地球物理地震正演模擬方法

地球物理地震正演模擬方法第1頁，共41頁，2023年，2月20日，星期四地球物理學的問題正演問題反演問題按事物一般原理（或模型）及相關的條件（初始條件、邊界條件）來預測事物的結果（可由觀測可得據(jù)地球物理場的實際觀測值（有時也用理論計算值）定量或定性解釋推斷地球內(nèi)部結構（地質(zhì)體形態(tài)和巖層物性）?；A目的應用地球物理學的基本方程式——阻尼標量波動方程式中，u表示地球物理場的一種，如聲場．電磁場的某一分量等；f(x,t)為源函數(shù)；x為空間的一個點；t為時間；系數(shù)h和g對不同場有不同的物理意義。第2頁，共41頁，2023年，2月20日，星期四位場：在場源外區(qū)域滿足拉普拉斯方程的物理場稱為，如重力場、磁場和穩(wěn)定電流場波場：在場源外區(qū)域滿足波動方程或擴散方程的物理場，如電磁場、彈性波場第3頁，共41頁，2023年，2月20日，星期四選擇計算方法，編制計算程序，進行數(shù)值計算。數(shù)學模擬方法求解地球物理正演問題的一般步驟：第一步，地質(zhì)建模：據(jù)研究對象和問題建立地球模型或地質(zhì)結構模型；第二步，數(shù)學建模：據(jù)使用的物理手段和地球模型建立相應的數(shù)學模型；第三步，模擬計算：求解正演問題地球物理模擬物理模擬相似原理投資大，選材難，結果真實，數(shù)學模擬法解析方法最簡捷方便，僅適用少數(shù)簡單模型數(shù)值模擬法正演主要工具效率高，機時少，周期短，費用低。概念：將描述各種地球物理場的方程或表達式及初、邊值條件通過數(shù)值方法求出它們的數(shù)值解。第4頁，共41頁，2023年，2月20日，星期四模型應能夠反映主要地質(zhì)構造和巖石、礦物特征，具有代表性或普遍性（共性）、針對性（目的性）、特殊性（特殊問題）模型不宜太復雜，否則無法建立相應的數(shù)學模型；或者計算結果太復雜，難以分析、辨認地質(zhì)特征與地球物理場特征之間的聯(lián)系。地球模型建立的要求：常用數(shù)值計算方法

有限差分法有限元法積分方程法快速離散傅里葉變換法擬譜法（偽、虛）譜法射線追蹤法計算速度快邊界刻化好涉及較復雜的數(shù)學推導，僅需在異常區(qū)求出未知場，經(jīng)濟，易于處理三維模擬問題F域計算易刻化運動學特性微分方程法，適于模擬復雜的地質(zhì)情況用離散傅立葉變換求空間導數(shù)，可在大空間網(wǎng)格上得到精確波場值第5頁，共41頁，2023年，2月20日，星期四基本原理：差分原理。即，用各離散點上函數(shù)的差商來近似替代該點的偏導數(shù)（微商），把要解的邊值問題轉(zhuǎn)化為一組相應的差分方程。然后，解出差分方程組(線性代數(shù)方程組)在各離散點上的函數(shù)值，便得到邊值問題的數(shù)值解。一、有限差分法一般步驟：

（1）區(qū)域離散化網(wǎng)格剖分：確立合適網(wǎng)格步長，邊界節(jié)點定位步長選擇很重要——決定計算精度、速度（2）微分方程離散化——構建差分方程邊界條件離散化——構建邊界條件差分方程初始條件離散化——構建初始條件差分方程（4）線性方程組形成與求解第6頁，共41頁，2023年，2月20日，星期四位場計算舉例：1、位場所滿足的方程有源無源模擬二維地電斷面電場式中，u表示電位，f表示源項。2、區(qū)域網(wǎng)格剖分內(nèi)節(jié)點邊界節(jié)點第7頁，共41頁，2023年，2月20日，星期四3、微分方程離散化，構組差分方程i,ki+1,ki-1,ki,k-1i,k+1kiux,uxx,…和uz，uzz，…分別表示u對x和z的一階、二階導數(shù)等第8頁，共41頁，2023年，2月20日，星期四含源分區(qū)均勻巖石中位函數(shù)二維差分方程無源分區(qū)均勻巖石中位函數(shù)二維差分方程第9頁，共41頁，2023年，2月20日，星期四4、線性方程組的形成與求解式中[A]是方程組的系數(shù)矩陣。其與物性參數(shù)(如電阻率)分布有關；{u}是電位u的列向量，其分量為所有節(jié)點上的電位；{F}是常向量。當給定電阻率分布（空間分布，模型結構）及邊界條件后，解線性方程式便可求得電位的空間分布計算精度：主要決定于步長h。一般說來，網(wǎng)格劃分越細，即h值越小，計算值與理論值越接近。矛盾：減小步長h將成倍增加計算節(jié)點數(shù)目，增加計算機內(nèi)存需求和計算時間。降低了效率，增加了費用解決計算速度與精度矛盾的較好方法：采用變步長，即在近區(qū)將網(wǎng)格分得密些，遠區(qū)影響較小，可分得稀些。第10頁，共41頁，2023年，2月20日，星期四彈性波場計算舉例1、反射地震中波傳播方程在各向同性均勻介質(zhì)、平面波入射假設條件下，標量波動方程密度不均勻介質(zhì)彈性波標量波動方程激發(fā)問題傳播問題在二維情況下，（自由表面）邊界條件初始條件zz|z=0=ux=0，zx|z=0=uz=0第11頁，共41頁，2023年，2月20日，星期四采用正方形網(wǎng)格元進行網(wǎng)格劃分，步長h；m，n為當前網(wǎng)格節(jié)點的橫向及垂向編號;l時間取樣號2、區(qū)域離散化第12頁，共41頁，2023年，2月20日，星期四利用差分方程式，由上至下，由左至右并隨時標l增加計算空間任一點(m，n)的波場um，n，l+1便得到波傳播圖像，um，0，l是地面直達波和反射波場的合成記錄。差分方程式第13頁，共41頁，2023年，2月20日，星期四

(1)時間取樣率t(t=lt)滿足t≤h/c(2)震源信號的主周期T<10h/c，否則有嚴重的頻散。

(3)由于地下介質(zhì)無限，而計算網(wǎng)格有限，計算網(wǎng)格的邊界必須是吸收邊界。

(4)震源必須作專門處理，即在源點加入f(t)信號。有限差分計算必須滿足的條件如下：有限差分計算的優(yōu)點與不足：優(yōu)點：簡明快速不足：邊界刻劃能力弱。因只能使用矩形網(wǎng)格，對復雜的地質(zhì)構造不能準確地模擬，如，反射地震中常見的傾斜界面、電法勘探中的局部不規(guī)則電性不均勻體等。第14頁，共41頁，2023年，2月20日，星期四基本方程式的有限差分格式（2D）第15頁，共41頁，2023年，2月20日，星期四地質(zhì)模型有限差分波動方程模擬結果演示實例第16頁，共41頁，2023年，2月20日，星期四炮集1快照第17頁，共41頁，2023年，2月20日，星期四1234567蝴蝶結模型邊界產(chǎn)生的假象山頂激發(fā)波動方程正演模擬記錄第18頁，共41頁，2023年，2月20日，星期四炮集2快照第19頁，共41頁，2023年，2月20日，星期四1234567蝴蝶結山谷激發(fā)波動方程正演模擬記錄第20頁，共41頁，2023年，2月20日，星期四二、有限單元法突出優(yōu)點：界面刻畫能力強。對與復雜介質(zhì)結構有關的偏微分方程邊值問題的數(shù)值計算適應性強。其一般只對基本方程中的空間微分算子作逼近，而與時間微分有關的計算仍然多采用有限差分法?；驹恚鹤兎衷砘蜃钚菽茉?/p>

認為：對與勢場能量有關的泛函極小化等效于直接解相應的場的方程對Laplace方程勢場能量表達式***滿足Laplace方程的勢場，同時也是滿足勢場能量F(u)取極小的場。有限差分法采用了直接解方程的辦法，有限元法采用了F(u)極小化逼近勢場第21頁，共41頁，2023年，2月20日，星期四常用微分方程及其泛函Poisson方程：泛函：非其次Helmhotz方程：泛函：標量波動方程：泛函：頻域電磁波似穩(wěn)電磁場方程：泛函：第22頁，共41頁，2023年，2月20日，星期四1、介質(zhì)剖分——采用單純形單剖分元所謂單純形，在平面上為三角形，三維空間為四面體由于三角元以公共邊界及頂點連接成網(wǎng)，勢的分布在穿過單元時保持連續(xù)。有限元法解二維Laplace方程舉例第23頁，共41頁，2023年，2月20日，星期四2、將勢場u展成某種簡單函數(shù)和系數(shù)的線性組合假定，單元內(nèi)勢可用線性(一階)方程表示，有

V=a+bx+cy沿三角元邊緣勢V可以由相應兩角點勢值線性內(nèi)插而來，如果兩個三角元共用一條邊，則位勢在跨單元時保持連續(xù)。為求各系數(shù)，設三個頂點上勢為V1，V2，V3用Cramer準則解線性方程組，求得系數(shù)a,b,c的表達式。代回原方程可得三角元內(nèi)任一點位勢的一階近似式第24頁，共41頁，2023年，2月20日，星期四三角元內(nèi)任一點位勢的一階近似式系數(shù)為A為三角元的面積，且有第25頁，共41頁，2023年，2月20日，星期四3、單個元內(nèi)位勢能寫成矩陣形式有至此，對單個元的近似已經(jīng)完成第26頁，共41頁，2023年，2月20日，星期四4、三角元連接組合求取總勢能整個區(qū)域的勢能為單個三角元勢能之總和。根據(jù)最小勢能準則，使整個研究區(qū)域勢能極小化，就是使所有三角元組合后的勢能極小化兩個元組合方法：設一對元在連接前的頂點位勢可寫成以下列向量下角標dis表示組合前不連接的三角元。對應這兩個元的未組合能量寫為矩陣未組合能量第27頁，共41頁，2023年，2月20日，星期四兩個三角元連接前、后滿足以下關系下角標con注記已聯(lián)接，對應連接后的總能量變?yōu)檫B續(xù)近似的勢能分布被表示為與元頂點位勢向量有關的二次型第28頁，共41頁，2023年，2月20日，星期四5、方程求解計算記k為網(wǎng)格節(jié)點(連接后多個三角形的頂點)的編號，則Laplace方程的有限元近似解要將連接網(wǎng)中的勢能極小化。——變成了求極值問題則勢能極小化為求邊值問題，研究區(qū)域邊界上位勢(或其導數(shù))是已知的（邊界條件）。在對網(wǎng)格節(jié)點編號時先編區(qū)域內(nèi)部的號，后對邊界點編號，分區(qū)處理可簡化方程，以下角標f表示區(qū)域內(nèi)節(jié)點，下角標p表示邊界上節(jié)點整理得解線性矩陣方程式，求取研究區(qū)域內(nèi)各節(jié)點的位勢Vf，有唯一解。其精度取決于三角元的尺度第29頁，共41頁，2023年，2月20日，星期四三、積分方程法不足：積分方程方法涉及較復雜的數(shù)學推導優(yōu)點：僅需在異常區(qū)求出未知場模擬一個或少數(shù)幾個小異常體的響應時，該方法比較經(jīng)濟多用于3D數(shù)值模擬12(r)Vr表示矢徑假設大地電磁場的源是來自高空的垂直入射到地面的平面電磁波，則頻域中無源麥克斯韋方程組表示地下任一點處的實際電導率值，且有=1，異常體外2，異常體內(nèi)總場第30頁，共41頁，2023年，2月20日，星期四定義：二次場為實測場（總場）與一次場之差，并用上角標s表示定義：一次場為均勻地球場，并以上角標p表示，則一次場也滿足無源麥克斯韋方程組，有一次場方程組——可求解其是電導率為1的均勻介質(zhì)內(nèi)的場整理得二次場方程二次場方程組可轉(zhuǎn)換成積分方程，求解是散射電流，僅在異常體中才存在表明：二次場可以認為是由異常體中的散射電流Js引起的。第31頁，共41頁，2023年，2月20日，星期四建立二次場方程的積分方程二次電場可通過將散射電流源Js乘以適當?shù)牟⑹父窳趾瘮?shù)G(r，r/)，并對異常體所占的體積做積分而得，如假設異常體內(nèi)的電導率為常數(shù)2，則可得到實測電場表達式為上式是一非齊次的第二類矢量弗雷德霍姆(Fredholm)積分方程式并矢格林函數(shù)g是對應全空間的標量格林函數(shù)

●P/(x,y,-z)●P(x,y,z)Q(x',y',z')rr'第32頁，共41頁，2023年，2月20日，星期四數(shù)值積分，求解將異常體剖分成N個線性尺寸為的立方體單元．并假設在每個單元內(nèi)電場是常數(shù)，則積分可用求和式來逼近，再經(jīng)一系列推導得到分塊矩陣方程式矩陣[M]的每個元素本身就是一個3X3階矩陣：Γmn是相對有限單元體積電流的并矢格林函數(shù)解方程，求出異常體內(nèi)每個單元中心處的電場值之后，再加上一次場值可求得異常體外任一點處的電場。對總電場方程應用法拉第定律，可計算任意點的磁場H(r)第33頁，共41頁，2023年，2月20日，星期四物理模擬方法基本原理：相似原理方法：按比例復制地質(zhì)模型

(通常比例尺為1:100和1:100萬之間)；

模型的物性參數(shù)一般也應按一定的比例改變；觀測裝置要微型化。縮小模型響應能代表野外實際模型響應模擬準則：使實際模型場與模擬場具有相同的幅值和規(guī)律一、電磁場物理模擬的基本原理1．頻率域電磁場的模擬準則野外條件下地電體參數(shù)方程模型條件下地電體參數(shù)方程第34頁，共41頁，2023年，2月20日，星期四室內(nèi)模型模擬系統(tǒng)尺寸與野外比例關系為1/l——幾何結構比例尺

將比例關系代入野外方程得模型參數(shù)描述的野外方程

按照模擬準則，要使模擬結果與實際一致，野外和模型磁場滿足的波動方程應完全相同，對比可以寫出模擬準則——參數(shù)比例尺上式兩邊為響應參數(shù)k2r2，亦稱綜合參數(shù),右端=1，表明：具有相同綜合參數(shù)的每個系統(tǒng)必定產(chǎn)生相同的電磁響應，與、、及l(fā)的具體數(shù)值無關。因此