參數(shù)區(qū)間估計課件

參數(shù)區(qū)間估計

引言前面，我們討論了參數(shù)點估計.它是用樣本算得的一個值去估計未知參數(shù).但是，點估計值僅僅是未知參數(shù)的一個近似值，它沒有反映出這個近似值的誤差范圍，使用起來把握不大.區(qū)間估計正好彌補了點估計的這個缺陷.

譬如，在估計湖中魚數(shù)的問題中，若我們根據(jù)一個實際樣本，得到魚數(shù)N的極大似然估計為1000條.若我們能給出一個區(qū)間，在此區(qū)間內(nèi)我們合理地相信N的真值位于其中.這樣對魚數(shù)的估計就有把握多了.實際上，N的真值可能大于1000條，也可能小于1000條.置信水平的大小是根據(jù)實際需要選定的.例如，通?？扇≈眯潘?0.95或0.9等.根據(jù)一個實際樣本，由給定的置信水平，我小的區(qū)間，使們求出一個盡可能置信區(qū)間.稱區(qū)間為的置信水平為的教材已經(jīng)給出了概率分布的上側(cè)分位數(shù)（分位點）的定義，為便于應(yīng)用，這里我們再簡要介紹一下.在求置信區(qū)間時，要查表求分位數(shù).設(shè)0<<1,對隨機變量X，稱滿足的點為X的概率分布的上分位數(shù).例如:設(shè)0<<1,對隨機變量X，稱滿足的點為X的概率分布的上分位數(shù).標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的上分位數(shù)設(shè)0<<1,對隨機變量X，稱滿足的點為X的概率分布的上分位數(shù).F分布的上分位數(shù)自由度為n1,n2的

一、置信區(qū)間定義：滿足設(shè)是一個待估參數(shù)，給定若由樣本X1,X2,…Xn確定的兩個統(tǒng)計量則稱區(qū)間是

的置信水平（置信度、置信概率）為

的置信區(qū)間.分別稱為置信下限和置信上限.

一旦有了樣本，就把估計在區(qū)間內(nèi).這里有兩個要求:可見，對參數(shù)作區(qū)間估計，就是要設(shè)法找出兩個只依賴于樣本的界限(構(gòu)造統(tǒng)計量)(X1,…Xn)(X1,…Xn)~N(0,1)選的點估計為求參數(shù)的置信度為的置信區(qū)間.

例1設(shè)X1,…Xn是取自的樣本，二、置信區(qū)間的求法明確問題,是求什么參數(shù)的置信區(qū)間?置信水平是多少？尋找未知參數(shù)的一個良好估計.解：尋找一個待估參數(shù)和估計量的函數(shù)，要求其分布為已知.有了分布，就可以求出U取值于任意區(qū)間的概率.對給定的置信水平查正態(tài)分布表得對于給定的置信水平(大概率),根據(jù)U的分布，確定一個區(qū)間,使得U取值于該區(qū)間的概率為置信水平.使為什么這樣??？對給定的置信水平查正態(tài)分布表得使從中解得從例1解題的過程，我們歸納出求置信區(qū)間的一般步驟如下:1.明確問題,是求什么參數(shù)的置信區(qū)間?置信水平

是多少?2.尋找參數(shù)的一個良好的點估計T(X1,X2,…Xn)

3.尋找一個待估參數(shù)和估計量T的函數(shù)S(T,),且其分布為已知.4.對于給定的置信水平

，根據(jù)S(T,)的分布，確定常數(shù)a,b，使得P(a≤S(T,)≤b)=

5.對“a≤S(T,)≤b”作等價變形,得到如下形式:則就是的100(

)％的置信區(qū)間.可見，確定區(qū)間估計很關(guān)鍵的是要尋找一個待估參數(shù)和估計量T的函數(shù)S(T,),且S(T,)的分布為已知,不依賴于任何未知參數(shù)(這樣我們才能確定一個大概率區(qū)間).而這與總體分布有關(guān)，所以，總體分布的形式是否已知，是怎樣的類型，至關(guān)重要.教材上討論了以下幾種情形：單個正態(tài)總體均值和方差的區(qū)間估計.兩個正態(tài)總體均值差和方差比的區(qū)間估計.下面我們舉幾個例子說明其應(yīng)用方法.統(tǒng)計三大分布回顧記為分布1、定義:設(shè)相互獨立,都服從正態(tài)分布N(0,1),則稱隨機變量：

所服從的分布為自由度為n

的分布.分布是由正態(tài)分布派生出來的一種分布.分布的密度函數(shù)為來定義.其中伽瑪函數(shù)通過積分3、F分布定義:設(shè)X與Y相互獨立，則稱統(tǒng)計量服從自由度為n1及n2的F分布，n1稱為第一自由度，n2稱為第二自由度，記作F~F(n1,n2).若X~F(n1,n2)，X的概率密度為

定理3

設(shè)X1,X2,…,Xn是取自正態(tài)總體的樣本,分別為樣本均值和樣本方差,則有

定理4(兩總體樣本均值差的分布)

分別是這兩個樣本的且X與Y獨立,X1,X2,…,是取自X的樣本,取自Y的樣本,分別是這兩個樣本的樣本方差,均值,則有Y1,Y2,…,是樣本

定理5(兩總體樣本方差比的分布)

分別是這兩個樣本的且X與Y獨立,X1,X2,…,是取自X的樣本,取自Y的樣本,分別是這兩個樣本的樣本方差,均值，則有Y1,Y2,…,是樣本例2

已知某地區(qū)新生嬰兒的體重X~隨機抽查100個嬰兒…得100個體重數(shù)據(jù)X1,X2,…,X100的區(qū)間估計求和（置信水平為1-

）.解：這是單總體均值和方差的估計已知先求均值的區(qū)間估計.因方差未知，取對給定的置信度

,確定分位數(shù)使即均值的置信水平為的區(qū)間估計.即為從中解得取從中解得再求方差的置信水平為的區(qū)間估計.對給定的置信度

,確定分位數(shù)使于是即為所求.需要指出的是，給定樣本，給定置信水平，置信區(qū)間也不是唯一的.對同一個參數(shù)，我們可以構(gòu)造許多置信區(qū)間.~N(0,1)取由標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表，對任意a、b，我們可以求得P(a<U<b).例如，設(shè)X1,…Xn是取自的樣本，求參數(shù)的置信水平為的置信區(qū)間.~N(0,1)例如，由P(-1.96≤U≤1.96)=0.95我們得到均值的置信水平為的置信區(qū)間為由P(-1.75≤U≤2.33)=0.95這個區(qū)間比前面一個要長一些.置信區(qū)間為我們得到均值的置信水平為的我們總是希望置信區(qū)間盡可能短.類似地，我們可得到若干個不同的置信區(qū)間.任意兩個數(shù)a和b，只要它們的縱標(biāo)包含f(u)下95%的面積，就確定一個95%的置信區(qū)間.在概率密度為單峰且對稱的情形，當(dāng)a=-b時求得的置信區(qū)間的長度為最短.a=-b即使在概率密度不對稱的情形，如分布，F(xiàn)分布，習(xí)慣上仍取對稱的百分位點來計算未知參數(shù)的置信區(qū)間.我們可以得到未知參數(shù)的的任何置信水平小于1的置信區(qū)間，并且置信水平越高，相應(yīng)的置信區(qū)間平均長度越長.也就是說，要想得到的區(qū)間估計可靠度高，區(qū)間長度就長，估計的精度就差.這是一對矛盾.實用中應(yīng)在保證足夠可靠的前提下，盡量使得區(qū)間的長度短一些.例3某單位要估計平均每天職工的總醫(yī)療費，觀察了30天,其總金額的平均值是170元，標(biāo)準(zhǔn)差為30元，試決定職工每天總醫(yī)療費用平均值的區(qū)間估計（置信水平為0.95）.解：設(shè)每天職工的總醫(yī)療費為X，近似服從正態(tài)分布大樣本，由中心極限定理，E(X)=,D(X)=未知，用樣本標(biāo)準(zhǔn)差S近似代替.取樞軸量近似N(0,1)分布對給定的置信水平,確定分位數(shù)使得均值的置信水平為的區(qū)間估計為將=170,S=30,=1.96,n=30代入得,的置信水平為0.95的置信區(qū)間是[159.27,180.74]得均值的置信水平為的區(qū)間估計為三、單側(cè)置信區(qū)間上述置信區(qū)間中置信限都是雙側(cè)的，但對于有些實際問題，人們關(guān)心的只是參數(shù)在一個方向的界限.例如對于設(shè)備、元件的使用壽命來說，平均壽命過長沒什么問題，過短就有問題了.這時，可將置信上限取為+∞，而只著眼于置信下限，這樣求得的置信區(qū)間叫單側(cè)置信區(qū)間.于是引入單側(cè)置信區(qū)間和置信限的定義：滿足設(shè)是一個待估參數(shù)，給定若由樣本X1,X2,…Xn確定的統(tǒng)計量則稱區(qū)間是的置信水平為的單側(cè)置信區(qū)間.稱為單側(cè)置信下限.又若統(tǒng)計量滿足則稱區(qū)間是的置信水平為的單側(cè)置信區(qū)間.稱為單側(cè)置信上限.設(shè)燈泡壽命服從正態(tài)分布.求燈泡壽命均值的置信水平為0.95的單側(cè)置信下限.例4