東北三省四市教研聯(lián)合體2023屆高三一模數(shù)學(xué)試題及參考答案

年?yáng)|北三省四市教研聯(lián)合體高考模擬試卷（一）數(shù)學(xué)試卷（本試卷滿分150分，考試時(shí)間120分鐘）注意事項(xiàng)：1.答題前，考生務(wù)必用黑色字跡的簽字筆或鋼筆將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)分別填寫在試卷和答題卡規(guī)定的位置上。2.答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡對(duì)應(yīng)題目的答案涂黑，如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再涂其它答案。非選擇題的答案必須使用黑色字跡的簽字筆或鋼筆寫在答題卡上相應(yīng)的區(qū)域內(nèi)，寫在本試卷上無(wú)效。第Ⅰ卷一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求.1.已知，為虛數(shù)單位，若為實(shí)數(shù)，則A. B. C.3 D.2.如圖所示的Venn圖中，、是非空集合，定義集合為陰影部分表示的集合.若，，則A. B. C. D.3.已知隨機(jī)變量，且，則A.0.84 B.0.68 C.0.34 D.0.164.如圖，在正方體中，異面直線與所成的角為A. B. C. D.5.已知等比數(shù)列的公比為（且），若，則的值為A. B. C.2 D.46.已知函數(shù)，（）的圖象在區(qū)間內(nèi)至多存在3條對(duì)稱軸，則的取值范圍是A. B. C. D.7.已知對(duì)于每一對(duì)正實(shí)數(shù)，，函數(shù)滿足：，若，則滿足的的個(gè)數(shù)是A.1個(gè) B.2個(gè) C.3個(gè) D.4個(gè)8.在平面直角坐標(biāo)系中，為圓上的動(dòng)點(diǎn)，定點(diǎn).現(xiàn)將軸左側(cè)半圓所在坐標(biāo)平面沿軸翻折，與軸右側(cè)半圓所在平面成的二面角，使點(diǎn)翻折至，仍在右側(cè)半圓和折起的左側(cè)半圓上運(yùn)動(dòng)，則，兩點(diǎn)間距離的取值范圍是A. B. C. D.二、多項(xiàng)選擇題：（本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.）9.在中，若，則下列論斷正確的是A. B. C. D.10.閱讀數(shù)學(xué)材料：“設(shè)為多面體的一個(gè)頂點(diǎn)，定義多面體在點(diǎn)處的離散曲率為，其中為多面體的所有與點(diǎn)相鄰的頂點(diǎn)，且平面，平面，…，平面和平面為多面體的所有以為公共點(diǎn)的面.”解答問(wèn)題：已知在直四棱柱中，底面為菱形，，則下列結(jié)論正確的是A.直四棱柱在其各頂點(diǎn)處的離散曲率都相等B.若，則直四棱柱在頂點(diǎn)處的離散曲率為C.若四面體在點(diǎn)處的離散曲率為，則平面D.若直四棱柱在頂點(diǎn)處的離散曲率為，則與平面的夾角為11.定義在上的函數(shù)，則A.存在唯一實(shí)數(shù)，使函數(shù)圖象關(guān)于直線對(duì)稱B.存在實(shí)數(shù)，使函數(shù)為單調(diào)函數(shù)C.任意實(shí)數(shù)，函數(shù)都存在最小值D.任意實(shí)數(shù)，函數(shù)都存在兩條過(guò)原點(diǎn)的切線12.已知直線與橢圓交于、兩點(diǎn)，點(diǎn)為橢圓的下焦點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是A.當(dāng)時(shí)，，使得B.當(dāng)時(shí)，，C.當(dāng)時(shí)，，使得D.當(dāng)時(shí)，，第Ⅱ卷三、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分.試題中包含兩個(gè)空的，答對(duì)1個(gè)的給3分，全部答對(duì)的給5分.）13.若，則__________.14.已知單位向量，的夾角為60°，若，則記作.已知向量，，則___________.15.早在一千多年之前，我國(guó)已經(jīng)把溢流孔技術(shù)用于造橋，以減輕橋身重量和水流對(duì)橋身的沖擊，現(xiàn)設(shè)橋拱上有如圖所示的4個(gè)溢流孔，橋拱和溢流孔輪廓線均為拋物線的一部分，且四個(gè)溢流孔輪廓線相同，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，根據(jù)圖上尺寸，拱橋輪廓線所在拋物線的方程為_(kāi)_______，溢流孔與橋拱交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為_(kāi)____________.16.甲、乙、丙三人每人從寫有整數(shù)，，的三張卡片中各摸出一張，并按卡片上的數(shù)字取出相同數(shù)目的石子，放回3張卡片算做完一次游戲，然后再繼續(xù)進(jìn)行.當(dāng)他們做了次游戲后，甲有16粒石子，乙有9粒石子，丙有8粒石子，并且知道最后一次丙摸的是寫有整數(shù)的卡片，那么第一次游戲時(shí)，甲、乙、丙三人中摸到寫有整數(shù)的卡片是____________.（從甲、乙、丙中選擇一個(gè)填寫）四、解答題：（本大題共6小題，共70分，解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟）17.（本小題滿分10分）從下列條件中選擇一個(gè)條件補(bǔ)充到題目中：①，其中為的面積，②，③.在中，角，，對(duì)應(yīng)邊分別為，，，_______________.（Ⅰ）求角；（Ⅱ）若為邊的中點(diǎn)，，求的最大值.18.（本小題滿分12分）如圖，平面五邊形中，是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，，，，將沿翻折，使點(diǎn)翻折到點(diǎn).（Ⅰ）證明：；（Ⅱ）若，求直線與平面所成角的正弦值.19.（本小題滿分12分）在正項(xiàng)數(shù)列中，，.（Ⅰ）求；（Ⅱ）證明：.20.（本小題滿分12分）國(guó)學(xué)小組有編號(hào)為1，2，3，…，的位同學(xué)，現(xiàn)在有兩個(gè)選擇題，每人答對(duì)第一題的概率為、答對(duì)第二題的概率為，每個(gè)同學(xué)的答題過(guò)程都是相互獨(dú)立的，比賽規(guī)則如下：①按編號(hào)由小到大的順序依次進(jìn)行，第1號(hào)同學(xué)開(kāi)始第1輪出賽，先答第一題；②若第號(hào)同學(xué)未答對(duì)第一題，則第輪比賽失敗，由第號(hào)同學(xué)繼繼續(xù)比賽；③若第號(hào)同學(xué)答對(duì)第一題，則再答第二題，若該生答對(duì)第二題，則比賽在第輪結(jié)棗；若該生未答對(duì)第二題，則第輪比賽失敗，由第號(hào)同學(xué)繼續(xù)答第二題，且以后比賽的同學(xué)不答第一題；④若比賽進(jìn)行到了第輪，則不管第號(hào)同學(xué)答題情況，比賽結(jié)束.（Ⅰ）令隨機(jī)變量表示名同學(xué)在第輪比賽結(jié)束，當(dāng)時(shí)，求隨機(jī)變量的分布列；（Ⅱ）若把比賽規(guī)則③改為：若第號(hào)同學(xué)未答對(duì)第二題，則第輪比賽失敗，第號(hào)同學(xué)重新從第一題開(kāi)始作答.令隨機(jī)變量表示名挑戰(zhàn)者在第輪比賽結(jié)束.（ⅰ）求隨機(jī)變量的分布列；（ⅱ）證明：?jiǎn)握{(diào)遞增，且小于3.21.（本小題滿分12分）已知雙曲線上的所有點(diǎn)構(gòu)成集合和集合，坐標(biāo)平面內(nèi)任意點(diǎn)，直線稱為點(diǎn)關(guān)于雙曲線的“相關(guān)直線”.（Ⅰ）若，判斷直線與雙曲線的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由；（Ⅱ）若直線與雙曲線的一支有2個(gè)交點(diǎn)，求證：；（Ⅲ）若點(diǎn)，點(diǎn)在直線上，直線交雙曲線于，，求證：.22.（本小題滿分12分）已知函數(shù)，是的導(dǎo)函數(shù)，且.（Ⅰ）求實(shí)數(shù)的值，并證明函數(shù)在處取得極值；（Ⅱ）證明在每一個(gè)區(qū)間都有唯一零點(diǎn).數(shù)學(xué)一、單項(xiàng)選擇題：12345678ADBCCAAB二、多項(xiàng)選擇題：9101112BDBCACDBC三、填空題：13. 14. 15.， 16.乙四、解答題：17.（本小題滿分10分）解：（Ⅰ）選①由余弦定理得：，又，所以，得，因?yàn)?，所?選②，因?yàn)?，由正弦定理得：，整理得：，由余弦定理得：，因?yàn)?，所?選③，因?yàn)?，由正弦定理得：，即，又因?yàn)?，所以，所以，因?yàn)?，所以，所以，因?yàn)樗裕?，所?（Ⅱ）法一：在中，設(shè)，∴，，∴，，當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以的最大值是.18.（本小題滿分12分）解析：（Ⅰ）證明：在平面圖形中取中點(diǎn)，連接，，∵是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，∴，，故翻折后有，又∵，∴，∵，∴，且，，平面，∴平面，∵，∴，∴平面，又∵平面，∴.（Ⅱ）解：在平面內(nèi)作，交于，∵平面，以為原點(diǎn)，為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，由（Ⅰ）得，四邊形為矩形，在中，，，由余弦定理得，∴，所以各點(diǎn)坐標(biāo)為，，，，，所以，，，設(shè)平面的一個(gè)法向量，則，即，設(shè)，則，，∴，設(shè)直線與平面所成角為，則.19.（本小題滿分12分）解析：（Ⅰ）由得，，令，則，∴為首項(xiàng)為1，公差為1的等差數(shù)列，∴，，得.（Ⅱ）.20.（本小題滿分12分）解：（Ⅰ）可取值為1，2，3，，，，因此的分布列為123（Ⅱ）（?。┛扇≈禐?，2，…，，每位同學(xué)兩題都答對(duì)的概率為，所以答題失敗的概率均為：，時(shí)，.當(dāng)時(shí)，.的分布列為：123……（ⅱ）（，）.，故單調(diào)遞增；求得，故，∴，故.21.（本小題滿分12分）解：（Ⅰ）直線與雙曲線相切.理由如下：聯(lián)立方程組，∴，∵，∴，∴，∴，∴直線與雙曲線相切.（Ⅱ）證明：由（Ⅰ）知，∵直線與雙曲線的一支有2個(gè)交點(diǎn)，則，∴，∴，∵，∴，∴.（Ⅲ）設(shè)，，設(shè)，