物理光學(xué)課后習(xí)題答案-匯總

物理光學(xué)課后習(xí)題答案-匯總

第一章光的電磁理論

1.1在真空中傳播的平面電磁波，其電場(chǎng)表示為Ex=O,Ey=O,Ez=102osX1014

+

2

(各量均用國(guó)際單位)，求電磁波的頻率、波長(zhǎng)、周期和初相位。

解：由Ex=0,Ey=0,Ez=102os

X

10

14

-+,貝I」X1014

2

頻率u二

2

二2

=0.5X

1014Hz,周期T=l/u=2X10-14s,初相位。0=+n/2(z=0,t=0),振幅

A=100V/m,波長(zhǎng)X=cT=3X108X2X10-14=6X10-6mo

1.2.一個(gè)平面電磁波可以表示為Ex=0,Ey=2Cos2X1014

t+2

,Ez=O,求：（1）

該電磁波的振幅，頻率，波長(zhǎng)和原點(diǎn)的初相位是多少？（2）波的傳播和電矢量的振動(dòng)

取哪個(gè)方向？（3）與電場(chǎng)相聯(lián)系的磁場(chǎng)B的表達(dá)式如何寫？

解：（1）振幅A=2V/m,頻率v=14

2

2X102

1014Hz,波長(zhǎng)X=

u

3X108-610=3X10,原點(diǎn)的

初相位4>0=+n/2；(2)傳播沿z軸，振動(dòng)方向

沿y軸；(3)由B=1

X,可得By=Bz=0,

Bx=2

os2X

1014

-t+2

1.3.一個(gè)線偏振光在玻璃中傳播時(shí)可以表示為Ey=O,Ez=O,Ex=102osX1015

0.65c

-t,試求：（1）光的頻率；（2）波長(zhǎng)；（3）玻璃的折射率。解：（1）u=

X10152二

2X1014

Hz；（2）入二22

=X10/0.65c

2X0.65X3X108

10m=3.9X

10—7=390nm；

（3）相速度v=0.65c,所以折射率n二

0.65c^l.54

1.4寫出：（1）在yoz平面內(nèi)沿與y軸成0角的

方向傳播的平面波的復(fù)振幅；（2）發(fā)散球面波和匯聚球面波的復(fù)振幅。

解：（1）由=expi?,可得

=expDikcos。+zsin0；（2）同理：發(fā)散球面波

,t=expDikr=1

exp口ikr,匯聚球面波

,t=expD-ikr=1

expD

-ikro1.5—平面簡(jiǎn)諧電磁波在真空中沿正x方向傳播。其頻率為4X1014Hz,電場(chǎng)

振幅為14.14V/m,如果該電磁波的振動(dòng)面與xy平面呈45°,試寫出E,B表達(dá)式。

解：=+,其中=10exp2

—2nut

=10exp

2

—2nut

=10exp

2X4X1014

3X108-2兀X4X1014

=10exp83

X106-3X108,

同理：=10exp83

X106-3X108o

=1

OX二一+

,其中=103X108

exp8

3

X106-3X108二o

1.6一個(gè)沿k方向傳播的平面波表示為

E=100exp2+3y+4z—16X105,試求k方向的單位矢。

解：

又二2+3+402+3+4

1.9證明當(dāng)入射角1二45°時(shí)，光波在任何兩種介質(zhì)分界面上的反射都有=2。

證明：=

sin1-2

sin1+2=

sin45°cos2—cos45°sin2sin45°cos2+cos45°sin

2

cos2—sin21—tan2cos2+sin2

1+tan2

tan=1-2

12=

tan45°—tan2/l+tan45°tan2tan45°+tan

1—tan222/1—tan45°tan1+tan=2

22

1.10證明光束在布儒斯特角下入射到平行平面玻璃片的上表面時(shí)，下表面的入射角也是

布儒斯特角。證明：由布儒斯特角定義，0+i=90。，

設(shè)空氣和玻璃的折射率分別為1和2,先由空氣入射到玻璃中則有

Isin=2sinn,再由玻璃出射到空氣中，有2sin'=Isin'，又'=口,

I.Isinf=Isin今，二，即得證。

1.11平行光以布儒斯特角從空氣中射到玻璃=1.5上，求：(1)能流反射率和

;(2)能流透射率和。解：由題意，得二

21

=1.5,

又為布儒斯特角，則+口=90°……①1=2

今=....②由①、②得，=56.31°,=33.69°。(1)

=2-□

2+

=0,

2-□+□

=0.148=14.8%,

(2)由+=1,可得=1,

同理，=85.2%o

L12證明光波在布儒斯特角下入射到兩種介質(zhì)的分界面上時(shí)\=1,其中

=2/lo證明：=

2sin2coslsin1+2cos1-2

1為布儒斯特

角，所以2+1=90°,2sin=2cosl2sin2cos=1

1222=

2sin2cos1

sin22

2sin2cos12sin2cos2

sin2sin又根據(jù)折射定律1

lsin1=2sin2,得

sin2Isin1

2

=1

則=1

=2/1,得證。

L17利用復(fù)數(shù)表示式求兩個(gè)波1=cos+和2=一cos的合

成。

解：=1+2-cos+—cos一二exp+-exp

—=expikx

=2sinexpDeos-sin=-2+

2sino

1.18兩個(gè)振動(dòng)方向相同的單色波在空間某一點(diǎn)產(chǎn)生的振動(dòng)分別為1=1

1-和2二2cos2-。若=2X1015Hz,l=6V/m,2=8V/m,

1=0,2=/2,求該點(diǎn)的合振動(dòng)表達(dá)式。

解：=1+2=11-+2cos2-=6cos-2X1015

+8

2-2X1015

二62X1015+8□2X1015=10

61510

-2X10

=1053°7’48''-2X1015。

1.20求如圖所示的周期性三角波的傅立葉分析表達(dá)式。

解：由圖可知，-0<W2-+/2<W

=2

0□

0=2

/2

0

□+/2(-+)□=

2

2

二□0

=2

(2

0cos□+2cos□)

=2

2282

?—

2

2=—

222

2222

,(m為奇

數(shù))，=2

0□□=0,

所以二

28

24-

2

=1cos

=2coscos34

(

1+

3+

cos55+???)o

1.21試求如圖所示的周期性矩形波的傅立葉級(jí)數(shù)的表達(dá)式。

解：由圖可知，=1-/<</,

2/

240=□=□+口=00-/

二2

□0

2

cos□+

0-cos□

2

sin

22

0□□=0,

oo

所以=2

+

2

2

=1

sin

cos。

1.22利用復(fù)數(shù)形式的傅里葉級(jí)數(shù)對(duì)如圖所示的周期性矩形波做傅里葉分析。

解：由圖可知，=10<<2-12<<,

0二2

/2

0□=0

口+/2-1□=0,

二2

0□=0,

二2

0□□,

二2

Osin□—/2sin□

1

2—2cos,

1

oo

所以=1

=1

2—2cossin

=4sin+lsin3+1

sin5+,??

1.23氮同位素86

放電管發(fā)出的紅光波長(zhǎng)為=605.7nm,波列長(zhǎng)度約為700nlm,試求該光波的波長(zhǎng)寬度和

頻率寬度。

解：由題意，得，波列長(zhǎng)度2=700,由公式二

2605.722

700X106

=5.2X10—4nm,

又由公式2二/,所以頻率寬度=

82

3X10700X10

二4.3X108o

L24某種激光的頻寬=5.4X104Hz,問(wèn)這種激光的波列長(zhǎng)度是多少？解：由相干長(zhǎng)

度D=2c

2

23

c

3X1085.4X104

=5.55X10o

第二章光的干涉及其應(yīng)用

2.1在與一平行光束垂直的方向上插入一透明薄片，其厚度仁0.01mm,折射率=1.5,

若光波波長(zhǎng)為500nn),試計(jì)算插入玻璃片前后光束光程和相位的變化。

解：由時(shí)間相干性的附加光程差公式二一1/I=1.5-1X0.01mm=0.005mm,

2

2500X10X0.005=20。

2.2在楊氏干涉實(shí)驗(yàn)中，若兩小孔距離為0.4mm,

觀察屏至小孔所在平面的距離為100cm,在觀察屏上測(cè)得的干涉條紋間距為1.5cm,求

所用光波的波。解：由公式口二

□

1.5X10-3X0.4X103

100X10-2

=6X10—7=600nmo

2.3波長(zhǎng)為589.3nm的鈉光照射在雙縫上，在距雙縫100cm的觀察屏上測(cè)量20個(gè)干涉條

紋的寬度為2.4cm,試計(jì)算雙縫之間的距離。

解：因?yàn)楦缮鏃l紋是等間距的，所以一個(gè)干涉條紋的寬度為口=2.420

cm。又由公式口=

得雙縫間距

離=

□

589.3X10-6X100X10

10X2.4/20

mm=0.491mm。

2.4設(shè)雙縫間距為1mm,雙縫離觀察屏為1m,用鈉光照明雙縫。鈉光包含波長(zhǎng)為

l=589nm和2=589.6nm兩種單色光，問(wèn)兩種光的第10級(jí)亮條紋之間的距離是多少？

解：因?yàn)閮墒庀嗷オ?dú)立傳播，所以1光束第10級(jí)亮條紋位置1=1

,2光束第10級(jí)亮條紋位

置2=2

=2-1=

2-1

10X1000

IX589.6-589X10-6=6X10-3mmo

2.5在楊氏雙縫干涉的雙縫后面分別放置1=1.4和2=1.7,厚度同為t的玻璃片后，

原來(lái)中央極大所在點(diǎn)被第5級(jí)亮紋所占據(jù)。設(shè)=480nm,求玻璃片厚度t以及條紋遷移的

方向。解：由題意，得2-1=5,所以=

52-1

5X480X10-9

1.7-1.4

=8X10-6=8

條紋遷移方向向下。

2.6在楊氏雙縫干涉實(shí)驗(yàn)裝置中，以一個(gè)長(zhǎng)30mm的充以空氣的氣室代替薄片置于小孔

1前，在觀察屏上觀察到一組干涉條紋。繼后抽去氣室中空氣，注入某種氣體，發(fā)現(xiàn)屏

上條紋比抽氣前移動(dòng)了25個(gè)。已知照明光波波長(zhǎng)為656.28nm,空氣折射率

=1.000276,試求注入氣室內(nèi)的氣體的折射率。解：設(shè)注入氣室內(nèi)的氣體的折射率為

,貝ij-k25，所以二

25h

+

二25X656.28X10-9

+1.000276

=5.469X10-4+1.000276=1.000823o

2.7楊氏干涉實(shí)驗(yàn)中，若波長(zhǎng)=600nm,在觀察屏上形成暗條紋的角寬度為0.02。，

（1）試求楊氏干涉中二縫間的距離？（2）若其中一個(gè)狹縫通過(guò)的能量是另一個(gè)的4倍,

試求干涉條紋的對(duì)比度？解：角寬度為=0.02°X180

所以條紋間距口二

600

0.02°X

=1.72nlni。

由題意，得1=42,所以干涉對(duì)比度=212=2X22

=45=0.8

12222.8若雙狹縫間距為0.3mm,以單色光平行照射狹縫時(shí)，在距雙縫1.2m遠(yuǎn)的屏匕

第5級(jí)暗條紋中心離中央極大中間的間隔為11.39mm,問(wèn)所用的光源波長(zhǎng)為多少？是何種

器件的光源？解：由公式=+1

2

+

=11.39X10-3X0.3X10-312X4+0.5

=632.8nm。

此光源為氫覆激光器。

2.12在楊氏干涉實(shí)驗(yàn)中，照明兩小孔的光源是一個(gè)直徑為2mm的圓形光源。光源發(fā)光的

波長(zhǎng)為500nm,它到小孔的距離為1.5m。問(wèn)兩小孔可以發(fā)生干涉的最大距離是多少？

解：因?yàn)槭菆A形光源，由公式=1.22/,則=

1.221.22X500X10-6X1.5X103

2

=0.46mmo

2.13月球到地球表面的距離約為3.8X

105km,月球

的直徑為3477km,若把月球看作光源，光波長(zhǎng)取500nm,試計(jì)算地球表面上的相干面

積。解：相干面積=

0.61X2

X0.61X500X10-6X3.8X1011

2

=3.49X10-32o

2.14若光波的波長(zhǎng)寬度為，頻率寬度為，試證明:

。式中，和分別為光波的頻率

和波長(zhǎng)。對(duì)于波長(zhǎng)為632.8nm的氫然激光，波長(zhǎng)寬度為=2X10-8nm,試計(jì)算它的

頻率寬度和相干長(zhǎng)度。

解：證明：由=c=2,則有一=2

=>—==>=一?/=>

,取絕對(duì)值得證。

相干長(zhǎng)度=632.82=22X10-8

=2.0X

1013nm=20km,頻率寬度=

3X10820X10

=1.5X104Hzo

2.15在圖2.22(a)所示的平行平板干涉裝置中，若平板的厚度和折射率分別為

和=1.5,望遠(yuǎn)鏡的視場(chǎng)角為6°,光的波長(zhǎng)=450nm,問(wèn)通過(guò)望遠(yuǎn)鏡能夠看見(jiàn)幾個(gè)亮

紋？

解：設(shè)能看見(jiàn)個(gè)亮紋。從中心往外數(shù)第個(gè)亮紋對(duì)透鏡中心的傾角，成為第N個(gè)

條紋的角半徑。設(shè)0為中心條紋級(jí)數(shù)，為中心干涉極小數(shù)，令

0=+(G,0W<1),從中心往外數(shù)，第N個(gè)條紋的級(jí)數(shù)為一一1=0-

—1—，貝I」

中=2h+2=0=+

=2h,+2=一一1

兩式相減，可得2h1-cos=-1+,利用折射定律和小角度近似，得

('為平行平板周圍介質(zhì)

的折射率)

對(duì)于中心點(diǎn)，上下表面兩支反射光線的光程差為=2九+

=2X1.5X3X4502106+

2

nm=

2X104+1

2

X450nmo因此,視場(chǎng)中心是暗點(diǎn)。

由上式，得二

h2

X

X3°2

3X1061.5X450

=12.1,因此，

有12條暗環(huán)，11條亮環(huán)。

2.16一束平行白光垂直投射到置于空氣中的厚度均勻的折射率為=1.5的薄膜上，發(fā)

現(xiàn)反射光譜中出現(xiàn)波長(zhǎng)為400nm和600nm的兩條暗線，求此薄膜的厚度？

解：光程差--lh=2-1,所以占

2-1600-400X10-3

-1

1.5-1

2.17用等厚條紋測(cè)量玻璃光楔的楔角時(shí)，在長(zhǎng)5cm的范圍內(nèi)共有15個(gè)亮條紋，玻璃折

射率=1.52,所用單色光波長(zhǎng)=600nm,問(wèn)此光楔的楔角為多少？

解：由公式口二2

2□

,又口二

515

cm=l3cm,

所以=600X10-9-2X1.52

rad=5.92X10—5rado

3

2.18利用牛頓環(huán)測(cè)透鏡曲率半徑時(shí)，測(cè)量出第10個(gè)暗環(huán)的直徑為2cm,若所用單色光

波長(zhǎng)為500nm,透鏡的曲率半徑是多少？解：由曲率半徑公式=

2

2

X10-2

2

二2

10X500X10-9

=20mo

2.I9F-P干涉儀兩反射鏡的反射率為0.5,試求它的最大透射率利最小透射率。若干涉

儀兩反射鏡以折射率=1.6的玻璃平板代替，最大透射率和最小透射率又是多少？（不考

慮系統(tǒng)吸收）解：當(dāng)反射率=0.5時(shí)，由光強(qiáng)公式

2

1()可得最大透射率=1；最小透射率2二

1-4+1-2

=0.llo

當(dāng)用玻璃平板代替時(shí)，=1.6,則

-121.6-12

所以'=1,一

1-2

4+1—2

-0.81。

2.20已知一組F-P標(biāo)準(zhǔn)具的間距分別為1mm和120mm,對(duì)于=550.Onm的入射光而

言，求其相應(yīng)的標(biāo)準(zhǔn)具常數(shù)。如果某激光器發(fā)出的激光波長(zhǎng)為632.8nm,波長(zhǎng)寬度為

O.OOlnm,測(cè)量其波長(zhǎng)寬度時(shí)應(yīng)選用多大間距的標(biāo)準(zhǔn)具？解：21.=22M

5502X1X106

=0.15,

2.=22/i2

55022X120X106

=0.0013nm,

fi23=

i

2

8

23

632.82X0.001

=2X10nm=200nimo

2.21有兩個(gè)波長(zhǎng)1和2,在600nm附近相差O.OOOlnm,要用F-P干涉儀把兩譜線分

辨開(kāi)來(lái)，間隔至少要多大？在這種情況下，干涉儀的自由光譜范圍是多少？設(shè)反射率

=0.98o

解：由分辨極限公式2

F-P干涉儀間隔h=

26002=X10-9X=l1.58mm自由光譜范圍.=22M

60022X11.58X10=

0.0155nm。

2.22在照相物鏡上通常鍍上一層光學(xué)厚度為

504

（0=550nm）的介質(zhì)膜。問(wèn)：（1）介質(zhì)膜的作用？（2）求此時(shí)可見(jiàn)光區(qū)

（390~780nm）反射最大的波長(zhǎng)？

解：（1）作用：因?yàn)樯舷卤砻婀獬滩?h=2X

54

2+12

0,所以該介質(zhì)膜對(duì)0的反射達(dá)到最小，為增透膜；（2）由h=

504

,可知，對(duì)波長(zhǎng)為0,=5

o-2cos2

02sin2

2

2cos2+0反射最大的波長(zhǎng)滿0+2

2

+

sin22

足2h=2X

54

=,則=

502

，取=2,3時(shí)則

符合條件的可見(jiàn)光的波長(zhǎng)分別為687.5nm和458.3nm?

2.23在玻璃基片上鍍兩層光學(xué)厚度為0/4的介質(zhì)薄膜，如果第一層的折射率為

1.35,為了達(dá)到在正入射下膜系對(duì)0全增透的目的，第二層薄膜的折射率應(yīng)為多少？

（玻璃基片的折射率=1.6）解：由題意，得1=1.35,=1.6,0=1,要使膜

系對(duì)0全增透，由公式2=1=1.6

0

1X1.35=1.71?

第三章光的衍射與現(xiàn)代光學(xué)

3.1波長(zhǎng)=500nm的單色光垂直入射到邊長(zhǎng)為3cm的方孔，在光軸（它通過(guò)方孔中心并

垂直方孔平面）附近離孔z處觀察衍射，試求出夫瑯禾費(fèi)衍射區(qū)德大致范圍。解：要求

21+21

《，又=

22

所以》21+21

3X10-222

=500X10=900m（＞

3.5在白光形成的單縫的夫瑯禾費(fèi)衍射圖樣中，某色光的第3級(jí)大與600nm的第2極大

重合，問(wèn)該色光的波長(zhǎng)是多少？

解：?jiǎn)慰p衍射明紋公式：sin=2+1

2G

當(dāng)l=600nm時(shí)，1=2,因?yàn)榕c不變，當(dāng)2=3時(shí)，21+112

=22+1

22

,所以

2=21+11

22+1

2X2+1X600

2X3+1

=428.6nm。

3.6在不透明細(xì)絲的夫瑯禾費(fèi)衍射圖樣中，測(cè)得暗條紋的間距為1.5mm,所用透鏡的焦

距為300nm,光波波長(zhǎng)為632.8nm。問(wèn)細(xì)絲直徑是多少？解：由□二

=□

=632.8X

10-6X300

mm=0.127mm

3.8迎面開(kāi)來(lái)的汽車，其兩車燈相距=5,汽車離人多遠(yuǎn)時(shí)，兩車燈剛能為人眼所分

辨？（假定人眼瞳孔直徑=2廊，光在空氣中的有效波長(zhǎng)=500nm）0

解：此為夫瑯禾費(fèi)圓孔衍射，由公式=1.22

所以=

□1X2X10-31.22

1.22X500X10=3278.7。

3.9在通常的亮度下，人眼瞳孔直徑約為2mm,若視覺(jué)感受最靈敏的光波長(zhǎng)為550nm,

問(wèn)：（1）人眼最小分辨角是多大？（2）在教室的黑板匕畫的等號(hào)的兩橫線相距2mm,

坐在距黑板10m處的同學(xué)能否看清？

解：（1）=1.22

（夫瑯禾費(fèi)圓孔衍射）

1.22X550X10-9

2X10-3

=3.36X10-4rad。

⑵=2X10-3

10

=2X10-4rad<，所以不能看清。

3.7邊長(zhǎng)為a和b的矩孔的中心有一個(gè)邊長(zhǎng)為0和

0的不透明屏，如圖所示，試導(dǎo)出這種光闌的夫瑯禾費(fèi)衍射強(qiáng)度公式。

解：

1=

sinIsinIsin2sin2

1

,1

2=00

2

,2

（C為常數(shù)），所以二1一2二

sinIsin1-sin2sin1002

122

=*=2

sinIsin11

1

-00

sin2sin22

2

2

因?yàn)閳?chǎng)中心強(qiáng)度（場(chǎng)中心對(duì)應(yīng)于1=2=1=2=0）為0=2—002,所

以=

OsinIsinIsin2sin22-00

2

1

1

-00

2

2

o

其中1=

sinsin

,1二

sin

,2=0

2=Osin

o

3.10人造衛(wèi)星上的宇航員聲稱，他恰好能分辨離他100km地面上的兩個(gè)點(diǎn)光源。設(shè)光波

波長(zhǎng)為550nm,宇航員眼瞳直徑為4nim,這兩個(gè)點(diǎn)光源的距離是多

大？

解：由夫瑯禾費(fèi)圓孔衍射，=

1.22

=1.221.22X550X10-9X100X103

=16.775o

3.11在一些大型的天文望遠(yuǎn)鏡中，把通光圓孔做成環(huán)孔。若環(huán)孔外徑和內(nèi)徑分別為a和

a/2,問(wèn)環(huán)孔的分辨本領(lǐng)比半徑為a的圓孔的分辨本領(lǐng)提高了多少？

解：由=

Dsin

^3.144,環(huán)孔衍射圖

樣第一個(gè)零點(diǎn)的角半徑為=3.1442

=0.51

按照瑞利判據(jù)，天文望遠(yuǎn)鏡的最小分辨角就是=0.51

,與中心部分沒(méi)有遮擋的圓孔情形

(=0.61

)相比較，分辨本領(lǐng)提高了，即

0.61-0.51

0.61+0.51/2

=17.9%。

3.12若望遠(yuǎn)鏡能分辨角距離為3義10-7rad的兩顆星，它的物鏡的最小直徑是多少？為

了充分利用望遠(yuǎn)鏡的分辨本領(lǐng)，望遠(yuǎn)鏡應(yīng)有多大的放大率？解：光的波長(zhǎng)=550nm,則

由公式=1.22

最小直徑=1.22

=1.22X

550X10-9

3X10-7

=2.24。

因?yàn)槿搜鄣淖钚》直娼菫?.9X10-4rad,所以放大率=2.9X10-43X10=970。

3.13若要使照相機(jī)感光膠片能分辨2的線距，求：（1）感光膠片的分辨本領(lǐng)至少

是每毫米多少線？（2）照相機(jī)鏡頭的相對(duì)孔徑/至少有多大？（設(shè)光波波長(zhǎng)為

550nmo）解：⑴直線數(shù)=1-1'=

12X10=500-1?

（'為線距，即為能分辨的最靠近的兩直線在感光

膠片上得距離）。⑵由=

1

1.22

,所以相對(duì)孔徑=1.22=

500XI.22X550X10-6=0.34。

3.16計(jì)算光柵常數(shù)是縫寬5倍的光柵的第0、1級(jí)亮紋的相對(duì)■強(qiáng)度。解：由題意，得

=5,第零級(jí)強(qiáng)度0=20,第0、1級(jí)亮紋相對(duì)強(qiáng)度分別為

02

120

sin2

二L

20

sin

=0.875O

5

3.14一塊光學(xué)玻璃對(duì)譜線435.8nm和546.Inm的折射率分別為1.6525和1.6245。試計(jì)

算用這種玻璃制造的棱鏡剛好能分辨鈉D雙線時(shí)底邊的長(zhǎng)度。鈉D雙線的波長(zhǎng)分別為

589.Onm和589.6nm。解：由公式=

,（式中為棱鏡分辨本

領(lǐng)，為棱鏡底邊長(zhǎng)度，為相對(duì)于波長(zhǎng)的棱鏡的折射率，+為相對(duì)于波

長(zhǎng)+的棱鏡的折射率,為色散率）又同一種物質(zhì)色散率不變，則

1-1.6245

1

=1.6525

546.1-435.8X10-9

=2.54X105

589.6+589.0

2

=589.3nm,因?yàn)?=

589.3589.6-589.0

=982.1,所以用這種玻

璃制造的棱鏡剛好能分辨鈉D雙線時(shí)底邊的長(zhǎng)度2二

2/

982.12.54X10=3.87X10—3=3.87mm。

3.15在雙縫夫瑯禾費(fèi)衍射試驗(yàn)中，所用光波波長(zhǎng)=632.8nm,透鏡焦距=50cm,觀察

到兩相鄰亮條紋之間的距離口=1.5mm,并且笫4級(jí)亮紋缺級(jí)。試求：（1）雙縫的縫距和

縫寬；（2）第1、2、3級(jí)亮紋的相對(duì)強(qiáng)度。

解：⑴多縫衍射的亮線條件是Dsin=,w,對(duì)上式兩邊取微分，得到

□cos=?，當(dāng)=1時(shí)，就是相鄰亮線之間的角距離。并且一般

很小，cos七1,故=。兩相鄰亮線距離為□=?。所以

縫距=

□=500X632.8X10-61.5mm=0.21mm。因?yàn)榈?級(jí)亮紋缺級(jí)，所以縫寬為=

4=0.214mm=0.05mm<,

⑵第1、2、3級(jí)亮線分別相應(yīng)于Dsin=±、±2、±3。由于=4,所以當(dāng)

□sin=±、±2、±3時(shí)，分別有,sin=±4、±24、±34。因此，由

多縫衍射各級(jí)亮線的強(qiáng)度公式=20sin2

第1、2、3級(jí)亮線的相對(duì)強(qiáng)度為

10

sin2二

sin

sin

2

sin

=0.8112

sin

2

20

=0.405,

4

2sin

32

320

==0.090o

4

3.17一塊寬度為5cm的光柵，在2級(jí)光譜中可分辨500nm附近的波長(zhǎng)差0.Olnm的兩條

譜線，試求這一光柵的柵距和500nm的2級(jí)譜線處的角色散。解：由=

（L為光柵寬度），所以

2X5X10/

500/0.01

mm=2X10—3mm,角色散

□

□

□cos

Xcosarcsin角很小，

cos=1）=2

0.002Xcos

sin

=866.03rad/mm

2000

3.18為在一塊每毫米1200條刻線的光柵的1級(jí)光譜中分辨波長(zhǎng)為632.8nm的一束氮發(fā)

激光的膜結(jié)構(gòu)（兩個(gè)模之間的頻率差為450MHz）,光柵需要有多寬？解：

=22-=

,又光柵的色分辨本領(lǐng)

二1200,所以光柵的寬度二

?1200

3X1011

632.8X10X1X1200X450X10

=878mmo

3.19用復(fù)色光垂直照射在平面透射光柵上，在30°的衍射方向上能觀察到600nm的第

二級(jí)主極大，并能在該處分辨=0.005nm的兩條譜線，但卻觀察不到600nm的第三級(jí)

主極大。求：（1）光柵常數(shù)，每一縫寬；（2）光柵的總寬至少不得低于多少？

解：⑴口sin=,所以=sin

2X600X10-6sin30°

mm

=2.4X10—3mm,=

2.4X10-3

3

mm=8X10—4mm。

(2)=

=，又二sin/，所以22sin

600/0.005X2.4X10-3

2Xmm=288mm(,

2

3.20一束波長(zhǎng)=600nm的平行光，垂直射到一平面透射光柵上，在與光柵法線成45°

的方向觀察到該光的第二級(jí)光譜，求此光柵的光柵常數(shù)。解：由Dsin=,得光柵

常數(shù)

2X600X10-6==mm=l.7X10-3mm

3.21一塊每毫米500條縫的光柵，用鈉黃光正入射，觀察衍射光譜。鈉黃光包含兩條譜

線，其波長(zhǎng)分別為589.6nm和589.Onm。求在第二級(jí)光譜中這兩條譜線互相分離的角度。

解：光柵公式Dsin=,=1500

2X10-3mm,

所以l=arcsin

1

=arcsin

2X589.6X10-6

2X10-3

36.1286°,

同理2=36.08610,所以第二級(jí)光譜中這兩條譜線互相分離的角度

=1-2=0.0425°=2'33''。

3.22—光柵寬50mm,縫寬為0.001mm,不透光部分寬為0.002mm,用波長(zhǎng)為550nm的光

垂直照明，試求：(1)光柵常數(shù)d；(2)能看到幾級(jí)條紋？有沒(méi)有缺級(jí)？

解:⑴=+'=0.001+0.002=0.003mm,⑵=0.0030.001=3,所以第±3級(jí)亮紋

為缺級(jí)，又由口sin90°=,解得=5.45,所以=5.45X2=11,又缺±3級(jí)，所以

能看到9級(jí)條紋。

3.23按以下要求設(shè)計(jì)一塊光柵：①使波長(zhǎng)600nm的第二級(jí)譜線的衍射角小于30°,并

能分辨其0.02nm的波長(zhǎng)差；②色散盡可能大；③第三級(jí)譜線缺級(jí)。則該光柵的縫數(shù)、光

柵常數(shù)、縫寬和總寬度分別是多少？用這塊光柵總共能看到600nm的幾條譜線？解：為

使波長(zhǎng)600nm的二級(jí)譜線的衍射角W30°,必須滿足=

一6

-3sin

2

2X600X10sin300

2.4X10mm,

根據(jù)要求②，盡可能小，則=2.4X10-3mm,

根據(jù)要求③，光柵縫寬=

3

=0.8X10—3mm,

再由條件④，光柵縫數(shù)至少有

600

==15000所以光柵的總寬度至少為

==15000X2.4X10—3mm=36mm光柵形成的譜線在<90°范圍內(nèi)，當(dāng)

=±90°時(shí)，有=

□sin-3

±2.4X106X10-4

=±4,即第4級(jí)譜線

對(duì)應(yīng)于衍射角=土90°實(shí)際上不可能看見(jiàn)。此外第3級(jí)缺級(jí)，所以只能看見(jiàn)0，土1,

±2級(jí)共5條譜線。

3.24一塊閃耀光柵寬260mm,每毫米有300個(gè)刻槽，閃耀角為77°12'。⑴求光束垂

直于槽面入射時(shí)，對(duì)于波長(zhǎng)=500nm的光的分辨本領(lǐng)；⑵光柵的自由光譜范圍有多大？

解：⑴光柵柵距為=

1300

mm,已知光柵寬260mm,

因此光柵槽數(shù)二二260X300=7.8X104

由2Dsin=，光柵對(duì)500nm的閃耀級(jí)數(shù)為=

2Dsin

1300X□77°12'

2X500X10=13,所以分辨本領(lǐng)二13X7.8X104=106；⑵光柵的自由光譜范圍

為二

500

13

nm=38.5nm。

第四章光的偏振和偏振器件

4.2一束部分偏振光由光強(qiáng)比為2:8的線偏振光和自然光組成，求這束部分偏振光的偏

振度。解：設(shè)偏振光光強(qiáng)為1=2,自然光光強(qiáng)為2=8,(其中

1=-,=1+2=+),所以偏振度

=1—

21+2

22+8

二0.2。

4.3線偏振光垂直入射到一塊光軸平行于界面的方解石晶體匕若光矢量的方向與晶體

主截面成60°角，問(wèn)。光和e光從晶體透射出來(lái)的強(qiáng)度比時(shí)多少？

解：:=260°=3:1

4.4線偏振光垂直入射到一塊光軸平行于表面的方解石波片上，光的振動(dòng)面和波片的主

截面成30°和60°角。求：⑴透射出來(lái)的尋常光和非常光的相對(duì)強(qiáng)度各為多少？⑵用

鈉光入射時(shí)如要產(chǎn)生90°的位相差，波片的厚度應(yīng)為多少？(=589.Onm,

=1.486,=1.658)解：⑴：=2

30°=1:3；⑵由=90°=2

-,所以

=4-

589.0X10-94X1.658-1.486

-8.56X

10-7m。

4.7有一塊平行石英片是沿平行光軸方向切出的。

要把它切成一塊黃光的14波片，問(wèn)這塊石英片應(yīng)切成多厚？(石英的=1.552,

=1.543,波長(zhǎng)為589.3nm)

解：由二-二十1

4,所以厚度

1

1

+4

4

589.3

0+Xnm

=1.637X104nm^l.64X

10-3cm

4.5由自然光和圓偏振光組成的部分偏振光，通過(guò)一塊1/4波片和一塊旋轉(zhuǎn)的檢偏鏡，

已知得到的最大光強(qiáng)是最小光強(qiáng)的7倍，求自然光強(qiáng)占部分偏振光強(qiáng)的百分比。

解：設(shè)自然光和圓偏振光的光強(qiáng)分別為1和2,則

部分偏振光的光強(qiáng)為=1+2。

圓偏振光經(jīng)過(guò)4波片后成為線偏振光，光強(qiáng)仍為2。當(dāng)線偏振光光矢的振動(dòng)方向與

檢偏器的透光方向一致時(shí)，從檢偏器出射的光強(qiáng)最大，其值為2,當(dāng)其振動(dòng)方向與透光

方向互相垂直時(shí)其值為零。自然光通過(guò)4波片后還是自然光，通過(guò)檢偏器后光強(qiáng)為1

2

lo因此，透過(guò)旋轉(zhuǎn)的檢偏器出射的最大光強(qiáng)和

最小光強(qiáng)分別為=11+2,=1

2

2

1,又題

給=7，因此2=31,所以，自然光強(qiáng)占部分偏振光強(qiáng)的百分比為

1=

11+31

=25%。

4.6在兩個(gè)共軸平行放置的透振方向正交的理想偏振片1和3之間，有一個(gè)共軸平

行放置的理想偏振片2以云角速度繞光的傳播方向旋轉(zhuǎn)。設(shè)=0時(shí)3偏振化方向

與1平行，若入射到該系統(tǒng)的平行自然光強(qiáng)為0,則該系統(tǒng)的透射光強(qiáng)為多少？

解：通過(guò)第一塊、第二塊和第三塊偏振片后，光強(qiáng)分別為1=

0,2-lcos2,3=2cos2

2

2

由于=0時(shí)3偏振化方向與1平行，因此=,所以透射光強(qiáng)為=3=

02

cos2cos2

2-=

016

l-cos4,可見(jiàn)，最大光強(qiáng)為08

為0,出射光強(qiáng)的變化頻率為4。

4.11為了決定一束圓偏振光的旋轉(zhuǎn)方向，可將14波片置于檢偏器之前，再將后者轉(zhuǎn)

到消光位置。這

時(shí)發(fā)現(xiàn)14波片快軸的方位是這樣的：它須沿著逆時(shí)針?lè)较蜣D(zhuǎn)45°才能與檢偏器的透

光軸重合。問(wèn)該圓偏振光是右旋的還是左旋的？

解：是右旋圓偏振光。因?yàn)樵谝?波片快軸為軸的直角坐標(biāo)系中，偏振片位于H、

IV象限時(shí)消光，說(shuō)明圓偏振光經(jīng)4波片后，成為位于I、m象限的線偏振光，此線偏振

光由方向振動(dòng)相對(duì)方向振動(dòng)有2位相差的兩線偏振光合成。而4波片使口光

和光的位相差增加

2

2,所以，進(jìn)入3

4波

片前方向振動(dòng)相對(duì)方向振動(dòng)就已有2

所

以是右旋圓偏振光。

4.9下列兩波及其合成波是否為單色波？偏振態(tài)如何？計(jì)算兩波及其合成波光強(qiáng)的相對(duì)

大小。波1：

=sin——

2

cos—+；和=2

波2：

=COS——

COS—+

其中和=均為時(shí)間t的無(wú)規(guī)變化函數(shù)，且

W常數(shù)。

解：波1是單色波，且=sin--

cos,而cos+

顯然，等相面和等幅面重合，所以是均勻波。又因?yàn)槲幌嗖?-

32

,且和方向振動(dòng)的振

幅相等，所以是右旋圓偏振光。

對(duì)于波2,因?yàn)橐籛常數(shù)，為自然光，而相速=

只與空間部分有關(guān)，雖然一

#常數(shù)，但等相面和等幅面仍然重合，故為均勻波。

波1和波2是不相干波，因此由上述結(jié)果得合成波是非單色光，是部分偏振光，是均勻

波。

光強(qiáng)度：波11=2+

2=2；波22=

2

+

2=2；合成波3=1+2=22,因此，三個(gè)

波的光強(qiáng)的相對(duì)大小為1：2:3=l:l:2o

4.12一束右旋圓偏振光垂直入射到一塊石英14波片，波片光軸平行于x軸，試求透

射光的偏振態(tài)。如果換成18波片，透射光的偏振態(tài)又如何？解：右旋圓偏振光可視為

光矢量沿y軸的線偏振光和與之位相差為2的光矢量沿x軸的線偏振光的疊加。⑴右旋

圓偏振光入射14波片并從14波片出射時(shí)，光矢量沿y軸的線偏振光（。光）對(duì)光矢量

沿x軸的線偏振光（e光）的位相差應(yīng)為=

+

2

2=,

故透射光為線偏振光，光矢量方向與x軸成-45°；

⑵右旋圓偏振光入射18波片并從18波片出射時(shí)，光矢量沿x軸的線偏振光（o光）

對(duì)光矢量沿軸的線偏振光（e光）的位相差應(yīng)為=

+

32

4=

4

,透

射光為右旋橢圓偏振光。

4.10一束線偏振的鈉黃光=584.3nm垂直通過(guò)一塊厚度為8.0859X10-2mm的石英

晶片。晶片折射率為=1.54424,=1.55335,光軸沿y軸方向。試對(duì)于以下三種

情況，決定出射光的偏振態(tài)：⑴入射線偏振光的振動(dòng)方向與x軸成45°角；⑵入射線

偏振光的振動(dòng)方向與x軸成-45°角；⑶入射線偏振光的振動(dòng)方向與x軸成30°角。

解：入射線偏振光在波片內(nèi)產(chǎn)生的光和口光出射波片是得位相延遲角為二

2

-二2X1.55335-1.54424X8.0859X10-2

589.3X10-6

=2.5,

⑴當(dāng)=45°時(shí)，設(shè)入射光振幅為，則光和口光的振幅為二cos45°=

2

,二sin45°二

2

,其中為入射光的振幅。因此，在波片后表面，光和口光的合成為

=+=2

cos+

2.5+

2

cos=

cos

2

+2

+

cos,因此，是左旋偏振光；⑵當(dāng)=-45°時(shí)，則光和口光的振幅為

二cos-45°二

2

,=sin-45°二一

2

,在波片后表面，光和口光的合成為二十二

cos

2

+2

+cos+,因此，是

右旋圓偏振光；

⑶當(dāng)=30°時(shí)，則光和口光的振幅為二cos30°=

,1

2

=sin30°=2

在波片后表面，光和口光的合成為二+二

1

2

cos+2

+2

cos,因此，是左旋

橢圓偏振光，橢圓長(zhǎng)軸沿軸。

16一塊厚度為0.05mm的方解石波片放在兩個(gè)正交的線偏振器中間，波片的光軸方向與

兩線偏振器的夾角為45°,問(wèn)在可見(jiàn)光(390'780nm)范圍內(nèi)，哪些波長(zhǎng)的光不能通過(guò)這

一系統(tǒng)？

解：=

22口

+22

+222cos

0sin22cos22

=10cos2

2

2

r11

Jsinoc7-

MA,

旬""光觸

的位相差是=

2

-+,又，當(dāng)

=2+1(=0,1,2,…)時(shí)，干涉相消,對(duì)應(yīng)波長(zhǎng)的光不能透過(guò)這一系統(tǒng)，因

此，不能透過(guò)這一系統(tǒng)的光波波長(zhǎng)為=

1.658-1.486X0.05X106

8600

nm

所以下列波長(zhǎng)的光不能透過(guò)這一系統(tǒng)：=11,=782nm；=12,=717nm；

=13,=662nm；=14,=614nm；=15,=573nm；=16,=538nm；=17,

=506nm；=18,=478nm；=19,=453nm；=20,=430nm；=21,

=410nm；=22,=391nm0

4.14試用矩陣方法證明：右（左）旋圓偏振光經(jīng)過(guò)半波片后變成左（右）旋圓偏振光。

解：右、左旋圓偏振光的瓊斯矢量分別為

=1右

一口，1

左=□

半波片的瓊斯矩陣為=

10

0-1

,因此右旋偏振光經(jīng)過(guò)半波片后透射光的瓊斯矢量為=右=1

00-11-口=1

□