高一數(shù)學(xué)必修二《圓與方程》知識(shí)點(diǎn)

圓心在圓心在x軸上且過原點(diǎn)(x-a)2+y2=a2(a豐0)高一數(shù)學(xué)必修二《圓與方程》知識(shí)點(diǎn)整理一、標(biāo)準(zhǔn)方程求標(biāo)準(zhǔn)方程的方法——關(guān)鍵是求出圓心(a,b)和半徑r待定系數(shù)：往往已知圓上三點(diǎn)坐標(biāo)，例如教材P例2119☆利用平面幾何性質(zhì)往往涉及到直線與圓的位置關(guān)系，特別是：相切和相交相切：利用到圓心與切點(diǎn)的連線垂直直線相交：利用到點(diǎn)到直線的距離公式及垂徑定理特殊位置的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程設(shè)法(無需記，關(guān)鍵能理解)條件圓心在原點(diǎn)過原點(diǎn)圓心在x軸上圓心在y軸上方程形式x2+y2=r2(r豐0)(x-a)2+(y-b)2=a2+b2C2+b2豐0)(x-a)2+y2=r2(r豐0)x2+(y-b)2=r2(r豐0)圓心在y軸上且過原點(diǎn)x2+(y-b匕=b2(b豐0)與x軸相切與y軸相切與兩坐標(biāo)軸都相切二、一般方程(x-a)2+(y-b)2=b2(b豐0)(x-a+(y-b)2a2Ax2+By2+Cxy+Dx+Ey+F=0表示圓方程則求圓的一般方程一般可采用待定系數(shù)法：如教材P例r4122D2+E2-4F>0常可用來求有關(guān)參數(shù)的范圍三、點(diǎn)與圓的位置關(guān)系判斷方法：點(diǎn)到圓心的距離d與半徑r的大小關(guān)系d<rn點(diǎn)在圓內(nèi)；d=rn點(diǎn)在圓上；d>rn點(diǎn)在圓外涉及最值：圓外一點(diǎn)B，圓上一動(dòng)點(diǎn)P，討論|pb|的最值圓內(nèi)一點(diǎn)A，圓上一動(dòng)點(diǎn)P，討論|pa|的最值思考：過此A點(diǎn)作最短的弦？(此弦垂直AC)四、直線與圓的位置關(guān)系判斷方法(d為圓心到直線的距離)相禺o沒有公共點(diǎn)oAv0od>r相切o只有一個(gè)公共點(diǎn)oA二0od二r相交o有兩個(gè)公共點(diǎn)oA>0odvr這一知識(shí)點(diǎn)可以出如此題型：告訴你直線與圓相交讓你求有關(guān)參數(shù)的范圍.直線與圓相切知識(shí)要點(diǎn)①基本圖形②主要元素：切點(diǎn)坐標(biāo)、切線方程、切線長(zhǎng)等問題：直線l與圓C相切意味著什么？圓心C到直線l的距離恰好等于半徑r常見題型一一求過定點(diǎn)的切線方程①切線條數(shù)條；點(diǎn)在圓內(nèi)——無點(diǎn)在圓外兩條；點(diǎn)在圓上條；點(diǎn)在圓內(nèi)——無②求切線方程的方法及注意點(diǎn)???i)點(diǎn)在圓外如定點(diǎn)P(x,y)，圓:(x-a)2+(y-b匕=r2,[(x-a)2+(y-b匕>r2]0000第一步：設(shè)切線l方程y-y=k(x-x)00第二步：通過d=rnk，從而得到切線方程特別注意：以上解題步驟僅對(duì)k存在有效，當(dāng)k不存在時(shí)，應(yīng)補(bǔ)上一一千萬不要漏了!如：過點(diǎn)P(1,1)作圓x2+y2-4x-6y+12=0的切線，求切線方程.答案：3x-4y+1=0和x=1ii)點(diǎn)在圓上若點(diǎn)(x,y)在圓x2+y2=r2上，則切線方程為xx+yy=r20000會(huì)在選擇題及填空題中運(yùn)用，但一定要看清題目.若點(diǎn)(x,y)在圓(x-a)2+(y-b)2=r2上，則切線方程為00碰到一般方程則可先將一般方程標(biāo)準(zhǔn)化，然后運(yùn)用上述結(jié)果.由上述分析，我們知道：過一定點(diǎn)求某圓的切線方程，非常重要的第一步就是——判斷點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，得出切線的條數(shù).求切線長(zhǎng)：利用基本圖形，|AP|2=|CP|2-r2n|AP|=J|CP|2-r2求切點(diǎn)坐標(biāo)：利用兩個(gè)關(guān)系列出兩個(gè)方程I1AC=rIk-k=-1ACAP直線與圓相交1)求弦長(zhǎng)及弦長(zhǎng)的應(yīng)用問題垂．徑．定．理．及勾股定理——常用????弦長(zhǎng)公式：l=J1+k2x-x|=JG+k2丿(x+x匕-4xx(暫作了解，無需掌握)12〔討L1212_(2)判斷直線與圓相交的一種特殊方法(一種巧合)：直線過定點(diǎn)，而定點(diǎn)恰好在圓內(nèi).關(guān)于點(diǎn)的個(gè)數(shù)問題例：若圓(x-3)2+(y+5)2二r2上有且僅有兩個(gè)點(diǎn)到直線4x-3y-2=0的距離為1,則半徑r的取值范圍是.答案：(4,6)直線與圓相離會(huì)對(duì)直線與圓相離作出判斷(特別是涉及一些參數(shù)時(shí))五、對(duì)稱問題TOC\o"1-5"\h\z若圓x2+y2+(m2—1)x+2my—m=0，關(guān)于直線x-y+1=0，則實(shí)數(shù)m的值為.答案：3(注意：m=-1時(shí)，D2+E2-4F<0，故舍去)變式：已知點(diǎn)A是圓C:x2+y2+ax+4y-5=0上任意一點(diǎn)，A點(diǎn)關(guān)于直線x+2y-1=0的對(duì)稱點(diǎn)在圓C上，則實(shí)數(shù)a=.圓(x-1)2+(y-3)2=1關(guān)于直線x+y=0對(duì)稱的曲線方程是.變式：已知圓C:(x-4)2+(y-2匕=1與圓C:(x-2)2+(y-4)2=1關(guān)于直線l對(duì)稱，12則直線l的方程為.圓(x-3)2+(y+1)2=1關(guān)于點(diǎn)(2,3)對(duì)稱的曲線方程是.已知直線l:y=x+b與圓C:x2+y2=1,問：是否存在實(shí)數(shù)b使自A(3,3)發(fā)出的光線被直線l反射后與圓C相切于點(diǎn)Bf蘭,？］?若存在，求出b的值；若不存在，試(2525丿說明理由.六、最值問題方法主要有三種:(1)數(shù)形結(jié)合；(2)代換；(3)參數(shù)方程已知實(shí)數(shù)x，y滿足方程x2+y2-4x+1=0，求：丄的最大值和最小值；——看作斜率x-5y-x的最小值；——截距(線性規(guī)劃)x2+y2的最大值和最小值.兩點(diǎn)間的距離的平方已知AAOB中，|OB|=3，|OA|=4，|AB=5，點(diǎn)P是AAOB內(nèi)切圓上一點(diǎn)，求以|PA|，PB|，|PO|為直徑的三個(gè)圓面積之和的最大值和最小值.數(shù)形結(jié)合和參數(shù)方程兩種方法均可！設(shè)P(x,y)為圓x2+(y-1)2=1上的任一點(diǎn)，欲使不等式x+y+c>0恒成立，則c的取值范圍是.答案：c>忑-1(數(shù)形結(jié)合和參數(shù)方程兩種方法均可！)

七、圓的參數(shù)方程fx二rcos09為參數(shù)x2+y2二r2Ir>0丿9為參數(shù)Iy二rsin6fx=a+rcos6(x—aJ2+(y—bJ2=r2(r>0丿O*n,9為參數(shù)Iy二b+rsin6八、相關(guān)應(yīng)用1.若直線mx+2ny—4=0(m,neR),始終平分圓x2+y2—4x-2y-4=0的周長(zhǎng)，則m-n的取值范圍是.2.已知圓C:x2+y2—2x+4y—4=0，問：是否存在斜率為1的直線l，使l被圓C截得的弦為AB，以AB為直徑的圓經(jīng)過原點(diǎn)，若存在，寫出直線l的方程，若不存在，說明理由.提示：x1x提示：x1x2+y1y2=0或弦長(zhǎng)公式d=J1+k2x—xI.答案:x—y+1=0或x—y—4=0已知圓C:（x—31+（y—4J2=1，點(diǎn)A（0,1），B（0,1），設(shè)P點(diǎn)是圓C上的動(dòng)點(diǎn),d=|PA|2+|PB|2，求d的最值及對(duì)應(yīng)的P點(diǎn)坐標(biāo).已知圓C:(x—1)2+(y—2J2=25，直線l:(2m+1)x+(m+1)y—7m—4=0(meR)（1）證明：不論m取什么值，直線l與圓C均有兩個(gè)交點(diǎn);2）求其中弦長(zhǎng)最短的直線方程.若直線y=—x+k與曲線x=-J-y2恰有一個(gè)公共點(diǎn)，則k的取值范圍.

已知圓x2+y2+x-6y+m=0與直線x+2y-3=0父于P,Q兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn),問：是否存在實(shí)數(shù)m，使OP丄OQ，若存在，求出m的值；若不存在，說明理由.九、圓與圓的位置關(guān)系1.判斷方法：幾何法（d為圓心距）1)d>r+r0夕卜離(2)d=r+r0外切12123)r-r<d<r+r0相交(4)d=r-r10內(nèi)切12121215)d<|r-r10內(nèi)含2.兩圓公共弦所在直線方程圓C:x2+y2+Dx+Ey+F=0，圓C:x2+y2+Dx+Ey+F=0，11112222則（D-D）x+（E-E）y+（F-F）=0為兩相交圓公共弦方程.121212補(bǔ)充說明：若C與C相切，則表示其中一條公切線方程；12若C與C相離，則表示連心線的中垂線方程.123圓系問題(1)過兩圓C:x2+y2+Dx+Ey+F=0和C:x2+y2+Dx+Ey+F=0交點(diǎn)的圓系11112222方程為x2+方程為x2+y2+Dx+Ey+F+九111+y2+Dx+Ey+F222)=0（九-1）說明：1）上述圓系不包括C；2）當(dāng)九=—1時(shí)，表示過兩圓交點(diǎn)的直線方程（公共2弦）（2）過直線Ax+By+C=0與圓X2+y2+Dx+Ey+F二0交點(diǎn)的圓系方程為x2+y2+Dx+Ey+F+X（AX+By+C）=0（3）有關(guān)圓系的簡(jiǎn)單應(yīng)用（4）兩圓公切線的條數(shù)問題①相內(nèi)切時(shí)，有一條公切線；②相外切時(shí)，有三條公切線；③相交時(shí)，有兩條公切線；④相離時(shí)，有四條公切線十、軌跡方程（1）定義法（圓的定義）：略（2）直接法：通過已知條件直接得出某種等量關(guān)系，利用這種等量關(guān)系，建立起動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)的關(guān)系式一一軌跡方程.例：過圓x2+y2=1外一點(diǎn)A（2,0）作圓的割線，求割線被圓截得的弦的中點(diǎn)的軌跡方程.動(dòng)點(diǎn)主動(dòng)點(diǎn)特點(diǎn)為：主動(dòng)點(diǎn)一定在某一已知的方程所表示的（固定）軌跡上運(yùn)動(dòng).例1?如圖，已知定點(diǎn)A（2,0）,點(diǎn)Q是圓x2+y2-1上的動(dòng)點(diǎn)，ZAOQ的平分線交AQ于M，當(dāng)Q點(diǎn)在圓上移動(dòng)時(shí)，求動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程.分析：角平分線定理和定比分點(diǎn)公式.例2.已知圓O：x2+y2-9，點(diǎn)A（3,0），B、C是圓O上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，A、B、C呈逆時(shí)針方向排列，且ZBAC=-，求AABC的重心G的軌跡方程.3法1：???ABAC=扌，.\BC\為定長(zhǎng)且等于3忑設(shè)G(x,y)，x-則」y-yA+yB設(shè)G(x,y)，x-則」y-yA+yB+yC-33取BC的中點(diǎn)為Xee、丿3-4,3-2,7343???OE2+CE2=OC2,X2+y2=—EE(1)廠x+x廠3+2xx—-B-C廠—2xx—EE2x+x3VnVBCE,.nVy+yy+y—2y2yyBBCEy———E、E23〔3x-3x-——E23y=yE2故由1）得：(3)+一y2\2丿r3)(忑Jxe0,三,ye-1,1-2丿I2」-—^^x-1)2+y2=14法2：（參數(shù)法）設(shè)G(設(shè)G(x,y)