矩陣運(yùn)算及其應(yīng)用

矩陣運(yùn)算及其應(yīng)用第1頁，共68頁，2023年，2月20日，星期一2.1矩陣的加減乘法2.1.1矩陣的加法定義2.1設(shè)有兩個(gè)同型的矩陣，，矩陣A與矩陣B的和記作，規(guī)定為：第2頁，共68頁，2023年，2月20日，星期一若，把記作，稱為A的負(fù)矩陣。顯然有：由此可定義矩陣的減法為：第3頁，共68頁，2023年，2月20日，星期一2.1.2矩陣的數(shù)乘定義2.2

數(shù)與矩陣的乘積，簡稱數(shù)乘，記作或，規(guī)定為第4頁，共68頁，2023年，2月20日，星期一矩陣的加法和數(shù)乘統(tǒng)稱為矩陣的線性運(yùn)算，矩陣的線性運(yùn)算滿足下列運(yùn)算規(guī)律（A、B、C是同型矩陣，、是數(shù)）（1）加法交換律（2）加法結(jié)合律

（3）（4）

第5頁，共68頁，2023年，2月20日，星期一（5）（6）（7）（8）數(shù)乘分配律

第6頁，共68頁，2023年，2月20日，星期一2.1.3矩陣的乘法定義2.3設(shè)A是矩陣，B是矩陣，那么矩陣A

和矩陣B的乘積是一個(gè)矩陣C，其中記作C=AB第7頁，共68頁，2023年，2月20日，星期一由定義知，只有當(dāng)?shù)谝粋€(gè)矩陣的列數(shù)和第二個(gè)矩陣的行數(shù)相等，即它們的內(nèi)階數(shù)相等時(shí)，兩個(gè)矩陣才能相乘。乘積矩陣的第元素等于前一個(gè)矩陣的第行各元素與后一個(gè)矩陣的第列相應(yīng)元素乘積之和，即：第8頁，共68頁，2023年，2月20日，星期一定義2.4

對于變量，若它們都能由變量線性表示，即有：

（2-1）則稱此關(guān)系式為變量到變量的線性變換。

第9頁，共68頁，2023年，2月20日，星期一可以寫成輸出向量Y等于系數(shù)矩陣A左乘輸入向量X：第10頁，共68頁，2023年，2月20日，星期一例2.4

式（2-2）給出變量到變量的線性變換；式（2-3）給出變量到變量的線性變換。請寫出變量到變量的線性變換。

（2-2）

（2-3）

第11頁，共68頁，2023年，2月20日，星期一解：方法一，代換法。將式（2-3）代入式（2-2），得：

（2-4）方法二，矩陣運(yùn)算法。根據(jù)矩陣乘法的定義，可以把式（2-2）和式（2-3）分別寫為式（2-5）和式（2-6）的矩陣等式：第12頁，共68頁，2023年，2月20日，星期一

（2-5）

（2-6）

把式（2-6）代入式（2-5）中，得：第13頁，共68頁，2023年，2月20日，星期一

（2-7）

式（2-7）和式（2-4）等價(jià)。通過這個(gè)例子，可以看出矩陣乘法在線性變換中的運(yùn)用。第14頁，共68頁，2023年，2月20日，星期一有了矩陣乘法的定義后，可以把一般的線性方程組（1-3）寫為矩陣形式：

（2-8）

若用A表示系數(shù)矩陣，X表示未知量構(gòu)成的向量，b表示常數(shù)項(xiàng)所構(gòu)成的向量，則式（2-8）可以化簡為：AX=b第15頁，共68頁，2023年，2月20日，星期一例2.5

已知，，求AB，BA解：根據(jù)矩陣乘法定義，有：第16頁，共68頁，2023年，2月20日，星期一由于矩陣有2列，矩陣有3行，所以B不能左乘A。由矩陣乘法定義和前面的例題可以看出：（1）矩陣乘法不滿足交換律，即在一般情況下（2）不能由，推出或第17頁，共68頁，2023年，2月20日，星期一（3）不能由，，推出在一般情況下有：矩陣乘法滿足下列運(yùn)算規(guī)律：（1）（2）第18頁，共68頁，2023年，2月20日，星期一（3），為數(shù)（4）（5），，其中為正整數(shù)，必須為方陣。

第19頁，共68頁，2023年，2月20日，星期一2.1.4矩陣的轉(zhuǎn)置定義2.5設(shè)是一個(gè)矩陣，將矩陣中的行換成同序數(shù)的列得到的一個(gè)矩陣，稱為矩陣的轉(zhuǎn)置矩陣，記作，或。例如，，則第20頁，共68頁，2023年，2月20日，星期一矩陣轉(zhuǎn)置滿足以下運(yùn)算規(guī)律（1）（2）（3）（4）

第21頁，共68頁，2023年，2月20日，星期一在此只證明（4）證明：設(shè),,記，，據(jù)矩陣乘法定義及矩陣轉(zhuǎn)置定義知：而的第行就是的第列，為：，的第列就是的第行，為：，因而有第22頁，共68頁，2023年，2月20日，星期一即得，亦即。定義2.6

如果n階方陣

滿足，則稱為對稱矩陣。如果n階方陣滿足，則稱為反對稱矩陣。顯然反對稱陣的主對角線上元素都是零。第23頁，共68頁，2023年，2月20日，星期一2.2矩陣的逆2.2.1逆矩陣的定義定義2.7設(shè)為n階方陣，若存在n階方陣，使得，其中為n階單位矩陣，則稱為可逆矩陣或是可逆的，并稱為的逆矩陣。如果的逆矩陣為，記，顯然，則的逆矩陣為，記，我們也稱矩陣和矩陣互逆。第24頁，共68頁，2023年，2月20日，星期一例2.7設(shè),,,分析矩陣和矩陣、矩陣和矩陣的關(guān)系。解：

第25頁，共68頁，2023年，2月20日，星期一所以，矩陣和矩陣互為逆矩陣。矩陣和矩陣也互為逆矩陣。第26頁，共68頁，2023年，2月20日，星期一2.2.2逆矩陣的性質(zhì)性質(zhì)1如果矩陣可逆，則的逆矩陣唯一性質(zhì)2

若和為同階方陣，且滿足則，即矩陣和矩陣互逆。性質(zhì)3

若可逆，則也可逆，且性質(zhì)4若可逆，數(shù)，則可逆，且性質(zhì)5

若、均為階可逆方陣，則也可逆，且

第27頁，共68頁，2023年，2月20日，星期一性質(zhì)6

若可逆，則也可逆，且例2.8

設(shè)方陣滿足，試證可逆，并求。解：根據(jù)已知條件，可以得到：則有：所以矩陣可逆，且。第28頁，共68頁，2023年，2月20日，星期一2.3矩陣的分塊在矩陣運(yùn)算中，特別是針對高階矩陣，常常采用矩陣分塊的方法將其簡化為較低階的矩陣運(yùn)算。用若干條縱線和橫線將矩陣分為若干個(gè)小矩陣，每一個(gè)小矩陣稱為的子塊，以子塊為元素的矩陣，稱為分塊矩陣。第29頁，共68頁，2023年，2月20日，星期一比如將4×3矩陣分為

,,,它們可分別表示為：

第30頁，共68頁，2023年，2月20日，星期一分塊矩陣的運(yùn)算與普通矩陣類似，1．加法運(yùn)算設(shè)，都是矩陣，且將，按完全相同的方法分塊：第31頁，共68頁，2023年，2月20日，星期一2．?dāng)?shù)乘運(yùn)算設(shè),有：3．乘法運(yùn)算設(shè)為矩陣，為矩陣，將它們分別分塊成第32頁，共68頁，2023年，2月20日，星期一其中的列數(shù)分別等于的行數(shù)，即可以左乘。則有：其中第33頁，共68頁，2023年，2月20日，星期一4．轉(zhuǎn)置運(yùn)算

設(shè)有：注意分塊矩陣的轉(zhuǎn)置，不僅要把每個(gè)子塊內(nèi)的元素位置轉(zhuǎn)置，而且要要把子塊本身的位置轉(zhuǎn)置。第34頁，共68頁，2023年，2月20日，星期一5．分塊對角矩陣如果將方陣分塊后，有以下形式：其中主對角線上的子塊均是方陣，而其余子塊全是零矩陣，則稱為分塊對角矩陣，記為。第35頁，共68頁，2023年，2月20日，星期一設(shè)有兩個(gè)同型且分塊方法相同的對角矩陣則有第36頁，共68頁，2023年，2月20日，星期一對于上面的分塊矩陣，若對角線上的所有子塊都可逆，則有：例2.9

利用分塊矩陣的概念，把下列線性方程組寫成向量等式。第37頁，共68頁，2023年，2月20日，星期一解：線性方程組的矩陣表示為：把系數(shù)矩陣按列分成4塊：與常數(shù)矩陣分別用向量和向量來表示，則有：第38頁，共68頁，2023年，2月20日，星期一進(jìn)而得到向量等式：第39頁，共68頁，2023年，2月20日，星期一2.4初等矩陣

定義2.8

單位矩陣經(jīng)過一次初等變換所得到的矩陣稱為初等矩陣或初等方陣。前面介紹了三種初等變換，每一種初等變換，都有一個(gè)相對應(yīng)的初等矩陣（1）交換單位矩陣的,兩行（或,兩列），得到的初等矩陣記為，即：第40頁，共68頁，2023年，2月20日，星期一

（2-12）

第41頁，共68頁，2023年，2月20日，星期一（2）用一個(gè)非零數(shù)乘單位矩陣的第行（或第列），得到的初等矩陣記為，即：

（2-13）

第42頁，共68頁，2023年，2月20日，星期一（3）將單位矩陣第行的倍加到第行上（或?qū)挝痪仃嚨诹械谋都拥降诹猩希┑玫降某醯染仃囉洖?，即?/p>

（2-14）

第43頁，共68頁，2023年，2月20日，星期一例2.10

設(shè)求：E1*A，E2*A，E3*A。第44頁，共68頁，2023年，2月20日，星期一解：第45頁，共68頁，2023年，2月20日，星期一定理2.1設(shè)是一個(gè)矩陣，對施行一次初等行變換，其結(jié)果等于在的左邊乘以相應(yīng)的階初等矩陣；對施行一次初等列變換，其結(jié)果等于在的右邊乘以相應(yīng)的階初等矩陣。第46頁，共68頁，2023年，2月20日，星期一定理2.2設(shè)為階方陣，那么下面各命題等價(jià)：（1）是可逆矩陣；（2）線性方程組只有零解；（3）可以經(jīng)過有限次初等行變換化為單位矩陣；（4）可以表示為有限個(gè)初等矩陣的乘積。第47頁，共68頁，2023年，2月20日，星期一例2.11

設(shè)判斷、是否可逆，如果可逆，請求之。解：

第48頁，共68頁，2023年，2月20日，星期一則矩陣可逆，且其逆為：第49頁，共68頁，2023年，2月20日，星期一顯然矩陣通過初等行變換不能化為單位矩陣，則矩陣不可逆。是降秩的。它通過初等行變換，可以化出一個(gè)零行，則其秩為2。故當(dāng)A不可逆時(shí)，(2-15)式應(yīng)改為：其中是秩為r的n×n方陣，r<n。即它有r個(gè)非零行和n-r個(gè)零行。第50頁，共68頁，2023年，2月20日，星期一2.5應(yīng)用實(shí)例

2.5.1成本核算問題例2.12某廠生產(chǎn)三種產(chǎn)品，每件產(chǎn)品的成本及每季度生產(chǎn)件數(shù)如表2.6及表2.7所示。試提供該廠每季度的總成本分類表。表2.6每件產(chǎn)品分類成本成本(元)產(chǎn)品A產(chǎn)品B產(chǎn)品C原材料0.100.300.15勞動0.300.400.25企業(yè)管理費(fèi)0.100.200.15第51頁，共68頁，2023年，2月20日，星期一表2.7每季度產(chǎn)品分類件數(shù)解：用矩陣來描述此問題，設(shè)產(chǎn)品分類成本矩陣為，季度產(chǎn)量矩陣為,則有：產(chǎn)品夏秋冬春A4000450045004000B2000280024002200C5800620060006000第52頁，共68頁，2023年，2月20日，星期一令，則的第一行第一列元素為：

(1,1)=0.1×4000+0.3×2000+0.15×5800=1870不難看出，它表示了夏季消耗的原材料總成本。在Matlab環(huán)境下，鍵入：>>M=[0.1,0.3,0.15;0.3,0.4,0.25;0.1,0.2,0.15];>>P=[4000,4500,4500,4000;2000,2800,2400,2200;5800,6200,6000,6000];>>Q=M*P

Q=187022202070196034504020381035801670194018301740第53頁，共68頁，2023年，2月20日，星期一為了進(jìn)一步計(jì)算矩陣Q的每一行和每一列的和，可以繼續(xù)鍵入：>>Q*ones(4,1)ans=8120 14860 7180>>ones(1,3)*Qans=6990818077107280并可以繼續(xù)算出全年的總成本：>>ans*ones(4,1)ans=30160

第54頁，共68頁，2023年，2月20日，星期一根據(jù)以上計(jì)算結(jié)果，可以完成每季度總成本分類表，如表2.8所示。表2.8每季度總成本分類表成本（元）夏秋冬春全年原材料18702220207019608120勞動345040203810358014860企業(yè)管理費(fèi)16701940183017407180總成本（元）699081807710728030160第55頁，共68頁，2023年，2月20日，星期一2.5.2特殊矩陣的生成例2.13在Matlab環(huán)境下生成矩陣X：矩陣X有相同的10行，每一行都是公差為1的等差數(shù)列。解：令則，就實(shí)現(xiàn)了矩陣賦值。第56頁，共68頁，2023年，2月20日，星期一鍵入MATLAB語句：>>v1=-10:10;v2=ones(1,10)>>X=v2'*v1例2.14在Matlab環(huán)境下生成范德蒙矩陣。解：這里用了Matlab的符號運(yùn)算功能。鍵入：>>symsx1x2x3x4real %令x1x2x3x4為實(shí)數(shù)符號變量>>x=[x1,x2,x3,x4];y=0:3;>>A=x'*ones(1,4)>>B=(ones(4,1)*y>>V=A.^B

%兩個(gè)方陣的元素群求冪

第57頁，共68頁，2023年，2月20日，星期一程序的運(yùn)行結(jié)果為：Matlab內(nèi)置的范德蒙矩陣生成函數(shù)vander.m是不能用符號表示的，只能產(chǎn)生數(shù)值矩陣。第58頁，共68頁，2023年，2月20日，星期一2.5.3逆矩陣的求解例2.15設(shè)試求其逆陣解：當(dāng)矩陣的階數(shù)較高時(shí)，利用Matlab輔助計(jì)算就尤顯重要。用Matlab來求矩陣的逆，其方法很多。首先在Matlab環(huán)境下鍵入：>>A=[3,0,3,-6;5,-1,1,-5;-3,1,4,-9;1,-3,4,-4];

第59頁，共68頁，2023年，2月20日，星期一方法1,A^-1,方法2,inv(A),方法3,A\eye(4),方法4,U=rref([A,eye(4)]);U(:,5:8)運(yùn)行結(jié)果都為：ans= 0.2323-0.0101-0.1313-0.04040.5354-0.3131-0.0707-0.2525 0.5859-0.4747-0.17170.10100.2424-0.2424-0.15150.0303第60頁，共68頁，2023年，2月20日，星期一例2.16求矩陣