第十二講常微分方程和差分方程

第十二講常微分方程和差分方程第1頁，共60頁，2023年，2月20日，星期二基本概念一階方程

類型1.直接積分法2.可分離變量3.齊次方程4.線性方程可降階方程線性方程解的結構相關定理二階常系數(shù)線性方程解的結構特征方程的根及其對應項f(x)的形式及其特解形式高階方程待定系數(shù)法特征方程法一、主要內(nèi)容——微分方程第2頁，共60頁，2023年，2月20日，星期二微分方程解題思路一階方程高階方程分離變量法變量代換法常數(shù)變易法特征方程法待定系數(shù)法降階作變換第3頁，共60頁，2023年，2月20日，星期二基本概念一階方程n階常系數(shù)線性方程二階方程一、主要內(nèi)容——差分方程特征方程的根及其對應項f(x)的形式及特解形式代入法特征根法待定系數(shù)法線性方程解的結構相關定理特征方程的根及其對應項f(x)的形式及特解形式特征方程法待定系數(shù)法第4頁，共60頁，2023年，2月20日，星期二差分方程解題思路一階方程二階方程代入法特征根法特征方程法待定系數(shù)法第5頁，共60頁，2023年，2月20日，星期二1.微分基本概念微分方程凡含有未知函數(shù)的導數(shù)或微分的方程叫微分方程．微分方程的階微分方程中出現(xiàn)的未知函數(shù)的最高階導數(shù)的階數(shù)稱為微分方程的階．微分方程的解代入微分方程能使方程成為恒等式的函數(shù)稱為微分方程的解．第6頁，共60頁，2023年，2月20日，星期二通解如果微分方程的解中含有獨立的任意常數(shù)，并且任意常數(shù)的個數(shù)與微分方程的階數(shù)相同，這樣的解叫做微分方程的通解．特解

確定了通解中的任意常數(shù)以后得到的解，叫做微分方程的特解．初始條件用來確定任意常數(shù)的條件.初值問題求微分方程滿足初始條件的解的問題，叫初值問題．第7頁，共60頁，2023年，2月20日，星期二(1)可分離變量的微分方程解法分離變量法2.一階微分方程的解法(2)齊次方程解法作變量代換第8頁，共60頁，2023年，2月20日，星期二(3)一階線性微分方程上述方程稱為齊次的．上述方程稱為非齊次的.齊次方程的通解為（用分離變量法）非齊次微分方程的通解為（用常數(shù)變易法）第9頁，共60頁，2023年，2月20日，星期二3.可降階的高階微分方程的解法解法特點型接連積分n次，得通解．型解法代入原方程,得第10頁，共60頁，2023年，2月20日，星期二特點型解法代入原方程,得４.線性微分方程解的結構（1）二階齊次方程解的結構:第11頁，共60頁，2023年，2月20日，星期二（2）二階非齊次線性方程解的結構:第12頁，共60頁，2023年，2月20日，星期二第13頁，共60頁，2023年，2月20日，星期二５.二階常系數(shù)齊次線性方程解法n階常系數(shù)線性微分方程二階常系數(shù)齊次線性方程二階常系數(shù)非齊次線性方程解法由常系數(shù)齊次線性方程的特征方程的根確定其通解的方法稱為特征方程法.第14頁，共60頁，2023年，2月20日，星期二特征方程為第15頁，共60頁，2023年，2月20日，星期二６.二階常系數(shù)非齊次線性微分方程解法二階常系數(shù)非齊次線性方程解法

待定系數(shù)法.第16頁，共60頁，2023年，2月20日，星期二第17頁，共60頁，2023年，2月20日，星期二差分的定義7.差分方程基本概念第18頁，共60頁，2023年，2月20日，星期二第19頁，共60頁，2023年，2月20日，星期二差分方程與差分方程的階定義1第20頁，共60頁，2023年，2月20日，星期二定義2第21頁，共60頁，2023年，2月20日，星期二為了反映某一事物在變化過程中的客觀規(guī)律性，往往根據(jù)事物在初始時刻所處狀態(tài)，對差分方程所附加的條件.通解中任意常數(shù)被初始條件確定后的解.初始條件差分方程的特解差分方程的解含有相互獨立的任意常數(shù)的個數(shù)與差分方程的階數(shù)相同的差分方程的解.差分方程的通解第22頁，共60頁，2023年，2月20日，星期二n階常系數(shù)齊次線性差分方程的標準形式n階常系數(shù)非齊次線性差分方程的標準形式8.常系數(shù)線性差分方程解的結構第23頁，共60頁，2023年，2月20日，星期二n階常系數(shù)齊次線性差分方程解的結構第24頁，共60頁，2023年，2月20日，星期二（是任意常數(shù)）

第25頁，共60頁，2023年，2月20日，星期二第26頁，共60頁，2023年，2月20日，星期二9.一階常系數(shù)齊次線性差分方程的求解第27頁，共60頁，2023年，2月20日，星期二第28頁，共60頁，2023年，2月20日，星期二第29頁，共60頁，2023年，2月20日，星期二特征方程特征根第30頁，共60頁，2023年，2月20日，星期二10.一階常系數(shù)非齊次線性差分方程的求解第31頁，共60頁，2023年，2月20日，星期二第32頁，共60頁，2023年，2月20日，星期二(1)(2)綜上討論第33頁，共60頁，2023年，2月20日，星期二第34頁，共60頁，2023年，2月20日，星期二二、典型例題例1解原方程可化為第35頁，共60頁，2023年，2月20日，星期二代入原方程得分離變量兩邊積分所求通解為第36頁，共60頁，2023年，2月20日，星期二例2解原式可化為原式變?yōu)閷R次方通解為一階線性非齊次方程伯努利方程第37頁，共60頁，2023年，2月20日，星期二代入非齊次方程得原方程的通解為利用常數(shù)變易法第38頁，共60頁，2023年，2月20日，星期二例3解代入方程，得故方程的通解為第39頁，共60頁，2023年，2月20日，星期二例4解特征方程特征根對應的齊次方程的通解為設原方程的特解為第40頁，共60頁，2023年，2月20日，星期二原方程的一個特解為故原方程的通解為第41頁，共60頁，2023年，2月20日，星期二由解得所以原方程滿足初始條件的特解為第42頁，共60頁，2023年，2月20日，星期二例5解特征方程特征根對應的齊方的通解為設原方程的特解為第43頁，共60頁，2023年，2月20日，星期二由解得第44頁，共60頁，2023年，2月20日，星期二故原方程的通解為由即第45頁，共60頁，2023年，2月20日，星期二例6解（１）由題設可得：解此方程組，得第46頁，共60頁，2023年，2月20日，星期二例1.求下列方程的通解提示:(1)故為分離變量方程:通解(2)

這是一個齊次方程，令y=ux,化為分離變量方程:第47頁，共60頁，2023年，2月20日，星期二方程兩邊同除以x即為齊次方程,令y=ux,化為分離變量方程.調(diào)換自變量與因變量的地位,用線性方程通解公式求解.化為第48頁，共60頁，2023年，2月20日，星期二例2.求下列方程的通解:提示:(1)令u=xy,得(2)將方程改寫為(貝努里方程)(分離變量方程)原方程化為第49頁，共60頁，2023年，2月20日，星期二令y=ut(齊次方程)令t=x–1,則可分離變量方程求解化方程為第50頁，共60頁，2023年，2月20日，星期二例3.設F(x)＝f(x)g(x),其中函數(shù)f(x),g(x)在(－∞,+∞)內(nèi)滿足以下條件:(1)求F(x)所滿足的一階微分方程;(2003考研)(2)求出F(x)的表達式.解:(1)所以F(x)滿足的一階線性非齊次微分方程:第51頁，共60頁，2023年，2月20日，星期二(2)由一階線性微分方程解的公式得于是第52頁，共60頁，2023年，2月20日，星期二原方程化為,即則故原方程通解提示:令第53頁，共60頁，2023年，2月20日，星期二例2.且滿足方程提示:

則問題化為解初值問題:最后求得第54頁，共60頁，2023年，2月20日，星期二思考:設提示:對積分換元,則有解初值問題:答案:第55頁，共60頁，2023年，2月20日，星期二的解.例3.設函數(shù)內(nèi)具有連續(xù)二階導(1)試將x＝x(y)所滿足的微分方程變換為y＝y(tǒng)(x)所滿足的微分方程;(2)求變換后的微分方程滿足初始條件數(shù),且解:上式兩端對x求導,得:(1)由反函數(shù)的導數(shù)公式知(2003考研)第56頁，共60頁，2023年，2月20日，星期二代入原微分方程得①(2)方程①的對應齊次方程的通解為設①的特解為代入①得A＝0,從而得①的通解:第57頁，共60頁，2023年，2月20日，