信號(hào)處理技術(shù)課件chapter

信號(hào)處理技術(shù)上海大學(xué)碩士生課程第四章

同態(tài)信號(hào)處理

(HomomorphicSignalProcessing)參考章節(jié)（2）奧本海姆：第十章（3）離散時(shí)間信號(hào)處理：第12章

【特點(diǎn)】

乘法混合或卷積混合的信號(hào)加法混合型信號(hào)由線性系統(tǒng)（分離）處理

【典型】

乘法同態(tài)處理：在圖像處理中，用于圖像增強(qiáng)、壓縮動(dòng)態(tài)范圍；卷積同態(tài)處理：在通信中用于抗多徑干擾、解混響§4.1同態(tài)處理的基本概念

1.滿足廣義疊加原理

以前的線性系統(tǒng)滿足疊加原理L[]x(n)++y(n)§4.1同態(tài)處理的基本概念

同態(tài)系統(tǒng)（變換）則滿足廣義疊加原理H[]x(n)□○y(n)符號(hào)□、○分別表示輸入信號(hào)（矢量）之間，以及輸出信號(hào)（矢量）之間的運(yùn)算法則，如加、減、乘、卷積等，稱廣義疊加。:、分別表示信號(hào)與系數(shù)之間的運(yùn)算法則，如乘、次冪等，稱廣義標(biāo)乘?！?.1同態(tài)處理的基本概念（常用的）H[](如指數(shù)變換、對(duì)數(shù)變換等)可分解為幾個(gè)子系統(tǒng)的級(jí)聯(lián)，其中 輸入端以D□表示，稱□運(yùn)算特征系統(tǒng)；

輸出端以D○表示，稱○運(yùn)算特征系統(tǒng)?！?.1同態(tài)處理的基本概念

2.同態(tài)系統(tǒng)的規(guī)范表示H[]可規(guī)范地（將內(nèi)部）分成3個(gè)子系統(tǒng)的級(jí)聯(lián)：D□L[]++++□○子系統(tǒng)1：是特征系統(tǒng)為D□的同態(tài)系統(tǒng)，將廣義疊加的輸入轉(zhuǎn)換為線性加法的輸出：D□[c:x(n)]=c·D□[x(n)]=c·(2)(1)§4.1同態(tài)處理的基本概念子系統(tǒng)2：為一線性系統(tǒng)子系統(tǒng)3：特征系統(tǒng)為D○的逆運(yùn)算D○-1

，將線性疊加的輸入又轉(zhuǎn)換為廣義疊加輸出?！?.1同態(tài)處理的基本概念規(guī)范表示的意義在于，對(duì)所有同態(tài)系統(tǒng)，子系統(tǒng)1、3的形式相同，差異僅在線性變換部分。將廣義疊加混合的信號(hào)轉(zhuǎn)為線性系統(tǒng)的處理后，分離開(kāi)?！?.1同態(tài)處理的基本概念

3.確定變換函數(shù)后由輸入運(yùn)算口，定輸出運(yùn)算○【例1】已知T[x(n)]=ex(n)，口=+，求○、：、=？解：設(shè)輸入廣義標(biāo)乘:=?，∴:=?

，=乘冪§4.2乘法同態(tài)系統(tǒng)及同態(tài)圖像處理這是□=○=?（乘法）的同態(tài)系統(tǒng)，∴前圖作此標(biāo)志。規(guī)范表示中的D□為D?，其中□=?，○=+， 如例2中的ln[]即如此，∴令D□=ln[]；規(guī)范表示的D○-1

的□=+，○=?， 例1中的exp[]即如此，∴令D○-1

=D?-1=exp[]

1.乘法同態(tài)系統(tǒng)的規(guī)范表示§4.2乘法同態(tài)系統(tǒng)及同態(tài)圖像處理于是，乘法同態(tài)系統(tǒng)的規(guī)范表示如下：D□=D?=ln[]L[]++++□=?○=?§4.2乘法同態(tài)系統(tǒng)及同態(tài)圖像處理當(dāng)用于數(shù)字圖像處理時(shí)可提高對(duì)比度（輪廓增強(qiáng)）、壓縮動(dòng)態(tài)范圍。一幅圖像由照射圖（Illustration）和反射圖（reflection)的乘積組成：2.乘法圖像處理照射強(qiáng)度0<fi<∞，反射率0<fr<1∴0<f(u,v)<∞為二維連續(xù)實(shí)函數(shù)對(duì)有限空間圖像進(jìn)行周期性二次取樣，取樣間隔Δu、Δv：§4.2乘法同態(tài)系統(tǒng)及同態(tài)圖像處理經(jīng)D?后，經(jīng)L[]后為，按處理要求選擇線性系統(tǒng)：對(duì)畫(huà)面照度按照距離平方律漸變，變化頻率低，可認(rèn)為主要是低頻分量，但動(dòng)態(tài)范圍大（∵0<fi<∞

）對(duì)反射率圖因物體輪廓紋理處變化頻率高，可認(rèn)為富有高頻分量，但動(dòng)態(tài)范圍?。ā?<fr<1

）于是，所選定二維濾波器應(yīng)在高、低頻時(shí)有不同的增益，即經(jīng)L[]后使得：低頻時(shí)：高頻時(shí)：§4.2乘法同態(tài)系統(tǒng)及同態(tài)圖像處理經(jīng)D?-1后，∴L[]的輸出：由于∴達(dá)到大幅度壓縮動(dòng)態(tài)范圍和提高對(duì)比度（輪廓增強(qiáng)）的目的§4.2乘法同態(tài)系統(tǒng)及同態(tài)圖像處理附錄：同態(tài)濾波二維濾波器的頻率響應(yīng)0照射分量反射分量空間頻率§4.3卷積同態(tài)系統(tǒng)4.3.1規(guī)范表示D*L[]++++**這是口=O=*的同態(tài)系統(tǒng)。1.特征系統(tǒng)D*，

其中要求： 這需要三次映射：時(shí)域卷積經(jīng)Z變換后頻域相 乘,前已知相乘經(jīng)ln后變相加，但對(duì)于復(fù)頻域， Z-1后可為時(shí)域相加形式§4.3卷積同態(tài)系統(tǒng)z[]ln[]??++*+D*§4.3卷積同態(tài)系統(tǒng)z[]exp[]++??+*2.特征系統(tǒng)D*-1：是D*的逆系統(tǒng)，如下圖所示：D*-1在D*中，為使X(z)存在，x(n)應(yīng)為穩(wěn)定序列，實(shí)際應(yīng)用時(shí)是實(shí)序列；要使存在，必須是解析函數(shù)（因圍線積分一般是單位圓，要求的收斂域包括單位圓），故也是穩(wěn)定(實(shí))序列，且一般是實(shí)序列。同理，在D*-1系統(tǒng)中，也應(yīng)是實(shí)序列?！?.3卷積同態(tài)系統(tǒng)L[]的作用是對(duì)中的之一抑制，而提取另一。∴可看成經(jīng)L[]后對(duì)起加權(quán)作用。設(shè)加權(quán)函數(shù)為l(n),則：∴除要求、是穩(wěn)定實(shí)序列外，l(n)也為穩(wěn)定實(shí)序列，則：L[z]存在，且收斂域包括單位圓?！郘Re(ejω)為偶函數(shù)，LIm(ejω)為奇函數(shù)。在卷積同態(tài)系統(tǒng)中，關(guān)鍵是如何通過(guò)D*求得（3）3.線性系統(tǒng)L[]§4.3卷積同態(tài)系統(tǒng)4.3.2（復(fù)）時(shí)譜（complexspectrum）1.（復(fù)）時(shí)譜定義C為ln[X(z)]收斂域上的閉合圍線若限制x(n)、為穩(wěn)定實(shí)序列，只要ln[X(z)]在單位圓上是解析的，一般就可唯一存在。其中，X(z)、ln[X(z)]是復(fù)函數(shù)。§4.3卷積同態(tài)系統(tǒng)2.復(fù)對(duì)數(shù)ln[X(z)]的解析性引出的多值性問(wèn)題要求ln[X(z)]在單位圓上解析即（4）是ω的連續(xù)函數(shù)，實(shí)、虛部也應(yīng)連續(xù)要求連續(xù)，X(z)在單位圓上無(wú)零、極點(diǎn)相位連續(xù)要求：arg[X(ejω]|ω=0=0,但是實(shí)序列時(shí)，其付氏變換的虛部是周期性奇函數(shù)；若不滿足(5)式，必然在-π～π區(qū)間有跳變。（5）-ππωarg[X(ejω]|§4.3卷積同態(tài)系統(tǒng)為滿足(5)式，arg[X(ejω)]為下圖形式（在0～π內(nèi)）：§4.3卷積同態(tài)系統(tǒng)但對(duì)(4)式，也滿足：由于k不限于0，這就有多值性問(wèn)題，就不再唯一存在。解決方法：(1)取主值（限制arg[X(ejω)]在-π～π區(qū)間）(6)但映射到(-π～π)區(qū)間后ARG[X(ejω)]如上圖，是折斷的、破壞了連續(xù)性，可通過(guò)“相位伸展”校正恢復(fù)連續(xù)性（方法將在§4.4中介紹）(2)對(duì)于最小或最大相位序列，可通過(guò)直接簡(jiǎn)化法或遞推法避開(kāi)復(fù)對(duì)數(shù)引起的多值性（將在§4.5介紹）§4.3卷積同態(tài)系統(tǒng)4.3.3(復(fù))時(shí)譜的特性（由X(z)的一般表示，求，再分析特性）有理函數(shù)X(z)一般可表示為：

且為實(shí)數(shù)或共軛成對(duì)的復(fù)數(shù)；mi:單位圓內(nèi)零點(diǎn)數(shù)，pi:單位圓內(nèi)極點(diǎn)數(shù)，mo:單位圓外零點(diǎn)數(shù)，po:單位圓外極點(diǎn)數(shù)，(7)§4.3卷積同態(tài)系統(tǒng)為方便，先移去zr，且使A為正數(shù)，則(7)式為：兩邊取對(duì)數(shù)，其中，右邊各項(xiàng)的對(duì)數(shù)按下式展開(kāi)為冪級(jí)數(shù)：(8)(9)§4.3卷積同態(tài)系統(tǒng)代入后，與左邊的取對(duì)數(shù)：(10)在n的各個(gè)區(qū)間作對(duì)應(yīng)比較，可得：§4.3卷積同態(tài)系統(tǒng)由(10)式及(8)式可得的如下特性：的衰減速度至少是1/n；如bk,dk=0，為因果序列（見(jiàn)（10）），且零極點(diǎn)全在單位圓內(nèi)（見(jiàn)(8)），x(n)是最小相位序列；由于ak,bk,ck,dk為實(shí)數(shù)或共軛對(duì)稱，（x(n)為實(shí)序列），由(10)知，也為實(shí)序列；由于|ak|、|bk|、|ck|、|dk|<1，為收斂的穩(wěn)定序列；若x(n)為因果序列（僅n>=0時(shí)x(n)有值），由知，此時(shí)X(z)僅包含z的負(fù)冪，故由(8)式知，必bk、dk=0，于是，由(2)得也為因果序列。(6)如ck,dk=0,從(8)式知，此時(shí)x(n)為有限長(zhǎng)序列，但從(10)式知，仍是無(wú)限長(zhǎng)序列?！?.4PC機(jī)上計(jì)算D*及D*-1的流程圖z[]ln[]z-1[]X(z)*+++x(n)付氏變換判別符號(hào)||21/2ln[]÷tg-1相位伸展移去線性相位分量逆付氏變換x(n)XR(k)XR(ejω)XI(ejω)XR(k)XR(ejω)XI(ejω)D*實(shí)際DFTXI(k)XI(k)IDFT§4.4PC機(jī)上計(jì)算D*及D*-1的流程圖z[]exp[]z-1[]+++*付氏變換恢復(fù)符號(hào)逆付氏變換D*-1實(shí)際DFTIDFTexp[]插入線性相位分量cossin××??§4.4PC機(jī)上計(jì)算D*及D*-1的流程圖說(shuō)明：（1）由(7)得：由Sn[]判別A的符號(hào)，若A為負(fù)號(hào)，即A=-|A|,仍按正號(hào)計(jì)算，但在D*-1中乘(-1)，以恢復(fù)符號(hào)。若A為正號(hào)，就不必恢復(fù)。判別方法為：∴A的符號(hào)與X(ejω)|ω＝0一致。令：為正(實(shí))數(shù)§4.4PC機(jī)上計(jì)算D*及D*-1的流程圖（2）若存在線性相位分量ejωr,可先移去（即乘e-jωr

），然后在D*-1再插入ejωr

。（3）在D*中,(11)§4.4PC機(jī)上計(jì)算D*及D*-1的流程圖（4）在D*-1中，其中：經(jīng)exp運(yùn)算：(12a)(12b)§4.4PC機(jī)上計(jì)算D*及D*-1的流程圖上述計(jì)算步驟示于框圖流程中?！?.4PC機(jī)上計(jì)算D*及D*-1的流程圖（5）當(dāng)x(n)有限長(zhǎng)時(shí)，在計(jì)算機(jī)上用DFT方便，∴框圖中的F[]用DFT[]取代，及XR(ejω)→XR(k)（6）取主值后的相位伸展（校正）方法由，式(6)寫(xiě)為：§4.4PC機(jī)上計(jì)算D*及D*-1的流程圖起始原點(diǎn)處：COR(0)=0非折斷處，COR(k)=COR(k-1)折斷處，(13)(14)(15)判定法則ARGX(k)是折斷的，如圖。由相位校正序列COR(k)伸展為argX(k),如圖。圖中COR(k)由相鄰樣點(diǎn)相位主值的變化判定：§4.4PC機(jī)上計(jì)算D*及D*-1的流程圖得COR(k)后，則:arg[X(k)]=ARG[X(k)]+COR(k)-π0-2π-3π-4πarg[X(k)]kN/2-π0-2π-3π-4πCOR[X(k)]kN/20π-πARG[X(k)]kN/2§4.4PC機(jī)上計(jì)算D*及D*-1的流程圖（7）（奧本書(shū)：3-15式）在計(jì)算機(jī)上計(jì)算時(shí)，以：而：∴流程圖中的D*的輸出為附注：頻域取樣相應(yīng)于原序列的時(shí)域周期性延拓：當(dāng)n長(zhǎng)度小于等于取樣點(diǎn)數(shù)N時(shí)才無(wú)混疊。根據(jù)復(fù)時(shí)譜的特性(6), x(n)有限長(zhǎng)時(shí)，仍無(wú)限長(zhǎng)，混疊必存在； 但因?yàn)樗p速度至少是1/n，故混疊幅度很小，可忽略。§4.5最小或最大相位序列時(shí)計(jì)算的簡(jiǎn)化算法4.5.1直接簡(jiǎn)化法1.x(n)為最小相位序列時(shí)此時(shí)，無(wú)圓外零、極點(diǎn)，由(8)式：bk、dk=0;

由的特性(3)、(5)知：必為實(shí)因果序列；由§2.1.2知：完全由實(shí)部決定。

由公式(4):

而，即

((16)式由第二章2-(2)式及為實(shí)因果序列而得）(16)利用2-(6a)得：按2-(6b)：于是經(jīng)D*，計(jì)算的流程圖可簡(jiǎn)化為：(17)(18)§4.5最小或最大相位序列時(shí)計(jì)算的簡(jiǎn)化算法由于避開(kāi)復(fù)對(duì)數(shù)的相位多值性，就無(wú)需相位校正。F[]Ln|X(ejω)|F-1[]×在計(jì)算機(jī)上實(shí)現(xiàn)時(shí)以DFT代FT：(19)由2-(22c)、22(d),得：(20)(21)§4.5最小或最大相位序列時(shí)計(jì)算的簡(jiǎn)化算法2.x(n)為最大相位序列由(8)知，x(n)為最大相位序列時(shí)：ak、ck=0由(10)知，§4.5最小或最大相位序列時(shí)計(jì)算的簡(jiǎn)化算法∴與(17)、(18)比較，在計(jì)算機(jī)上實(shí)現(xiàn)時(shí)只要將(21)的序相逆：§4.5最小或最大相位序列時(shí)計(jì)算的簡(jiǎn)化算法，計(jì)算框圖與最小相位時(shí)相似§4.5最小或最大相位序列時(shí)計(jì)算的簡(jiǎn)化算法4.5.2遞推公式法經(jīng)z反變換并利用微分定理：(22)1.若x(n)為最小相位序列必有x(n)=0,n<0。由§4.5最小或最大相位序列時(shí)計(jì)算的簡(jiǎn)化算法解上式，得：(23a)當(dāng)x(n)給出后，用上式遞推求得。即：由§4.5最小或最大相位序列時(shí)計(jì)算的簡(jiǎn)化算法同理。類推得到，不必繼續(xù)求，而用歸納法求得整個(gè)。2.若x(n)為最大相位序列若x(n)=0,n>0。由4.5.1的2可知：§4.5最小或最大相位序列時(shí)計(jì)算的簡(jiǎn)化算法類似可得（對(duì)逆因果序列，利用終值定理）：(23b)3.例：已知x(n)=δ(n)+aδ(n-1),|a|<1,用遞推法求§4.5最小或最大相位序列時(shí)計(jì)算的簡(jiǎn)化算法解：由題目條件可得:故用遞推公式：上式可簡(jiǎn)化為：§4.5最小或最大相位序列時(shí)計(jì)算的簡(jiǎn)化算法§4.6卷積同態(tài)處理在語(yǔ)音處理中的應(yīng)用簡(jiǎn)例(從多反射混響中消除回聲信號(hào))設(shè)聲音信號(hào)s(n)=bnu(n),|b|<1反射主回聲波則為α1s(n-n1),0<α1<1,n1為延遲時(shí)間（嚴(yán)格說(shuō)回聲為為簡(jiǎn)便取主回聲）1）x(