機(jī)械工程控制基礎(chǔ)第五章系統(tǒng)的穩(wěn)定性

機(jī)械工程控制基礎(chǔ)第五章系統(tǒng)的穩(wěn)定性第1頁，共79頁，2023年，2月20日，星期五機(jī)械工程控制基礎(chǔ)第一章自動控制的一般概念第二章控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型第三章控制系統(tǒng)的時域分析法第四章頻域分析法第五章控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性第六章控制系統(tǒng)的校正第2頁，共79頁，2023年，2月20日，星期五第五章系統(tǒng)的穩(wěn)定性5.1系統(tǒng)穩(wěn)定性的初步概念5.2Routh穩(wěn)定判據(jù)5.3Nyquist穩(wěn)定判據(jù)5.4Bode穩(wěn)定判據(jù)5.5系統(tǒng)的相對穩(wěn)定性第3頁，共79頁，2023年，2月20日，星期五5.1系統(tǒng)穩(wěn)定性的初步概念穩(wěn)定性是控制系統(tǒng)最重要的問題，是系統(tǒng)正常工作的首要條件?？刂葡到y(tǒng)在實(shí)際運(yùn)行中，總會受到外界和內(nèi)部一些因素的擾動，例如負(fù)載或能源的波動、環(huán)境條件的改變、系統(tǒng)參數(shù)的變化等。如果系統(tǒng)不穩(wěn)定，當(dāng)它受到擾動時，系統(tǒng)中各物理量就會偏離其平衡工作點(diǎn)，并且越偏越遠(yuǎn)，即使擾動消失了，也不可能恢復(fù)原來的平衡狀態(tài)。第4頁，共79頁，2023年，2月20日，星期五1穩(wěn)定性的初步概念

如果系統(tǒng)受到擾動后，偏離了原來的平衡狀態(tài)，而當(dāng)擾動取消后，系統(tǒng)又能夠逐漸恢復(fù)到原來的狀態(tài)，則稱系統(tǒng)是穩(wěn)定的，或具有穩(wěn)定性的。否則稱系統(tǒng)是不穩(wěn)定的，或不具有穩(wěn)定性。小球的穩(wěn)定性第5頁，共79頁，2023年，2月20日，星期五穩(wěn)定性的初步概念工程實(shí)例第6頁，共79頁，2023年，2月20日，星期五穩(wěn)定性的初步概念-正反饋加力第7頁，共79頁，2023年，2月20日，星期五線性定常系統(tǒng)的穩(wěn)定性表現(xiàn)為其時域響應(yīng)的收斂性。如果線性定常系統(tǒng)的時域響應(yīng)隨著時間的推移,是逐漸收斂的,即系統(tǒng)的時域響應(yīng)能最終收斂到一個穩(wěn)定狀態(tài),則稱該線性定常系統(tǒng)是穩(wěn)定的;反之，如果時域響應(yīng)發(fā)散,則該線性定常系統(tǒng)就是不穩(wěn)定的。線性定常系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件第8頁，共79頁，2023年，2月20日，星期五系統(tǒng)的特征方程式為

經(jīng)過研究得出如下結(jié)論：線性定常系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件是,特征方程式的所有根均為負(fù)實(shí)根或其實(shí)部為負(fù)的復(fù)根,即特征方程的根均在復(fù)平面的左半平面。由于系統(tǒng)特征方程的根就是系統(tǒng)閉環(huán)傳函的極點(diǎn),因此也可以說,線性定常系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件是系統(tǒng)閉環(huán)傳函的極點(diǎn)均在復(fù)平面的左半平面。線性定常系統(tǒng)傳遞函數(shù)的通式為

第9頁，共79頁，2023年，2月20日，星期五若線性定常系統(tǒng)在復(fù)平面右半平面沒有極點(diǎn),但虛軸上存在極點(diǎn),則稱系統(tǒng)為臨界穩(wěn)定。在工程上,臨界穩(wěn)定屬于不穩(wěn)定,因?yàn)閰?shù)的微小變化就會使極點(diǎn)具有正實(shí)部,從而導(dǎo)致系統(tǒng)不穩(wěn)定。線性定常系統(tǒng)的臨界穩(wěn)定條件穩(wěn)定性是系統(tǒng)自身的固有特性，與外界輸入信號無關(guān)。第10頁，共79頁，2023年，2月20日，星期五反饋系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件對于一般的反饋系統(tǒng)，系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為：

設(shè)輸入信號為單位脈沖信號，則有：第11頁，共79頁，2023年，2月20日，星期五從上式可看出，要想系統(tǒng)穩(wěn)定，只有當(dāng)系統(tǒng)的特征根s，全部具有負(fù)實(shí)部。

綜上所述，不論系統(tǒng)特征方程的特征根為何種形式，線性系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件為：所有特征根均為負(fù)數(shù)或具有負(fù)的實(shí)數(shù)部分；即：所有特征根均在復(fù)數(shù)平面的左半部分。由于特征根就是系統(tǒng)的極點(diǎn)，因此，線性系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件也可表述為：系統(tǒng)的極點(diǎn)均在s平面的左半平面。第12頁，共79頁，2023年，2月20日，星期五線性系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件第13頁，共79頁，2023年，2月20日，星期五線性系統(tǒng)穩(wěn)定充要條件的例子第14頁，共79頁，2023年，2月20日，星期五控制系統(tǒng)李亞普諾夫穩(wěn)定性

對于非線性、時變、多輸入多輸出控制系統(tǒng)穩(wěn)定性問題的研究，經(jīng)典控制理論無能為力。只有利用俄羅斯科學(xué)家李亞普諾夫（A.M.Lyapunov）的穩(wěn)定性理論來分析和研究。

A.M.Lyapunov于1892年出版專著《運(yùn)動系統(tǒng)穩(wěn)定性的一般問題》，使得Lyapunov穩(wěn)定性理論已經(jīng)成為控制理論的最重要的幾個柱石之一。第15頁，共79頁，2023年，2月20日，星期五李亞普諾夫意義下穩(wěn)定性的定義穩(wěn)定的定義則非線性時變系統(tǒng)——表示求歐幾里德范數(shù)。（即：表示空間距離）第16頁，共79頁，2023年，2月20日，星期五李亞普諾夫穩(wěn)定的定義≤定義對于任意給定的實(shí)數(shù)，都對應(yīng)存在實(shí)數(shù)滿足，使的任意初始狀態(tài)出發(fā)的軌線有≤ε

（對所有

t≥t0）成立，則稱為Lyapunov意義下是穩(wěn)定的。第17頁，共79頁，2023年，2月20日，星期五漸近穩(wěn)定如果系統(tǒng)的平衡狀態(tài)是穩(wěn)定的。從平衡狀態(tài)的某個充分小的領(lǐng)域內(nèi)出發(fā)的狀態(tài)軌線，當(dāng)時，收斂于，則稱為漸近穩(wěn)定。Lyapunov意義下穩(wěn)定漸進(jìn)穩(wěn)定漸進(jìn)穩(wěn)定第18頁，共79頁，2023年，2月20日，星期五5.2Routh穩(wěn)定判據(jù)穩(wěn)定判據(jù)Routh穩(wěn)定判據(jù):系統(tǒng)的特征方程為必要條件：（1）特征方程的各項(xiàng)系數(shù)ai(i=1,2,…,n)都不為零；（2）特征方程的各項(xiàng)系數(shù)ai(i=1,2,…,n)具有相同的符號。充分條件：勞斯陣列第一列所有元素為正。第19頁，共79頁，2023年，2月20日，星期五勞斯陣列第20頁，共79頁，2023年，2月20日，星期五符號改變一次符號改變一次第21頁，共79頁，2023年，2月20日，星期五Routh判據(jù)的特殊情況-方法一改變一次改變一次1某行第一個元素為零，其余均不為零。方法一:第22頁，共79頁，2023年，2月20日，星期五Routh判據(jù)的特殊情況-方法二改變一次改變一次第23頁，共79頁，2023年，2月20日，星期五勞斯表某行全為零說明特征方程中存在一些大小相等，但方向相反的根。第24頁，共79頁，2023年，2月20日，星期五勞斯表某行全為零說明特征方程中存在一些大小相等，但方向相反的根。改變一次第25頁，共79頁，2023年，2月20日，星期五第26頁，共79頁，2023年，2月20日，星期五在這兩種情況下,

兩個大小相等符號相反的實(shí)根表明系統(tǒng)在復(fù)平面內(nèi)可能存在兩個共軛虛根

以虛軸對稱的兩對共軛復(fù)根,此時，系統(tǒng)處在不穩(wěn)定狀態(tài)或臨界穩(wěn)定狀態(tài)。

下面通過實(shí)例說明這時應(yīng)如何排勞斯表。若遇到第一種情況,可用一個任意小的正數(shù)ε代替為零的元素,然后繼續(xù)進(jìn)行計算,完成勞斯表。第27頁，共79頁，2023年，2月20日，星期五例考慮圖所示的系統(tǒng),確定使系統(tǒng)穩(wěn)定的K的取值范圍?？刂葡到y(tǒng)框圖解由圖可知,系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為第28頁，共79頁，2023年，2月20日，星期五所以系統(tǒng)的特征方程為列勞斯表如下：第29頁，共79頁，2023年，2月20日，星期五根據(jù)勞斯判據(jù),系統(tǒng)穩(wěn)定必須滿足第30頁，共79頁，2023年，2月20日，星期五因此,使閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的K值范圍為當(dāng)K=14/9時,系統(tǒng)處于臨界穩(wěn)定狀態(tài)。

需要指出,在運(yùn)用勞斯穩(wěn)定判據(jù)分析系統(tǒng)穩(wěn)定性時,有時會遇到下列兩種特殊情況：

(1)在勞斯表的某一行中,第一列元素為零,而其余各列元素均不為零,或部分不為零;(2)勞斯表的某一行元素全部為零。第31頁，共79頁，2023年，2月20日，星期五Routh判據(jù)的應(yīng)用Y(S)X(S)-第32頁，共79頁，2023年，2月20日，星期五第33頁，共79頁，2023年，2月20日，星期五第34頁，共79頁，2023年，2月20日，星期五5.3Nyquist穩(wěn)定判據(jù)幅角定理在s平面上任選一封閉曲線，并使上每個點(diǎn)不包含的零點(diǎn)與極點(diǎn)，則映射到平面上也是一條封閉曲線。當(dāng)s順時針沿變化一周時，向量端點(diǎn)軌跡按順時針圍繞原點(diǎn)總?cè)?shù)等于封閉曲線內(nèi)包圍的零點(diǎn)數(shù)目與極點(diǎn)數(shù)目之差，其中，與是指在內(nèi)的零點(diǎn)數(shù)與極點(diǎn)數(shù)。第35頁，共79頁，2023年，2月20日，星期五幅角定理[s][F(s)]第36頁，共79頁，2023年，2月20日，星期五乃氏判劇-形式Ⅰ

閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是，當(dāng)由變到時，系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性按逆時針方向包圍（-1，j0）點(diǎn)P周，P為位于s平面右半部的開環(huán)極點(diǎn)數(shù)目。否則，系統(tǒng)不穩(wěn)定。1形式Ⅰ第37頁，共79頁，2023年，2月20日，星期五形式Ⅰ第38頁，共79頁，2023年，2月20日，星期五形式Ⅰ第39頁，共79頁，2023年，2月20日，星期五[F(s)][GH(s)]第40頁，共79頁，2023年，2月20日，星期五[s][GH(s)]第41頁，共79頁，2023年，2月20日，星期五乃氏圖負(fù)穿越在乃氏圖上，開環(huán)頻率特性，從上半部分穿過負(fù)實(shí)軸的段到實(shí)軸的下半部分，稱為正穿越；開環(huán)頻率特性從下半部穿過負(fù)實(shí)軸的段到實(shí)軸的上半部分，稱為負(fù)穿越；起始于（或終止于）段的負(fù)實(shí)軸的正、負(fù)穿越稱為正負(fù)半穿越；第42頁，共79頁，2023年，2月20日，星期五乃氏圖負(fù)穿越實(shí)例1第43頁，共79頁，2023年，2月20日，星期五乃氏圖負(fù)穿越實(shí)例2第44頁，共79頁，2023年，2月20日，星期五綜上所述，乃氏判據(jù)判穩(wěn)時可能發(fā)生的情況為：（Ⅰ）不包圍（-1，j0）點(diǎn)，若則系統(tǒng)穩(wěn)定。否則，閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定；（Ⅱ）逆時針包圍（-1，j0）點(diǎn)次，若則系統(tǒng)穩(wěn)定。否則，閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定；（Ⅲ）順時針包圍（-1，j0）點(diǎn)，閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定。乃氏圖負(fù)穿越實(shí)例2第45頁，共79頁，2023年，2月20日，星期五乃氏判劇-形式Ⅱ閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是，當(dāng)角頻率由0變化到＋∞時，開環(huán)頻率特性正、負(fù)穿越平面負(fù)實(shí)軸上（-1，-∞）段的次數(shù)差為，這里是開環(huán)傳遞函數(shù)極點(diǎn)中處于s平面右半部的數(shù)目。否則，閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定。第46頁，共79頁，2023年，2月20日，星期五乃氏判劇-形式Ⅱ例子：如圖所示的乃氏曲線中，判別哪些是穩(wěn)定的，哪些是不穩(wěn)定的。第47頁，共79頁，2023年，2月20日，星期五解：所以系統(tǒng)穩(wěn)定所以系統(tǒng)不穩(wěn)定所以系統(tǒng)不穩(wěn)定第48頁，共79頁，2023年，2月20日，星期五系統(tǒng)穩(wěn)定系統(tǒng)不穩(wěn)定系統(tǒng)穩(wěn)定第49頁，共79頁，2023年，2月20日，星期五設(shè)閉環(huán)系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為，分析其穩(wěn)定性。的軌跡如圖所示。在右半s平面內(nèi)沒有任何極點(diǎn)，并且的軌跡不包圍的值，該系統(tǒng)都是穩(wěn)定的。，所以對于任何第50頁，共79頁，2023年，2月20日，星期五設(shè)系統(tǒng)具有下列開環(huán)傳遞函數(shù):試確定以下兩種情況下，系統(tǒng)的穩(wěn)定性：增益K較小增益K較大。小K值時是穩(wěn)定的大K值時是不穩(wěn)定的￥平面GHReIm-￥=w￥=w+=0w-=0w1-′000===ZRP￥平面GHReIm-￥=w￥=w+=0w-=0w1-′220===ZRP第51頁，共79頁，2023年，2月20日，星期五設(shè)一個閉環(huán)系統(tǒng)具有下列試確定該閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。開環(huán)傳遞函數(shù)：表明閉環(huán)系統(tǒng)有兩個極點(diǎn)在右半s平面，故系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。開環(huán)傳遞函數(shù)在s右半平面內(nèi)有一個極點(diǎn)()，奈奎斯特曲線如圖示，軌跡順時針方向包圍點(diǎn)一次,因此第52頁，共79頁，2023年，2月20日，星期五問題討論1在引入Nyquist判劇時，為什么只就開環(huán)極點(diǎn)在虛軸上的分布情況進(jìn)行討論而沒有就開環(huán)零點(diǎn)的情況進(jìn)行討論？2原點(diǎn)處有開環(huán)極點(diǎn)時為什么要補(bǔ)作一條虛線，虛線在實(shí)際中是否存在？補(bǔ)作虛線與開環(huán)傳函中的那一個環(huán)節(jié)有關(guān)系，在給出的Nyquist判劇形式Ⅰ與形式Ⅱ中的具體關(guān)系是什么？3根據(jù)Nyquist判劇給出如下情況的分析：對于P=0的開環(huán)系統(tǒng)，若其開環(huán)頻率響應(yīng)通過（-1，j0）點(diǎn)，則系統(tǒng)處于什么狀態(tài)？第53頁，共79頁，2023年，2月20日，星期五對于最小相位系統(tǒng)，閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是，；否則不穩(wěn)定。

乃氏判劇-形式Ⅴ乃氏判據(jù)左手定則。乃氏判據(jù)左手定則的內(nèi)容如下：將左手平伸，拇指和其余四指在手掌平面內(nèi)垂直且指尖向上，對于最小相位系統(tǒng)，將左手放在系統(tǒng)開環(huán)頻率特性即將包圍（-1，j0）點(diǎn)的最里層上，且四指指尖與系統(tǒng)開環(huán)頻率特性的方向相同，若手背朝向（-1，j0）點(diǎn)，則該閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定，否則不穩(wěn)定。乃氏判劇-形式Ⅵ第54頁，共79頁，2023年，2月20日，星期五乃氏判劇-形式Ⅴ實(shí)例第55頁，共79頁，2023年，2月20日，星期五在伯特圖上，在幅值的區(qū)域內(nèi)，當(dāng)角頻率增加時，相頻特性曲線從下向上穿越線稱為正穿越；相頻特性曲線從上向下穿越線稱為負(fù)穿越；伯特圖負(fù)穿越第56頁，共79頁，2023年，2月20日，星期五形式Ⅲ閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是，在開環(huán)對數(shù)幅頻特性不為負(fù)值的所有頻段內(nèi)，對數(shù)相頻特性與線的正穿越與負(fù)穿越次數(shù)差為，這里是開環(huán)傳遞函數(shù)位于s平面右半部的極點(diǎn)數(shù)目。否則，閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定。

第57頁，共79頁，2023年，2月20日，星期五形式Ⅳ閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是，在BODE圖0dB線上方，開環(huán)頻率響應(yīng)的對數(shù)幅相特性對線的正、負(fù)穿越次數(shù)差應(yīng)等于，其中為s平面右半部含有的開環(huán)傳遞函數(shù)極點(diǎn)的數(shù)目。否則，閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定。第58頁，共79頁，2023年，2月20日，星期五若系統(tǒng)不穩(wěn)定，系統(tǒng)的開環(huán)增益增加大于原來倍，則閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定；否則，系統(tǒng)不穩(wěn)定。

乃氏判劇-形式Ⅶ若系統(tǒng)不穩(wěn)定，系統(tǒng)對頻率為的信號的相角增加大于，則閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定；否則，系統(tǒng)不穩(wěn)定。乃氏判劇-形式Ⅷ第59頁，共79頁，2023年，2月20日，星期五第60頁，共79頁，2023年，2月20日，星期五5.5系統(tǒng)的相對穩(wěn)定性設(shè)計控制系統(tǒng)，要求它必須穩(wěn)定，這是控制系統(tǒng)賴以正常工作的必要條件。除此之外，還要求控制系統(tǒng)具有適當(dāng)?shù)南鄬Ψ€(wěn)定性。第61頁，共79頁，2023年，2月20日，星期五根據(jù)根軌跡，我們知道：對于大的K值，系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。當(dāng)增益減小到一定值時，系統(tǒng)可能穩(wěn)定。相對穩(wěn)定性（b）（a）-1第62頁，共79頁，2023年，2月20日，星期五基于Nyquist判劇，當(dāng)開環(huán)傳遞函數(shù)在s平面右半部無極點(diǎn)時，其開環(huán)頻率響應(yīng)若通過點(diǎn)（-1，j0），則控制系統(tǒng)處于臨界穩(wěn)定邊緣。在這種情況下若控制系統(tǒng)的參數(shù)發(fā)生漂移，便有可能使控制系統(tǒng)的開環(huán)頻率響應(yīng)包圍點(diǎn)（-1，j0），從而造成控制系統(tǒng)不穩(wěn)定。因此，在Nyquist圖上，開環(huán)頻率響應(yīng)與點(diǎn)（-1，j0）的接近程度可直接表征控制系統(tǒng)的穩(wěn)定程度。相對穩(wěn)定性的概念第63頁，共79頁，2023年，2月20日，星期五

圖(a)和(b)所示的兩個最小相位系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性曲線（實(shí)線）沒有包圍點(diǎn)，由奈氏判據(jù)知它們都是穩(wěn)定的系統(tǒng)，但圖(a)所示系統(tǒng)的頻率特性曲線與負(fù)實(shí)軸的交點(diǎn)A距離點(diǎn)較遠(yuǎn)，圖(b)所示系統(tǒng)的頻率特性曲線與負(fù)實(shí)軸的交點(diǎn)B距離

點(diǎn)較近。

（b）（a）-1第64頁，共79頁，2023年，2月20日，星期五假定系統(tǒng)的開環(huán)放大系統(tǒng)由于系統(tǒng)參數(shù)的改變比原來增加了50%，則圖(a)中的A點(diǎn)移動到點(diǎn),仍在點(diǎn)右側(cè)，系統(tǒng)還是穩(wěn)定的；而圖(b)中的B點(diǎn)則移到的左側(cè)點(diǎn)，系統(tǒng)便不穩(wěn)定了。可見前者較能適應(yīng)系統(tǒng)參數(shù)的變化，即它的相對穩(wěn)定性比后者好。（b）（a）-1第65頁，共79頁，2023年，2月20日，星期五

通常用穩(wěn)定裕度來衡量系統(tǒng)的相對穩(wěn)定性或系統(tǒng)的穩(wěn)定程度，其中包括系統(tǒng)的相角裕度和幅值裕度。（1）相角裕度

我們把GH平面上的單位圓與系統(tǒng)開環(huán)頻率特性曲線的交點(diǎn)頻率稱為幅值穿越頻率或剪切頻率，它滿足：所謂相角裕度是指幅值穿越頻率所對應(yīng)的相移與角的差值，即穩(wěn)定裕度第66頁，共79頁，2023年，2月20日，星期五

對于最小相位系統(tǒng)，如果相角度系統(tǒng)是穩(wěn)定的(下圖)且值愈大，系統(tǒng)的相對穩(wěn)定性愈好。如果相角裕度,系統(tǒng)則不穩(wěn)定(下圖右)。當(dāng)時，系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性曲線穿過點(diǎn)，系統(tǒng)處于臨界穩(wěn)定狀態(tài)。第67頁，共79頁，2023年，2月20日，星期五（2）幅值裕度

把系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性曲線與GH平面負(fù)實(shí)軸的交點(diǎn)頻率稱為相位穿越頻率，顯然它應(yīng)滿足

對于最小相位系統(tǒng)，當(dāng)幅值裕度Kg>1,系統(tǒng)穩(wěn)定，且Kg值愈大,系統(tǒng)的相對穩(wěn)定性愈好。如果則系統(tǒng)不穩(wěn)定.

所謂幅值裕度Kg是指相位穿越頻率所對應(yīng)的開環(huán)幅頻特性的倒數(shù)值，即第68頁，共79頁，2023年，2月20日，星期五使系統(tǒng)到達(dá)臨界狀態(tài)時的開環(huán)頻率特性的幅值增大(對應(yīng)穩(wěn)定系統(tǒng))或縮小(不穩(wěn)定系統(tǒng))的倍數(shù)。幅值裕度也可以用分貝數(shù)來表示。

分貝因此，可根據(jù)系統(tǒng)的幅值裕度大于、等于或小于零分貝來判斷最小相位系統(tǒng)是穩(wěn)定、臨界穩(wěn)定或不穩(wěn)定。這里要指出的是，系統(tǒng)相對穩(wěn)定性的好壞必須同時考慮相角和幅角裕度。通常要求相角裕度=～,幅值裕度(6分貝)幅值裕度的含義第69頁，共79頁，2023年，2月20日，星期五穩(wěn)定裕度與系統(tǒng)的穩(wěn)定性

前面已經(jīng)介紹，求出系統(tǒng)的穩(wěn)定裕度可以定量分析系統(tǒng)的穩(wěn)定程度。下面通過兩個示例進(jìn)一步說明。

例：已知最小相位系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為:試分析穩(wěn)定裕度與系統(tǒng)穩(wěn)定性之間的關(guān)系。該系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性的極坐標(biāo)圖分別如圖(a)(當(dāng)時)和圖(b)(當(dāng)時)所示。由圖(a)可知，當(dāng)時,系統(tǒng)的相角裕度，由圖(b)可知,當(dāng)時，系統(tǒng)的相角裕度。第70頁，共79頁，2023年，2月20日，星期五系統(tǒng)的幅頻特性和相頻特性分別為第71頁，共79頁，2023年，2月20日，星期五時，，有,該系統(tǒng)不穩(wěn)定；時，，該系統(tǒng)是穩(wěn)定的。)()(1￥==gggjHjGKww令,則有，故或。對應(yīng)S平面的坐標(biāo)原點(diǎn)，舍去。由，求出系統(tǒng)的幅值裕度為第72頁，共79頁，2023年，2月20日，星期五由Bode圖判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性穩(wěn)定裕量就是表征系統(tǒng)穩(wěn)定程度的量．它是描述系統(tǒng)特性的重要的量，與系統(tǒng)的暫態(tài)響應(yīng)指標(biāo)有密切的關(guān)系。這里討論由Bode圖求系統(tǒng)穩(wěn)定余量，并判斷穩(wěn)定性的方法。的軌跡越接近于包圍