北師大版八年級(jí)數(shù)學(xué)《勾股定理》特色題

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《勾股定理》之特色題

本文將在各地課改試驗(yàn)區(qū)的中考試題中，涉及《勾股定理》知識(shí)內(nèi)容的特色創(chuàng)新題采擷幾例，供讀者學(xué)習(xí)鑒賞．

一、清爽扮靚的規(guī)律探究題

例1（成都市）如圖，假使以正方形ABCD的對(duì)角線AC為邊作其次個(gè)正方形ACEF，再以對(duì)角線AE為邊作第三個(gè)正方形AEGH，如此下去，?，已知正方形ABCD的面積S1為1，按上述方法所作的正方形的面積依次為S2，S3，?，Sn（n為正整數(shù)），那么第8個(gè)正方形的面積S8＝_______．

：求解這類題目的常見策略是：“從特別到一般〞．即是先通過觀測(cè)幾個(gè)特別的數(shù)式中的變數(shù)與不變數(shù)，得出一般規(guī)律，然后再利用其一般規(guī)律求解所要解決的問題．對(duì)于此題，由勾股定理、正方形的面積計(jì)算公式易求得：

JGFHDAECBIS1?12?1，S2?(2)2?2S3?22?4S4?(22)2?8

照此規(guī)律可知：S5?42?16，

觀測(cè)數(shù)1、2、4、8、16易知：于是可知Sn?2n?11?2,2?2,4?2,8?2,16?2，因此，S8?28?1?27?128二、考察閱讀理解能力的材料分析題例2（臨安）閱讀以下題目的解題過程：

已知a、b、c為?的三邊，且滿足a，試判斷?的ABCABCc?bc??ab形狀．

解：?ac?bc?a?b(A)22224422224401234?c2(a2?b2)?(a2?b2)(a2?b2)?c2?a2?b2(B)

(C)??ABC是直角三角形問：（1）上述解題過程，從哪一步開始出現(xiàn)錯(cuò)誤？請(qǐng)寫出該步的代

認(rèn)真愛心一心1

號(hào)：；

（2）錯(cuò)誤的原由于：（3）此題正確的結(jié)論為：.

：材料閱讀題是近年中考的熱點(diǎn)命題，其類型多種多樣，此題屬于“判斷糾錯(cuò)型〞題目．集中考察了因式分解、勾股定理等知識(shí)．在由a得到等式c?bc??ab222244c2(a2?b2)?(a2?b2)(a2?b2)沒有錯(cuò)，錯(cuò)在將這個(gè)等式兩邊同除了一個(gè)可能為零的式子

a2?b2．若a2?b2?0，則有(a?b)(a?b)?0，從而得a?b，這時(shí)，?ABC為等腰三

角形．因此：

(1)選C．

(2)沒有考慮a?b?0

(3)?ABC是直角三角形或等腰三角形三、滲透新課程理念的圖形拼接題

例3（長春）如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3．在Rt△ABC的外部拼接一個(gè)適合的直角三角形，使得拼成的圖形是一個(gè)等腰三角形，如下圖．

要求：在答題卡的兩個(gè)備用圖中分別畫出兩種與例如不同的拼接方法，并在圖中標(biāo)明拼接的直角三角形的三邊長．（請(qǐng)同學(xué)們先用鉛筆畫現(xiàn)草圖，確定后再用0.5毫米的黑色簽字筆畫出正確的圖形）

22例如圖備用圖：要在Rt△ABC的外部拼接一個(gè)適合的直角三角形，使得拼成的圖形是一個(gè)等腰三角形，關(guān)鍵是腰與底邊的確定；要求在圖中標(biāo)明拼接的直角三角形的三邊長，這需要用到勾股定理知識(shí)．下面四種拼接方法可供參考．

認(rèn)真愛心一心2

四、極具“熱點(diǎn)〞的動(dòng)態(tài)探究題

例4（泉州）:如圖１，一架長4米的梯子AB斜靠在與地面OM垂直的墻壁ON上，梯子與地面的傾斜角α為60．

⑴求AO與BO的長；

⑵若梯子頂端A沿NO下滑，同時(shí)底端B沿OM向右滑行.如圖2，設(shè)A點(diǎn)下滑到C點(diǎn)，B點(diǎn)向右滑行到D點(diǎn)，并且AC:BD=2:3，試計(jì)算梯子頂端A沿NO下滑多少米?

：對(duì)于沒有學(xué)習(xí)解直角三角形知識(shí)的同學(xué)而言，求解此題有一定的難度．但若是利用等邊三角形就可以推出的一特性質(zhì)：“在直角三角形中，假使一個(gè)銳角等于30，那么它所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半〞，結(jié)合勾股定理求解，還是簡單解答的．

⑴Rt?AOB中,∠O=90,∠α=60∴,∠OAB=30，又ＡＢ＝4米，∴OB??????1AB?2米.2由勾股定理得：OA?AB2?OB2?42?22?12?23（米）.

⑵設(shè)AC?2x,BD?3x,在Rt?COD中,

OC?23?2x,OD?2?3x,CD?4

認(rèn)真愛心一心

3

根據(jù)勾股定理:OC?OD?CD∴23?2x2222??2??2?3x??42-

2∴13x?12?83x?0∵x?0∴13x?12?83?0

??∴x?83?12163?24所以，AC=2x=1313163?24米.

13即梯子頂端A沿NO下滑了

勾股定理中的常見題型例析

勾股定理是幾何計(jì)算中運(yùn)用最多的一個(gè)知識(shí)點(diǎn)．考察的主要方式是將其綜合到幾何應(yīng)用的解答題中，常見的題型有以下幾種：

一、探究開放題

例1如圖1，設(shè)四邊形ABCD是邊長為1的正方形，以正方形ABCD的對(duì)角線AC為邊作其次個(gè)正方形ACEF，再以其次個(gè)正方形的對(duì)角線AE為邊作第三個(gè)正方形AEGH，如此下去??．

（1）記正方形ABCD的邊長為a1＝1，依上述方法所作的正方形的邊長依次為a2，a3，a4，?，an，求出a2，a3，a4的值．

認(rèn)真愛心一心4

（2）根據(jù)以上規(guī)律寫出第n個(gè)正方形的邊長an的表達(dá)式．

分析：依次運(yùn)用勾股定理求出a2，a3，a4，再觀測(cè)、歸納出一般規(guī)律．解：(1)∵四邊形ABCD為正方形，∴AB=BC=CD=AD=1．由勾股定理，得AC＝AB2?BC2?2，

同理，AE=2，EH=22．即a2=2，a3=2，a4=22．

(2)∵a1?1?(2)0，a2?2?(2)1，a3?2?(2)2，a4?22?(2)3，∴an?(2)n?1n?1,n是自然數(shù)．

點(diǎn)撥：探究開放題形式別致、思考方向不確定，因此綜合性和規(guī)律性較強(qiáng)，它著力于考察觀測(cè)、分析、比較、歸納、推理等方面的能力，對(duì)提高同學(xué)們的思維品質(zhì)和解決問題的能力具有十分重要的作用．

二、動(dòng)手操作題

例2如圖2，圖（１）是用硬紙板做成的兩個(gè)全等的直角三角形，兩條直角邊長分別為a和b，斜邊長為c．圖（２）是以c為直角邊的等腰直角三角形．請(qǐng)你開動(dòng)腦筋，將它們拼成一個(gè)能證明勾股定理的圖形．

（１）畫出拼成的這個(gè)圖形的示意圖，寫出它是什么圖形；（２）用這個(gè)圖形證明勾股定理；

（３）假設(shè)圖（１）中的直角三角形有苦干個(gè)，你能運(yùn)用圖（１）所給的直角三角形拼出另一種能證明勾股定理的圖形嗎？請(qǐng)畫出拼后的示意圖（無需證明）．

解：（1）所拼圖形圖3所示，它是一個(gè)直角梯形．

（2）由于這個(gè)梯形的兩底分別為a、b，腰為（a+b），所以梯形的面積為

??11(a?b)(a?b)?(a?b)2．又由于這個(gè)梯形的面積等于三個(gè)直角三角形的面積和，所以221112梯形的面積又可表示為：ab?ab?c．

222111122222∴(a?b)?ab?ab?c．∴a?b?c．2222（3）所拼圖形如圖4．

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點(diǎn)撥：動(dòng)手操作題內(nèi)容豐富，解法靈活，有利于考察解題者的動(dòng)手能力和創(chuàng)新設(shè)計(jì)的才能。此題通過巧妙構(gòu)圖，然后運(yùn)用面積之間的關(guān)系來驗(yàn)證勾股定理。

三、閱讀理解題

例3已知a，b，c為△ABC的三邊且滿足ac－bc=a－b，試判斷△ABC的形狀．小明同學(xué)是這樣解答的．

解：∵ac－bc=a－b，∴c22

22

4

4

22

22

4

4

2?a2?b2???a2?b2??a2?b2?

c2?a2?b2∴．訂正：∴△ABC是直角三角形．

?橫線與問號(hào)是老師給他的批注，老師還寫了如下評(píng)語：“你的解題思路很明了，但解題過程中出現(xiàn)了錯(cuò)誤，相信你再思考一下，一定能寫出完整的解題過程．〞請(qǐng)你幫助小明訂正此題，好嗎？

分析：這類閱讀題在浮現(xiàn)問題全貌的同時(shí)，在關(guān)鍵處留下疑問點(diǎn)，讓同學(xué)們認(rèn)真思考，以補(bǔ)充欠缺的部分，這相當(dāng)于提醒了整體思路，而讓學(xué)生在整體理解的基礎(chǔ)上給予具體的補(bǔ)缺．因此，此題可作如下訂正：

解：∵ac－bc=a－b，∴c22

22

4

4

2?a2?b2???a2?b2??a2?b2?．

22∴a?b???c2?a2?b2??0，∴a2?b2?0或c2?a2?b2．

222∴a?b或c?a?b．∴△ABC是等腰三角形或直角三角形．

點(diǎn)撥：閱讀理解題它與高考中興起的信息遷移題有異曲同工之巧．解決的關(guān)鍵是抓住疑問點(diǎn)，補(bǔ)全漏洞．

四、方案設(shè)計(jì)題

例4給你一根長為30cm的木棒，現(xiàn)要你截成三段，做一個(gè)直角三角形，怎樣截取（允許有余料）？請(qǐng)你設(shè)計(jì)三種方案．

分析：構(gòu)造直角三角形，可根據(jù)勾股定理的逆定理來解決．解：方案一：分別截取3cm，4cm，5cm；方案二：分別截取6cm，8cm，10cm；方案三：分別截取5cm，12cm，13cm．

點(diǎn)撥：此題首先依據(jù)勾股定理的逆定理進(jìn)行分析，設(shè)計(jì)出方案，然后再通過測(cè)量、截取、加工等活動(dòng)方能完成．既要思考，又要?jiǎng)邮郑寣W(xué)生在這個(gè)過程中，體會(huì)做數(shù)學(xué)的開心．

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五、實(shí)際應(yīng)用題

例5如圖5，三個(gè)正方形形狀的土地面積分別是74英畝、116英畝、370英畝，三個(gè)正方形恰好圍著一個(gè)池塘．現(xiàn)要將這560英畝的土地拍賣，假使有人能計(jì)算出池塘的面積，則池塘不計(jì)入土地價(jià)錢白白奉送，英國數(shù)學(xué)家巴爾教授曾經(jīng)巧妙地解答了這個(gè)問題，你能解決嗎？

分析：巴爾教授解決這個(gè)問題時(shí)首先發(fā)現(xiàn)三個(gè)正方形的面積74、116、370相當(dāng)于池塘的三條邊的平方，因而聯(lián)想到勾股定理，得74=5+7，116=4+10，370=9+17．于是作出圖6，運(yùn)用勾股定理的逆定理，問題就得以解決．

解：∵74=5+7，∴AB是兩直角邊分別為

5和7的直角三角形的斜邊，作出這個(gè)直角三角形，得Rt△ABE．

同理，作Rt△BCF，其中BF=4，F(xiàn)C=10．延長AE、CF交于D，則AD=9，CD=17，而

2

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AC2=370=92+172=AD2+CD2，∴△ACD是直角三角形，∠ADC=90°．

∴

111S?ABC?S?ADC?S?AEB?S?BCF?SEDFB=?17?9??7?5??10?4?4?7?11．

222點(diǎn)撥：此題的關(guān)鍵是運(yùn)用勾股定理和它的逆定理構(gòu)造新圖形，用構(gòu)造法解題的思想，有助于提高運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問題的能力．

勾股定理的逆定理典例分析

例1假使一個(gè)三角形的三邊長分別為

，則這三角形是直角三角形

分析：驗(yàn)證三邊是否符合勾股定量的逆定理

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證明：∵

∴

∵∠C＝

說明：勾股定理的逆定理給出了判定一個(gè)三角形是直角三角形的方法，與前面學(xué)習(xí)的方法不同，它需要通過代數(shù)運(yùn)算算出來．

例2已知：如圖，四邊形ABCD中，∠B＝求四邊形ABCD的面積

，AB＝3，BC＝4，CD＝12，AD＝13

分析：我們不知道這個(gè)四邊形是否為特別的四邊形，所以將四邊形分割為兩個(gè)三角形，只要求出這兩個(gè)三角形的面積，四邊形的面積就等于這兩個(gè)三角形的面積和．

解：連結(jié)AC

∵∠B＝，AB＝3，BC＝4

∴

∴AC＝5

∵

∴

∴∠ACD＝

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