8)；若eq\f(a＋b,4)>b，即a>3b時，函數(shù)S＝－2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(a＋b,4)))2＋eq\f(a＋b2,8)在(0，b]上是增函數(shù)，因此，當x＝b時，面積S取得最大值ab－b2.綜上可知，若a≤3b，當x＝eq\f(a＋b,4)時，四邊形EFGH的面積取得最大值eq\f(a＋b2,8)；若a>3b，當x＝b時，四邊形EFGH的面積取得最大值ab－b2.9．(13分)某種出口產(chǎn)品的關(guān)稅稅率為t，市場價格x(單位：千元)與市場供應(yīng)量p(單位：萬件)之間近似滿足關(guān)系式：p＝2(1－kt)(k－b)2，其中k，b均為常數(shù)．當關(guān)稅稅率t＝75%時，若市場價格為5千元，則市場供應(yīng)量為1萬件；若市場價格為7千元，則市場供應(yīng)量約為2萬件．(1)試確定k，b的值；(2)市場需求量q(單位：萬件)與市場價格x近似滿足關(guān)系式：q＝2－x，當p＝q時，市場價格稱為市場平衡價格，當市場平衡價格不超過4千元時，試確定關(guān)稅稅率的最大值．解(1)由已知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1＝21－0.75k5－b2,2＝21－0.75k7－b2))，?eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1－0.75k5－b2＝0,1－0.75k7－b2＝1)).解得b＝5，k＝1.(2)當p＝q時，2(1－t)(x－5)2＝2－x，∴(1－t)(x－5)2＝－x?t＝1＋eq\f(x,x－52)＝1＋eq\f(1,x＋\f(25,x)－10)而f(x)＝x＋eq\f(25,x)在(0,4]上單調(diào)遞減，∴當x＝4時，f(x)有最小值eq\f(41,4)，故當x＝4時，關(guān)稅稅率的最大值為500%.B組專項能力提升一、選擇題(每小題5分，共15分)1．某公司在甲、乙兩地銷售一種品牌車，利潤(單位：萬元)分別為L1＝5.06x－0.15x2和L2＝2x，其中x為銷售量(單位：輛)．若該公司在這兩地共銷售15輛車，則能獲得最大利潤為()A．45.606萬元B．45.6萬元C．45.56萬元D．45.51萬元答案B解析依題意可設(shè)甲銷售x輛，則乙銷售(15－x)輛，總利潤S＝L1＋L2，則總利潤S＝5.06x－0.15x2＋2(15－x)＝－0.15x2＋3.06x＋30＝－0.15(x－10.2)2＋0.15×10.22＋30(x≥0)．∴當x＝10時，Smax＝45.6(萬元)．2．某廠有許多形狀為直角梯形的鐵皮邊角料，如圖，為降低消耗，開源節(jié)流，現(xiàn)要從這些邊角料上截取矩形鐵片(如圖中陰影部分)備用，當截取的矩形面積最大時，矩形兩邊長x、y應(yīng)為()A．x＝15，y＝12B．x＝12，y＝15C．x＝14，y＝10D．x＝10，y＝14答案A解析由三角形相似得eq\f(24－y,24－8)＝eq\f(x,20)，得x＝eq\f(5,4)(24－y)，∴S＝xy＝－eq\f(5,4)(y－12)2＋180，∴當y＝12時，S有最大值，此時x＝15.3．(2023·江西)如圖，已知正四棱錐S－ABCD所有棱長都為1，點E是側(cè)棱SC上一動點，過點E垂直于SC的截面將正四棱錐分成上、下兩部分．記SE＝x(0<x<1)，截面下面部分的體積為V(x)，則函數(shù)y＝V(x)的圖象大致為()答案A解析“分段”表示函數(shù)y＝V(x)，根據(jù)解析式確定圖象．當0<x<eq\f(1,2)時，截面為五邊形，如圖所示．由SC⊥面QEPMN，且?guī)缀误w為正四棱錐，棱長均為1，可求得正四棱錐的高h＝eq\f(\r(2),2)，取MN的中點O，易推出OE∥SA，MP∥SA，NQ∥SA，則SQ＝SP＝AM＝AN＝2x，四邊形OEQN和OEPM為全等的直角梯形，則VS－AMN＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)·AM·AN·h＝eq\f(\r(2),3)x2，此時V(x)＝VS－ABCD－VS－AMN－VS－EQNMP＝eq\f(\r(2),6)－eq\f(\r(2),3)x2－eq\f(1,3)×(2eq\r(2)x－3eq\r(2)x2)x＝eq\r(2)x3－eq\r(2)x2＋eq\f(\r(2),6)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0<x<\f(1,2)))，非一次函數(shù)形式，排除選項C，D.當E為SC中點時，截面為三角形EDB，且S△EDB＝eq\f(\r(2),4).當eq\f(1,2)<x<1時，eq\f(S截面,\f(\r(2),4))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1－x,\f(1,2))))2?S截面＝eq\r(2)(1－x)2.此時V(x)＝eq\f(\r(2),3)(1－x)3?V′＝－eq\r(2)(1－x)2.當x→1時，V′→0，則說明V(x)減小越來越慢，排除選項B.方法二二、填空題(每小題4分，共12分)4．某商家一月份至五月份累計銷售額達3860萬元，預測六月份銷售額為500萬元，七月份銷售額比六月份遞增x%，八月份銷售額比七月份遞增x%，九、十月份銷售總額與七、八月份銷售總額相等，若一月份至十月份銷售總額至少達7000萬元，則x的最小值是________．答案20解析由題意得，3860＋500＋[500(1＋x%)＋500(1＋x%)2]×2≥7000，化簡得(x%)2＋3·x%－0.64≥0，解得x%≥0.2或x%≤－3.2(舍去)．∴x≥20，即x的最小值為20.5．某商人購貨，進價已按原價a扣去25%.他希望對貨物訂一新價，以便按新價讓利20%銷售后仍可獲得售價25%的利潤，則此商人經(jīng)營這種貨物的件數(shù)x與按新價讓利總額y之間的函數(shù)關(guān)系式為______________．答案y＝eq\f(a,4)x(x∈N*)解析設(shè)新價為b，依題意，有b(1－20%)－a(1－25%)＝b(1－20%)·25%，化簡得b＝eq\f(5,4)a.∴y＝b·20%·x＝eq\f(5,4)a·20%·x，即y＝eq\f(a,4)x(x∈N*)．6．某醫(yī)院為了提高服務(wù)質(zhì)量，對掛號處的排隊人數(shù)進行了調(diào)查，發(fā)現(xiàn)：當還未開始掛號時，有N個人已經(jīng)在排隊等候掛號；開始掛號后排隊的人數(shù)平均每分鐘增加M人．假定掛號的速度是每個窗口每分鐘K個人，當開放一個窗口時，40分鐘后恰好不會出現(xiàn)排隊現(xiàn)象；若同時開放兩個窗口時，則15分鐘后恰好不會出現(xiàn)排隊現(xiàn)象．根據(jù)以上信息，若要求8分鐘后不出現(xiàn)排隊現(xiàn)象，則需要同時開放的窗口至少應(yīng)有________個．答案4解析設(shè)要同時開放x個窗口才能滿足要求，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(N＋40M＝40K，①,N＋15M＝15K×2，②,N＋8M≤8Kx.③))由①②，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(K＝2.5M，,N＝60M，))代入③，得60M＋8M≤8×2.5Mx，解得x≥3.4.故至少同時開放4個窗口才能滿足要求．三、解答題(13分)7．(2023·湖北)提高過江大橋的車輛通行能力可改善整個城市的交通狀況．在一般情況下，大橋上的車流速度v(單位：千米/時)是車流密度x(單位：輛/千米)的函數(shù)．當橋上的車流密度達到200輛/千米時，造成堵塞，此時車流速度為0；當車流密度不超過20輛/千米時，車流速度為60千米/時．研究表明：當20≤x≤200時，車流速度v是車流密度x的一次函數(shù)．(1)當0≤x≤200時，求函數(shù)v(x)的表達式；(2)當車流密度x為多大時，車流量(單位時間內(nèi)通過橋上某觀測點的車輛數(shù)，單位：輛/時)f(x)＝x·v(x)可以達到最大，并求出最大值．(精確到1輛/時)解(1)由題意，當0≤x≤20時，v(x)＝60；當20