《數(shù)值計算方法》試題集及答案(1-6)-2

《計算方法》期中復習試題一、填空題：1、已知，則用辛普生（辛卜生）公式計算求得,用三點式求得。答案：2.367，0.252、，則過這三點的二次插值多項式中的系數(shù)為，拉格朗日插值多項式為。答案：-1，3、近似值關(guān)于真值有(2)位有效數(shù)字；4、設(shè)可微,求方程的牛頓迭代格式是()；答案5、對,差商(1),(0)；6、計算方法主要研究(截斷)誤差和(舍入)誤差；7、用二分法求非線性方程f(x)=0在區(qū)間(a,b)內(nèi)的根時，二分n次后的誤差限為()；8、已知f(1)＝2，f(2)＝3，f(4)＝5.9，則二次Newton插值多項式中x2系數(shù)為(0.15)；兩點式高斯型求積公式≈()，代數(shù)精度為(5)；為了使計算的乘除法次數(shù)盡量地少，應將該表達式改寫為，為了減少舍入誤差，應將表達式改寫為。用二分法求方程在區(qū)間[0,1]內(nèi)的根,進行一步后根的所在區(qū)間為0.5，1,進行兩步后根的所在區(qū)間為0.5，0.75。計算積分,取4位有效數(shù)字。用梯形公式計算求得的近似值為0.4268，用辛卜生公式計算求得的近似值為0.4309，梯形公式的代數(shù)精度為1，辛卜生公式的代數(shù)精度為3。設(shè),則，的二次牛頓插值多項式為。求積公式的代數(shù)精度以(高斯型)求積公式為最高，具有()次代數(shù)精度。已知f(1)=1,f(3)=5,f(5)=-3,用辛普生求積公式求≈(12)。設(shè)f(1)=1，f(2)=2，f(3)=0，用三點式求(2.5)。19、如果用二分法求方程在區(qū)間內(nèi)的根精確到三位小數(shù)，需對分（10）次。20、已知是三次樣條函數(shù)，則=(3)，=（3），=（1）。21、是以整數(shù)點為節(jié)點的Lagrange插值基函數(shù)，則(1)，()，當時()。22、區(qū)間上的三次樣條插值函數(shù)在上具有直到_____2_____階的連續(xù)導數(shù)。23、改變函數(shù)()的形式，使計算結(jié)果較精確。24、若用二分法求方程在區(qū)間[1,2]內(nèi)的根，要求精確到第3位小數(shù)，則需要對15、取計算，下列方法中哪種最好？（）(A)；(B)；(C)；(D)。26、已知是三次樣條函數(shù)，則的值為()(A)6，6；(B)6，8；(C)8，6；(D)8，8。16、由下列數(shù)表進行Newton插值，所確定的插值多項式的最高次數(shù)是（）１1.5２2.5３3.5-10.52.55.08.011.5(A)；(B)；(C)；(D)。17、形如的高斯（Gauss）型求積公式的代數(shù)精度為（）(A)；(B)；(C)；(D)。18、計算的Newton迭代格式為()(A)；(B)；(C)；(D)。19、用二分法求方程在區(qū)間內(nèi)的實根，要求誤差限為，則對分次數(shù)至少為()(A)10；(B)12；(C)8；(D)9。20、設(shè)是以為節(jié)點的Lagrange插值基函數(shù)，則()(A)；（B）；（C）；（D）。33、5個節(jié)點的牛頓-柯特斯求積公式，至少具有()次代數(shù)精度(A)5；(B)4；(C)6；(D)3。21、已知是三次樣條函數(shù)，則的值為()(A)6，6；(B)6，8；(C)8，6；(D)8，8。35、已知方程在附近有根，下列迭代格式中在不收斂的是()(A)；(B)；(C)；(D)。22、由下列數(shù)據(jù)012341243-5確定的唯一插值多項式的次數(shù)為()(A)4；(B)2；(C)1；(D)3。23、5個節(jié)點的Gauss型求積公式的最高代數(shù)精度為()(A)8；(B)9；(C)10；(D)11。三、是非題（認為正確的在后面的括弧中打?，否則打′）已知觀察值,用最小二乘法求n次擬合多項式時，的次數(shù)n可以任意取。()用1-近似表示cosx產(chǎn)生舍入誤差。()表示在節(jié)點x1的二次(拉格朗日)插值基函數(shù)。(?)4、牛頓插值多項式的優(yōu)點是在計算時，高一級的插值多項式可利用前一次插值的結(jié)果。(?)5、矩陣A=具有嚴格對角占優(yōu)。()四、計算題：求A、B使求積公式的代數(shù)精度盡量高,并求其代數(shù)精度；利用此公式求(保留四位小數(shù))。答案：是精確成立，即得求積公式為當時，公式顯然精確成立；當時，左=，右=。所以代數(shù)精度為3。已知13452654分別用拉格朗日插值法和牛頓插值法求的三次插值多項式，并求的近似值（保留四位小數(shù)）。答案：差商表為一階均差二階均差三階均差1236245-1-154-105、已知-2-101242135求的二次擬合曲線，并求的近似值。答案：解：0-244-816-8161-121-11-2220100000313111334254816102001510034341正規(guī)方程組為6、已知區(qū)間[0.4，0.8]的函數(shù)表0.40.50.60.70.80.389420.479430.564640.644220.71736如用二次插值求的近似值，如何選擇節(jié)點才能使誤差最?。坎⑶笤摻浦?。答案：解：應選三個節(jié)點，使誤差盡量小，即應使盡量小，最靠近插值點的三個節(jié)點滿足上述要求。即取節(jié)點最好，實際計算結(jié)果，且7、構(gòu)造求解方程的根的迭代格式，討論其收斂性，并將根求出來，。答案：解：令.且，故在(0,1)內(nèi)有唯一實根.將方程變形為則當時，故迭代格式收斂。取，計算結(jié)果列表如下：n01230.50.0351278720.0964247850.089877325n45670.0905959930.0905173400.0905259500.090525008且滿足.所以.10、已知下列實驗數(shù)據(jù)xi1.361.952.16f(xi)16.84417.37818.435試按最小二乘原理求一次多項式擬合以上數(shù)據(jù)。解：當0<x<1時，ex，則，且有一位整數(shù).要求近似值有5位有效數(shù)字，只須誤差.由，只要即可，解得所以，因此至少需將[0,1]68等份。12、取節(jié)點,求函數(shù)在區(qū)間[0,1]上的二次插值多項式,并估計誤差。解：又故截斷誤差。14、給定方程1)分析該方程存在幾個根；2)用迭代法求出這些根，精確到5位有效數(shù)字；說明所用的迭代格式是收斂的。解：1）將方程（1）改寫為（2）作函數(shù)，的圖形（略）知（2）有唯一根。2)將方程（2）改寫為構(gòu)造迭代格式計算結(jié)果列表如下：k123456789xk1.223131.294311.274091.279691.278121.278561.278441.278471.278463)，當時，，且所以迭代格式對任意均收斂。15、用牛頓(切線)法求的近似值。取x0=1.7,計算三次，保留五位小數(shù)。解：是的正根，，牛頓迭代公式為，即取x0=1.7,列表如下：1231.732351.732051.7320516、已知f(-1)=2，f(1)=3，f(2)=-4，求拉格朗日插值多項式及f(1，5)的近似值，取五位小數(shù)。解：17、n=3,用復合梯形公式求的近似值（取四位小數(shù)）,并求誤差估計。解：，時，至少有兩位有效數(shù)字。20、（8分）用最小二乘法求形如的經(jīng)驗公式擬合以下數(shù)據(jù)：1925303819.032.349.073.3解：解方程組其中解得：所以，21、（15分）用的復化梯形公式（或復化Simpson公式）計算時，試用余項估計其誤差。用的復化梯形公式（或復化Simpson公式）計算出該積分的近似值。解：22、（15分）方程在附近有根，把方程寫成三種不同的等價形式（1）對應迭代格式；(2)對應迭代格式；（3）對應迭代格式。判斷迭代格式在的收斂性，選一種收斂格式計算附近的根，精確到小數(shù)點后第三位。解：（1），，故收斂；（2），，故收斂；（3），，故發(fā)散。選擇（1）：，，，，，，25、數(shù)值積分公式形如試確定參數(shù)使公式代數(shù)精度盡量高；（2）設(shè)，推導余項公式，并估計誤差。解：將分布代入公式得：構(gòu)造Hermite插值多項式滿足其中則有：，27、（10分）已知數(shù)值積分公式為：，試確定積分公式中的參數(shù)，使其代數(shù)精確度盡量高，并指出其代數(shù)精確度的次數(shù)。解：顯然精確成立；時，；時，；時，；時，；所以，其代數(shù)精確度為3。28、（8分）已知求的迭代公式為：證明：對一切，且序列是單調(diào)遞減的，從而迭代過程收斂。證明：故對一切。又所以，即序列是單調(diào)遞減有下界，從而迭代過程收斂。29、（9分）數(shù)值求積公式是否為插值型求積公式？為什么？其代數(shù)精度是多少？解：是。因為在基點1、2處的插值多項式為。其代數(shù)精度為1。30、(6分)寫出求方程在區(qū)間[0,1]的根的收斂的迭代公式，并證明其收斂性。(6分)，n=0,1,2,…∴對任意的初值,迭代公式都收斂。31、(12分)以100,121,144為插值節(jié)點，用插值法計算的近似值，并利用余項估計誤差。用Newton插值方法：差分表：1001211441011120.04761900.0434783-0.000094113610+0.0476190(115-100)-0.0000941136(115-100)(115-121)

=10.722755532、(10分)用復化Simpson公式計算積分的近似值，要求誤差限為?；蚶糜囗棧?，，33、(10分)用Gauss列主元消去法解方程組：

3.00001.00005.000034.00000.00003.66670.333312.66670.00005.3333-2.33334.33333.00001.00005.000034.00000.00005.3333-2.33334.333300001.93759.687536、(6分)構(gòu)造代數(shù)精度最高的如下形式的求積公式，并求出其代數(shù)精度：

取f(x)=1,x，令公式準確成立，得：，，f(x)=x2時，公式左右=1/4;f(x)=x3時，公式左=1/5,公式右=5/24∴公式的代數(shù)精度=240、(10分)已知下列函數(shù)表：012313927(1)寫出相應的三次Lagrange插值多項式；(2)作均差表，寫出相應的三次Newton插值多項式