251平面幾何中的向量方法592

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2.52.5.1

平面向量應(yīng)用舉例平面幾何中的向量方法

問題提出

15730p2

t

1.用有向線段表示向量，使得向量可以進(jìn)行線性運(yùn)算和數(shù)量積運(yùn)算，并具有鮮明的幾何背景，從而溝通了平面向量與平面幾何的內(nèi)在聯(lián)系，在某種條件下，平面向量與平面幾何可以相互轉(zhuǎn)化.

2.平行、垂直、夾角、距離、全等、相似等，是平面幾何中常見的問題，而這些問題都可以由向量的線性運(yùn)算及數(shù)量積表示出來.因此，平面幾何中的某些問題可以用向量方法來解決，但解決問題的數(shù)學(xué)思想、方法和技能，需要我們在實(shí)踐中去探究、領(lǐng)會和總結(jié).

探究(一):推斷線段長度關(guān)系

思考1:如圖，在平行四邊形ABCD中，已知AB=2,AD=1,BD=2,那么對角線AC的長是否確定？DABC

ADb,則向量AC思考2:設(shè)向量ABa,等于什么？向量DB等于什么？AC

=a+b,DB=a-b

思考3:AB=2,AD=1,BD=2,用向量語言怎樣表述？DCb|a|=2,|b|=1,|a-b|=2.AaB思考4:利用|AC|(AC),若求|AC|需要解決什么問題？22

思考5:利用|a|=2,|b|=1,|a-b|=2,如何求ab?|AC|等于多少？ab1,|AC|26

思考6:根據(jù)上述思路，你能推斷平行四邊形兩條對角線的長度與兩條鄰邊的長度之間具有什么關(guān)系嗎？平行四邊形兩條對角線長的平方和等于兩條鄰邊長的平方和的兩倍.

探究(二):推斷直線位置關(guān)系

思考1:三角形的三條高線具有什么位置關(guān)系？交于一點(diǎn)思考2:如圖，設(shè)△ABC的兩條高AD與BE相交于點(diǎn)P,要說明AB邊上的高CF經(jīng)過點(diǎn)AP,你有哪些方法？E

證明PC⊥AB.B

F

PDC

思考3:設(shè)向量PAa,b,PBPCc,那么PC⊥BA可轉(zhuǎn)化為什么向量關(guān)系？AF

aP

E

c(a-b)=0.B

bD

cC

思考4:對于PA⊥BC,PB⊥AC,用向量觀點(diǎn)可分別轉(zhuǎn)化為什么結(jié)論？a(c-b)=0,b(a-c)=0.

思考5:如何利用這兩個(gè)結(jié)論:a(c-b)=0,b(a-c)=0推出c(a-b)=0?思考6:你能用其它方法證明三角形的三條高線交于一點(diǎn)嗎？AEFPDC

B

探究(三):計(jì)算夾角的大小

思考1:如圖，在等腰△ABC中，D、E分別是兩條腰AB、AC的中點(diǎn)，若CD⊥BE,你認(rèn)為∠A的大小是否為定值？A

D

E

三角形.gspBC

ACb,可以利思考2:設(shè)向量ABa,用哪個(gè)向量原理求∠A的大??？A

aD

bE

cosAC

ab|a||b|

B

思考3:以a,b為基底，向量BE,CD如A何表示？BECD1b21a2abaD

bE

B

C

思考4:將CD⊥BE轉(zhuǎn)化為向量運(yùn)算可得什么結(jié)論？2ab=(a2+b2)5

思考5:由于△ABC是等腰三角形，則|a|=|b|,結(jié)合上述結(jié)論:ab=22+b2(a5

),cosA等于多少？A

cosA

ab|a||b|

45B

aD

bE

C

理論遷移

例1如圖，在平行四邊形ABCD中，點(diǎn)E、F分別是AD、DC的中點(diǎn)，BE、BF分別與AC相交于點(diǎn)M、N,試推斷AM、MN、NC的長度具有什么關(guān)系，并證明你的結(jié)論.DEAMFNC

結(jié)論:AM=MN=NCB

三等分.gsp

例2如圖，△ABC的三條高分別為AD,BE,CF,作DG⊥BE,DH⊥CF,垂足分別為G、H,試推斷EF與GH是否平行.AE

結(jié)論:EF∥GHB

FGDPH

C

小結(jié)作業(yè)

1.用向量方法解決平面幾何問題的基本思路：幾何問題向量化向量運(yùn)算關(guān)系化向量關(guān)系幾何化.2.用向量方法研究幾何問題，需要用向量的觀點(diǎn)看問題，將幾何問題化歸為向量問題