概率論隨機(jī)變量的分布函數(shù)

概率論隨機(jī)變量的分布函數(shù)第1頁(yè)，共30頁(yè)，2023年，2月20日，星期五

———|——>x二、定義設(shè)X

是隨機(jī)變量，x為任意實(shí)數(shù)，稱函數(shù)為X的分布函數(shù)(distributionfunction)記作X～

F(x)或FX(x)如果將X

看作數(shù)軸上隨機(jī)點(diǎn)的坐標(biāo)，那么分布函數(shù)F(x)的值就表示X落在區(qū)間的概率.第2頁(yè)，共30頁(yè)，2023年，2月20日，星期五三、分布函數(shù)的性質(zhì)1單調(diào)不減即若x1<x2，則F(x1)≤F(x2)；2.非負(fù)有界F(x+0)=F(x)3.右連續(xù)性質(zhì)1--3是鑒別一個(gè)函數(shù)是否是某隨機(jī)變量的分布函數(shù)的充分必要條件.第3頁(yè)，共30頁(yè)，2023年，2月20日，星期五例1

一袋中有6個(gè)球，其中2個(gè)標(biāo)號(hào)為1，3個(gè)標(biāo)號(hào)為2，1個(gè)標(biāo)號(hào)為3,任取1個(gè)球，以X表示取出的球的標(biāo)號(hào)，求X的分布函數(shù)；并求P｛2≤X≤3｝解：由已知X的可能值為1,2,3．

P{X=1}=2/6,P{X=2}=3/6,P{X=3}=1/6.所以X的分布律為

X 123

pk 2/63/61/6第4頁(yè)，共30頁(yè)，2023年，2月20日，星期五

0123F(x)xF(x)的圖形為第5頁(yè)，共30頁(yè)，2023年，2月20日，星期五它的圖形是一條右連續(xù)的階梯型曲線在隨機(jī)變量的每一個(gè)可能取值點(diǎn)x=xk(k=1,2,…),該圖形都有一個(gè)跳躍，跳躍高度為pk

一般地，對(duì)于離散型隨機(jī)變量X

來(lái)講，如果其概率分布律為,k=1,2,…

其中x1<x2<…

則X的分布函數(shù)為第6頁(yè)，共30頁(yè)，2023年，2月20日，星期五例2一個(gè)靶子是半徑為2米的圓盤,設(shè)擊中靶上任一同心圓盤上的點(diǎn)的概率與該圓盤的半徑平方成正比,并設(shè)射擊都能中靶,以X表示彈著點(diǎn)與圓心的距離.試求（1）隨機(jī)變量X的分布函數(shù)．解(1)求隨機(jī)變量X的分布函數(shù)F(x)當(dāng)0≤x≤2時(shí)，P{0≤X≤x}=cx2(c為待定常數(shù))

又因?yàn)椋?≤X≤2｝為必然事件,故1=P{0≤X≤2｝故

于是當(dāng)x<0時(shí),事件{X≤x}為不可能事件,得F(x)=P{X≤x｝=0當(dāng)x>2時(shí),{X≤x｝為必然事件,于是F(x)=P{X≤x｝=1第7頁(yè)，共30頁(yè)，2023年，2月20日，星期五綜上所述x0123F(x)的圖形F(x)

11/2第8頁(yè)，共30頁(yè)，2023年，2月20日，星期五【注】本例中分布函數(shù)F(x)的圖形是一條連續(xù)曲線，且除x=2外，補(bǔ)充定義x=2處函數(shù)值為0后，得到第9頁(yè)，共30頁(yè)，2023年，2月20日，星期五第四節(jié)連續(xù)型隨機(jī)變量及其

概率密度一、定義probabilitydensity.注：(1)由定義知道，改變概率密度f(wàn)(x)在個(gè)別點(diǎn)的函數(shù)值不影響分布函數(shù)F(x)的取值，因此概率密度不是唯一的.(2)連續(xù)型隨機(jī)變量的分布函數(shù)是連續(xù)函數(shù).第10頁(yè)，共30頁(yè)，2023年，2月20日，星期五二、性質(zhì)(1),(2)用于驗(yàn)證一個(gè)函數(shù)是否為概率密度注(4)式及連續(xù)性隨機(jī)變量分布函數(shù)的定義表示了分布函數(shù)與概率密度間的兩個(gè)關(guān)系．利用這些關(guān)系，可以根據(jù)分布函數(shù)和概率密度中的一個(gè)推出另一個(gè)．(4)若f(x)在點(diǎn)x處連續(xù)，則有第11頁(yè)，共30頁(yè)，2023年，2月20日，星期五連續(xù)型隨機(jī)變量的分布函數(shù)與概率密度的幾何意義：3.

性質(zhì)(3)表示P{x1<X≤x2｝等于曲線f(x)在區(qū)間(x1,x2]上的曲邊梯形的面積。1.

F(x)等于曲線f(x)在(-∞,x]上的曲邊梯形的面積。2.說(shuō)明曲線f(x)與x軸之間的面積等于1?？傻糜?jì)算公式：第12頁(yè)，共30頁(yè)，2023年，2月20日，星期五注：

1.

設(shè)X為連續(xù)型隨機(jī)變量，對(duì)于任意可能值

a

,證明由此知2.若X是連續(xù)型隨機(jī)變量，則有因此，第13頁(yè)，共30頁(yè)，2023年，2月20日，星期五

例1:設(shè)隨機(jī)變量X具有概率密度(1)試確定常數(shù)k，(2)求F(x)，(3)并求P{X>0.1}。

解:(1)由于

于是X的概率密度為，解得k=3.(2)從而第14頁(yè)，共30頁(yè)，2023年，2月20日，星期五練習(xí)解(1)第15頁(yè)，共30頁(yè)，2023年，2月20日，星期五例2:

連續(xù)型隨機(jī)變量X的分布函數(shù)（1）求A，B（2）求X的概率密度（3）P{-1<X<2}解（1）由分布函數(shù)的性質(zhì)知由連續(xù)型隨機(jī)變量的分布函數(shù)的連續(xù)性知所以B=1.F(x)在x=0處有F(0-0)=F(0),即：A=1-A，所以A=1/2于是X分布函數(shù)為：（2）X的概率密度為第16頁(yè)，共30頁(yè)，2023年，2月20日，星期五分布函數(shù)三、三種重要的連續(xù)型分布：

1．均勻分布(UniformDistribution)設(shè)連續(xù)隨機(jī)變量X具有概率密度則稱X在區(qū)間(a，b)上服從均勻分布，記為XU(a，b).第17頁(yè)，共30頁(yè)，2023年，2月20日，星期五均勻分布的意義第18頁(yè)，共30頁(yè)，2023年，2月20日，星期五

短時(shí)間間隔的股票價(jià)格波動(dòng)等.均勻分布常見(jiàn)于下列情形：在數(shù)值計(jì)算中的舍入誤差；

例3

設(shè)電阻值R是一個(gè)隨機(jī)變量，均勻分布在800歐～1000

歐，求R的概率密度及R落在850歐～950歐的概率.解:

由題意，R的概率密度為而第19頁(yè)，共30頁(yè)，2023年，2月20日，星期五例3

某車站從上午7時(shí)起，每15分鐘來(lái)一班車，即7:00，7:15，7:30,7:45等時(shí)刻有汽車到達(dá)此站，如果乘客到達(dá)此站時(shí)間X

是7:00到7:30之間的均勻隨機(jī)變量,求他候車時(shí)間少于5分鐘的概率。解：以7:00為起點(diǎn)0，以分為單位依題意，X

～U(0,30)

從上午7時(shí)起，每15分鐘來(lái)一班車，即7:00，7:15，7:30等時(shí)刻有車到達(dá)車站為使候車時(shí)間X少于5分鐘，乘客必須在7:10到7:15之間，或在7:25到7:30之間到達(dá)車站.第20頁(yè)，共30頁(yè)，2023年，2月20日，星期五所求概率為：即乘客候車時(shí)間少于5分鐘的概率是1/3.第21頁(yè)，共30頁(yè)，2023年，2月20日，星期五若隨機(jī)變量X的概率密度為常數(shù)且大于零,則稱X服從參數(shù)為的指數(shù)分布.X的分布函數(shù)為：2.

指數(shù)分布顯然，f(x)≥0，且第22頁(yè)，共30頁(yè)，2023年，2月20日，星期五

f(x)及F(x)的圖形:10xF(x)f(x)0x第23頁(yè)，共30頁(yè)，2023年，2月20日，星期五【注】1.若隨機(jī)變量X對(duì)任意的s>0,t>0有則稱X的分布具有無(wú)記憶性.指數(shù)分布具有無(wú)記憶性

2.指數(shù)分布有著重要應(yīng)用.如動(dòng)植物的壽命、無(wú)線電元件的壽命，以及隨機(jī)服務(wù)系統(tǒng)中的服務(wù)時(shí)間等都可用指數(shù)分布來(lái)描述.第24頁(yè)，共30頁(yè)，2023年，2月20日，星期五例4

設(shè)某種燈泡的使用壽命為X，其概率密度為

求(1)此種燈泡使用壽命超過(guò)100小時(shí)的概率.(2)任取5只產(chǎn)品,求有2只壽命大于100小時(shí)的概率.解:(1)第25頁(yè)，共30頁(yè)，2023年，2月20日，星期五或(2)設(shè)Y表示5只產(chǎn)品中壽命大于100小時(shí)的只數(shù),則故第26頁(yè)，共30頁(yè)，2023年，2月20日，星期五解：分析：關(guān)鍵：t>0時(shí),{T>t}={N(t)=0}.

時(shí)間間隔大于t，在[0，t]時(shí)間內(nèi)未發(fā)生故障。因?yàn)閧T>t}={N(t)=0},服從參數(shù)為λ的指數(shù)分布。例4

設(shè)設(shè)備在任何長(zhǎng)為t時(shí)間內(nèi)發(fā)生故障的次數(shù)N(t)π(λt)的possion分布,求相繼兩次故障間的時(shí)間間隔T的分布函數(shù)。~.第27頁(yè)，共30頁(yè)，2023年，2月20日，星期五其中,(>0)為常數(shù),則稱X服從參數(shù)為,

的正態(tài)分布，記為.顯然，f(x)≥0，且可以證明參數(shù)的意義將在后面的章節(jié)中給出

(三)正態(tài)分布若隨機(jī)變量X的概率密度為第28頁(yè)，共30頁(yè)，2023年，2月20日，星期五正態(tài)分布的概率密度函數(shù)f(x)的性質(zhì)(1)曲線關(guān)于直線x=

對(duì)稱.(2)當(dāng)x=

時(shí)，f(x)取得最大值;(3)在x=

處曲線有拐點(diǎn)，且以x軸為漸近線;Of(x)x(4