數(shù)學(xué)分析教程

《數(shù)學(xué)分析3》教案

授課時間2006.11.21第20次課

第十九章任課教師

授課章節(jié)姜子文、教授

第三節(jié)及職稱

教學(xué)方法

講授課時安排3

與手段

華東師范大學(xué)主編《數(shù)學(xué)分析（上、下冊）》（第三版），高等教育出版社2001年版

使用教材和吳良森等編著《數(shù)學(xué)分析學(xué)習(xí)指導(dǎo)書》（上、下冊），高等教育出版社2004年版

主要參考書馬順業(yè)編著《數(shù)學(xué)分析研究》，山東大學(xué)出版社1996年版

劉玉璉等編著《數(shù)學(xué)分析講義》（第三版）（上、下冊），高等教育出版社1982年版

教學(xué)目的與要求：

（1）了解「函數(shù)與B函數(shù)的定義與有關(guān)性質(zhì).

⑵了解「函數(shù)與（3函數(shù)的關(guān)系公式.

教學(xué)重點，難點：

重點：「函數(shù)與￡函數(shù)的定義與有關(guān)性質(zhì)

難點：「函數(shù)與夕函數(shù)的關(guān)系公式

教學(xué)內(nèi)容：

一、歐拉積分的概念

含參量積分

r（.v）=[xs-'e-xdx,.v>0稱為格馬函數(shù).

B（p,q）=，x?T（]—x）<H公，p>Qq>Q稱為貝塔函數(shù).

注：相當(dāng)一部分困難的定積分和反常積分（如原函數(shù)為非初等函數(shù)），可通過合適的變量變換轉(zhuǎn)化

為歐拉積分，利用歐拉積分的性質(zhì)，查表來得到近似值.

二、r函數(shù)

r函數(shù)可寫成如下兩個積分之和

r（5）=Jx's~'e~'dx+Jxs~'e~xdx=/（s）+J（s）

（一）、定義域

《數(shù)學(xué)分析3》教案

（1）定義域/"）=當(dāng)S21時是正常積分，當(dāng)0<$<1是收斂的反常積分，

Jo

J（s）=，8爐-7一、辦當(dāng)S>0是收斂的反常積分，故知「函數(shù)「（s）=/G）+J（s）的定義域為S>°.

（2）「函數(shù)在定義域s>°內(nèi)連續(xù)且可導(dǎo).

由不等式XeWxe知/（$）在區(qū)間相,可（a>0）收斂和一致收斂因而在區(qū)間3,句連續(xù)，由不等式

XeWxe,知/（s）在區(qū)間值,力（。>0）收斂和一致收斂因而連續(xù)，從而「函數(shù)「（s）=/（s）+J（s）

在定義域5>°內(nèi)連續(xù).同樣方法可得「函數(shù)在定義域s>°內(nèi)可導(dǎo)且有任意階導(dǎo)數(shù).

（二）、遞推公式「（s+l）=s「（s）

[xse~'dx=—xse~x+sfxs~'e~xdx=—Ase^A+.v[xs^e~xdx

Joo%Jo

令A(yù)7+8即得「（s+1）=s「（s）,

設(shè)〃<sW〃+1則r（S+1）=s「（s）=…=s（s—1）…（s—〃）「（s—〃）.

〃為正整數(shù)時：

r（/i+l）=〃1）…2IF⑴=〃!,）e~xdx=n!.

（三）、圖象

對一切s>0,「（s）和「〃（s）恒大于0,因此「（S）的圖形位于S軸上

方，且是向下凸的.因為r\l）=「（2）=l,所以「（s）在s>0上存在惟一

的極小值點”,且“e（l，2）.又Rs）在（0,s0）內(nèi)嚴(yán)格減；在（s0,+8）內(nèi)

嚴(yán)格增.

由于「缶）=更此=匚更士D（s>O）及l(fā)im「（s+l）=Rl）=l,

SSSTO*

故有

limr（5）=lim-一+D=+oo

s->0+ST0+S

由r（s）在（$0，—）內(nèi)嚴(yán)格增可推得limr（5）=+8.

5->+oo

（四）、延拓

改寫遞推公式為「（s）=r（-+1）-.,可將函數(shù)「（s）延拓到整個數(shù)軸（除了S=0,—1,—2,…以外）.

S

（五）、其他形式

《數(shù)學(xué)分析3》教案

(1)令x=V可得

sx

「⑸=￡X-'e-dx=2jo產(chǎn)-%-尸dy(5>0).

(2)令x=py有=($)=(xs~'e~xdx=/?vyx-'e~pydy(.v>0,/?>0).

三、B函數(shù)

(一)、定義域

B(p,q)=［爐-|(1一幻2心:當(dāng)p<l時％=°為瑕點，當(dāng)4<1時*=1為瑕點，定義域為p>0,q>0.

J0

任何〃0>0,%>0,在〃>〃0國>夕0內(nèi)，］尢/"(1一工)2公一致收斂，故

J0

B函數(shù)在定義域p>0,q>0內(nèi)連續(xù)

(二)、對稱性B(p,q)=B(q,p)?

作變換x=1-y，B(p,q)=(1一=［(I-y)pTyq~}dy

(三)、遞推公式

B(p,q)=(p>O,q>l),(8)

p+q-i

p—1、、

B(p,q)=--------B(p-l,q),(p〉Lq>0),(9)

p+q-i

(P-D(q-1)

B(p,q)=B(p-l,q-l)f(/?>1,(7>1),

(p+q-l)(p+q-2)

p>0,q〉1時,

B(p,q)=f'xp''(1-X)9-1dx=-—(1-A)—1+金[x'^-^dx

Jop0pJ。

H-xp-'x)q-2dx

p%

移項整理即得(8).

(四)、其他形式

(1)令冗=8$2夕，則有:

《數(shù)學(xué)分析3》教案

B(p,q)=cbc=2(^sin2</-1^cos2p-1(pd(p.

J0JO

(2)令戶啟，貝昭=-九)2么=J；1r

(3)令y=-,則有B(p,q)=I——工-----dy=[----------dt

t'"J。(1+y嚴(yán)Jo(l+f尸

四、「函數(shù)與B函數(shù)的關(guān)系

當(dāng)機(jī)，〃為正整數(shù)時，由于80,1)=『九"1必:=-U

J°m

n.11fi—1ri-21

B(m,n)=--------8(〃2,n-\)=--------------------------B(〃")

m+n-1m+n-1m+n-2m+l

=---n---1------n----2---?----1----1

m+n-\m+n-2m+\m

_(n-l)!(m-l)!_r(H)r(m)

(m+n-1)!r(n+m)

對于任何實數(shù)p>0應(yīng)>0也有關(guān)系式(待以后證明)

《數(shù)學(xué)分析3》教案

復(fù)習(xí)思考題、作業(yè)題:

1,2,3(1)(2)

下次課預(yù)習(xí)要點

第一型曲線積分

實施情況及教學(xué)效果分析

完成教學(xué)內(nèi)容。

通過本次教學(xué)，學(xué)生對本次課講授的知識基本掌握，反映良好。

學(xué)院審核意見

學(xué)院負(fù)責(zé)人簽字

年月日

《數(shù)學(xué)分析3》教案

授課時間2006.11.23第21次課

第二十章任課教師

授課章節(jié)姜子文、教授

第一節(jié)及職稱

教學(xué)方法

講授課時安排3

與手段

華東師范大學(xué)主編《數(shù)學(xué)分析（上、下冊）》（第三版），高等教育出版社2001年版

使用教材和吳良森等編著《數(shù)學(xué)分析學(xué)習(xí)指導(dǎo)書》（上、下冊），高等教育出版社2004年版

主要參考書馬順業(yè)編著《數(shù)學(xué)分析研究》，山東大學(xué)出版社1996年版

劉玉璉等編著《數(shù)學(xué)分析講義》（第三版）（上、下冊），高等教育出版社1982年版

教學(xué)目的與要求：

掌握第?型曲線積分的定義，性質(zhì)和計算公式

教學(xué)重點，難點：

重點：第一型曲線積分的定義

難點：第一型曲線積分的計算公式

教學(xué)內(nèi)容：

1第一型曲線積分

以前討論的定積分研究的是定義在直線段上函數(shù)的積分。本章將研究定義在平面或空間曲線段上函

數(shù)的積分

-第一型曲線積分的定義

設(shè)某物體的密度函數(shù)/(P)是定義在C上的連續(xù)函數(shù)。當(dāng)Q是直線段時，應(yīng)用定積分就能計算得該

物體的質(zhì)量。

現(xiàn)在研究當(dāng)。是平面或空間中某一可求長度的曲線段時物體的質(zhì)量的計算問題。首先對。作分割，

把Q分成〃個可求長度的小曲線段Q,(i=1,2,-??,?),并在每一個上任取一點七。由于f(P)為。上的

連續(xù)函數(shù),故當(dāng)Q,的弧長都很小時,每一小段Q,的質(zhì)量都可近似的等于/(E)AQ,，其中AQ,為小曲線

段。，的長度。于是在整個。上的質(zhì)量就近似地等于和式

力/國四

/=!

《數(shù)學(xué)分析3》教案

當(dāng)對。的分割越來越細(xì)密(即d=maxA。,-0)時，上述和式的極限就應(yīng)該是物體的質(zhì)量。

由上面看到，求具有某種物質(zhì)的曲線段的質(zhì)量，與求直線段的質(zhì)量一樣，也是通過“分割、近似求和、取極

限”來得到的。下面給出這類積分的定義。

定義1設(shè)L為平面上可求長度的曲線段，/(x,y)為定義在L上的函數(shù)。對曲線L作分割T,它把分L

成n個可求長度的小曲線段Li(z=1,2,-??,?),4的弧長記為As,,分割T的細(xì)度為帆|=maxAs,,在Li上

任取一點7,)(/=1,2,???,?)<.若有極限

且J的值與分割T與點($,切)的取法無關(guān)，則稱此極限為/(x,y)在L上的第一型曲線積分，記作

j/(x,y)ds(1)

若L為空間可求長曲線段，f(x,y,z)為定義在上的函L數(shù),則可類似地定義/(x,y,z)在空間曲線上的

第一型曲線積分,并且記做

￡f{x,y,z)ds。(2)

于是前面講到的質(zhì)量分布在平面或空間曲線段L上的物體的質(zhì)量可由第?型曲線積分⑴或(2)求得。

關(guān)于第一型曲線積分也和定積分一樣具有下述一些重要性質(zhì)。下面列出平面上第一型曲線積分的性質(zhì)，

對于空間第一型曲線積分的性質(zhì)，讀者可自行仿此寫出.

k

1.若(力(覆了如。=1,2/-,2)存在，q(i=l,2,…，口為常數(shù)，則c，(x.y)杰也存在，且

i=\

Icic

［EcJ-=XcJ-(%,丫油。

1=1f=l"

2.若曲線段L由曲線4，&，…，乙首尾相接而成，且］/(x,yWs(i=L2,…，口都存在，則

￡/(%,y)ds也存在，且

k

￡f(x,y)ds=2［力(x,y)ds

/=1

3.若Jj(x,yWs與(g(尤,y)心都存在，且在￡上/(無,y)Wg(x,y),則

《數(shù)學(xué)分析3》教案

4.若j/(x,y)ds存在，則Jj/(x,y)Hs也存在，且

￡f(x,y)ds

5.若存在，L的弧長為s,則存在常數(shù)c,使得

1/(x,y)ds=cs

這里inff(x,y)<c<supf(x,y)。

LL,

二第一型曲線積分的計算

定理20.1設(shè)有光滑曲線

心｛2處0a,0,

函數(shù)為定義在上的連續(xù)函數(shù)，則

22

1/(x,y0s=/(夕⑺,〃⑺)J(P(/)+/⑺力。(3)

證山弧長公式知道，L上由》=憶|至?xí)?%的弧長

組=J：⑺力

由⑺+/2⑴的連續(xù)性與積分中值定理，有

A*=J，(d)+(d)ZVj<d<G。

所以

生=2/(e(q"),〃(—))J"")+，片)M，

i=li=l

這里如<7：,/44。設(shè)

。這/(e(7：)Md))J"2〉：)+/"4')一J)+〃'2(/)Ar,.

/=!L-

則有

?/?,〃,)圖=:/(*"),〃(d))+〃"(/)&+CT。(4)

f=li=l

令4=max｛加“M，…,M｝，則當(dāng)||4|-?0時，必有加―0?，F(xiàn)在證明處心=0。

因為復(fù)合函數(shù)/(。⑺,〃⑺)關(guān)于，連續(xù)，所以在閉區(qū)間[a,⑶上有界，即存在常數(shù)M,使對一切

te[a,0都有

《數(shù)學(xué)分析3》教案

，"⑺MD)|KM。

再由"⑴+…)在fw[a,四上連續(xù)，所以它在re[a,身上一致連續(xù)，即對任給￡>0的，必存在S>0,

使當(dāng)4<6時有J"2(7：)+〃"(/)-Jd2&，)+，9：)<E

從而同工￡加工紈=￡〃("-〃)，所以lim(7=0.

i=l

再由定積分定義，

HmEf(叭d),WG))J”“一)+—雙

i=\

=r⑺，〃⑺)j"2“)+，⑴流。

因此當(dāng)在(4)式兩邊取極限后，即得所要證的(3)式。

當(dāng)曲線L由方程y=〃(幻,xe[a,可表示，且“(y)在[c9]上有連續(xù)的導(dǎo)函數(shù)時，⑶式成為

￡f(x,y)ds=J：f(x,w(x))[l+礦(x)clx(5)

當(dāng)曲線由方程x=(p(y),ye[c,d]表示，且在上有連續(xù)導(dǎo)函數(shù)時，(3)式成為

y)ds=y)Jl+-)dy(6)

例1設(shè)L是半圓周L：7="c°s'',試計算第一型曲線積分f(i+y2Ms。

y=asmtJL

例2設(shè)L是V=4x從。((),0)到A(l,2)一段(圖20T),試計算第一型曲線積分。

2

解jyds=j'yJl+^-dy=2-(l+^-)|^=^(2V2-1)O

1

JLJOV4343

仿照定理20.1,對于空間曲線積分⑵，當(dāng)曲線L由參量方程x=8(f),y=〃⑺,z=%⑴/w[a,/3]表

示時，其計算公式為￡/(X,y,z)ds=/(我t),叭t),7?))]夕"⑺+，⑺+/⑺力。

例3計算[x2ds,其中L為球面x2+y2+z2=a2被平面x+y+z=0所截得的圓周。

解山對稱性知￡x2ds=￡y2ds=￡z2ds,

i20

所以「x2ds=-￡(x2+y2+z2)ds=^-￡=-Tia',

《數(shù)學(xué)分析3》教案

復(fù)習(xí)思考題、作業(yè)題:

1(2)(4)(6)

下次課預(yù)習(xí)要點

第二型曲線積分

實施情況及教學(xué)效果分析

完成教學(xué)內(nèi)容。

通過本次教學(xué)，學(xué)生對本次課講授的知識基本掌握，反映良好。

學(xué)院審核意見

學(xué)院負(fù)責(zé)人簽字

年月日

《數(shù)學(xué)分析3》教案

授課時間2006.11.28第22次課

第二十章任課教師

授課章節(jié)姜子文、教授

第一下及職稱

教學(xué)方法

講授課時安排3

與手段

華東師范大學(xué)主編《數(shù)學(xué)分析（上、下冊）》（第三版），高等教育出版社2001年版

使用教材和吳良森等編著《數(shù)學(xué)分析學(xué)習(xí)指導(dǎo)書》（上、下冊），高等教育出版社2004年版

主要參考書馬順業(yè)編著《數(shù)學(xué)分析研究》，山東大學(xué)出版社1996年版

劉玉璉等編著《數(shù)學(xué)分析講義》（第三版）（上、下冊），高等教育出版社1982年版

教學(xué)目的與要求：

掌握第二型曲線積分的定義和計算公式，了解第一、二型曲線積分的差別.

教學(xué)重點，難點：

重點：第二型曲線積分的定義和計算公式

難點：第二型曲線積分的計算公式

教學(xué)內(nèi)容：

2第二型曲線積分

一第二型曲線積分的意義

在物理學(xué)中還碰到另一種類型的曲線積分問題。例如一質(zhì)點受力F(x,y)的作用沿平面曲線L從點

A移動到點B,求力F(x,y)所作的功(圖20-2)。

為此在曲線內(nèi)插入〃—1個分點A/””?，…，與4=加0,3=加“一起把有向曲線4月分

成〃個有向小曲線段“一加,?=1,2/一,〃)，若記小曲線段.的弧長為八力,則分割T的細(xì)度為

|IT||=maxAv；?

1111l<i<n

設(shè)力F(x,y)在x軸和y軸方向的投影分別為P{x,y)與。(乂)),那么

F(x,y)=(P(x,y),Q(x,y))。

又設(shè)小曲線段M-M,在x軸與y軸上的投影分別為Ax’=七—x-與=%-y口，其中

《數(shù)學(xué)分析3》教案

(尤,,％)與分別為分點與的坐標(biāo)，記

〃陽1=(Mr△/)，

于是力F(x,y)在小曲線段上所作的功

叱之=P&，7)以,+QG,，〃,)△%，

其中心,〃,)為小曲線段M-Mj上任一點。因而力F(x,y)沿曲線所作的功近似的等于

卬=Zw，=Zp?，7)必+E，功)△凹

/=1/=!/=1

當(dāng)細(xì)度||T||TO時，上式右邊和式的極限就應(yīng)該是所求的功。這種類型的和式的極限就是下面所要討論的第

二型曲線積分。

定義1設(shè)函數(shù)P(x,y)與Q(x,y)定義在平面有向可求長度曲線上。對L的任一分割T,它把L分成〃個

小曲線段

M,_,M,(z=1,2,-..,?)

其中也=A,M,=B。記各小曲線段叫_附,.的弧長為△力分割T的細(xì)度|”=max又設(shè)T的分點M,.

的坐標(biāo)為(者,必)，并記。在每個小曲線段上任取一點(。,7)，若極限

存在且與分割T與點(6,7)的取法無關(guān)，則稱此極限為函數(shù)P(x,y),。(乂>)沿有向曲線L上的第二型曲

線積分，記為

jP(x,y)dx+Q(x,y)dy或J*P(x,y)dx+Q(x,y')dy(1)

上述積分也可寫作

￡P(guān){x,y)dx+￡Q(x,y)dy

或JjHyMx+LQEyMy

為書寫簡潔起見，(1)式常簡寫成

jPdx+Qdy或J”,Pdx+Qdy

《數(shù)學(xué)分析3》教案

若L為封閉的有向曲線，則記為

￡P(guān)dx+Qdy(2)

若記F(x,y)=(P(x,y),Q(x,y)),杰=(dx,dy),則⑴式可寫成向量形式

￡F-ds或-ds(3)

于是，力F(x,y)=(P(x,>),Q(x,y))沿有向曲線L:A?對質(zhì)點所作的功為

W=LP(x,y)dx+Q[x,yydy。

倘若L為空間有向可求長度曲線，尸(x,y,z),Q(尤,y,z),/?(x,y,z)為定義在￡上的函數(shù)，則可按上述辦

法類似地定義沿空間有向曲線L上的第二型曲線積分，并記為

P(x,y,z)dx+Q{x,y,z)dy+R(x,y,z)dz,

或簡寫成

Pdx+Qdy+Rdz。

當(dāng)把F(x,y)=(P(x,y),Q(x,y),R(x,y))馬ds=(dx,dy,dz)看作三維向量時，(4)式也可表示成⑶式的向

量形式。

第二型曲線積分與曲線L的方向有關(guān)。對同一曲線，當(dāng)方向山A到8改變?yōu)橛?到A時，每一小曲線段

的方向都改變.從而所得的Axj,Ay也隨之改變符號，故有

Pdx+Qdy=—Pdx+Qdy

而第一型曲線積分的被積表達(dá)式只是函數(shù)/(x,y)與弧長的乘積，它與曲線L的方向無關(guān)。這是兩種類型曲線

積分的一個重要區(qū)別。

類似于第一型曲線積分，第二型曲線積分也有如下一些重要性質(zhì)：

1.若L臣&力(i=1,2,…,Q存在，則(Zc/dx+ZGQ辦也存在，且

=

￡ZqE公+EQiEft.Pdx+QdA

\i-i7

其中6。=1,2,?一次)為常數(shù)。

2.若有向曲線L是由有向曲線七,…4首尾相接而成，月」加+。力々=1,2/一?)存在，則

￡P(guān)dx+Qdy也存在，且jPdx+Qdy=ZJ,Pdx+Qdy。

《數(shù)學(xué)分析3》教案

二第二型曲線積分的計算

與第一型曲線積分一樣，第二型曲線積分也可化為定積分來計算。

設(shè)平面曲線

其中夕⑺,以t)在[a,冽上具有一階連續(xù)導(dǎo)函數(shù)，且點A與8的坐標(biāo)分別為(da),〃(a))與(夕(⑶,〃(⑶)。

又設(shè)P(x,y)與。(x,y)為L上的連續(xù)函數(shù)，則沿L從A到8的第二型曲線積分

[P(x,y)dx+Q(x,y)dy=「忸(必),〃[加'⑺+。(夕(。,%⑹

JLJa

仿照1中定理20」的方法分別證明

[P(x,y}dx=「P(p(r),〃(/)%'(/W,[Q(x,y}dx=「Q(M，“(/))〃'(,,’

由此便可得公式(6),這里不再贅述了。

對于沿封閉曲線的第二型曲線積分(2)的計算，可在L上任意選取一點作為起點，沿L所指定的方向前

進(jìn)，最后回到這一點。

例1計算(取拄+(y—x)辦，其中L分別沿如圖20—3中路線

(i)直線AB；

(ii)ACB(拋物線：y=2(x-l)2+1)；

(iii)A。區(qū)4(三角形周界)

X=1+f

一，re[0,1]o

{y=\+2t

故由公式(6)可得

Jxydx+(y-x)dy—J[(1+f)(1+2/)+2/卜/=J(1+57+2廣^dt——。

(ii)曲線ACB為拋物線y=2*-1)2+1,1WxW2,所以

xydx+(y-x)dy=j112(尤-1)2+1]+12(x-1)2+1-x]4(x-1)肱

=J(1Ox，-32x"+35x—12^dx-。

(iii)這里L(fēng)是一條封閉曲線，故可從A開始，應(yīng)用上段的性質(zhì)2,分別求沿和8A上的線積

分然后相加即可得到所求之曲線積分。

由于沿直線AO:尤=x,y=1(1WxW2)的線積分為

《數(shù)學(xué)分析3》教案

jxydx+(y-x)dy=xydx=[xdx=-1

沿宜線DB:x=2,y=y(l<y<3)的線積分為

\DBxydx+(y-x)dy=(y-x)dy=J(y-2)dy=0。

沿直線84的線積分可由(i)及公式(5)得到

25

\xydx+(y-x)dy=xydx+(y-x)dy=--

所以

￡xydx+(y-x)dy-(y-x)dy=-1+0+258

3

例2計算，xtfy+y公，這里L(fēng):(i)沿拋物線y=2/,從。到3的一段(圖20-4)；(ii)沿直線段

O8:y=2x；(iii)沿封閉曲線0480。

解(i)￡xdy+ydx=[X(4JC)+2x2\lx=￡6x2dx=—=2?

(ii)￡xdy+ydx=(2x+2x)dx=4~=2<>

(iii)在04一段上，y=0,0<xW1;在A8一段上，x=1,0<yW2;在8。一段上與(ii)一樣是y=2x

從x=l到x=0的一段。所以

\OA^dy+ydx=jQdx--0,

(/辦'+他=/1辦=2,

xdy+ydx=xdy+ydx--2,(見(ii))。

因此

$xdy+ydx=f4-f+f=0+2—2=0。

JLJOAJABJBO

對于沿空間有向曲線的第二型曲線積分的計算公式也與(6)式相仿。設(shè)空間有向光滑曲線L的參量方程

為

x=xQ),

L：<y=y(t),a<t</3,

z=z(r),

起點為(x(a),y(a),z(a)),終點為(兀(￡),六夕),2(尸))，則

《數(shù)學(xué)分析3》教案

f,Pdx+Qdy+Rdz=1[尸(九"),y"),z。))》'。)+Q(x(f),y?),z(r))y'(f)+R(x(f),y(t),z(t))z(t)]dt。⑺

JLJa

這里要注意曲線方向與積分上下限的確定應(yīng)該一致。

例3計算第二型曲線積分/=j孫必:+(y-x)dy+/dz,

其中L是螺旋曲線1="cos/,y=asinf,z=。，，從，=0到，二不上的?段。

解由公式(7),

1=「(一。3cosrsin2t+a2cos2t-a2sinrcost+a2hcos2t)dt=—a2C)

Jo2

=--a3sin3t--a~sin2r+—6f2(l+Z?)[r+—sin2/j

_322k2JJ0

=—~(1+b)兀o

例4求在力/(y,—工冗+y+z)作用下，

(i)質(zhì)點由A沿螺旋線4到8所作的功(圖20-5),其中乙:x=acost,y=asint,z=bt.O<r<2^；

(ii)質(zhì)點由A沿直線&到8所作的功。

解如本節(jié)開頭所述，在空間曲線L上力F所做的功為

W=￡F.ds=￡>心-xdy+(九+y+z)dy。

(i)由于dx=-asin1出,dy=acosfdf,dz=bdt,所以

W=f(-a2sin2t-a2cos21+abcost+ahsintb2t)dt=27r(7ib2-a2)

Joo

(ii)人的參量方程為

x=a,y=0,z=t,0<t<2就。

由于=0,dy=0,dz=力，所以

「2就

W=(。+t)dt=2就(a+肪)。

JO

《數(shù)學(xué)分析3》教案

復(fù)習(xí)思考題、作業(yè)題：

1(1)(4),2

下次課預(yù)習(xí)要點

二重積分概念

實施情況及教學(xué)效果分析

完成教學(xué)內(nèi)容。

通過本次教學(xué)，學(xué)生對本次課講授的知識基本掌握，反映良好。

學(xué)院審核意見

學(xué)院負(fù)責(zé)人簽字

年月日

《數(shù)學(xué)分析3》教案

授課時間2006.11.30第23次課

第二十一章任課教師

授課章節(jié)姜子文、教授

第一節(jié)及職稱

教學(xué)方法

講授課時安排3

與手段

華東師范大學(xué)主編《數(shù)學(xué)分析（上、下冊）》（第三版），高等教育出版社2001年版

使用教材和吳良森等編著《數(shù)學(xué)分析學(xué)習(xí)指導(dǎo)書》（上、下冊），高等教育出版社2004年版

主要參考書馬順業(yè)編著《數(shù)學(xué)分析研究》，山東大學(xué)版社1996年版

劉玉璉等編著《數(shù)學(xué)分析講義》（第三版）（上、下冊），高等教育出版社1982年版

教學(xué)目的與要求：

（1）掌握二重積分的定義和性質(zhì)，二重積分的可積條件

（2）了解有界閉區(qū)域上的連續(xù)函數(shù)的可積性

（3）了解平面點集可求面積的充要條件

教學(xué)重點，難點：

重點：二重積分的定義和性質(zhì)

難點：二元函數(shù)可積條件

教學(xué)內(nèi)容：

§1二重積分概念

一、平面圖形的面積

為了研究定義在平面圖形（即平面點集）上函數(shù)的積分，我們首先討論平面有界圖形的面積問題.

所謂一個平面圖形P是有界的，是指構(gòu)成這個平面圖形的點集是平面上的有界點集，即存在一矩形

R,使得PuR.

設(shè)P是一平面有界圖形，用某一平行于坐標(biāo)軸的一組直線網(wǎng)T分割這個圖形.這時直線網(wǎng)T的網(wǎng)眼

--小閉矩形△,可分為三類：（i）上的點都是P的內(nèi)點；（ii）與上的點都是P的外點,即cP=0；

（iii）與上含有尸的邊界點.

我們符所有屬于直線網(wǎng)T的第（i）類小矩形（圖中陰影部分）的面積加起來，記這個和數(shù)為S/T）,則

有Sp（T）3（這里AR表示包含P的那個矩形R的面積）；將所有第（i）類與第（iii）類小矩形（圖中

粗線所圍部分）的面積加起來，記這個和數(shù)為Sp（T）,則有％（T）WSp（T）.

《數(shù)學(xué)分析3》教案

由確界存在定理可以推得，對于平面上的所有直線網(wǎng)，數(shù)集{".(T)}有上確界，數(shù)集{Sp(T)}有下確界，記

乙=sup{Sp(T)},7P=inf{Sp(T)}.

TT

顯然有

o<LP<lP(i)

通常稱/P為尸的內(nèi)面積，7P為p的外面積.

定義1若平面圖形P的內(nèi)面積等與它的外面積7戶，則稱尸為可求面積，并稱其共同值。=7-

為P的面積.

定理21.1平面有界圖形P可求面積的充要條件是：對任給的￡>0,總存在直線網(wǎng)T,使得

Sp(T)-Sp(T)<￡.(2)

證［必要性］設(shè)平面有界圖形尸的面積由定義1,有。=7".對任給的￡>o,由/p及7P的定

義知道，分別存在直線網(wǎng)(和《，使得

“(T)>［p-SP(T2)<IP+-.⑶

記T為由7；與右這兩個直線網(wǎng)合并所成的直線網(wǎng)，可證得

“(()<Sp(T)

SP(T2)>SP(T).

于是由(3)可得

5P(r)>/P-|,SP(T)<IP+^

從而得到直線網(wǎng)T有Sp(T)-Sp(T)<￡.

［充分性］設(shè)對任給的￡>0,存在某直線網(wǎng)T,使得(2)式成立.

但

sP(T)<I_P<1P<SP(T).

所以

Ip—Lp￡Sp(T)~sp(T)<￡.

由￡的任意性，因此7p=/p，因而平面圖形P可求面積.口

由不等式(1)及定理21.1立即可得：

推論平面有界圖形P的面積為零的充要條件是它的外面積7P=0,即對任給的￡>0,存在直線網(wǎng)T,使得

Sp(T)<E,或?qū)θ谓o的￡>0,平面圖形P能被有限個其面積總和小于￡的小矩形所覆蓋.

《數(shù)學(xué)分析3》教案

定理21.2平面有界圖形P可求面積的充要條件是：P的邊界K的面積為零.

證由定理21.1,P可求面積的充要條件是：對任給的￡>0,存在某直線網(wǎng)T,使得

Sp(T)—sp(T)<￡.由于

SK(T)=SP(T)-SP(T),

所以也有SK(T)<￡.山上述推論，P的邊界K的面積為零.

定理21.3若曲線K為定義在句上的連續(xù)函數(shù)/*)的圖像，則曲線K的面積零.

證由于/(幻在閉區(qū)間［a,句上一致連續(xù).因而對任給的￡>0,總存在6>0,當(dāng)把區(qū)間［a,切分成〃個小區(qū)

間［x,_i,%,］(?=1,2,???,?,%()=a,xn=b)并且滿足

max{Ar,=x,一和Ii=1,2,???,?}<8

時，可使f(x)在每個小區(qū)間［看］,毛］上的振幅都成立以<—.現(xiàn)把曲線K按自變量x=/…，招分成

b-a

〃個小段，這時每個小段都能被以Ax,為寬，3為高的小矩形所覆蓋.由于這“個小矩形面積總和為

所以山定理21.1的推論即得曲線K的面積為零.

我們還可以證明：由參量方程x=e(f),y=〃⑴所表示的平面光滑曲線，(即夕，〃，在

［a,/?］上具有連續(xù)的導(dǎo)函數(shù))或按段光滑曲線，其面積一定為零.

二二重積分的定義及其存在性

先討論一個幾何問題一一求曲頂柱體的體積.設(shè)為定義在可求面積的有界閉區(qū)域D上的非負(fù)連續(xù)

函數(shù).求以曲面z=/(x,y)為頂，D為底的柱體的體積V.

采用類似于求曲邊梯形面積的方法.先用一組平行于坐標(biāo)軸的直線網(wǎng)T分成〃個小區(qū)域。,(i=1,2,…

(稱T為區(qū)域D的一個分割).以表示小區(qū)域0的面積.這個直線網(wǎng)也相應(yīng)的把曲頂柱體分割成〃個以⑦

為底的小區(qū)頂柱體匕(i=1,2,由于/(x,y)在D上連續(xù)，故當(dāng)每個⑦?的直徑都很小時，/(九,y)在歷上

個點的函數(shù)值都相差無幾，因而可在⑦上任取一點(自,7)，用以/(4，7)為高，。，為底的小平頂柱體的體

積/?，〃,)作為匕的體積△匕的近似值(圖)，即

《數(shù)學(xué)分析3》教案

△v產(chǎn)/?，〃,)Ab,?

把這些平頂柱體的體積加起來，就得到曲頂柱體體積V的近似值

丫=%匕=￡/(配〃演［.

/=1i=l

當(dāng)直線網(wǎng)T的網(wǎng)眼越來越細(xì)，即分割T的細(xì)度帆=此g4(4為6的直徑)趨于零時，就有

￡/痣,〃心6—V.

/=1

至此，可以看到，求曲頂柱體的體積也與定積分概念一樣，也是通過“分割、近似求和、取極限”這三

個步驟得到的，所不同的是現(xiàn)在討論的對象為定義在平面區(qū)域上的二元函數(shù).這類問題在物理學(xué)與工程技術(shù)中

也常遇到，如求非均勻平面的質(zhì)量、中心、轉(zhuǎn)動慣量等等.這些都是所要討論的二重積分的實際背景.

下面敘述定義在平面可求面積的有界閉域上函數(shù)/(x,y)的二重積分的概念.

設(shè)D為xy平面上可求面積的有界閉區(qū)域，f(x,y)為定義在D上的函數(shù).用任意的曲線把D分成〃個可求

面積的小區(qū)域

以表示小區(qū)域6的面積，這些小區(qū)域構(gòu)成D的一個分割T,以4表示小區(qū)域。，的直徑，稱|丁|=此藝4

為分割T的細(xì)度.在每個5.上任取一點(￡,7)，作和式

1=1

稱它為函數(shù)/(x,y)在D上屬于分割T的一個積分和.

定義2設(shè)f(x,y)是定義在可求面積的有界閉區(qū)域D上的函數(shù).J是一個確定的數(shù)，若對任給的正數(shù)￡,

總存在正數(shù)6,使對于D的任何分割T,當(dāng)它的細(xì)度|T||〈b時，屬于T的所有積分和都有

<