圓錐曲線解題技巧和方法綜合方法(精心排版)

.(1)中點(diǎn)弦問題具有斜率的弦中點(diǎn)問題，常用設(shè)而不求法(點(diǎn)差法)：設(shè)曲線上兩點(diǎn)為(x,y)，(x,y)，代入方程，然后兩方程相減，再應(yīng)用中點(diǎn)關(guān)系及斜率公式1122。xy則有0+0k=0。ab00xy0000典型例題給定雙曲線x2y2=1。過A(2，1)的直線與雙曲線交于兩點(diǎn)P2112(2)焦點(diǎn)三角形問題三PFF=，三PFF=。1221(1)求證離心率e=； (2)求|PF|3+PF|3的最值。2(3)直線與圓錐曲線位置關(guān)系問題.直線與圓錐曲線的位置關(guān)系的基本方法是解方程組，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為一元二次方(1)求證：直線與拋物線總有兩個(gè)不同交點(diǎn)(4)圓錐曲線的相關(guān)最值(范圍)問題圓錐曲線中的有關(guān)最值(范圍)問題，常用代數(shù)法和幾何法解決。<1>若命題的條件和結(jié)論具有明顯的幾何意義，一般可用圖形性質(zhì)來解決。<2>若命題的條件和結(jié)論體現(xiàn)明確的函數(shù)關(guān)系式，則可建立目標(biāo)函數(shù)(通常的范圍；對(duì)于(2)首先要把△NAB的面積表示為一個(gè)變量的函數(shù)，然后再求它.B(5)求曲線的方程問題 QCxyM動(dòng)點(diǎn)M到圓C的切線長(zhǎng)與|MQ|的比等于常數(shù)入NOQ(6)存在兩點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱問題Cxy=1，試確定m的取值范圍，使得對(duì)于直43(7)兩線段垂直問題圓錐曲線兩焦半徑互相垂直問題，常用k·k=y·y12=1來處理或用向量的12x·x2.l與拋物線C有兩個(gè)不同的交點(diǎn)(如圖)。(1)求k的取值范圍；(2)直線l的傾斜角9為何值時(shí)，A、B與拋物線C的焦點(diǎn)連線互相垂直。(1)充分利用幾何圖形解析幾何的研究對(duì)象就是幾何圖形及其性質(zhì)，所以在處理解析幾何問題時(shí)，典型例題設(shè)直線3x+4y+m=0與圓x2+y2+x2y=0相交于P、Q兩點(diǎn)，O(2)充分利用韋達(dá)定理及“設(shè)而不求”的策略典型例題已知中心在原點(diǎn)O，焦點(diǎn)在y軸上的橢圓與直線y=x+1相交于P、Q2(3)充分利用曲線系方程典型例題求經(jīng)過兩已知圓C：x2+y24x+2y=0和C：x2+y22y4=0的交2(4)充分利用橢圓的參數(shù)方程.x2y2典型例題P為橢圓+=1上一動(dòng)點(diǎn)，A為長(zhǎng)軸的右端點(diǎn)，B為短軸的上a2b2(5)線段長(zhǎng)的幾種簡(jiǎn)便計(jì)算方法少運(yùn)算過程bAx，判別式為△，則|AB|=1+k2·|xx|=1+k2·△，若直接用結(jié)論，能BAB|a|減少運(yùn)算B1225912，把到焦點(diǎn)的距離轉(zhuǎn)化為到準(zhǔn)線的距離例.1212圓錐曲線解題方法技巧歸納(1)直線方程的形式有五種：點(diǎn)斜式、兩點(diǎn)式、斜截式、截距式、一般式。(2)與直線相關(guān)的重要內(nèi)容002121(3)弦長(zhǎng)公式x1122121(4)兩條直線的位置關(guān)系①l」l一kk=-1②l//l一k=k且b豐b1212121212mn.aa如：已知F、F是橢圓x2+y2=1的兩個(gè)焦點(diǎn)，平面內(nèi)一個(gè)動(dòng)點(diǎn)M滿足12432MF一MF=2則動(dòng)點(diǎn)M29P在橢圓上時(shí)，=b2tanF9P在雙曲線上時(shí)，=b2cot 000p (3)拋物線焦點(diǎn)在x軸上時(shí)為|x|+,焦點(diǎn)在p2pp1、點(diǎn)差法(中點(diǎn)弦問題)22.434343(xx)(x+x)(yy)(y+y)3kAB=4b1212=3kAB=4bAxyBxy1122它們的聯(lián)系，消去一個(gè)，比如直線過焦點(diǎn)，則可以利用三點(diǎn)A、B、F共線解決。(1)若三角形ABC的重心是橢圓的右焦點(diǎn)，試求直線BC的方程;(2)若角A為900，AD垂直BC于D，試求點(diǎn)D的軌跡方程.得xx+yy14(y+y)+16=0，然后利用聯(lián)立消元法及交軌法求出點(diǎn)D的軌跡方121212xyxy21+1=1,2+2=1兩式作差有(x1+x2)(x1x2)+(y1y2)(y1+y2)=0x0+y0k=0(1)201654F(2,0)為三角形重心，所以由x1+x2=2，得x=3，由y1+y2+4=0得y=2，代入3030解法一：如圖，以AB為垂直平分線為解法一：如圖，以AB為垂直平分線為y軸，直線AB 5y121212124+5k2,124+5k2k9y+Dxyyy+9x2一32y一16=09xx993、設(shè)而不求法時(shí)，求雙曲線離心率e的取值范圍。a2b2..設(shè)雙曲線的方程為x2-y2=1，則離心率e=ca2b2a由點(diǎn)C、E在雙曲線上，將點(diǎn)C、E的坐標(biāo)和e=c代入雙曲線方程得a①②③43故故3e2+2477EC求解.23377k22分析1：解析幾何是用代數(shù)方法來研究幾何圖形的一門學(xué)科，因此，數(shù)形結(jié)得k的值題.k于是，問題即可轉(zhuǎn)化為如上關(guān)于x的方程.于是關(guān)于x的方程(*)|l2(k2+1)-2k+kx>05點(diǎn)評(píng)：上述解法緊扣解題目標(biāo)，不斷進(jìn)行問題轉(zhuǎn)換，充分體現(xiàn)了全局觀念與整體思維的優(yōu)越性.在線段AB上取點(diǎn)Q，使AP=-AQ，求動(dòng)點(diǎn)Q的軌跡所在曲線的方程.PBQB然后想方設(shè)法將點(diǎn)Q的橫、縱坐標(biāo)用參數(shù)表達(dá)，最后通過消參可達(dá)到解題的目..4(x4(x+x)2xx就是運(yùn)用題目條件：=就是運(yùn)用題目條件：=來轉(zhuǎn)化.由A、B、P、Q四點(diǎn)共線，不難得到PBQB利用韋達(dá)定理即可.通過這樣的分析，可以看出，雖然我們還沒有開始解題，但對(duì)于如何解決本題，已經(jīng)做到心中有數(shù).APAQ=PBQB4(x+x)2xxx=ABABx8(x+x)AByx=f(k)yxxfk簡(jiǎn)解：設(shè)A(x,y),B(x，y),Q(x,y)，則由AP=AQ可得：4x1=xx1，1122PBQBx4xx2x28(x+x) ∴ 在(2)中，由編=-64k2+64k+24>0，解得2-10<k<2+10，結(jié)合(3)可求4499.9一條有效通道.94PB94PB取值范圍.分析：本題中，絕大多數(shù)同學(xué)不難得到：AP=x，但從此后卻一籌莫展,問-APBxB其一是構(gòu)造所求變量關(guān)于某個(gè)(或某幾個(gè))參數(shù)的函數(shù)關(guān)系式(或方程)，這只需利用對(duì)應(yīng)的思想實(shí)施；其二則是構(gòu)造關(guān)于所求量的一個(gè)不等關(guān)系.分析1:從第一條想法入手，AP=-xA已經(jīng)是一個(gè)關(guān)系式，但由于有兩個(gè)變量PBxB.韋達(dá)定理B11221APx=一1PBx2，k2k9k2kAPAP5無(wú)法直接應(yīng)用韋達(dá)定理，原因在于AP=一x1不是關(guān)于x,x的對(duì)稱關(guān)系式.原因找PBx122到后，解決問題的方法自然也就有了，即我們可以構(gòu)造關(guān)于x,x的對(duì)稱關(guān)系式.12.(*)(*)x入45k2+202在(*)中，由判別式編>0,可得k2>5，95PB5范圍問題不等關(guān)系的建立途徑多多，諸如判別式法，均值不等式法，形結(jié)合的角度入手，給出又一優(yōu)美解法.解題猶如打仗，不能只是忙于沖鋒陷陣，一時(shí)局部的勝利并不能說明問題，念，講究排兵布陣，運(yùn)籌帷幄，方能決勝千里..(Ⅰ)(Ⅰ)寫出橢圓方程數(shù)學(xué)推理是由已知的數(shù)學(xué)命題得出新命題的基本思維形式，它是數(shù)學(xué)求解的注意所使用的命題之間的相互關(guān)系(充分性、必要性、充要性等)，做到思考縝OFOF=1(Ⅰ)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(Ⅱ)記橢圓的上頂點(diǎn)為M，直線l交橢圓于P,Q兩點(diǎn)，問：是否存在直線(Ⅱ)k〈得出關(guān)于得出關(guān)于兩根之積兩根之積MP?FQ=0m的方程a2b2故橢圓方程為x2+y2=12.r.r(Ⅱ)假設(shè)存在直線l交橢圓于P,Q兩點(diǎn)，且F恰為PQM的垂心，則1122PQx22y22x22y221221ii得x(x1)(xm)(xm1)0即1221121233經(jīng)檢驗(yàn)m4符合條件．3例7、已知橢圓E的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上，且經(jīng)過A(2,0)、2(Ⅰ)求橢圓E的方程：H(Ⅰ)由橢圓經(jīng)過A、B、C三點(diǎn)設(shè)方程為mx2ny21(Ⅱ)轉(zhuǎn)化為點(diǎn)D的縱坐標(biāo)的絕對(duì)值最大最大轉(zhuǎn)化為DFH面積最大D為橢圓短軸端點(diǎn)DFH面積最大值為3S周長(zhǎng)rDFH2內(nèi)切圓33內(nèi)切圓33.|lm+4n=143431 (Ⅱ)|FH|=2，設(shè)ΔDFH邊上的高為S=根2根h=h編DFH2編DFH2所以R的最大值為3．所以內(nèi)切圓圓心的坐標(biāo)為33(0,3).1兩點(diǎn).(Ⅰ)若線段AB中點(diǎn)的橫坐標(biāo)是-1，求直線AB的方程；2若不存在，請(qǐng)說明理由.思維流程：(Ⅰ)解：依題意，直線AB的斜率存在，設(shè)直線AB的方程為y=k(x+1)，y1122.(Ⅱ)解：假設(shè)在x軸上存在點(diǎn)M(m,0)，使MA.MB為常數(shù).12121212121239 (3)(3) (3)(3)9 (3) (3)kkM(2，1)，平行于OM的直線l在y軸上的截距為m(m≠0)，l交橢圓于A、B(Ⅰ)求橢圓的方程；(Ⅱ)求m的取值范圍；(Ⅲ)求證直線MA、MB與x軸始終圍成一個(gè)等腰三角形.思維流程：.82(Ⅱ)∵直線l平行于OM，且在y軸上的截距為mOM又K=OM221212112212122212121212=12121212故直線MA、MB與x軸始終圍成一個(gè)等腰三角形.點(diǎn)石成金：直線MA、MB與x軸始終圍成一個(gè)等腰三角形一k+k=012.3=3=Bbab3距離是3.2(1)求雙曲線的方程；3AB：xy=1ab=accd==a2+b2故所求雙曲線方程為x2y2=1.322002200x==15k.y=kx+5=5,0213k20013k2y+11k=0=.BExk00即15k+5k+k=0,又k0,：k2=7k13k2故所求k=±7.點(diǎn)石成金:C，D都在以B為圓心的圓上一BC=BD一BE⊥CD;(Ⅰ)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；.精品 (II)若直線l:y=kx+m與橢圓C相交于A、B兩點(diǎn)(A、B不是左右頂點(diǎn))，且以AB為直徑的圓過橢圓C的右頂點(diǎn)．求證：直線l過定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的a2b2(II)設(shè)A(x，y)，B(x，y)．122l4+3=1.|1221212121271.2