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文檔簡介
概率密度和分布函數(shù)第1頁,共72頁,2023年,2月20日,星期五級(jí)寬或段寬(將隨機(jī)變量x的整個(gè)取值范圍分成有限個(gè)區(qū)段,每個(gè)級(jí)段的取值范圍即為級(jí)寬或段寬)級(jí)頻數(shù)(每個(gè)級(jí)段中數(shù)據(jù)值出現(xiàn)的次數(shù))相對(duì)頻數(shù)或頻率(將級(jí)頻數(shù)被樣本中數(shù)據(jù)總個(gè)數(shù)相除,相當(dāng)于x取值在該級(jí)段的概率。)隨機(jī)變量及其分布:
概率密度和分布函數(shù)
第2頁,共72頁,2023年,2月20日,星期五將上表數(shù)據(jù)從到取級(jí)寬0.1分為9級(jí)第3頁,共72頁,2023年,2月20日,星期五分級(jí)頻數(shù)分布圖
第4頁,共72頁,2023年,2月20日,星期五概率密度
為了使分布圖有更好的泛化可以性,將相對(duì)頻數(shù)除以級(jí)寬,得到概率密度:級(jí)寬取微量:概率密度p對(duì)x的曲線稱為概率密度分布曲線,簡稱概率分布曲線、分布曲線等。第5頁,共72頁,2023年,2月20日,星期五隨機(jī)變量及其分布:
概率分布的數(shù)字特征不同性質(zhì)事物對(duì)象具有各種不同形狀的分布,為了定量地區(qū)別各種分布的特征,通常采用的一組判別指標(biāo),稱為分布的數(shù)字特征。[1]算術(shù)平均值總體:樣本:一階原點(diǎn)矩(隨機(jī)變量取值可能性最大的位置)一階原點(diǎn)矩的樣本估計(jì)值第6頁,共72頁,2023年,2月20日,星期五隨機(jī)變量及其分布:
概率分布的數(shù)字特征[2]方差總體:樣本:二階中心矩(隨機(jī)變量的變異程度)二階中心矩的樣本估計(jì)值第7頁,共72頁,2023年,2月20日,星期五隨機(jī)變量及其分布:
概率分布的數(shù)字特征[3]偏斜度總體:樣本:三階中心矩和二階中心矩的3/2次冪的商
(曲線偏離對(duì)稱的程度)樣本估計(jì)值第8頁,共72頁,2023年,2月20日,星期五第9頁,共72頁,2023年,2月20日,星期五隨機(jī)變量及其分布:
概率分布的數(shù)字特征[4]峭度或峰態(tài)總體:樣本:四階中心矩和二階中心矩平方的商
(一階原點(diǎn)矩附近的斜率,和偏離后斜率的變化率)樣本估計(jì)值第10頁,共72頁,2023年,2月20日,星期五第11頁,共72頁,2023年,2月20日,星期五隨機(jī)變量及其分布:
離散型隨機(jī)變量的概率分布客觀世界很多隨機(jī)過程經(jīng)分析后可以用某種數(shù)學(xué)模型表示。不同的物質(zhì)現(xiàn)象有可能用類似的模型描述。重點(diǎn):介紹若干重要的隨機(jī)分布模型。 離散均勻分布 二項(xiàng)分布 多項(xiàng)分布 負(fù)二項(xiàng)分布 幾何分布 超幾何分布 擴(kuò)充幾何分布 泊桑分布第12頁,共72頁,2023年,2月20日,星期五離散均勻分布分布模型條件:(1)每次試驗(yàn)可以有k種結(jié)果:(2)每種結(jié)果出現(xiàn)的概率均相等。
數(shù)學(xué)模型:
均勻分布的數(shù)字特征:第13頁,共72頁,2023年,2月20日,星期五二項(xiàng)分布
分布模型條件:(1)設(shè)試驗(yàn)系由n次觀測(cè)組成。(2)每次觀測(cè)只有“是”和“非”兩種可能的結(jié)果出現(xiàn)。(3)觀測(cè)結(jié)果中出現(xiàn)“是”的概率為常數(shù)p
,而出現(xiàn)“非”的概率為q=1-p。(4)每一次觀測(cè)均為獨(dú)立的,即每次觀測(cè)的結(jié)果不受其它任何一次觀測(cè)的影響。
第14頁,共72頁,2023年,2月20日,星期五二項(xiàng)分布
在n次觀測(cè)中“是”出現(xiàn)x次的概率呈二項(xiàng)分布,模型:C(n|x)表示組合數(shù),即從n個(gè)事物中拿出x個(gè)的方法數(shù).
第15頁,共72頁,2023年,2月20日,星期五二項(xiàng)分布
二項(xiàng)分布的數(shù)字特征:總體平均值對(duì)的方差總體的方差為其中可以是0或1,表示“非”或“是”。第16頁,共72頁,2023年,2月20日,星期五二項(xiàng)分布
[例]
已知某廠生產(chǎn)某A產(chǎn)品的合格率75%,現(xiàn)進(jìn)行一試驗(yàn),隨機(jī)地檢查3個(gè)產(chǎn)品,看它是否合格。定義不合格產(chǎn)品為“是”,則試驗(yàn)結(jié)果為“是”的次數(shù)x作為隨機(jī)變量,可?。?,1,2,3中一個(gè)值。
第17頁,共72頁,2023年,2月20日,星期五多項(xiàng)分布
分布模型條件(二項(xiàng)分布的一種擴(kuò)充模型):(1)每次觀測(cè)可以有k種可能的結(jié)果出現(xiàn):,而各種結(jié)果都相互排斥。(2)各種結(jié)果出現(xiàn)的概率分別為常數(shù):。(3)每一次觀測(cè)均為獨(dú)立,即每次觀測(cè)的結(jié)果不受其他任何一次觀測(cè)的影響。第18頁,共72頁,2023年,2月20日,星期五多項(xiàng)分布
則n次試驗(yàn)的結(jié)果,出現(xiàn):次,次,…,次的概率系多項(xiàng)分布,表示為:第19頁,共72頁,2023年,2月20日,星期五負(fù)二項(xiàng)分布
分布模型條件:(條件與二項(xiàng)試驗(yàn)相仿,考慮問題的角度相反)(1)由多次獨(dú)立觀測(cè)構(gòu)成的試驗(yàn)。(2)每次觀測(cè)只有“是”和“非”兩種可能的結(jié)果出現(xiàn)。(3)結(jié)果為“是”的概率為常數(shù)p。得到k次“是”所需的觀測(cè)次數(shù)x的概率系負(fù)二項(xiàng)分布:第20頁,共72頁,2023年,2月20日,星期五負(fù)二項(xiàng)分布
[例]由統(tǒng)計(jì)知道某藥劑的有效率為60%,將該藥劑用于一組病人。當(dāng)用到第7名病人時(shí),累計(jì)有效的病人數(shù)增加到5名的概率為多少?解:除了最后一次按題意必須成功之外,其余(7-1)次中有(5-1)次成功的方式共有種,因此,滿足要求的概率為:
第21頁,共72頁,2023年,2月20日,星期五負(fù)二項(xiàng)分布
負(fù)二項(xiàng)分布的數(shù)字特征為:第22頁,共72頁,2023年,2月20日,星期五幾何分布
這是負(fù)二項(xiàng)分布當(dāng)時(shí)的一個(gè)特例,即:得到第一次“是”所需要的試驗(yàn)次數(shù)為x時(shí)的概率。設(shè),出現(xiàn)“是”的概率為p,幾何分布的模型描述為:幾何分布的數(shù)字特征為:
第23頁,共72頁,2023年,2月20日,星期五幾何分布
[例]由統(tǒng)計(jì)結(jié)果已知某生產(chǎn)過程平均每100件產(chǎn)品中有1件廢品。隨機(jī)檢查到第5件產(chǎn)品,發(fā)現(xiàn)廢品的概率為多少?解:這是幾何分布,,則第24頁,共72頁,2023年,2月20日,星期五超幾何分布
是二項(xiàng)分布的一種變型,其條件為:(1)對(duì)象為有限的N個(gè)物體,其中k件為“是”,N-k為“非”。(2)從N個(gè)物件中,隨機(jī)地逐個(gè)取出n件,且每次取出后沒有替換。則在n件中出現(xiàn)“是”的次數(shù)x系超幾何分布,其模型描述為:第25頁,共72頁,2023年,2月20日,星期五超幾何分布
[例]
某車間生產(chǎn)的元件按40個(gè)裝箱后進(jìn)行質(zhì)量檢驗(yàn),其步驟為:從每箱隨機(jī)檢查5個(gè)元件,若出現(xiàn)二等品,則把該箱退回車間返裝?,F(xiàn)若車間采取每40個(gè)元件中允許有3個(gè)二等品的質(zhì)量控制標(biāo)準(zhǔn),則返裝的概率p為多少?解:用超幾何分布模型計(jì)算:第26頁,共72頁,2023年,2月20日,星期五超幾何分布
超幾何分布的數(shù)字特征:
第27頁,共72頁,2023年,2月20日,星期五擴(kuò)充幾何分布
將超幾何分布擴(kuò)充到以下條件:(1)全體為有限的N個(gè)物體,可分為m類:,它們?cè)贜中分別含件。(2)從N物件中,隨機(jī)地逐個(gè)取出n件,且每次取出后不再替換,則得到個(gè)類,個(gè)類,…,個(gè)類物件的概率為擴(kuò)充超幾何分布,其模型為:
第28頁,共72頁,2023年,2月20日,星期五泊桑分布這是一種常見的重要離散分布,其條件是:(1)已知某種事件在一定時(shí)間區(qū)段內(nèi)出現(xiàn)的平均次數(shù)為。(2)這種事件可能出現(xiàn)的次數(shù)遠(yuǎn)大于。(3)該事件每次出現(xiàn)均為獨(dú)立。(4)該事件出現(xiàn)的次數(shù)僅與時(shí)間區(qū)段長度有關(guān),而與區(qū)段外這種事件出現(xiàn)的次數(shù)無關(guān)。
則在某個(gè)給定的時(shí)間區(qū)段內(nèi),該事件出現(xiàn)x次的概率為泊桑分布,其模型描述為:
第29頁,共72頁,2023年,2月20日,星期五[例]1910年Rutherford和Geiger在鏷放射源前的小屏幕上記錄粒子每分鐘撞擊次數(shù)x的頻數(shù)列于下表。每分鐘撞擊次數(shù)觀測(cè)到的頻數(shù)撞擊次數(shù)按泊桑分布計(jì)算的頻數(shù)057054120320321123837664073525157552645352128508540820403946273163825471399731408453606892724329101010011116666總計(jì)2608100922608第30頁,共72頁,2023年,2月20日,星期五[例]1910年Rutherford和Geiger在鏷放射源前的小屏幕上記錄粒子每分鐘撞擊次數(shù)x的頻數(shù)列于下表。解:考慮到不太長的時(shí)期內(nèi),粒子放出的平均次數(shù)為常數(shù),每個(gè)粒子的放出可認(rèn)為獨(dú)立,且放出次數(shù)只與時(shí)間有關(guān),故可假設(shè)符合泊桑分布。首先計(jì)算粒子放出的平均次數(shù):則泊桑分布模型:計(jì)算不同值時(shí)的頻數(shù)列于表,可見與實(shí)際觀測(cè)值非常接近。第31頁,共72頁,2023年,2月20日,星期五泊桑分布泊桑分布的數(shù)字特征:第32頁,共72頁,2023年,2月20日,星期五泊桑分布與二項(xiàng)分布之間的關(guān)系由二項(xiàng)分布的數(shù)字特征得:由二項(xiàng)分布模型得:
第33頁,共72頁,2023年,2月20日,星期五泊桑分布與二項(xiàng)分布之間的關(guān)系當(dāng)時(shí),上式有又因?yàn)椋核缘茫旱侵挥挟?dāng)時(shí),才為有限值,所以應(yīng)寫為:第34頁,共72頁,2023年,2月20日,星期五幾種離散分布模型之間的關(guān)系第35頁,共72頁,2023年,2月20日,星期五隨機(jī)變量及其分布:
連續(xù)型隨機(jī)變量的概率分布當(dāng)隨機(jī)變量可以在數(shù)軸的一個(gè)連續(xù)區(qū)段內(nèi)取任意值,則需要用連續(xù)型概率分布模型。重點(diǎn):介紹連續(xù)型隨機(jī)變量若干重要的分布模型。 連續(xù)均勻分布 指數(shù)分布
Gamma分布
Beta分布
Weibull分布
Chi平方分布第36頁,共72頁,2023年,2月20日,星期五連續(xù)均勻分布(矩形分布)特點(diǎn):在一定范圍內(nèi)(從上限a到下限b),事件出現(xiàn)的概率密度q為常數(shù),而在該范圍之外為0。概率密度的數(shù)學(xué)模型:第37頁,共72頁,2023年,2月20日,星期五連續(xù)均勻分布(矩形分布)對(duì)x積分后得到分布函數(shù)Q:第38頁,共72頁,2023年,2月20日,星期五連續(xù)均勻分布(矩形分布)矩形分布的數(shù)字特征:第39頁,共72頁,2023年,2月20日,星期五指數(shù)分布適用于描述出現(xiàn)某事件所需等待時(shí)間的概率分布。(例如設(shè)備從開始運(yùn)行到出現(xiàn)故障的延續(xù)時(shí)間。)數(shù)學(xué)形式可在以下假設(shè)條件下引出:(1)在任一時(shí)間段內(nèi),事件發(fā)生的概率僅與時(shí)間段的長度有關(guān),而與時(shí)間的起點(diǎn)或終點(diǎn)無關(guān)。(2)在一小段時(shí)間內(nèi),事件發(fā)生的概率近似地正比于時(shí)間段長,即。(3)在不相重疊的各時(shí)間段內(nèi),事件的發(fā)生是獨(dú)立的。
第40頁,共72頁,2023年,2月20日,星期五指數(shù)分布將不發(fā)生事件的時(shí)間段(0,x)分成n等份:各時(shí)間段內(nèi)事件系獨(dú)立發(fā)生,又令p為不發(fā)生事件的概率:t為發(fā)生事件的時(shí)刻根據(jù)條件(1)和(2):為發(fā)生事件的概率第41頁,共72頁,2023年,2月20日,星期五指數(shù)分布因此,在時(shí)發(fā)生事件的概率為:這是分布函數(shù),相應(yīng)的密度函數(shù)為分布函數(shù)的導(dǎo)數(shù):其中為壽命參數(shù)。(這是和離散型的幾何分布相對(duì)應(yīng)的一種連續(xù)分布模型。它在設(shè)備和元件的壽命問題中有廣泛的應(yīng)用,實(shí)際上是可靠性研究領(lǐng)域中的一種標(biāo)準(zhǔn)分布。)第42頁,共72頁,2023年,2月20日,星期五指數(shù)分布當(dāng)時(shí),指數(shù)分布的密度函數(shù)當(dāng)時(shí),指數(shù)分布的分布函數(shù)第43頁,共72頁,2023年,2月20日,星期五指數(shù)分布指數(shù)分布的數(shù)字特征為:第44頁,共72頁,2023年,2月20日,星期五指數(shù)分布[例]某設(shè)備采用一元件,它的故障時(shí)間T遵循指數(shù)分布,并已測(cè)得參數(shù)為?,F(xiàn)將該種元件分別用于5臺(tái)設(shè)備中,試問:8年以后,至少還有2個(gè)該種元件仍在工作著的概率為多少?解:根據(jù)指數(shù)分布,8年后該元件仍在工作著的概率為:令x表示8年后仍在工作著的元件數(shù),由于這是離散性問題,所以采用二項(xiàng)分布:第45頁,共72頁,2023年,2月20日,星期五Gamma分布(第三類Pearson分布)設(shè)在時(shí)間區(qū)段內(nèi),事件的平均出現(xiàn)率為每單位時(shí)間次。Gamma分布系用來描述出現(xiàn)r次事件所需要的時(shí)間長度x的概率分布。數(shù)學(xué)模型:[1]將時(shí)間區(qū)段離散化,把它等分為n個(gè)子區(qū)段,長度均為T/n。取n足夠大,使每個(gè)區(qū)段出現(xiàn)1次以上事件的概率可以忽略不計(jì)。又設(shè)各子區(qū)段中事件的出現(xiàn)均為獨(dú)立。因此,在任一子區(qū)段出現(xiàn)一個(gè)事件的概率為:[2]出現(xiàn)r次事件所需要的時(shí)間區(qū)段個(gè)數(shù)k的概率可以用負(fù)二項(xiàng)分布描述為:第46頁,共72頁,2023年,2月20日,星期五數(shù)學(xué)模型:[3]得到x的密度函數(shù)為:第47頁,共72頁,2023年,2月20日,星期五Gamma分布考慮Gamma函數(shù):當(dāng)r為非負(fù)整數(shù)時(shí)出現(xiàn)每次事件平均所需時(shí)間單參數(shù)Gamma分布第48頁,共72頁,2023年,2月20日,星期五Gamma分布二參數(shù)Gamma分布的數(shù)字特征為:第49頁,共72頁,2023年,2月20日,星期五單參數(shù)Gamma分布當(dāng)r=1時(shí),單參數(shù)Gamma分布就是的指數(shù)分布。
設(shè)有r個(gè)獨(dú)立的隨機(jī)變量都符合的指數(shù)分布,定義另一隨機(jī)變量:則y將符合單參數(shù)Gamma分布。第50頁,共72頁,2023年,2月20日,星期五Beta分布(第一類Pearson分布)最簡單的二參數(shù)形式的密度函數(shù)為(r和s是二參數(shù)):二參數(shù)Beta分布的數(shù)字特征:第51頁,共72頁,2023年,2月20日,星期五Weibull分布最常用的是它最簡單的二參數(shù)形式密度函數(shù):k為標(biāo)度參數(shù),s為形狀參數(shù)。二參數(shù)Weibull分布的數(shù)字特征為:廣泛應(yīng)用于壽命檢驗(yàn),可靠性研究等方面的模型。第52頁,共72頁,2023年,2月20日,星期五單參數(shù)Weibull分布的密度函數(shù)第53頁,共72頁,2023年,2月20日,星期五Chi分布Gamma分布的另一種特殊情況是當(dāng):時(shí)稱為Chi平方分布。它是假設(shè)檢驗(yàn)的重要工具,其密度函數(shù)為:稱為自由度(它的含義將在以后章節(jié)中介紹)。Chi平方分布的數(shù)字特征為:第54頁,共72頁,2023年,2月20日,星期五幾種分布之間的關(guān)系第55頁,共72頁,2023年,2月20日,星期五幾種連續(xù)和離散分布之間的關(guān)系
離散對(duì)象連續(xù)對(duì)象單次事件幾何分布出現(xiàn)一次事件需要測(cè)試的次數(shù)指數(shù)分布出現(xiàn)一次事件需要延續(xù)的時(shí)間長度多次事件負(fù)二項(xiàng)分布出現(xiàn)k次事件需要測(cè)試的次數(shù)xGamma分布出現(xiàn)r次事件需要延續(xù)的時(shí)間長度x第56頁,共72頁,2023年,2月20日,星期五隨機(jī)變量及其分布:
正態(tài)分布這是連續(xù)型隨機(jī)變量的一種最常見分布模型。在很多實(shí)際情況下可以用它描述或近似地描述隨機(jī)變量的分布。當(dāng)觀測(cè)數(shù)據(jù)中包含的誤差純屬隨機(jī)性,則這種隨機(jī)變量的概率密度函數(shù)一般可用正態(tài)分布模型描述。隨機(jī)誤差的特點(diǎn):(1)大小相等而符號(hào)相反的誤差出現(xiàn)的概率密度相同。(2)概率密度隨誤差的絕對(duì)值增大而單調(diào)下降。(3)絕對(duì)值很大的誤差出現(xiàn)的概率密度趨于零。第57頁,共72頁,2023年,2月20日,星期五正態(tài)分布正態(tài)分布的密度函數(shù)為:(精確度指數(shù))
和分別表示觀測(cè)數(shù)據(jù)總體平均值和標(biāo)準(zhǔn)差。正態(tài)分布密度函數(shù)曲線的位置和形狀決定于和兩個(gè)參數(shù),可以簡單地表示為:第58頁,共72頁,2023年,2月20日,星期五正態(tài)分布曲線第59頁,共72頁,2023年,2月20日,星期五正態(tài)分布根據(jù)誤差定義只包含隨機(jī)因素影響的觀測(cè)數(shù)據(jù),為隨機(jī)誤差。得:這就是隨機(jī)誤差的概率密度函數(shù),或稱隨機(jī)誤差的正態(tài)分布。因?yàn)樗鼈兊男螤钪粵Q定于單個(gè)參數(shù),所以表示為:又稱其為Gauss誤差分布概率方程。第60頁,共72頁,2023年,2月20日,星期五隨機(jī)誤差的正態(tài)分布第61頁,共72頁,2023年,2月20日,星期五標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布引入一個(gè)新的隨機(jī)變量:得:第62頁,共72頁,2023年,2月20日,星期五(1)時(shí),,為概率密度最大位置。(2)從正負(fù)兩方面離開0后,概率密度的值都下降。(3)密度曲線對(duì)垂直線對(duì)稱,。(4)在和處各有一個(gè)變凹點(diǎn)。(5)在和之間,密度曲線下的面積表示取值在區(qū)間的概率,即:(6)從到,曲線下的面積為1.0。(7)正態(tài)分布的數(shù)字特征為:(8)規(guī)則:標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布有下列性質(zhì)第63頁,共72頁,2023年,2月20日,星期五設(shè)為n個(gè)具有正態(tài)分布的隨機(jī)變量,它們的總體平均值和方差分別為:和則由線性組合而構(gòu)成的隨機(jī)變量也將具有正態(tài)分布。且它的總體平均值為:方差為:正態(tài)分布的重現(xiàn)性。可以證明:泊桑分布和Chi平方分布也具有重現(xiàn)性。重要特性第64頁,共72頁,2023年,2月20日,星期五正態(tài)分布和其他分布的關(guān)系對(duì)于具有二項(xiàng)分布的隨機(jī)變量x,當(dāng)時(shí),它經(jīng)變換后的變量:將遵循標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布,即。對(duì)于Gamma分布,在r值逐漸增大后,將趨于正態(tài)分布。例如,設(shè),則Gamma分布的數(shù)字特征:和正態(tài)分布的數(shù)字特征已非常接近。第65頁,共72頁,2023年,2月20日,星期五正態(tài)分布判斷過程測(cè)量變量:(1)平均值附近出現(xiàn)的概率最大。(2)離平均值正負(fù)兩方面偏差出現(xiàn)的概率差不多。(3)很大的偏差出現(xiàn)的概率很小。如果:則可以滿意地用正態(tài)分布。第66頁,共72頁,2023年,2月20日,星期五對(duì)數(shù)正態(tài)分布對(duì)數(shù)正態(tài)分布是描述不對(duì)稱分布最重要的一種模型:對(duì)數(shù)正態(tài)分布的數(shù)字特征:若x為具
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